数学八年级苏科版（上册）第2章轴对称图形同步辅导

第页共2页中考链接等腰三角形考题面面观一、等腰三角形的性质例1（2017年包头）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm解析：若2cm为腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；若2cm为底边长，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系.所以该等腰三角形的底边长为2cm.故选A．图1二、等腰三角形的判定图1例2（2017年武汉）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4 B．5 C．6 D．7解析：①如图2，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，则△BCD是等腰三角形；②如图3，以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，则△ACE是等腰三角形；③如图4，以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，交AB于点K，则△BCF，△BCK都是等腰三角形；④如图5，作AC的垂直平分线交AB于点H，则△ACH是等腰三角形；⑤如图6，作AB的垂直平分线交AC于点G，则△AGB是等腰三角形；⑥如图7，作BC的垂直平分线交AB于点I，则△BCI是等腰三角形．所以不同的等腰三角形的个数为7.故选D．图2图3图4图5图6图7专题讲座角的平分线应用进行时一、求面积图1例1（2017年枣庄）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）图1A．15 B．30 C．45 D．60分析：根据作图可知AP是∠BAC的平分线，要求△ABD的面积，联想到作AB边上的高，即过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等得DE=CD，然后根据三角形的面积公式计算即可．解：由题意，得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于点E.因为∠C=90°，所以DE=CD.所以△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30．故选B．二、判断说理F图2OBAPEMN例2（2017年滨州）如图2，P为定角∠AOB的平分线上一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，则以下结论：①PM＝PN恒成立；②OM＋ON的值不变；F图2OBAPEMN其中正确的个数为（） A．4 B．3 C．2 D．1分析：由OP为∠AOB的平分线，可尝试过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，根据“角平分线上一点到角两边距离相等”，证得PE＝PF．下面只需证明Rt△PME≌Rt△PNF即可对①②③作出判断．而因为P为一个定点，可以将∠MPN绕点P旋转到一个特殊位置，看△PMN与之是否全等即可对④作出判断．解：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，连接EF，所以∠PEO＝∠PFO＝90°．所以∠AOB与∠EPF互补.又因为∠MPN与∠AOB互补，所以∠MPN＝∠EPF．所以∠MPE＝∠NPF.因为OP为∠AOB的平分线，所以PE＝PF．又因为∠PEA＝∠PFO＝90°，所以△PME≌△PNF．所以PM＝PN，ME＝NF．所以OM＋ON＝OE＋OF．所以S△PEM=S△PNF.所以S四边形PMON=S四边形PEOF=定值.所以①②③正确．而当△PMN旋转到△PEF后，对于△PMN与△PEF都是等腰三角形，且顶角相等，但由于腰长不等，因此这两个三角形不全等，所以底边MN与EF不相等．所以MN的长是变化的，④错误．故选B．点评：本题涉及的四边形为“对角互补型”，当这对角的对角线是其中一个角的平分线，则另一个角的两边必相等，反之也成立．当我们看到角平分线时，过角平分线上的点作两边的垂线是一种常见的辅助线．方法点击巧用30°妙解题在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.这个性质是由等边三角形的性质得出来的，体现了直角三角形的性质，可以解决直角三角形中的有关计算问题.下面举例说明它的应用.例1如图1，在△ABC中，AB=a，∠A︰∠B︰∠ACB=1︰2︰3，CD⊥AB于点D，则DB等于（）A.B.C.D.解析：由已知条件，可设∠A=x°，则∠B=2x°，∠ACB=3x°，由三角形内角和定理，得x+2x+3x=180，解得x=30.所以∠A=30°，∠B=60°，∠ACB=90°.在Rt△ABC中，∠A=30°，所以.因为CD⊥AB，∠B=60°，所以∠BCD=30°.在Rt△BCD中，∠BCD=30°，所以.故选A.点评：在含30°角的直角三角形中，若已知一边则可求其他边.例2如图2，在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长.图2解析：因为AB=AC，AD是△ABC的中线，所以AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°.图2因为AE是∠BAD的平分线，所以∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°.因为DF∥AB，所以∠F=∠BAE=30°.所以∠DAE=∠F=30°.所以AD=DF.因为∠B=90°-60°=30°，所以AD=AB=×9=4.5.所以DF=4.5．专题讲座体验线段垂直平分线的性质一、计算图1例1如图1，在△ABC中，DE垂直平分AB交BC于点E，已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，求BC的长.图1分析：根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD，再由△ADC的周长为17cm可以得到AD+DC的长，利用等量代换可得BC的长．解：因为DE垂直平分AB，所以AD=BD.因为△ADC的周长为17cm，AC=5cm，所以AD+DC=17﹣5=12（cm）.因为AD=BD，所以BC=BD+CD=12cm．点评：本题主要利用线段垂直平分线的性质将AD+DC转化为线段BC，体现了转化思想的应用．二、证明例2如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC边的垂直平分线MN交于点M，过点M作MD⊥AB，ME⊥BC，垂足分别为D，E，求证AD=CE．分析：要证明线段AD=CE，直接证明比较困难，可将这两条线段转化到两个三角形中．连接AM，CM，利用垂直平分线和角的平分线的性质即可得到相关全等三角形的条件.证明：连接AM，CM．因为MN是AC边的垂直平分线，BM是∠ABC的平分线，MD⊥AB，ME⊥BC，所以AM=CM，DM=EM.在Rt△AMD和Rt△CME中，AM=CM，DM=EM，所以Rt△AMD≌Rt△CME（HL）.所以AD=CE．点评：本题综合运用线段垂直平分线和角平分线的性质构造全等三角形，从而证明线段相等，当题中出现线段的垂直平分线和角平分线时，要想到运用其性质解题.易错剖析轴对称常见错误拾贝易错1画轴对称图形出错例1下面是四位同学作△ABC关于直线MN对称的图形，其中正确的是（）ABCD错解：选A或C或D.剖析：关键在于画出已知三角形的各顶点关于直线MN的对称点A′，B′，C′（分别过A，B，C作MN的垂线，并延长，使过垂线的点是对应点所连线段的中点），然后顺次连接对称点即可得到要求作的三角形.选项A、C、D均不正确.正解：______________.温馨提示：也可沿直线MN对折，看在直线MN两旁的△ABC与△A′B′C′是否可以重合进行判断.易错2确定轴对称图形的对称轴出错例2用语言描述出角、等腰三角形、正方形和圆的对称轴及其条数.错解：角有1条对称轴，是它的角平分线；等腰三角形有1条对称轴，是底边的垂直平分线；正方形有2条对称轴，是过对边中点的两线；圆有无数条对称轴，是它的直径.剖析：明确对称轴是直线不是射线或线段；等腰三角形有1条或3条（等边三角形有3条对称轴）对称轴；正方形的对称轴有4条.正解：______________________________________________________________________.温馨提示：找轴对称图形的对称轴时，需认真分析图形的特点，确保找准找全.参考参考答案：例1B例2角有1条对称轴，是角平分线所在的直线；等腰三角形有1条或3条对称轴，是底边垂直平分线；正方形有4条对称轴，是对角线所在直线和过对边中点的直线；圆有无数条对称轴，是过圆心的直线（或直径所在的直线）.专题讲座体验线段垂直平分线的性质一、计算图1例1如图1，在△ABC中，DE垂直平分AB交BC于点E，已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，求BC的长.图1分析：根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD，再由△ADC的周长为17cm可以得到AD+DC的长，利用等量代换可得BC的长．解：因为DE垂直平分AB，所以AD=BD.因为△ADC的周长为17cm，AC=5cm，所以AD+DC=17﹣5=12（cm）.因为AD=BD，所以BC=BD+CD=12cm．点评：本题主要利用线段垂直平分线的性质将AD+DC转化为线段BC，体现了转化思想的应用．二、证明例2如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC边的垂直平分线MN交于点M，过点M作MD⊥AB，ME⊥BC，垂足分别为D，E，求证AD=CE．分析：要证明线段AD=CE，直接证明比较困难，可将这两条线段转化到两个三角形中．连接AM，CM，