2022新教材苏教版高中数学必修第二册第11章解三角形 课时练习题及章末综合检测含答案解析

第11章解三角形

11.1余弦定理...........................................................1

11.2正弦定理...........................................................5

11.3余弦定理、正弦定理的应用...........................................10

第11章测评.............................................................17

11.1余弦定理

1.在ZkABC中，若〃=旧力=3，=60°，则<?=（）

A.1B.2C.4D.6

踊C

|解析［由余弦定理，得a2=b2+C2-2/?CCOSA,13=9+（r-3c,/-3。-4=0,解得c=4（负值舍去）.

2.在A45C中，若4贝|j疝C的值为（）

A.iB.①。立D.3

2223

踊c

廨就由余弦定理，得cosC=a2—2'c2=工.因为CW（0,7i）,所以C二%inL@.故选C.

'----12ab232

3.（多选）在锐角三角形ABC中力=l,c=2,则。的值不可以是（）

A.1B.2C.3D.4

悟家|ACD

|解析|若a为最大边，则Z?2+c2-«2>0,^P/<5,，〃<花,若c为最大边，则标+庐天乂）,即〃2>3,

・*a>V3,故A/5.

4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度，那么新三角形的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C钝角三角形D.由增加的长度确定

制A

|解析［设直角三角形的三条边长分别为〃力《,且足+从二c2,三条边均增加同样的长度三

边长度变为a+"U?+m,c+"z,此时最长边为c+肛设该边所对角为。，则由余弦定理，得cos

6_(a+m)2+(b+m)2-(c+m)27n2+2m(a+d-c)

.因为m>0,«+力-。>0,所以COS。>0,所以。为锐角，其

2(a+m)(b+m)2(a+m)(b+m)

他各角必为锐角，故新三角形是锐角三角形.

5.在ZkABC中,AB=3,BC=g/C=4,则边AC上的高为（）

A.—B.—C.-D.3V3

222

^M|B

国附在AABC中,A8=3,8C=WX4C=4,由余弦定理，得cosA二丝笠著=桨手

・・・A=60°.・••边AC上的高力=48sinA=3sin60°;型.故选B.

2

6.在A4BC中,〃=3力=5,0=7,则其最大内角为.

I解析I由题意，得。>力>4,则角C最大.丁COSC=":be=3+：：=士且0<C<7t,,C=§.

7.在△ABC中，己知B=C,26=75凡则cosA=.

22

|解析|由B=C,得b=c=^-a.由余弦定理，得coSA-：：—=Q。)、,)°=1

1----122bc2号聋a3

8.在A45C中，己知Q/=4M+C=2瓦且最大内角为120°,则该三角形的周长为;最

小角的余弦值为.

喜］30if

|解析|由a・b=4,a+c=2b,得所以a>b,a>c^?a是最长边，所以角A最大.由余

弦定理，得cos120°="-4)+®-8)-a,负箪得4=14(〃=4舍去)，所以Z?=10,c=6,故△A5C的周长

2(a-4)(a-8)

为30.最小内角为C,cos。=空生泞=H

2X14X102X14X1014

9.在A48C中，角A,8,C的对边分别为a,6,c.若(〃2+/-。2)匕11B=V5ac,则角B的度数

为______.

答案160。或120°

|解析|由余弦定理，得2accosBtanB=V5〃c,整理，得sin8二景所以5=60°或120°.

10.在△ABC中，若t7=8,Z?=7,cos。=称,则最大角的余弦值是(）

14

AB.--cD.--

-l6-78

蠲C

由余弦定理，得»=。2+户2"cosC=82+72-2x8x7x2=9,所以c=3,故。最大，所以最大

14

72+32-82_1

角的余弦值为cos4="+：2x7x3-7

11.（2020吉林长春高一检测）在ZUBC中,若以守>0,则“Bq）

2ab

A.一定是锐角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形

D.是锐角或直角三角形

空C

廨就由°2七2产>0得cosc>0,所以cosC<0,从而。为钝角，因此△A8C一定是钝角三角形.

1--------12ab

n.^ABC中，若从二。。，则B的取值范围是)

A•(喝B.[M

C.M]D.)

答案A

(a-c/+ac

|解析卜osB=

2ac

，察+鸿，

V0<B<7T,ABG(0^].

13.在△ABC中,B。为/ABC的平分线,48=3,8。二2工。二四,贝1」sinZABD=

圈

丽|因为B。为NABC的平分线，所以NABOW/ABC由余弦定理，得cosN

.“AB2+BC2-AC232+22-(V7)21

ABC-----------=---------=-

2ABBC2X3X2

所以cosZABC=1-2sin2Z4BD=|,

所以sinNABDg

14.如图，在△ABC中,已知点。在边8c上KOL4C于点A,sinN8AC=¥HB=3VL4O=3,

则BD的长为

答案K

因为sinZBAC=—ADLAC,

3

所以sin（：+4B4D）=乎,

所以cos/B出手.

在△曲£）中，由余弦定理，得

BD=y/AB24-AD2-2ABADcos/-BAD

=J(3烟2+32.2x3&X3X乎=V5.

15.若24+1,4,24-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.

国因为2〃+1/,2〃-1是三角形的三边长，

a+2a-l>2a+1,

所以Q>0,解得。>2.设最长边2。+1所对的角为0,

2a-l>0,

则。>90°,所以COSJ+(2Q-1)2.(2Q+1)2=a(a-8)<0解得工<「<8.

2a(2a-l)2a(2a-l)’2

综上可知实数4的取值范围是(2,8).

16.在△ABC中,BC="1C="且4力是方程f-2恁+2=0的两根,2cos(A+8)=1.

⑴求角C的大小；

(2)求A8的长.

|^|(1)*.*cosC=cosE-(A+8)[=-cos(A+8)=-：,且。£(0,兀),；.C=y.

(2)・・Z力是方程f-2岳+2=0的两根，

.(a+b=2V5,

,kab=2,

：.AB2=b2+a2-2abcosC=(a+b)2-ab=10,

：.AB=V10.

11.2正弦定理

1.在△ABC中，已知。二8,8=60°,C=75°,则b等于()

A.4V6B.4>/5C.4V3D.y

踊A

除耐・・・A+8+C=180°,又8=60°,C=75°,

AA=1800-B-C=45°.

由正弦定理，一=b

sinRs\nBy

、，

，口,asinB8sin60°Ar7LA

得力"-r=《k=45后故选A.

2.在A48C中，若。=3力二火43则角C的大小为（）

A：B;C：D二

6432

这D

|解析|由正弦定理=，—，得sin。=竺=v3sin?=2■因为。>人所以A>8,所以8二二,所

1--------1sinAsmBa326

3.在&48。中/8=2,3。=5,"8。的面积为4,则85乙48。等于()

A.|B.±|C.-1D.±|

^M|B

廨就由S=yBBCsinNABC,得4=^x2x5sinN4BC,解得sinN43C=g,从而cosNABC=土(

4.在AABC中，。=2A,COS4二,则£的值为()

4a

13

A.2B.-C.-D.1

22

踊C

丽I由正弦定理，得£=垩=曰马=2sinXcos4=2cosA=2xW=2.

1----------1asin/1sin.4sin442

某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已

知这种草皮的价格为。元/n£则购买这种草皮需要()

A.450。元B.225。元

C150。元D.300。元

踊C

健丽由已知可求得草皮的面积为S《x20x30sin150°=150(0?),则购买草皮的费用为

150。元.

6.在A45C中"sinA,则AABC一定是()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

^M]B

廨福由已知，得3=2二所以sin5=1,所以8=90。，故AASC一定是直角三角形.

7.在AABC中,B=45°,C=60°,c=l,则最短边的长等于.

健丽由三角形内角和定理，得A=75°.由三角形的边角关系，得B所对的边匕为最短边.

由正弦定理导=高，得公黑

8.在A48C中,出?=60,SMBC=15百,AABC的外接圆半径为百，则边c的长为.

答案3

|解析|「SAABC二弁sinC=15A/3,«Z?=60,

AsinC二"故c=2RsinC=3.

2

9.在ZkABC中，己知A=60°,c=，.

⑴求sinC的值；

⑵当a=l时，求A4BC的面积.

解⑴在AABC中，因为A=60°,c=2所以由正弦定理，得sinC=—=-x—=—.

7a7214

（2）0为。=7,所以c=1x7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得72=庐+32-2必3乂去解得

Z?=8或b=・5（舍去）.

所以A48C的面积S=1^csinA=1x8x3x^=6>/3.

10.在△4BC中,A=60°/=4/5力②则B等于（）

A.45°或135°B.1350

C.45°D.以上答案都不对

踊C

朝・・・加8=*=券=今

1----1a4V32

，B=45°或135°.又心瓦・・・5=45°，故选C.

a+b+c

11.在△ABC中4=60°,。=瓜,贝IJ等于（）

sin4+sinF+sinC

A8遍平C265/3

A.——B---D.2V3

33

答案B

a+b+cc八aV132回

由a=2RsinA,b=2Rs\n5,c=2RsinC得------------------=2n=-----=--------

sin/l+sinB+sinCsirMsin60c3,

12.在AABC中，若34cosC=4csinA,4A5C的面积S=10/=4,则a的值为（）

A23

ATT常D.g

答案B

底责由34cosC=4csinA,得就=康.又由正弦定理，得爵=三?

33

・・・tanC=0・・・sinC=-.

1•3

又S=-absinC=10,Z?=4,sinC=-,

・・・a=g,故选B.

13.在△ABC中，若67=V2,/?=2,sin8+cosB=四，则角A的大小为.

宣30。

廨洞由sinB+cosB=或，得1+sin28=2,所以sin28=1,所以8=45,.由正弦定理，得sin

A;竺詈=国75°=：因为4所以A<5,所以A=30°.

14.在△ABC中，已知«2tan8二从tanH,试判断△A3C的形状.

假由已知，得后陋二户列上又由正弦定理得加24列更二si「B.也1,即列f=sinB

11,

_COSBCOSi4cosBcos/lCOSBC0S4

所以sinAcosA=sinBcos8,即sin2A=sin2B.所以2A=28或2A+28=180°，所以

A=3或A+3=90°，即△4BC是等腰三角形或直角三角形.

15.己知ZUBC的外接圆半径为R,内角所对的边分别为。力，c,且满足2/?(sin2A-

sin2Q=(y/2a-b)sin民求△ABC面积的最大值.

国由正弦定理，得〃2_/=(夜”份"

即^+b2-(r=V2ab.

由余弦定理，得cosC=贮察=曼=名

（）

VCG0,7T,/.C=74.

.-.S=>inC4x2/?sinA.2/?sinB4

=V2/?2sinAsinfi=V2/?2sin>4（^

A

cosA+-2sin

=/?2（sinAcosA+sin2A）

=R-（jsm-2r4AH.--1--C-O--S-2-4XJ

士停sin（24：）+,.

・・・A£（0,））.・・.呜W（一,沁

Asin（24-^）W（考,l].・・.S40,等叫

・•・ZkABC面积的最大值为当担R2

16.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为〃力了,且满足csinA=acosC.

(1)求角C的大小；

⑵求VIsinA-cos(B+力的最大值,并求取得最大值时角A,8的大小.

假(1)由正弦定理及已知条件得sinCsinA=sinAcosC.

因为0<A<7t,所以sinA>0,

从而sinC=cosC,则C=2.

4

⑵由⑴知，B哼4

于是，5sinAcos(9+：)=VSsinAcos(nA)

=V3sin4+cosA=2sin(4+：).

因为0<4<拳所以卜A+：<詈

从而当A+S=也即A与时,2sin(4+］取得最大值2.

综上所述,J5sinA-cos(B+：)的最大值为2,此时A吟8二工.

17.在AABC中是边3C上的点,A。平分NB4OA8。的面积是的面积的2倍.

⑴求黑;

(2)若1QC考求BD和AC的长.

1BADsinNBA。,

SAADC=|AC-ADsinZCAD.

因为5“5。=25沙。。,/胡。=/。£>,所以48=24。.

由正弦定理，得等=*=/

sinCAB2

(2)因为S&ABD:SAADC=BD：DC,

所以BD=2DC=a.

在AABD和A4OC中，由余弦京理知,

222

AB=AD+BD-2ADBDcosZADBi

AC2=AD2+DC2-2ADDCCOSZADC.

故AB2+2AC2=3AD1+BD1+2DC2=6.

由(1)次口AB=2AC,所以AC=1.

11.3余弦定理、正弦定理的应用

1.如图，在河岸一侧取A,8两点,在河岸另一侧取一点C,若"二12m,借助测角仪测得N

C4B=45°,ZCBA=60°，则。处河面宽C。为（）

A.6(3+V3)mB.6(3-V3)m

C,6(3+2>/3)mD.6(3-2V3)m

BD

解析由《sin600sin(90--60°)=与CD,=AB=AD+BD=

CDAD

CD

lsin45。sin(90°-45。)UD=

号）CO=I2=CO=6（3・V5）m,故选B.

2.如图Q,C,B三点在地面同一直线上QOo,从CQ两点测得点A的仰角分别是

£,a（av£）,则点4离地面的高度A3等于（）

cos(a-/?)

Casinacos/?Dacosasin/?

'sin(/?-a)♦cos(a-/?)

鹿A

庭困在A4DC中,NOAC=£-a

由正弦定理，得

sin(/?-a)sina

•A二_asina

..人〜34

・・・AB二ACsin夕若署

3.一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8&nmile,

之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达8处，此时又测得灯塔S在它的北偏东

75°的方向，则此船的航速是()

A.8(V6+V2)nmile/hB.8(V6-V2)nmile/h

C.16(V6+V2)nmile/hD.16(V6—V2)nmile/h

踊D

庭责由题意，得在ZiSAB中,NBAS=30°,NSB4=180°-75°=105°,ZBSA=45°.

由正弦定理，得SAAB

sinl050sin456

即8-二9

sinl05°sin450'

解得AB=8（连一鱼），

故此船的航速为更浮©=16（遍-V2）（nmile/h）.

2

4.如图所示，位于A处的信息中心获悉，在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船

遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20nmile的。处

的乙船，现乙船朝北偏东0的方向即沿直线前往3处救援，则cos9等于（）

B.叵

14

^35/21「421

C-ZTD./

时B

国责在型8。中,48=404。=20,/34。=120°.

由余弦定理，得8c2=4#+AC2-2ABAC・COS120°=2800,所以8。=20夕.

由正弦定理，得sinZACB=^rsmZBAC=—.

BC7

由NR4C=120°,得NACB为锐角，故cosNACB二手.故cos6>=cos(Z

ACB+3O0)=cosZACBcos300-sinZACBsin30°弯.

5.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处,然后朝南偏西60°方向航行3海

里到达C处，若A处与。处的距离为V3海里，则%的值为.

霹K或2V3

底附在△ABC中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2ABBCCOSB,

即f+9-2式・3cos30°=(V3)2,

即f-3岳+6=0,

解得x=2V5或x=y/3.

6.已知甲船在岛B的正南方A处，8=10nmile,甲船以4nmile/h的速度向正北方向的岛

8航行,同时乙船自岛B出发以6nmile/h的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、乙两

船距离最近时，它们所航行的时间是h.

就

廨洞如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为th,距离为snmile,此时甲船到达。处，

则甲船距离5岛(10-4f)nmile,乙船距离8岛6/nmile,所以由余弦定理，得cos

120°=吗：：常哈52,化简得$2=28尸-20什100,所以当六战时,卡取最小值，即当

甲、乙两船距离最近时，它们所航行的时间是三h.

14

7.缉私巡逻艇在一小岛A南偏西50°的方向，距小岛A12海里的8处，发现隐藏在小岛

A边上的一走私船正开始向小岛A北偏西10°方向行驶,测得其速度为每小时10海里,

问巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后截获该走私船?(参考数

据:sin380-0.62)

凰如图所示所在射线即走私船航行路线，假设巡逻艇在C处检获走私船，巡逻艇的速

度为每小时x海里，则BC=2x4C=20.

依题意NR4C=180°-50°-10°=120°,

由余弦定理，得=A4+AC^ZAaACcos120°=122+202・2xl2x20x(・J=784,所以

8028,

因为所以x=14.

又由正弦定理，得sinNABC二"空/竺=与£々0.62.所以/ABO38。.

而如图所示的RSAD8中,乙48。=40°.所以NEBC=90°-38°-40°=12°.即巡逻

艇用每小时14海里的速度向北偏东12°的方向航行.

8.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CQ的顶端C相对于山坡的斜

度为15°，向山顶前进100m到达8处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若。。二50

m,山坡的坡角为仇则cos8=(

A.—B.V3-1

2

C.2-V3D.—

2

■B

丽|在ZLABC中，由正弦定理，得

8C=等喏=喘泮*^5。（乃-巧（m）.在ABCD中，由正弦定理，得sinZ

遍-物

8Csin“8D_50(sin45°=V3-1.

由题图知cos。=sin/AOE■二sinNBOC=V5-l,故选B.

9.（2021福建期中）如图，为了测量8,C两点间的距离，选取同一平面上AQ两点，已知N

ADC=90°,ZA=60°/8=2,8。=2遍,。。二的后,则8。的长为（）

A.4V3

C.6V5

|^M|A

^§在443。中,NA=60°,AB=2、8O=2VS,

由正弦定理•

sinz.ADBsinzjf

得sin/A小弓泮斗

因为/BDC=90°・NADB,

所以cosNBOC=sinNAOB二空

4

在△BCD中QC=4V5,8O=2通，

由余弦定理，得

BC2=fiD2+DC2-2BD•DCcosZBDC

=(2V6)2+(4V3)2-2x2V6x4V3x—

4

=48,

所以BCM®

故选A.

10.

B

(2020江苏高一期末)如图，我方炮兵阵地位于A处，两移动观察所分别设在CQ两处.已

知△ACD为正三角形.当目标出现在点8时，测得BC=1千米千米.

(1)若测得NO8C=g,求AABC的面积;

⑵若我方炮火的最远射程为4千米，试问目标8是否在我方炮火射程范围内?

假(1)在△BCD中,由余弦定理得CD'BC+BA-ZBDBCCGSNDBC,

.*.CZ)2=l+4-2=3.

*:BD2=CD2+BC2,

・・"叫，

・•・S^nc=^AGBCsin/ACB

=-XV3xlxsin(2+”=—.

2234

(2)设NCBD=a,/CDB=。,在bBCD中,由余弦定理得CD2=5-4cosa,

由正弦定理得COsin夕=sina.

在AAB。中，

AB1=Bb1+AD1-2BDADcos

=9-4cosa-2ADcos/?+2V3ADsin°

=9-4cosa-2ADy/1-sin2p+2V3sina

=9-4cosa-2x//4D2-sin2a+2V3sina

=9-4cosa-2(2-cosa)+2V3sina

=5+4sinJ?

W9,

当且仅当时,A8取到最大值3,

・・・3<4,・,・目标B在我方炮火射程范围内.

11.如图4,8,CQ都在同一个铅垂面内（与水平面垂直的平面）,艮力为海岛上两座灯塔的

塔顶.测量船于A处测得点8和点。的仰角分别为75°,30°,于C处测得点8和点。

的仰角均为60°,AC=1km,求点BQ间的距离.

概方法一在"CO中,NAQC=60°-ZDAC=60°-30°=30°.由正弦定理，得

力Csinl20°

AD=

sin300

在△ABC中,N4BC=75°-60°=15°,N4CB=60°,

由正弦定理，得鬻一=专渔.在△A08中,NB4)=180°-75°-30°=75°,

由余弦定理，

得BDZAB?+4。2-2484。(：05750=

/3V2+V6\23V2+V6厂o

(——-——)+3-2x——-——xV5cos75。

3国n

2

即点B,D间的距离为号出km.

方法二如图，记AD与BC的交点为M.

由外角定理，得NCD4=N6(T-ND4C=60°-30°=30°,所以AC=QC.又易知N

MCD=ZMCA=60°，所以AAMC丝△OMC,

所以M为A。的中点，所以BA=BD.

4Csin60°3A/2+V6

又AB二:

sinl502

所以瓦）=越毡,

2

所以点B,D间的距离为吟速km.

第11章测评

（时间:120分钟满分:150分）

一、选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

l.^ABC中，角A,B,C的对边分别是。力,c,若。：。：c=4：3：2,则2s叱诬）

sin2c

AA-3

7

D・T

答案D

.由题意含=黑鬻=塞、因为〃"：‘二4：3：2,设所伙63g=2上由

余弦定理可得cos。=啜亲/则2sini4-sinB(8-3)fc=J.故选D.

sin2c4X决

2.在直角梯形46CO中,ABC=90。46=28。=2co，贝ijcosZDAC=()

A2V5V5

A.——BR

5Tc呼

踊c

底责如图所示，不妨设8C=CO=1，则AB=2,过点。作OE_LA氏垂足为点E.

B

易知四边形BCDE是正方形，则BE=CD=1,

所以AE二A8W

在RtAADE中/。=，4E2+DE2=々，在RtAABC中力。-〃勿+BC?=遥，

在△AC。中，由余弦定理，得cosNO4c=任黑萨=蓝其=嚓.故选C.

3若列丝=?=芷，则三角形ABC是（）

abc

A.等边三角形

B.有一内角是30°的直角三角形

C,等腰直角三角形

D.有一内角是30°的等腰三角形

踊C

|解析|因为^^=a与所以acosB=Z>sin4,所以由正弦定理得sinAcosB=sin石sinA,又sin

AM,所以cosB=sin8,所以8=45°.同理045°,故A=90°.所以三角形ABC是等腰直

角三角形.

4.（2021浙江杭州上城校级期中）在△ABC中，若A=105°,8=45°,6=2近，则c=（）

A.—B.l

2

C.V2D.2

踊D

底丽在AABC中,・・・A=105°,8=45°力=2或，

AC=1800-A-B=30°.

,bsinC2V2X1

..c=——=-L=2・

sinBv2

2

故选D.

5.

如图，一船自西向东匀速航行，上午1（）时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的

加处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为（）

A.2V6海勤时

B.4V6海

C.8V6海fi/W

D.l6n海里洞

gSjc

底面由题意PM=64海里,NMPN=120；在APMN中，由正弦定理，得

MN二第3竺二32①海里，所以船的航行速度为三匹二8遍海里/H寸.故选C.

sinzMNP14-10

6.在中，若bsin2A+V2asin8=06=应（?,则£的值为（）

a

A.1B.—C.—D.—

357

ggc

|解析|因为bsin24+&〃sinB=0,

所以sinBsin2A+V2sinAsinB=0,

即2sinBsinAcosA+V^sinAsin8=0.

由于sinBsinA#）,所以cosA二母,因为

0cA〈兀，所以A二科，又力二0c,

4

由余弦定理可得a2=b2+c2-2cbcosA=2C2+C2+2C2=5C2,

所以£=匹.故选C.

Q5

7.一游客在A处望见在正北方向有一塔氏在北偏西45°方向的C处有一寺庙，此游客骑

车向西行1km后到达。处,这时塔和寺庙分别在游客的北偏东30°和北偏西150方向,

则塔8与寺庙C的距离为（）

A.2kmB.V3km

C.V2kmD.lkm

鹿C

履前由题可得N3D4=90°-30°=60°,在RsABO中4)=1,所以在"CQ

中工。=1,24。。=1050,/OAC=45°,所以NOCA=30°,

ADs\nZ.ADCA/6+^2

所以由正弦定理，得AC二

sinzDC/l-2-,

在AABC中，由余弦定理，得BC2=AC2+AB2-2ACABCOS45°=巴型+3-2x亚%x

42

V3x曰二2,所以8c=&.故选C.

8.如图，某建筑物的高度BC=300m,一架无人机。上的仪器观测到建筑物顶部。的仰角

为15°,地面某处A的俯角为45°,且NBAC=60°,则此无人机距离地面的高度P。为

()

A.100mB.200m

C.300mD.100m

制B

除责根据题意，得在R3A5C中,23AC=60°,BC=300m,所以AC=焉［=等二200百

V

m.

在AACQ中,NAQC=450+15°=60°,ZQAC=180°-45°-60°=75°，所以N

2CA=180°-ZAQC-ZQAC=45°.

由正弦定理阀品=嬴源？

解得Ag=200^X^=20()72m.

在RSAPQ中『Q二AQsin45°=200m.故选B.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分洪20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题

目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在"BC中，角A,8,C所对的边分别为。力,c,下列结论正确的是()

A.a2=br+C2-2/?CCOSA

BasinB=bsinA

C.a=bcosC+ccosB

D.acosB+bcosA=sinC

答案|ABC

麻祠在A中，由余弦定理得『二层+d・2bccosA,故A正确;

在B中,由正弦定理得3=b

sinB1

asinB=bsinA,故B正确;

在C中，

由余弦定理得

a2+b2-c2a2+c2-b2

右边二Z;x+CX

2ab2ac

整理,得右边二a,左边二右边，故C正确;

在D中,由余弦定理得

------+队-------

acosB+bcosA=a><2ac2bc=c/sinC,

故D错误.故选ABC.

10.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A.b=104=45°,C=70°

B.Z?=45,C=48,B=60°

C.a=14,Z?=16,4=45°

Da=7,b=54=80°

|^M|BC

廨洞选项B满足csin60°v0<c,选项C满足bsin45°v〃v。,所以B,C有两解;对于选项

A,可求3=180°-A-C=65°，三角般有-解;对于选项D,由sin8二也竺，且〃<凡可得B为

a

锐角，只有一解,所以三角形只有一解.故选BC.

11.（2020山东高三模拟）在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若8二28,c=3,A+3C=兀,

则下列结论正确的是（）

A.cosC=—B.sinB=-

33

C.a=3D.SMBC=V2

答案AD

丽因为A+3C=兀，所以3=2C,根据正弦定理可得鉴=高，即2V3sinC=6sinCeosC,

因为sinC#),故cosC=^,sinC=y,sinB=sin2C=2sinCeosC=^2+b2-2abcosC,化

简得〃2-4。+3=0,解得〃=3,或.若。=3,此时4=。二2,8=2,不满足题意，故

42

a=l.S^ABc=^cibs\nC=|xlx2V3xy=鱼.故选AD.

12.在△ABC中，角ABC所对的边分别为。力,c,且5+份：(a+c)：(Hc)=9：10：I,则下

列结论正确的是()

A.sinA：sinB：sinC=4：5：6

B.A48C是钝角三角形

C.A48C的最大内角是最小内角的2倍

D.若c=6,则0BC外接圆半径为苧

|答案|ACD

|解析|m+b):(a+c)•(b+c)=9I10：11,可设Q+Z?=9f,〃+c=10f,Z?+c=l"，>0,解得

a=4f,b=5f,c=6i,可得sinA:sin3：sinC=a:b:c=4:5:6,故A正确;其中c为最大

边,COSC=a+b,C=1"+25’-36'=2>0,即C为锐角，故B错误;其中。为最小边，由COS

2ab2-4t-5t8

b2+c2-a225t2+36t2-16t23十/a...-9.1小、一r

A4=-----=------------=一，可得cos2A=2COS2/4-1=2X—-1=-=cosC.由2A,C£(0,兀)，可

2bc2-5t-6t4168

得2A=C,故C正确;若c=6,则2R二肃=冷=瑞，所以△AB。外接圆半径为"，故D正

确.故选ACD.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分

13.在△48C中,a=l,sinA二圣sinC二|,贝！］c=.

答案|34

朝由正弦定理，得。=鬻=苓=3位.

10

14.在△ABC中,〃=3力=4,c=6,贝1JbccosA+accosB+abcosC的值是

隆祠因为cosA二9箸，

所以hccosA^C^+c2-^2).

同理,accos^=玄标+上从)，

abcos。=加2+户/)

所以hccosA+accosB+abcosC=1(^2+Z?2+C2)=y.

15.为了研究问题方便，有时将余弦定理写成苏-2McosC+/=d,利用这个结构解决如下

问题:若三个正实数x,y,z,满足x2+v/+户9/+户+22=16,22+〃+/=25,则

xy+yz+zx=.

福80

朝设ZiABC的角A,8,C的对边分别为a,b,c,

在^ABC内取点。，使得/A08=NB0C=NA0C二手，

［殳OA=x,OB=y,OC=z,

由余弦定理得廿二f•与cosNAOB+^f2+孙+9=9,所以c=3.

同理可得。=4力=5.因为/十^二店,所以NABC=90°.

△ABC的面积为S^ABC=^IC=6.

又因为SMBC=SAAOB+SABOC+SMOC

12TT,12n,12n

=3盯iSn-+3yzsm—+-zxsin—

rx

二?(xy+yz+zx)=6,所以xy+yz+zx=Sy/3.

16.我国古代数学家刘徽在其《海岛算经》中给出了著名的望海岛问题及二次测望方

法广今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步,令后表与前表参相直.从前表却行一百

二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合.从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰,

亦与表末参合.问岛高及去表各几何?''这一方法领先印度500多年，领先欧洲1300多年.

其大意为:测量望海岛PQ的高度及离岸距离,在海岸边立两根等高的标杆

A8Cr)(PQH6,CO共面，均垂直于地面)，使目测点£与尸,8共线,目测点F与PQ共线，测

出AE.CFAC即可求出岛高和距离（如图）.若则

PQ=,EQ=.

丽设/AEB=a,/CFD=。,

则tana=^,tan0吟

在△「£：尸中PE_EF

'sin£sin(a-0)'

EFsin0dsinp

得PE=

sin(a-/?)sin(a-py

dsinasin/?

所以PQ=PEsina-

sin(a-。)

_dsinasinp

sinacos/?-cosasin/J

_dtanatan/?_d为_dr

tana-tan/?b-a

「八cldcosasinl?dcosasin/?

EQ=PEcosa=­：----=------------

sin(a-p)sinacos/?-cosasin/?

dtanS_d•石_da

""一'r・‘—・1.

tana-tan/?--b-a

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)在A4BC中，内角A,8,C所对的边分别为。力,c,且asin8+l=bsinA+2cosC.

⑴求角。的大小；

(2)若〃=2/2+62=2(?,求AABC的面积.

1）由正弦定理，得ab

siMsinB

6rsinB=bsinA.

又〃sinB+l=Z?sinA+2cosC,

2cosC=l,cosC=1.

又0＜。＜兀,＜c..

(2)由余弦定理，得c2=a2+b2-ah,

•・・。=2々2+。2=2/,

,・.4+/=2(4+/-2份,解得b=2.

ShABC=^cibsinC=1x2x2xsin；=y/3.

18.(12分)(2020山东)在①“c=V5,②csinA=3,③c=V5b这三个条件中任选一个，补充在下

面的问题中，若问题中的三角形存在，求c的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题:是否存在△"(7,它的内角A,B,C的对边分别为a,瓦4且sin4=V3sin

氏O：_________?

6

阚由c=?和余弦定理，得

11/F="

—62ab2

由sinA=V3sinB及正弦定理，得a=V3b.

于是受震=号,由此可得b=c.

2V30，2

方案一:选条件①.

由①解得a=\/3,b=c=i.

因此，选条件①时，问题中的三角形存在，此时c=1.

方案二:选条件②.

因为b=c,所以B=C=I

由A+8+C=7t,得人=成—^=Y.

由②csinA=3,即csiny=3,

所以c=b=2y/3,a=6.

因此，选条件②时，问题中的三角形存在，此时C=2A/5.

方案三:选条件③.

由③c=V5b,与b=c矛盾.

因此，选条件③时，问题中的三角形不存在.

19.(12分)要测量对岸两点AB之间的距离，选取相距200m的C,D两点,并测得N

4DC=105°,N8DC=15°,N8CQ=120°