专题37 等时圆模型理解及应用 高一物理新教材物理40个经典专题精讲精练（人教版必修第一册）（解析版）

专题37等时圆模型及应用拓展1、等时圆规律（1）小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。如图1所示（2）小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。如图2所示（3）沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d）自由落体的时间，满足：（R为圆的半径）图1图22、规律的证明设有一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d，如下图所示。根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝，位移为s＝，所以运动时间为t0＝＝eq\r(\f(2dsinα,gsinα))＝eq\r(\f(2d,g))。即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。如果质点不是从圆的最高点下滑或不是到达圆的最低点时，我们应怎样处理此类问题呢？图3图4[例题]如图3所示，AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D位于同一圆周上，O点为圆周的圆心，A点不是圆的最高点，每根杆上都套着一个光滑小滑环（图中未画出），三个滑环分别从A处从静止开始释放，用依次表示滑环到达B、C、D所用的时间，则三个时间的关系？解析：A不在圆的最高点，前面的结论直接用是不行的。可以采用如下的方法解决：如图4所示，过点A作竖直线交AB的垂直平分线于点O，以O1为圆心、O1A为半径画圆交AB于B、分别交AC、AD的延长线于C1、D1。r.在圆ABC1D1中用前面的结论可知，所以t1>t2。不可以根据CC1<DD1，得到t2<t3，因为小环进入虚线部分时初速度不一样，以后运动的加速度也不一样。要判定t2与t3的关系，可以模仿前面方法再次构造新圆用结论可知t2>t3。一、单选题1.（2019·泉州第十六中学高三月考）如右图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点.竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心.已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点；c球由C点自由下落到M点.则（）A.a球最先到达M点 B.b球最后到达M点C.c球最后到达M点 D.b球和c球都可能最先到达M点【答案】B【解析】设圆轨道半径为R，a小球做匀加速直线运动，加速度设为a1=gsin45°=，设时间为t1，由运动学分式可得联立可得t1=同理可求得B的加速度大小，设滑到低端时间为t2，由运动学公式可求得联立可得:t2=C球做自由落体运动，设运动时间为t3，由运动学公式可得比较以上数据可知C最先落到M点，A次之，B最后落在M点。2.（2017·江西高安中学高三月考）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中A、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，A、M分别为此圆与y、x轴的切点。B点在y轴上且∠BMO=60°，O′为圆心。现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，所用时间分别为tA、tB、tC，则tA、tB、tC大小关系是（）A.tB＞tC＞tAB.tB=tC＞tAC.tA=tB=tCD.tB＞tA=tC【答案】D【解析】设⊙O′的半径为R，根据几何知识可知：OA=OM=R由勾股定理得：即小球沿AM运动的位移为：由牛顿第二定律得：解得：由:得小球沿AM运动的时间为：根据几何知识可知：即小球沿BM运动的位移为：由牛顿第二定律得：解得：小球沿BM运动的时间：设CM与x轴正向的夹角为θ，由几何关系可知：即小球沿CM运动的位移为：由牛顿第二定律得：解得：小球沿CM运动的时间为：则tA、tB、tC大小关系是：tB＞tA=tC，D正确，ABC错误。3.（2018·黑龙江实验中学高三月考）如图，光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的两邻边和对角线，AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a、b、d，a、b、d三小球的质量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a、b、d三小球在各杆上滑行的时间之比为（）A.1∶1∶1B.5∶4∶3C.5∶8∶9D.1∶2∶3【答案】A【解析】设AC=5L，BC=4L，DC=3L,a、b、d三小球在各杆上滑行的时间分别为t1、t由几何知识得，BC的倾角为α=53°，DC的倾角为β=37°，如图所示：a球为自由下过程，a1由5L=12g根据牛顿第二定律得：沿BC下滑的小球，加速度为a由位移时间公式得：4L=12a2沿DC下滑的小球，加速度为a由位移时间公式得：3L=12a3t32，得t4.（2019·普宁市第二中学高三月考）如图所示，在倾角为=30º的斜面上方的A点处悬挂一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上.木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α角的大小为（）A.α=10ºB.α=15ºC.α=30ºD.α=60º【答案】B【解析】如图所示：在竖直线AC上取一点O，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A点，且与斜面相切与D点，根据等时圆的结论可知：A点滑到圆上任一点的时间都相等，所以由A点滑到D点所用时间比由A到达斜面上其他各点时间都短，将木板下端B点与D点重合即可，而角COD为θ，所以，故选B。5.（2019·全国高一专题练习）如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心.每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环从O点无初速释放，一个滑环从d点无初速释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、ad到达a、b所用的时间，则下列关系不正确的是（）A.t1＝t2 B.t2＞t3C.t1＜t2 D.t1＝t3【答案】A【解析】设ob与竖直方向的夹角为θ，由几何关系得oa与竖直方向的夹角为，环沿oa下滑时的加速度大小为，沿ob下滑时的加速度大小为a2=gcosθ，设ob长为L，由几何关系得oa长为，根据运动学公式有，，得，，由此得到t1＜t2；由于，同理可得到

，因此t1=t3，t2＞t3，故A错误，B、C、D正确.本题选不正确的是，故选A.6.（2019·安徽高三）如图所示，相同质量的物块从底边长相同、倾角不同的固定斜面最高处同时由静止释放且下滑到底端，下面说法正确的是（）A.若物块与斜面之间的动摩擦因数相同，倾角大的斜面上的物块损失的机械能大B.若斜面光滑，两物块一定同时运动到斜面底端C.若斜面光滑，倾角大的斜面上的物块一定后运动到斜面底端D.若物块到达底面时的动能相同，物块与倾角大的斜面间的动摩擦因数大【答案】D【解析】设斜面倾角为θ，底边长为s，则有：物体损失的机械能等于摩擦力所做的功，摩擦力做功W=μmgcosθ×scosθ=μmgs；损失的机械能与夹角无关；所以两物体损失的机械能相同；故A错误；若斜面光滑，则物体下滑的加速度a=gsinθ，根据scosθ=12at2可得t=4sgsin2θ可知，θ角不同，t不同，当θ=457.（2019·河北辛集中学高三）如图所示，斜面AD和BD与水平方向的夹角分别为60°和30°，两斜面的A端和B端在同一竖直面上，现让两个可视为质点的物块分别从两斜面的顶端同时由静止下滑，结果两物块同时滑到斜面底端D，设两物块与AD、BD面间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，则μ1：μ2为（）A.1:3 B.3:1 C.:1 D.1:【答案】B【解析】设斜面底部长为L，AD与水平面的夹角为，BD与水平面的夹角为，物体在AD面上运动时的加速度为物体在BD面上运动时的加速度为物体在AD面上运动的时间物体在BD面上运动的时间由题意可知联立以上各式解得故选B.8.（2019·石家庄市复兴中学高三专题练习）如图所示，O点是竖直圆环的顶点，Oc是圆环直径，Oa和Ob是两条不同倾角的弦.在Oc、Oa、Ob线上置三个光滑的斜面，一个质点从O自由释放，先后分别沿Oc、Oa、Ob下滑，到达a、b、c三点的时间（）A.最短的是a点B.最短的是b点C.最长的是c点D.时间都相同【答案】D【解析】设半径为R，斜面与竖直方向夹角为θ，则物体运动的位移为x=2Rcosθ，物体运动的加速度a=F合m=mgcosθm=gcosθ，根据x=12at2，则t=4Rg，与θ9.（2020·河北衡水中学高三专题练习）如图所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物先后沿两个斜槽从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为（）A.2∶1 B.1∶1C.∶1 D.1∶【答案】B【解析】对物体受力分析可知当重物从点下落时，重物受重力，支持力，在沿斜面方向的加速度大小是，则有，解得，由于，根据公式可得；当重物从点下滑时，在沿斜面方向的加速度大小是是，则有，解得，由于，根据公式可得，所以，故选项B正确，A、C、D错误。10.（2017·辽宁省实验中学分校高二期末）倾角为30°的长斜坡上有C、O、B三点，CO=OB=10m，在O点竖直的固定一长10m的直杆AO。A端与C点、坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如右图所示，则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分别为（取g=10m/s2）（）A.2s和2sB.和2sC.和4sD.4s和【答案】A【解析】由几何知识确定出AC与AB的倾角和位移，由牛顿第二定律求出两球的加速度a，由位移公式求解时间.由几何知识得，AC的倾角为，位移，AC的倾角为，位移，沿AC下滑的小球，加速度为，由得，沿AB下滑的小球，加速度为，由得，故A正确.11.（2019·上海市南洋模范中学高三期中）如图所示，一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面AB，右侧面是曲面AC，已知AB和AC的长度相同.两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间（）A.p小球先到 B.q小球先到C.两小球同时到 D.无法确定【答案】B【解析】由于物块在斜面AB上是匀加速直线运动，加速度的大小不变，在曲面AC上的加速度是先大后小，它们的速度与时间图像如图所示，欲使两线与时间轴所围成的面积相等，曲面AC所对应的时间要短一些，故B是正确的。12.（2017·山东高三）游乐场中，从离水面一定高度的A处到水面B处有两条长度相同的光滑轨道，如图所示。甲、乙两名小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，则两名小孩在全部滑行过程中的速率v随时间t变化的下列图象，正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根据牛顿第二定律可知甲的加速度逐渐减小，乙的加速度逐渐增加，而v-t图线的斜率等于加速度；两物体的位移相同，图线与坐标轴围成的面积相等，故选项B正确.13.（2020·河北汇文二中高一期末）如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O的水平线已知一小球从M点出发，以初速沿管道MPN运动，到N点的速率为，所需的时间为；若该小球仍由M点以相同初速出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为，所需时间为则（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】由于小球在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，到达N点时速率相等，即有v1=v2.小球沿管道MPN运动时，根据机械能守恒定律可知在运动过程中小球的速率小于初速率v0，而小球沿管道MQN运动，小球的速率大于初速率v0，所以小球沿管道MPN运动的平均速率小于沿管道MQN运动的平均速率，而两个过程的路程相等，所以有t1＞t2.故A正确.二、多选题14.（2018·曲靖市第二中学高一期中）如图所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中OA杆竖直放置，OB杆与OD杆等长，OC杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，四个环分别从O点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上所用的时间依次为t1、t2、t3、t4.下列关系正确的是（）A.t1>t2 B.t1＝t3 C.t2＝t4 D.t2<t4【答案】ABD【解析】以OA为直径画圆若设杆与竖直方向的夹角为θ，对小滑环受力分析，由牛顿第二定律可得，解得，由几何关系，小滑环沿弦下滑的位移；据，解得，即从圆上最高点沿任一条光滑弦滑到底所用的时间相同.则沿OA和OC滑到斜面的时间相同，；OB不是一条完整的弦，时间最短；OD的长度超过一条弦，时间最长；综上.故ABD三项正确，C项错误.15.（2017·浙江高三月考）如图所示，圆柱形仓库内有三块长度不同的木板ao、bo、co，其下端都固定于底部圆心o，上端搁在仓库