2008-2009学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2008-2009学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）一次比赛中，一位选手的得分为5、8、6、7、8、7、7，则这组数据的众数为（）A．5 B．6 C．7 D．83．（3分）在下列直角坐标系中，反比例函数y＝﹣的图象大致是（）A． B． C． D．4．（3分）在▱ABCD中，有两个内角的度数比是1：2，则▱ABCD中较小的内角是（）A．45° B．60° C．90° D．120°5．（3分）把方程x（x+2）＝3（x﹣1）化成一般式ax2+bx+c＝0，则a、b、c的值分别是（）A．1，﹣1，3 B．1，1，3 C．1，5，﹣3 D．1，﹣1，﹣36．（3分）在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a：b：c＝3：4：5 B．a＝9，b＝40，c＝41 C．a＝11，b＝12，c＝13 D．a＝b＝5，c＝57．（3分）若方程x2﹣kx＝k有两个相等的实根，则k的值是（）A．0 B．﹣4 C．4 D．0或﹣48．（3分）汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（）A．正方形 B．等腰梯形 C．菱形 D．矩形9．（3分）如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积是5，那么大正方形的边长应该是（）A． B． C．5 D．10．（3分）由于＝﹣1，＝﹣，＝﹣，…，则（+++…+）（+1）＝（）A．2007 B．2008 C．2009 D．2010二、填空题（共8小题，每空3分，满分30分）11．（3分）若有意义，则x的取值范围是．12．（3分）在一次射击比赛中，甲、乙、丙、丁的平均数相同，而方差分别是8.7，6.8，9.1，7.3，则四人射击成绩最稳定的是．13．（3分）若A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣图象上两点，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系为y1y2（填“＜、＞、＝”）14．（6分）若关于x的方程3x2+mx+m﹣6＝0有一根是0，则m＝．15．（3分）等腰三角形的腰长为10cm，底边上的高是8cm，则其底边的长为cm．16．（6分）如图，分别以△ABC的两条边为边作平行四边形，所作的平行四边形有个；平行四边形第四个顶点的坐标是．17．（3分）下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为（注：把你认为正确的命题序号都填上）18．（3分）形如：y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数，它的图象是一条抛物线．类比一元一次方程的解可以看成两条直线的交点的横坐标；则一元二次方程x2+x﹣3＝0的解可以看成抛物线y＝x2+x﹣3与直线y＝0（x轴）的交点的横坐标；也可以看成是抛物线y＝x2与直线y＝的交点的横坐标；也可以看成是抛物线y＝与直线y＝﹣x的交点的横坐标．三、解答题（共6小题，满分40分）19．（6分）计算：（1）+2（﹣）﹣•（2）（3+﹣4）÷．20．（6分）解下列方程（1）（x+1）（x﹣1）＝7（2）2x2﹣2x﹣1＝021．（6分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝4，BC＝8，∠C＝60°，求AB的长．22．（6分）为了了解北京市民在“限塑令”后对白色污染垃圾袋的使用情况，随机对北京家庭一周内平均用垃圾袋的个数进行了抽样调查，根据有关的样本数据绘制出如下统计图表：（1）被抽样调查的家庭为多少户？（2）样本数据中，一周平均使用垃圾袋的中位数是多少？（3）东城区初二学生约有5500人，如果一个家庭只有一个孩子，请你根据样本家庭一周平均使用垃圾袋的平均数，估计东城区初二学生一周平均使用垃圾袋的总个数．23．（8分）已知如图，矩形ABCD的周长为28，AB＝6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于E、F，连接AF、CE、EF，且EF与AC相交于点O．（1）求AC的长；（2）求证：四边形AECF是菱形；（3）求S△ABF与S△AEF的比值．24．（8分）如图，正方形OABC的面积是9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B、点P（m，n）在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F．（1）求B点坐标和k的值；（2）当P点的横坐标大于B点的横坐标，且S四边形AEPG＝时，求PA所在的直线方程；（3）求函数y＝m+n的最小值；（注：可使用如下平均值定理：若a＞0，b＞0，则a+b≥2，当且仅当a＝b时等号成立．）

2008-2009学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、＝＝，可化简；B、＝＝2，可化简；C、＝＝2，可化简；因此只有D符合最简二次根式的条件．故选：D．【点评】根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．2．（3分）一次比赛中，一位选手的得分为5、8、6、7、8、7、7，则这组数据的众数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据众数的定义求解．【解答】解：数据7出现了3次，出现次数最多，所以众数为7．故选：C．【点评】本题考查众数的意义．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．3．（3分）在下列直角坐标系中，反比例函数y＝﹣的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】根据反比例函数的图象性质：当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限，得出结果．【解答】解：反比例函数y＝﹣中，∵k＝﹣3＜0，∴图象位于二、四象限．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象的性质．当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．4．（3分）在▱ABCD中，有两个内角的度数比是1：2，则▱ABCD中较小的内角是（）A．45° B．60° C．90° D．120°【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，邻角互补，故该平行四边形的四个角的比值为1：2：1：2，所以可以计算出平行四边形的各个角的度数．【解答】解：根据平行四边形的相邻的两个内角互补知，设较小的内角的度数为X，则有：x+2x＝180°∴x＝60°，即较小的内角是60°故选：B．【点评】本题利用了平行四边形的性质，即平行四边形的对角相等，相邻的两个内角互补．5．（3分）把方程x（x+2）＝3（x﹣1）化成一般式ax2+bx+c＝0，则a、b、c的值分别是（）A．1，﹣1，3 B．1，1，3 C．1，5，﹣3 D．1，﹣1，﹣3【分析】先去括号，再移项、合并同类项，化为ax2+bx+c＝0的形式，再根据对应相等得到a、b、c的值．【解答】解：去括号得，x2+2x＝3x﹣3，移项得，x2﹣x+3＝0，所以a、b、c的值可以分别是1，﹣1，3．故选：A．【点评】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数），其中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．6．（3分）在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a：b：c＝3：4：5 B．a＝9，b＝40，c＝41 C．a＝11，b＝12，c＝13 D．a＝b＝5，c＝5【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵a：b：c＝3：4：5，∴设a＝3，则b＝4，c＝5，∴a2+b2＝32+42＝25，∵52＝25，∴a2+b2＝c2，∴此三角形是直角三角形，故本选项正确；B、∵a＝9，b＝40，c＝41，∴92+402＝1681＝412＝1681，∴此三角形是直角三角形，故本选项正确；C、∵a＝11，b＝12，c＝13，∴112+122＝265≠132＝169，∴此三角形不是直角三角形，故本选项错误；D、∵a＝b＝5，c＝5，∴52+52＝50＝（5）2，＝50，∴此三角形是直角三角形，故本选项正确．故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．7．（3分）若方程x2﹣kx＝k有两个相等的实根，则k的值是（）A．0 B．﹣4 C．4 D．0或﹣4【分析】先把方程化为一般形式：x2﹣kx﹣k＝0，由方程x2﹣kx＝k有两个相等的实根，得△＝k2﹣4×1×（﹣k）＝0，解k的方程即可．【解答】解：方程化为一般形式为：x2﹣kx﹣k＝0，∵方程x2﹣kx＝k有两个相等的实根，∴△＝k2﹣4×1×（﹣k）＝0，即k2+4k＝0，解得k＝0或﹣4．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．8．（3分）汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（）A．正方形 B．等腰梯形 C．菱形 D．矩形【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF．∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形．故选：C．【点评】此题考查了菱形的判定，平行四边形的面积公式以及平行四边形的判定与性质，利用了数形结合的数学思想，其中菱形的判定方法有：一组邻边相等的平行四边形为菱形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形；四条边相等的四边形为菱形，根据题意作出两条高AE和AF，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键．9．（3分）如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积是5，那么大正方形的边长应该是（）A． B． C．5 D．【分析】设正方形的边长为2X，则AB＝2X，BF＝X，根据正方形的性质得△BFW∽△AFB，从而可求得WF，BW，AS，从而可求得SW的长，则根据面积公式不难求得大正方形的边长．【解答】解：设正方形的边长为2X，则AB＝2X，BF＝X，由勾股定理得，AF＝X，由同角的余角相等，∵∠BWF＝∠ABF＝90°，∠BFW＝∠AFB，∴△BFW∽△AFB，∴BF：AF＝BW：AB＝WF：BF，得，WF＝X，BW＝X，同理，AS＝X，∴SW＝AF﹣AS﹣WF＝X∵阴影部分小正方形的面积是5∴（X）2＝5，得X＝∴AB＝5．故选：C．【点评】本题利用了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求解．10．（3分）由于＝﹣1，＝﹣，＝﹣，…，则（+++…+）（+1）＝（）A．2007 B．2008 C．2009 D．2010【分析】此题的实质是分母有理化，合并同类二次根式后，再按平方差公式计算．【解答】解：（+++…+）（+1）＝（﹣1+﹣+﹣+…+）（+1）＝（）（）＝2009﹣1＝2008．故选：B．【点评】主要考查二次根式的分母有理化．主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．二、填空题（共8小题，每空3分，满分30分）11．（3分）若有意义，则x的取值范围是x≥．【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．【解答】解：要是有意义，则2x﹣1≥0，解得x≥．故答案为：x≥．【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．12．（3分）在一次射击比赛中，甲、乙、丙、丁的平均数相同，而方差分别是8.7，6.8，9.1，7.3，则四人射击成绩最稳定的是乙．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．【解答】解：∵s丙2＞s甲2＞s丁2＞s乙2，∴乙的射击成绩最稳定，故答案为乙．【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．13．（3分）若A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣图象上两点，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系为y1＜y2（填“＜、＞、＝”）【分析】先根据反比例函数y＝﹣判断此函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0判断出A（x1，y1）、B（x2，y2）所在的象限，根据此函数的增减性即可解答．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣8＜0，∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0，∴A（x1，y1）、B（x2，y2）两点均位于第二象限，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．14．（6分）若关于x的方程3x2+mx+m﹣6＝0有一根是0，则m＝6．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义求解．把x＝0代入方程求出m的值．【解答】解：∵x＝0是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得m﹣6＝0，解此方程得到m＝6．【点评】本题逆用一元二次方程解的定义易得出m的值．15．（3分）等腰三角形的腰长为10cm，底边上的高是8cm，则其底边的长为12cm．【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解．【解答】解：如图，AB＝AC＝10cm，AD⊥BC，AD＝8cm∴BD＝BC＝＝6cm∴BC＝12cm．【点评】本题利用了：（1）等腰三角形的性质，（2）勾股定理求解．16．（6分）如图，分别以△ABC的两条边为边作平行四边形，所作的平行四边形有3个；平行四边形第四个顶点的坐标是（0，﹣4）、（﹣6，4），（6，4）．【分析】以三边中的两边为边作平行四边形，所以共有三种情况，共有三个第四顶点的坐标．【解答】解：以三角形两边为边，另一边则为对角线，则共有三种情况，即可作出三个平行四边形．①以AB、AC为边可作一平行四边形，第四个顶点的坐标为（0，﹣4）；②以CA、CB为边可作一平行四边形，第四个顶点的坐标为（﹣6，4）；③以BA、BC为边也可作一平行四边形，则第四顶点的坐标为（6，4）．故答案为：3，（0，﹣4）、（﹣6，4），（6，4）．【点评】本题主要考查平行四边形判定的问题，并与坐标相结合，能够熟练求解此类问题．17．（3分）下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为①③④（注：把你认为正确的命题序号都填上）【分析】根据正方形、平行四边形、菱形和矩形的判定，对选项一一分析，选择正确答案．【解答】解：①矩形的对角线互相平分且相等；故正确；②对角线相等的四边形是矩形，不能正确判定，故错误；③菱形的每一条对角线平分一组对角，这是菱形的一条重要性质，故正确；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故正确．故答案为：①③④．【点评】考查了菱形和矩形的判定方法．解决此题的关键是熟练掌握运用这些判定．18．（3分）形如：y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数，它的图象是一条抛物线．类比一元一次方程的解可以看成两条直线的交点的横坐标；则一元二次方程x2+x﹣3＝0的解可以看成抛物线y＝x2+x﹣3与直线y＝0（x轴）的交点的横坐标；也可以看成是抛物线y＝x2与直线y＝﹣x+3的交点的横坐标；也可以看成是抛物线y＝x2﹣3与直线y＝﹣x的交点的横坐标．【分析】一元二次方程x2+x﹣3＝0可变形为x2＝﹣x+3，或者x2﹣3＝﹣x，故一元二次方程x2+x﹣3＝0可以看成是抛物线y＝x2与直线y＝﹣x+3的交点的横坐标；也可以看成是抛物线y＝x2﹣3与直线y＝﹣x的交点的横坐标．【解答】解：依题意，一元二次方程x2+x﹣3＝0可以看成是抛物线y＝x2与直线y＝﹣x+3的交点的横坐标；也可以看成是抛物线y＝x2﹣3与直线y＝﹣x的交点的横坐标．故本题答案为：﹣x+3，x2﹣3．【点评】本题考查了用函数观点解一元二次方程的一般方法．关键是将方程转化为两个函数式，求两个函数的交点．三、解答题（共6小题，满分40分）19．（6分）计算：（1）+2（﹣）﹣•（2）（3+﹣4）÷．【分析】（1）先去括号，后将二次根式化为最简，再合并运算即可；（2）可以首先把括号内的化简，合并同类二次根式，然后相除．【解答】解：（1）原式＝2+2﹣2﹣2＝0；（2）（6+﹣2）÷4＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，注意熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．20．（6分）解下列方程（1）（x+1）（x﹣1）＝7（2）2x2﹣2x﹣1＝0【分析】（1）去括号，把方程化为：x2＝8，然后直接开平方法求解；（2）把a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1代入求根公式计算即可．【解答】解：（1）去括号，得x2＝8，两边开方得x＝±2，∴x1＝2，x2＝﹣2；（2）∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的求根公式：x＝（b2﹣4ac≥0）．21．（6分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝4，BC＝8，∠C＝60°，求AB的长．【分析】分别过点A，D，作AE⊥BC，DF⊥BC，由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，从而可求得CF的长，再根据直角三角形中30度所对的角是斜边的一半求得CD的长，即求得了AB的长．【解答】解：分别过点A，D作AE⊥BC，DF⊥BC．∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝4，BC＝8，∴AD＝EF＝4，BE＝CF＝（8﹣4）＝2，∵∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CD＝4，∵AB＝CD，∴AB＝4．【点评】此题主要考查等腰梯形的性质及含30度角的直角三角形的性质的综合运用．22．（6分）为了了解北京市民在“限塑令”后对白色污染垃圾袋的使用情况，随机对北京家庭一周内平均用垃圾袋的个数进行了抽样调查，根据有关的样本数据绘制出如下统计图表：（1）被抽样调查的家庭为多少户？（2）样本数据中，一周平均使用垃圾袋的中位数是多少？（3）东城区初二学生约有5500人，如果一个家庭只有一个孩子，请你根据样本家庭一周平均使用垃圾袋的平均数，估计东城区初二学生一周平均使用垃圾袋的总个数．【分析】（1）观察统计图，把调查家庭户数相加即可；（2）中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；（3）样本家庭一周平均使用垃圾袋的平均数×东城区初二学生人数即可．【解答】解：（1）调查的家庭户数为2+10+16+10+8+4＝50（户）；（2）数据总数为50，所以中位数为（8+8）÷2＝8；（3）（2×6+10×7+16×8+10×9+8×10+4×11）÷50×5500＝46640（个）．故答案为50户，8，46640个．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．23．（8分）已知如图，矩形ABCD的周长为28，AB＝6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于E、F，连接AF、CE、EF，且EF与AC相交于点O．（1）求AC的长；（2）求证：四边形AECF是菱形；（3）求S△ABF与S△AEF的比值．【分析】（1）矩形ABCD的周长为28，AB＝6，则可求得BC的值，再根据勾股定理求得AC的值；（2）要证四边形AFCE是菱形，只需通过定义证明四边相等即可．此题实际是对判定菱形的方法“对角形垂直平分的四边形为菱形”的证明；（3）因为AE＝FC，AO＝CO，OE＝OF，则可根据SSS证明△AOE≌△COF，所以有S△AEF＝S△ACF，再分别求得S△ABF与S△AEF的面积即可得到其比值．【解答】解：（1）∵ABCD是矩形∴AB＝DC，AD＝BC∵ABCD的周长为28，AB＝6∴AB+DC+AD+BC＝28∴BC＝8∴AC＝＝＝10；（2）∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠OAE＝∠OCF∵EF垂直平分AC∴AO