高考数学 3-1-2不等式性质的应用课后强化作业 新人教A版必修5

【成才之路】-学年高考数学3-1-2不等式性质的应用课后强化作业新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．设a＋b<0，且a>0，则()A．a2<－ab<b2 B．b2<－ab<a2C．a2<b2<－ab D．ab<b2<a2[答案]A[解析]∵a＋b<0，且a>0，∴0<a<－b，∴a2<－ab<b2.2．已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是()A．a2＞a＞－a2＞－a B．－a＞a2＞－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2 D．a2＞－a＞a＞－a2[答案]B[解析]∵a2＋a<0，∴0<a2<－a，∴0>－a2>a，∴a<－a2<a2<－a，故选B.[点评]可取特值检验，∵a2＋a<0，即a(a＋1)<0，令a＝－eq\f(1,2)，则a2＝eq\f(1,4)，－a2＝－eq\f(1,4)，－a＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)>eq\f(1,4)>－eq\f(1,4)>－eq\f(1,2)，即－a>a2>－a2>a，排除A、C、D，选B.3．已知|a|<1，则eq\f(1,a＋1)与1－a的大小关系为()A.eq\f(1,a＋1)<1－a B.eq\f(1,a＋1)>1－aC.eq\f(1,a＋1)≥1－a D.eq\f(1,a＋1)≤1－a[答案]C[解析]解法一：检验法：令a＝0，则eq\f(1,a＋1)＝1－a，排除A、B；令a＝eq\f(1,2)，则eq\f(1,a＋1)>1－a，排除D，故选C.解法二：∵|a|<1，∴1＋a>0，∴eq\f(1,1＋a)－(1－a)＝eq\f(a2,1＋a)≥0，∴eq\f(1,a＋1)≥1－a.4．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是()A.eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1) B．a＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b)C．a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) D.eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)[答案]C[解析]解法一：由a>b>0⇒0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)⇒a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)，故选C.解法二：(特值法)令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)，排除B.5．若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，给出下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]B[解析]∵eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，∴a＜0，b＜0，a＞b，故③错；∴ab＞0，∴a＋b<0<ab，故①成立；又0＞a＞b，∴|a|＜|b|.∴②错；∵eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝eq\f(b2＋a2,ab)＝eq\f(a－b2＋2ab,ab)＝eq\f(a－b2,ab)＋2且a－b＜0，ab＞0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2，∴④成立．∴①④正确．选B.6．如果a＞0，且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，那么()A．M＞N B．M＜NC．M＝N D．M、N的大小无法确定[答案]A[解析]M－N＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaeq\f(a3＋1,a2＋1)，若a>1，则a3>a2，∴eq\f(a3＋1,a2＋1)>1，∴logaeq\f(a3＋1,a2＋1)>0，∴M>N，若0<a<1，则0<a3<a2，∴0<a3＋1<a2＋1，∴0<eq\f(a3＋1,a2＋1)<1，∴logaeq\f(a3＋1,a2＋1)>0，∴M>N，故选A.二、填空题7．已知a＞b＞0，且c＞d＞0，则eq\r(\f(a,d))与eq\r(\f(b,c))的大小关系是________．[答案]eq\r(\f(a,d))＞eq\r(\f(b,c))[解析]∵c＞d＞0，∴eq\f(1,d)＞eq\f(1,c)＞0，∵a＞b＞0，∴eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)＞0，∴eq\r(\f(a,d))＞eq\r(\f(b,c)).8．若a、b、c、d均为实数，使不等式eq\f(a,b)>eq\f(c,d)>0和ad<bc都成立的一组值(a，b，c，d)是________(只要举出适合条件的一组值即可)．[答案](2,1，－1，－2)[解析]由eq\f(a,b)>eq\f(c,d)>0知，a、b同号，c、d同号，且eq\f(a,b)－eq\f(c,d)＝eq\f(ad－bc,bd)>0.由ad<bc，得ad－bc<0，所以bd<0.所以在取(a，b，c，d)时只需满足以下条件即可：①a、b同号，c、d同号，b、d异号；②ad<bc.令a>0，b>0，c<0，d<0，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，则d<eq\f(bc,a)＝－eq\f(1,2)，取d＝－2，则(2,1，－1，－2)满足要求．三、解答题9．如果30＜x＜42,16＜y＜24.分别求x＋y、x－2y及eq\f(x,y)的取值范围．[解析]46＜x＋y＜66；－48＜－2y＜－32，∴－18＜x－2y＜10；∵30<x<42，eq\f(1,24)＜eq\f(1,y)＜eq\f(1,16)，∴eq\f(30,24)＜eq\f(x,y)＜eq\f(42,16)，即eq\f(5,4)＜eq\f(x,y)＜eq\f(21,8).能力提升一、选择题1．若－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则α－β的取值范围是()A．(－π，π) B．(0，π)C．(－π，0) D．{0}[答案]C[解析]∵－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，又－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，∴－π<α－β<π，又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0.2．已知函数f(x)＝x3、x1、x2、x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．一定大于0 B．一定小于0C．等于0 D．正负都有可能[答案]B[解析]∵f(x)＝x3是单调递增函数，x1<－x2，x2<－x3，x3<－x1，∴f(x1)<f(－x2)，f(x2)<f(－x3)，f(x3)<f(－x1)，又∵f(x)为奇函数，∴f(x1)<－f(x2)，f(x2)<－f(x3)，f(x3)<－f(x1)，∴f(x1)＋f(x2)<0，f(x2)＋f(x3)<0，f(x3)＋f(x1)<0∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.二、填空题3．若规定eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc(a、b∈R，a≠b)，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b,ba))与eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－a,bb))的大小关系为________．[答案]eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b,ba))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－a,bb))[解析]∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b,ba))＝a2＋b2，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－a,bb))＝ab－(－ab)＝2ab，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b,ba))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－a,bb))＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.∵a≠b，∴(a－b)2>0，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b,ba))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－a,bb)).4．若a>b>c，则eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)________eq\f(3,a－c)(填“>”、“＝”、“<”)．[答案]>[解析]∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>，a－c>0.∴eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)－eq\f(3,a－c)＝eq\f(a－b＋b－ca－c－3a－bb－c,a－bb－ca－c)＝eq\f([a－b＋b－c]2－3a－bb－c,a－bb－ca－c)＝eq\f([a－b－b－c]2＋a－bb－c,a－bb－ca－c)>0.∴eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)>eq\f(3,a－c).三、解答题5．已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比较an＋bn与an－1b＋abn－1的大小．[解析](an＋bn)－(an－1b＋abn－1)＝an－1(a－b)＋bn－1(b－a)＝(a－b)(an－1－bn－1)，(1)当a＞b＞0时，an－1＞bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，(2)当0＜a＜b时，an－1＜bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，∴对任意a＞0，b＞0，a≠b，总有(a－b)(an－1－bn－1)＞0.∴an＋bn＞an－1b＋abn－1.6．某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．[解析]设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋eq\f(3,4)x·(n－1)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn，y2＝eq\f(4,5)xn，y1－y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn－eq\f(4,5)xn＝eq\f(1,4)x－eq\f(1,20)xn＝eq\f(1,4)x(1－eq\f(n,5))．当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1<y2；当n<5时，y1>y2.因此，当此单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．7．设a＞0，a≠1，t＞0比较eq\f(1,2)logat与logaeq\f(t＋1,2)的大小．[解析]eq\f(1,2)logat＝logaeq\r(t)，∵eq\f(t＋1,2)－eq\r(t)＝eq\f(t－2\r(t)＋1,2)＝eq\f(\r(t)－12,2)，∴当t＝1时，eq\f(t＋1,2)＝eq\r(t)；当t＞0且t≠1时.eq\f(t＋1,2)＞eq\r(t).∵当a＞1时，y＝logax是增函数，∴当t＞0且t≠1时，logaeq\f(t＋1,2)＞logaeq\r(t)＝eq\f(1,2)logat.当t＝1时，logaeq\f(t＋1,2)＝eq\f(1,2)logat.∵当0＜a＜1时，y＝logax是减函数，∴当t＞0且t≠1时，logaeq\f(1＋t,2)＜logaeq\r(t)＝eq\f(1,2)logat，当t＝1时，logaeq\f(t＋1,2)＝eq\f(1,2)logat.综上知，当t＝1时，logaeq\f(1＋t,2)＝eq\f(1,2)logat；当t＞0且t≠1时，若a＞1则logaeq\f(1＋t,2)＞eq\f(1,2)logat；若0＜a＜1则logaeq\f(1＋t,2)＜eq\f(1,2)logat.8．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．[分析]用f(－1)和f(1)表示出f(－2)．再结合不等式的性质可求．[解析]∵f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，∴f(－2)＝4a