数学八年级苏科版（上册）第6章一次函数同步辅导

专题讲座一次函数定位仪一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图像是一条直线，这条直线在坐标系中的大致图像可由k，b的正负来决定.一、k的值决定了直线y=kx+b的走势当k＞0时，y随x的增大而增大，图像自左向右呈上升趋势；当k＜0时，y随x的增大而减小，图像自左向右呈下降趋势.例1已知一次函数y=ax+b的图像如图所示，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜-1C．a＞-1D．a＜0解析：由图像可知，直线自左向右呈上升趋势，即y随x的增大而增大，所以a＞0.故选A.二、b的值决定了直线y=kx+b与y轴交点的位置当b＞0时，图像与y轴交于正半轴；当b=0时，图像过原点；当b＜0时，图像与y轴交于负半轴.例2已知一次函数y=kx+b的图像与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为（）A．k＜0，b＜0B．k＜0，b＞0C．k＞0，b＞0D．k＞0，b＜0解析：因为函数值y随x的增大而增大，所以k＞0；因为图像与x轴的正半轴相交，所以图像与y轴的负半轴相交，所以b＜0．故选D.三、k，b的值共同决定了直线y=kx+b经过的象限根据k，b的符号，一次函数y=kx+b的图像所经过的象限可归纳如下：kb直线经过的象限k＞0b＞0一、二、三b=0一、三b＜0一、三、四k＜0b＞0一、二、四b=0二、四b＜0二、三、四例3（2016年天津）若一次函数（b为常数）的图像经过第二、三、四象限，则b的值可以是________（写出一个即可）．解析：根据上面表格可直接得出b＜0.所以任意选一个负数即可，如-1.也可以先画出草图，再根据直线与y轴负半轴相交得到b＜0.两个一次相连数形结合破解一、二元一次方程与一次函数若k，b表示常数，且k≠0，则y－kx＝b为二元一次方程，有无数个解.将其变形可得y＝kx＋b，将x，y看做自变量、因变量，则y＝kx＋b是一次函数.事实上，以方程y－kx＝b的解为坐标的点组成的图像就是一次函数y＝kx＋b的图像，它是一条直线.例1二元一次方程3x-y=5有个解，以它的解为坐标的点都在函数的图像上.分析：二元一次方程的解有无数个，并且它的解所对应的坐标的点都在二元一次方程变形后的函数图像上.解：无数y=3x-5二、二元一次方程组与一次函数二元一次方程组的解，可以看成是一次函数与的图像的交点坐标；反之，两个一次函数与的图像的交点坐标，也可以看成是这两个一次函数表达式组成的二元一次方程组的解.例2函数y=2x与y=x+1的图像的交点坐标为．分析：方程组eq\b\lc\{(\a\al(y＝2x,y＝x＋1))的解即为两直线的交点坐标．解：解方程组eq\b\lc\{(\a\al(y＝2x,y＝x＋1))得，因此函数y=2x与y=x+1的图像的交点坐标为(1，2)．学习方法报社全新课标理念，优质课程资源专题讲座确定表达式演播厅一、根据实际问题确定表达式例1甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元.现两家商店搞促销活动，甲店：每买一副球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价的9折优惠.八年级（1）班需购球拍4副，乒乓球若干个（不少于4盒）.（1）设购买乒乓球的盒数为x盒，在甲店购买的付款数为y甲元，在乙店购买的付款数为y乙元，分别写出在两家商店购买的付款数与乒乓球盒数之间的表达式；（2）若该班计划购买乒乓球20盒，去哪家商店购买合算？解析：（1）由甲商店规定每买1副乒乓球拍赠1盒乒乓球，得y甲=30×4+5（x-4）=100+5x（x≥4）.由乙商店规定所有商品9折优惠，得y乙=0.9×30×4+0.9×5x=4.5x+108（x≥4）.（2）当x=20时，y甲=100+5×20=200（元），y乙=4.5×20+108=90+108=198（元）.因为200＞198，所以去乙商店购买合算.二、根据表格确定表达式例2为了解某种车的耗油量，小郎对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：汽车行驶的时间t/h01234…油箱剩余油量Q/L10094888276…（1）根据上表的数据，请表示出变量Q与t之间的表达式.（2）汽车行驶6h后，油箱中的剩余油量是多少？（3）如果这种汽车油箱中剩余油量为52L，那么汽车行驶了多少小时？解析：（1）由表格可知，开始油箱中的油有100L，每行驶1h，油量减少6L，可得Q与t的关系式为Q=100-6t.（2）当t=6时，Q=100-6×6=100-36=64（L）.所以汽车行驶6h后，油箱中的剩余油量是64L.（3）当Q=52时，52=100-6t，解得t=8.所以汽车行驶了8h.三、根据图形确定表达式例3如图，在一个半径为18cm的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去一个小圆的半径x（cm）由小变大时，剩下的一个圆环面积y（cm2）也随之发生变化．（1）写出用挖去的圆的半径x（cm）表示剩下的圆环面积y（cm2）的表达式；（2）当挖去的圆的半径为9cm时，剩下的圆环面积为多少？（结果保留π）解析：（1）根据“圆环面积=大圆的面积-小圆的面积”，得y=π×182-πx2=-πx2+324π.

（2）当x=9时，圆环面积y=-π×92+324π=243π（cm2）．三法确定一次函数表达式一、根据图象求表达式例1在平面直角坐标系xOy中，直线l的图象如图所示．求直线l的函数表达式.

解析：设直线l的表达式为y=kx+b（k≠0）．因为直线l经过点A（0，4），B（-2，0），将其代入y=kx+b得b=4，①-2k+b=0．②把①代入②，得k=2．所以直线l的函数表达式为y=2x+4.二、根据性质求表达式例2某一次函数的图象过点（-1，2），且函数y的值随自变量x的增大而减小，请写出一个符合上述条件的函数表达式．解析：本题答案不唯一，对于一次函数y=kx+b（k≠0），若y随x的增大而减小，则k＜0.所以可设y=-x+b，把x=-1，y=2代入，可求得b=1.所以所求函数表达式为y=-x+1．三、根据平行线求表达式例3直线l与y=-2x-1平行且过点（1，3），求直线l的表达式．解析：因为直线l与y=-2x-1平行，所以设所求直线l的表达式为y=-2x+b.又因为直线l过点（1，3），所以3=-2×1+b，解得b=5.所以所求直线l的表达式为y=-2x+5．新知快递识别图像“四注意”一、弄清图像上的点的意义图像上任一个点所表示的意义是：由该点向水平轴和竖直轴分别作垂线，当自变量取水平轴上的垂足所对应的数时，函数取竖直发现的数轴上的垂足对应的数.二、弄清图像上的最高点和最低点的意义最高点对应着函数的最大值，最底点对应着函数的最小值，进而求出函数的取值范围.三、弄清图像上的上升（下降）线、水平线的意义上升线表示函数随自变量取值的增加而增加，下降线表示函数随自变量取值的增加而减少，水平线表示函数不随自变量取值的变化而发生变化.四、弄清上升线、下降线的坡陡分别表示的意义上升线越缓表示随自变量的增加函数的取值增加的越慢；上升线越陡表示随自变量的增加函数的取值增加的越快；下降线越缓表示随自变量的增加函数的取值减少的越慢；下降线越陡表示随自变量的增加函数的取值减少的越快.例如图所示，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间关系的图像可能是（）ABCD解析：由题意知图像应该分为四段：向甲池中注水，未达连通管道时，乙水池中没有水，水面高度没有变化；当甲池中水到达连通管道的地方，水开始进入乙蓄水池，乙水池中的水面快速上升；当乙水池中的水面到达连通管道处时，乙水池的水面持续上升较慢；当水面超过连通管道处时，乙水池的水面上升较快，但比第二段的上升的速度要慢.综上所述，符合乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间关系的图像为选项D.点评：注意要弄清楚横轴与纵轴表示的量的意义，主要考查对图像的理解和掌握，能根据实际问题所反映的内容来观察与理解图像是解题的关键.活学实用图像和信息“一家亲”一、由问题信息选择图像例1（2017年东营）小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s（m）与时间t（min）的大致图像是（）ABCD解析：小明的父亲开始以正常速度匀速行进，他行驶路程s逐渐增大；停下来等公交车的过程中，他行驶路程s不变；坐公交车匀速行驶到达学校，行进速度比步行要快，他行驶路程s逐渐增大，且比步行时增加的幅度大.综合以上信息可知本题的图像分为三段，缓-平-陡，且s值先增加，后不变，再增加，其中符合要求的图像是选项C.点评：判断图像时，首先应分清横轴和纵轴各表示什么量，图像的起止点在什么地方，以及图像的变化趋势、倾斜度的大小各有什么含义等.特别要注意：停止不动时，时间t在变化，行驶路程s不发生变化.二、从图像中获取问题信息例2（2017年南通）一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（）5LB.3.75LC.2.5LD.1.25L解析：观察图像，根据“每分钟进水量=总进水量÷进水时间”，得每分钟的进水量为20÷4=5（L）；到12min时，容器内的水量为30L，这时每分钟增加的水量为（30-20）÷（12-4）=1.25（L），根据“每分钟的出水量=每分钟的进水量-每分钟增加的水量”，得每分钟的出水量为5-1.25=3.75（L）.故选B.点评：解题时，要认真阅读图像，从中获取有用的信息，并学会用数学语言加以合理地表达与描述.牛刀小试：（2017年凉山州）小明和哥哥从家里出发去买书，从家出发走了20分钟到一个离家1000米的书店．小明买了书后随即按原路返回；哥哥看了20分钟书后，用15分钟返家．下面表示哥哥离家距离与时间之间关系的图像是（）ABCD参考答案：D活学实用性质灵活用解题真轻松一、确定字母系数的值例1已知关于x，y的一次函数y=2mx-3m，y随x的增大而减小，请你写出一个满足条件的m的值____.解析：根据一次函数y=kx+b的性质，可知当k＜0时，y随x的增大而减小，所以只要给出的m的值能使2m小于0即可.故答案不唯一，如-1，-5.二、比较函数的大小例2（2016年本溪）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y=-2x+5图像上的两点，当x1＞x2时，y1_______y2．（填“＞”、“=”或“＜”）解析：因为在一次函数y=-2x+5中，-2＜0，所以y随x的增大而减小.因为x1＞x2，所以y1＜y2．故填“＜”.三、确定函数