24.1.2垂直于弦的直径知识点

24.1.2垂直于弦的直径知识点24.1.2垂直于弦的直径问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？问题情境实践探究用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径所在的直线对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．活动一如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE思考（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：

AE=BE⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒活动二CAEBO.D想一想：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。CD为⊙O的直径CD⊥AB条件结论⌒⌒⌒⌒AE=BEAC=BCAD=BD推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．·OABCDE②CD⊥AB,由①CD是直径③AE=BE⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.可推得推论：EOABDCEABCDEOABDCEOABCEOCDABOBAED在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧.O课堂讨论根据已知条件进行推导：①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对劣弧（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。①⑤③④②①④③②⑤①③②④⑤①④⑤②③（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。①②③④⑤根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。注意要点①经过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧1.已知AB=10cm,以AB为直径作圆,那么在此圆上到AB的距离等于5的点共有()A.无数个B.1个C.2个D.4个C2.下列说法中正确的个数是（）①.直径是弦②.半圆是弧③.平分弦的直径垂直于弦④.圆是轴对称图形，对称轴是直径A.1个B.2个C.3个D.4个B练习1D3.下列命题中正确的是()A.弦的垂线平分弦所对的弧;B.平分弦的直径垂直于这条弦;C.过弦的中点的直线必过圆心;D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心;解得：R≈27．9（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2在图中如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．

8cm1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,

那么圆心O到弦AB的距离是

。2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是

。3．半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是

。4.在直径为20cm的⊙O中，∠AOB是60°那么AB的弦心距是（）

练习2ABOEABOEOABE5.已知P为内一点，且OP＝2cm，如果的半径是，则过P点的最长的弦等于

.最短的弦等于_________。⊙o⊙oOAPBNM6．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.5。弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为

.例.如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB=24cm，则截面上有油部分油面高CD=——————

半径、弦长、弓形的高、圆心到弦的距离知二求二8cmODCBA例：为改善市民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管截面如图所示，管内水面宽AB=8dm。①若水管截面半径为5dm，则污水的最大深度为_____dm。②若水深1dm，则水管截面半径为____dm.28.5弓形问题中：半径、弦长、弦心距、弓形高“知二求二”7。某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７.2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO.E小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO推论2. 圆的两条平行弦所夹的弧相等。MOABNCD练习一1。如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为____.最大值为____________.

352。已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。试说明：AC＝BD。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO

3。已知⊙O的直径是50cm，⊙O的两条平行弦AB=40cm，CD=48cm，求弦AB与CD之间的距离。

.AEBOCD20152525247.AEBOCDFEF有两解：15+7=22cm15-7=8cm练习二4。在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽AB=600mm，求油的最大深度.BAO600ø650DCED┌

600CD练习三5。如图，在圆O中，已知AC=BD，试说明：（1）OC=OD（2）AE=BF︵︵

6。已知P为内一点，且OP＝2cm，如果的半径是，那么过P点的最短的弦等于

.练习四如图，BC为⊙O直径，AD⊥