2024年山东省青岛市中考数学试卷

第1页（共1页）2024年山东省青岛市中考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）1．（3分）“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达60000立方米．将60000用科学记数法表示为（）A．6×103 B．60×103 C．0.6×105 D．6×1042．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（）A．a B．b C．c D．d4．（3分）如图所示的正六棱柱，其俯视图是（）A． B． C． D．5．（3分）下列计算正确的是（）A．a+2a＝3a2 B．a5÷a2＝a3 C．（﹣a）2•a3＝﹣a5 D．（2a3）2＝2a66．（3分）如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，得到四边形A'B'C'D'，则点A的对应点A'的坐标是（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（1，2）7．（3分）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N（）A．90° B．99° C．108° D．135°8．（3分）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径OA＝3，＝，连接AD，则扇形AOB的面积为（）A．π B．π C．π D．π9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则过点M（c，2a﹣b）2﹣4ac，a﹣b+c）的直线一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）10．（3分）计算：+（）﹣1﹣2sin45°＝．11．（3分）图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地2024年5月27日至31日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2s乙2.（填“＞”，“＝”，“＜”）．12．（3分）如图，菱形ABCD中，BC＝10，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，连接EO，则EO＝．13．（3分）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为m．14．（3分）如图，△ABC中，BA＝BC，AC于点D，E．过点E作半圆O的切线，交BC的延长线于点N．若ON＝10，cos∠ABC＝．15．（3分）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，最少需要块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要块．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。16．（4分）已知：如图，四边形ABCD，E为DC边上一点．求作：四边形内一点P，使EP∥BC，且点P到AB四、解答题（本大题共9小题，共71分）17．（9分）（1）解不等式组：；（2）先化简（﹣2）÷，再从﹣2，0，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．18．（6分）某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示），学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为°；（2）该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆；（3）根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点．研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分），80，80，83，85，90，90；乙班10名学生的成绩（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，88．根据以上数据判断班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”）19．（6分）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，则小明胜；若和小于4；若和等于4，则重复上述过程．（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是；（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．20．（6分）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．方案名称滑梯安全改造测量工具测角仪、皮尺等方案设计如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE＝1m（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上）测量数据【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD＝1.8m；【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD＝42°；【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD＝32°.解决问题调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）（参考数据：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈）21．（8分）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元．（1）求航空和航海模型的单价；（2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型22．（8分）如图，点A1，A2，A3，…，An，An+1为反比例函数y＝（k＞0）图象上的点，其横坐标依次为1，2，3，…，n1，A2，A3，…，An作x轴的垂线，垂足分别为点H1，H2，H3，…，Hn；过点A2作A2B1⊥A1H1于点B1，过点A3作A3B2⊥A2H2于点B2，…，过点An+1作An+1Bn⊥AnHn于点Bn．记△A1B1A2的面积为S1，△A2B2A3的面积为S2，…，△AnBnAn+1的面积为Sn．（1）当k＝2时，点B1的坐标为，S1+S2＝，S1+S2+S3＝，S1+S2+S3+⋯+Sn＝（用含n的代数式表示）；（2）当k＝3时，S1+S2+S3+⋯+Sn＝（用含n的代数式表示）．23．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由的值．24．（10分）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：A樱桃园：第x天的单价、销售量与x的关系如表：单价（元/盒）销售量（盒）第1天5020第2天4830第3天4640第4天4450………第x天10x+10第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．B樱桃园：第x天的利润y2（元）与x的关系可以近似地用二次函数y2＝ax2+bx+25刻画，其图象如图：（1）A樱桃园第x天的单价是元/盒（用含x的代数式表示）；（2）求A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式；（利润＝单价×销售量﹣固定成本）（3）①y2与x的函数关系式是；②求第几天两处樱桃园的利润之和（即y1+y2）最大，最大是多少元？（4）这15天中，共有天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大．25．（10分）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，Rt△EDF中，DE＝DF＝6cm，边BC与FD重合，△EDF从图①所示位置出发，沿射线NC方向匀速运动；同时，动点O从点A出发，速度为2cm/s．EF与BC交于点P，连接OP（s）（0＜t≤）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段OE的垂直平分线上？（2）设四边形PCEO的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）如图③，过点O作OQ⊥AB，交AC于点Q，连接HB．是否存在某一时刻t，使PO∥BH？若存在；若不存在，请说明理由．

2024年山东省青岛市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）1．（3分）“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达60000立方米．将60000用科学记数法表示为（）A．6×103 B．60×103 C．0.6×105 D．6×104【解答】解：60000＝6×104．故选：D．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A不是轴对称图形，但它是中心对称图形；B是轴对称图形，但它不是中心对称图形；C不是轴对称图形，但它是中心对称图形；D既是轴对称图形，也是中心对称图形；故选：D．3．（3分）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（）A．a B．b C．c D．d【解答】解：从数轴上看，离原点距离最近的点是实数c对应的点，那么这四个实数中绝对值最小的是c，故选：C．4．（3分）如图所示的正六棱柱，其俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：根据图示的正六棱柱可得其俯视图是，故选：C．5．（3分）下列计算正确的是（）A．a+2a＝3a2 B．a5÷a2＝a3 C．（﹣a）2•a3＝﹣a5 D．（2a3）2＝2a6【解答】解：a+2a＝3a，则A不符合题意；a4÷a2＝a3，则B符合题意；（﹣a）7•a3＝a5，则C不符合题意；（2a3）2＝3a6，则D不符合题意；故选：B．6．（3分）如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，得到四边形A'B'C'D'，则点A的对应点A'的坐标是（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（1，2）【解答】解：由正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，得E（2，﹣1），由再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转90°，得A'（﹣4，﹣2）．故选：A．7．（3分）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N（）A．90° B．99° C．108° D．135°【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CDE＝∠E＝＝108°，∵四边形CDFG为正方形，∴∠CDF＝90°，∠CFD＝45°，∴∠FDE＝108°﹣90°＝18°，∠DFM＝180°﹣45°＝135°，∴∠FME＝360°﹣18°﹣135°﹣108°＝99°，故选：B．8．（3分）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径OA＝3，＝，连接AD，则扇形AOB的面积为（）A．π B．π C．π D．π【解答】解：如图，连接AC，则∠DAC＝∠DBC＝25°，∵，∴∠ADB＝∠DAC＝25°，∴∠AOB＝2∠ADB＝50°，∵OA＝3，∴扇形AOB的面积为＝，故选：A．9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则过点M（c，2a﹣b）2﹣4ac，a﹣b+c）的直线一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵函数图像开口向上，与y轴交于坐正半轴∴a＞0，c＞0，b4﹣4ac＜0，∵对称轴为x＝，∴b＝2a＞5，∴2a﹣b＝0，∴M（c，3a﹣b）在x轴正半轴上，当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，则N（b7﹣4ac，a﹣b+c）在第二象限，∴过点M（c，2a﹣b）和点N（b4﹣4ac，a﹣b+c）的直线一定不经过第三象限．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）10．（3分）计算：+（）﹣1﹣2sin45°＝2+3．【解答】解：原式＝3+7﹣2×＝3+2﹣＝2+3，故答案为：2+3．11．（3分）图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地2024年5月27日至31日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2＜s乙2.（填“＞”，“＝”，“＜”）．【解答】解：甲地：平均数：，s甲2＝＝4.2；乙地：平均数：，s乙6.＝＝20.8；则s甲2＜s乙5；故答案为：＜．12．（3分）如图，菱形ABCD中，BC＝10，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，连接EO，则EO＝．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，AB＝BC＝CD＝DA＝10，∵S菱形ABCD＝AC•BD＝60，∴AC•BD＝120，∴BO•OC＝30，∵BO6+CO2＝BC2＝100，∴（BO+OC）4﹣2BO•CO＝100，∴BO+CO＝4（负值已舍去），∴BO＝3﹣OC，∴BO2+CO2＝104，∴（4﹣OC）2+CO3＝100，∴CO＝，CO＝3，∵AE⊥BC，AO＝CO，∴OE＝CO＝，故答案为：．13．（3分）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为2m．【解答】解：设小路宽为xm，根据题意得：（16﹣2x）（12﹣2x）＝×12×16，解得x＝2或x＝12（舍去），∴小路宽为2m；故答案为：2．14．（3分）如图，△ABC中，BA＝BC，AC于点D，E．过点E作半圆O的切线，交BC的延长线于点N．若ON＝10，cos∠ABC＝6．【解答】解：连接OE，如图：∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠OCE，∴∠OEC＝∠BAC，∴AB∥OE，∴∠ABC＝∠EOC，∵cos∠ABC＝，∴cos∠EOC＝，∵MN是⊙O的切线，∴∠OEN＝90°，∴＝，∵ON＝10，∴OE＝6，∴OC＝OE＝6；故答案为：3．15．（3分）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，最少需要12块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要144块．【解答】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为3的长方形，则6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，则需图②的个数：6×5＝12（个）；同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4，7，用4×3＝12个这样的长方体拼成一个长，宽，2，2的长方体，宽，高为12，12的正方体．故答案为：12；144．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。16．（4分）已知：如图，四边形ABCD，E为DC边上一点．求作：四边形内一点P，使EP∥BC，且点P到AB【解答】解：作∠DAB的平分线AM，以E为顶点，EN交AM于P点P即为所求．四、解答题（本大题共9小题，共71分）17．（9分）（1）解不等式组：；（2）先化简（﹣2）÷，再从﹣2，0，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．【解答】解：（1）解第一个不等式得：x≤3，解第二个不等式得：x＞﹣3，故原不等式组的解集为﹣5＜x≤3；（2）原式＝÷＝•＝；∵a≠0，（a+1）（a﹣8）≠0，∴a≠0，a≠±6，∴a＝﹣2或3，当a＝﹣3时，原式＝；当a＝3时，原式＝＝．18．（6分）某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示），学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为54°；（2）该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆；（3）根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点．研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分），80，80，83，85，90，90；乙班10名学生的成绩（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，88．根据以上数据判断甲班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”）【解答】解：（1）总人数：52÷26%＝200（人），D组人数：200﹣30﹣52﹣38＝80；如图：；A所对应的圆心角的度数为：；故答案为：54；（2）去海洋馆：（人），即该校约有640名学生想去海洋馆；（3）甲班10名学生的成绩：75，80，82，85，90，95，平均数：，众数：90，则甲班的平均数，中位数，则甲班的竞赛成绩更好．故答案为：甲．19．（6分）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，则小明胜；若和小于4；若和等于4，则重复上述过程．（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是；（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．【解答】解：（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到1，2，∴摸到“2”的概率是；故答案为：；（2）游戏公平，理由如下：根据题意列表如下：173183423423426由表可知：共有9种等可能的情况数，其中两次摸到的数字之和大于4的有3种，∴小明获胜的概率是＝，小红获胜的概率为＝，∴两人获胜的概率相等，∴游戏公平．20．（6分）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．方案名称滑梯安全改造测量工具测角仪、皮尺等方案设计如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE＝1m（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上）测量数据【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD＝1.8m；【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD＝42°；【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD＝32°.解决问题调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）（参考数据：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈）【解答】解：如图，过点E作EH⊥AG于H，则四边形CDHE为矩形，∴EH＝CD＝1.8m，DH＝CE＝6m，在Rt△CDF中，∠CFD＝42°，则DF＝≈＝2（m），∴HF＝DF﹣DH＝2﹣6＝1（m），在Rt△EHG中，∠EGH＝32°，则HG＝≈＝7.88（m），∴FG＝HG﹣HF＝1.88（m），答：调整后的滑梯会多占约为1.88m的一段地面．21．（8分）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元．（1）求航空和航海模型的单价；（2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型【解答】解：（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为（x﹣35）元，根据题意得：＝×，解得x＝125，经检验，x＝125是方程的解，∴x﹣35＝125﹣35＝90，∴航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元；（2）设购买航空模型m个，学校花费W元，∵航空模型数量不少于航海模型数量的，∴m≥（120﹣m），解得m≥40，根据题意得：W＝125×0.8m+90（120﹣m）＝10m+10800，∵10＞7，∴当m＝40时，W取最小值，此时120﹣m＝120﹣40＝80，∴购买航空模型40个，购买航海模型80个．22．（8分）如图，点A1，A2，A3，…，An，An+1为反比例函数y＝（k＞0）图象上的点，其横坐标依次为1，2，3，…，n1，A2，A3，…，An作x轴的垂线，垂足分别为点H1，H2，H3，…，Hn；过点A2作A2B1⊥A1H1于点B1，过点A3作A3B2⊥A2H2于点B2，…，过点An+1作An+1Bn⊥AnHn于点Bn．记△A1B1A2的面积为S1，△A2B2A3的面积为S2，…，△AnBnAn+1的面积为Sn．（1）当k＝2时，点B1的坐标为（1，1），S1+S2＝，S1+S2+S3＝，S1+S2+S3+⋯+Sn＝（用含n的代数式表示）；（2）当k＝3时，S1+S2+S3+⋯+Sn＝（用含n的代数式表示）．【解答】解：（1）当k＝2时，y＝＝，当x＝8时，y＝2，y＝1，∴A5（1，2），A4（2，1），∴B5H1＝1，∴B7＝（1，1），同理：，……，∴，，，……，∴＝；＝，……S1+S2+S6+⋯+Sn＝＝；故答案为：（8，1），，，；（2）当k＝3时，y＝，∴，∴S1+S7+S3+……+Sn＝＝．故答案为：．23．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由的值．【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：当∠ABE等于30度时，四边形ABCD是矩形∵AB＝BO，BE⊥AO，∴∠ABO＝2∠ABE＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AO＝BO，∠BAO＝60°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴tan∠BAC＝tan60°＝＝．24．（10分）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：A樱桃园：第x天的单价、销售量与x的关系如表：单价（元/盒）销售量（盒）第1天5020第2天4830第3天4640第4天4450………第x天10x+10第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．B樱桃园：第x天的利润y2（元）与x的关系可以近似地用二次函数y2＝ax2+bx+25刻画，其图象如图：（1）A樱桃园第x天的单价是（﹣2x+52）元/盒（用含x的代数式表示）；（2）求A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式；（利润＝单价×销售量﹣固定成本）（3）①y2与x的函数关系式是y2＝﹣30x2+500x+25；②求第几天两处樱桃园的利润之和（即y1+y2）最大，最大是多少元？（4）这15天中，共有4天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大．【解答】解：（1）设第x天的单价m元与x满足的一次函数关系式为：m＝kx+b，由题中表格可知：当x＝1时，m＝50，m＝48；∴，解得，∴m＝﹣2x+52，故答案为：﹣2x+52；（2）根据题意可得：y8＝（﹣2x+52）（10x+10）