经济数学基础（第六版）（上册）课件 第10讲2.4函数的微分

经济数学基础辅导第10讲顾静相2.4函数的微分教学要求

理解微分的概念；

了解可导、可微与连续之间的关系；

掌握微分的运算法则．微分的概念

若给定函数

y=f(x)在点

x处可导，根据导数定义有

．由定理1.2知，

，其中

是当

x0时的无穷小量，上式可写作

．

（10.1）微分的概念

．

(10.1)(10.1)式表明函数的增量可以表示为两项之和.第一项

是

x

的线性函数，第二项

x，当

x0时是比

x高阶的无穷小量．因此，当

x很小时，我们称第一项

为

y的线性主部，并叫做函数

f(x)的微分．微分的概念

定义2.3设函数

y=f(x)在点

x0

处有导数，则称为y=f(x)在点

x0

处的微分，记作dy，即dy=f

(x0)

x，(10.2)此时，称

在点

处是可微的．微分的概念

定义2.3设函数

y=f(x)在点

x0

处有导数，则称为y=f(x)在点

x0

处的微分，记作dy，即dy=f

(x0)

x，(10.2)此时，称

在点

处是可微的．

函数

y=f(x)在任意点

x的微分，叫做函数的微分，记作dy=f

(x)

x．(10.3)微分的概念

函数

y=f(x)在任意点

x的微分，叫做函数的微分，记作dy=f

(x)

x．(10.3)

如果将自变量

x当作自己的函数

y=x则有dx=dy=(x)

x=

x，说明自变量的微分dx就等于它的增量

，于是函数的微分可以写成dy=f

(x)dx，(10.4)即

，(10.5)微分的概念也就是说，函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数，因此，导数又叫微商．

如果将自变量

x当作自己的函数

y=x则有dx=dy=(x)

x=

x，说明自变量的微分dx就等于它的增量

，于是函数的微分可以写成dy=f

(x)dx，(10.4)即

，(10.5)可导与可微的关系

如果函数

y=f(x)在点

x处可导，则

y=f(x)在点

x处可微；反之，如果

y=f(x)在点

x处可微，则

y=f(x)在点

x处可导．微分公式

求函数的微分只须求出函数的导数，然后再乘上自变量的dx即可．

由求导公式和求导运算法则，我们可以建立基本初等函数的微分公式和微分运算法则．微分公式

求函数的微分只须求出函数的导数，然后再乘上自变量的dx即可.

结合教材中的求导公式和运算法则，可以建立基本初等函数的微分公式和微分运算法则.2．

（

为任意实数）；3．

（a>0,a

1）；4．

；5．

（a>0,a

1）；⁞微分四则运算法则设

u(x)，v(x)都是可微函数，则1．

；2．

；

3．

；4．

．复合函数的微分法则

设

y=f(u)，u=

(x)，且函数

(x)

在点

x处可导，函数

f(u)在相应的点

u处可导，则以u

为中间变量的复合函数

y=f[

(x)]

的微分dy=f

(u)

(x)dx，(10.6)复合函数的微分法则

设

y=f(u)，u=

(x)，且函数

(x)

在点

x处可导，函数

f(u)在相应的点

u处可导，则以u

为中间变量的复合函数

y=f[

(x)]

的微分dy=f

(u)

(x)dx，(10.6)

由于

(x)dx=du，故

dy=f

(u)du，(10.7)注意到当

u是自变量时，函数

y=f(u)的微分dy也是(10.6)式的形式．

这一性质称为微分形式不变性．函数的微分例1求下列函数的微分：（1）

；（２）

．

函数的微分例1求下列函数的微分：（1）

；（２）

．

解（1）因为

所以

．

导数乘法法则

函数的微分例1求下列函数的微分：（1）

；（２）

．

解（1）因为

（2）因为，

所以

．

所以

．

导数乘法法则

导数除法法则

函数的微分例2设，求dy．

函数的微分例2设，求dy．

解将

看作中间变量

u，用微分(导数)公式

求之，即

，函数的微分例2设，求dy．

解将

看作中间变量

u，用微分(导数)公式求之，即

，微分公式函数的微分例3求

在点

x=2处的微分．

函数的微分例3求

在点

x=2处的微分．

解将

看作中间变量

u，用微分(导数)公式求之．因为函数的微分例3求

在点

x=2处的微分．

解将

看作中间变量

u，用微分(导数)公式求之．因为再将1+x2看作一个中间变量，用微分四则运算法则和微分公式求之，即函数的微分例3求

在点

x=2处的微分．

解将

看作中间变量

u，用微分公式6求之．因为再将1+x2看作一个中间变量，用微分四则运算法则和微分公式求之，即所以当

x=2时，

．

函数的微分例4设

y=y(x)是由方程

所确定的隐函数，求dy．

函数的微分例4设

y=y(x)是由方程

所确定的隐函数，求dy．

解对方程两端分别求微分，得

，