高中数学经典高考难题集锦(解析版)(一)

2015年10月18日姚杰的高中数学组卷

选择题(共11小题)

1.(2014・湖南)若0<xi<x2<l,则()

xxxx

A.e2-ei>lnx2-InxiB.e2-ei<lnx2-Inxi

xxxx

C.X2ei>xie2D.X2ei<xie2

2.(2005•天津)若函数f(x)=loga(x3-ax)(a>0,awl)在区间(一0)内单调递

增，则a的取值范围是()

A.1)B.,1)C,+8)D.(1,4)

4444

4.(2008•天津)设a>l,若对于任意的xE[a,2a],都有y£|a,a?]满足方程logax+logay=3,

这时a的取值集合为()

A.{a|l<a<2}B.{a|a>2}C.{a|2<a<3}D.{2,3}

5.（2005•山东）OVaVl,下列不等式一定成立的是（）

A.|log(i+a>(1-a)|+|log(i-a)(1+a)|>2；

B.|log<i+a)(1-a)|<|log(I-a)(1+a)I；

C.|log<i+a)(1-a)+log(1.a)(1+a)|<|log(l+a)(1-a)|+|log(l-a)(1+a)I；

D.Ilog(1+a)(1-a)-log(l-a)(1+a)I>|log(1+a)(1-a)I-Ilog(I-a)(1+a)I

6.(2005•天津)设f7(x)是函数f(x)=工(ax-ar)(a>l)的反函数，则使(x)

2

>1成立的x的取值范围为()

/-]2-12-1

A.(-——=.,+8)B.(-8，-a5——£)c.(-a——a)D.[a,+8)

2a2a2a

7.(2004•天津)函数尸3x2-i(_!<x<0)的反函数是()

A1+logxB

-y=73(x>j)-y=-A/i+iog3x

D

C7=^1+10§3»-y=-^1+logjX《〈xV)

8.(2004•江苏)设k>l,f(x)=k(x-1)(xeR).在平面直角坐标系xOy中，函数y=f

(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f-(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个

函数的图象交于P点.已知四边形OAPB的面积是3,则k等于()

A.3B.卫C.WD.国

235

9.(2006•天津)已知函数y=f(x)的图象与函数y二a'(a>0且awl)的图象关于直线y二x

对称，记g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1].若y=g(x)在区间[1,2]上是增函数，则

实数a的取值范围是()

A.[2,+8)B.(0,1)U(1,2)C.[1,1)D.(0,―]

10.(2011・湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减

少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素钠137的衰变过程中，其含量M(单位：太

贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)=MO230.其中Mo为t=0时钠137

的含量.已知t=30时，艳137含量的变化率是-10In2(太贝克/年)，则M(60)=()

A.5太贝克B.751n2太贝克C.1501n2太贝克D.150太贝克

11.(2014•湖南)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p,第二年的增长率

为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()

A号B.(P+D齐)一屋.屈D."I)(q+i)7

二.填空题(共12小题)

logjX,x>1,

12.(2013•北京)函数f(x)=\2的值域为

x<l

13.(2011•湖北)里氏震级M的计算公式为：M=lgA-lgAo,其中A是测震仪记录的地震

曲线的最大振幅，Ao是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振

幅是1000,此时标准地震的振幅Ao为0.001,则此次地震的震级为级；9级地

震的最大的振幅是5级地震最大振幅的倍.

x*2+l,x>0

14.(2007•上海)函数尸12的反函数是_____________

x<0

X

15.(2006•江苏)不等式log2(x+^+6)43的解集为.

16.(2005•北京)设函数f(x)=2X,对于任意的xi,X2(xi/X2),有下列命题

„„、f(X,)-f(x2)、

①f(X1+X2)=f(XI)«f(X2);②f(X1・X2)=f(XI)+f(X2);③--------------------------------------->0；

X1-x2

@f(之手)IGP；(.其中正确的命题序号是

17.(2004・广东)函数£鼠)=111(表元-1)(x>0)的反函数fr(x)=.

18.(2011秋•岳阳楼区校级期末)已知0<a<l,0<b<l,如果a1°gb'x-3)<1；那么

a

X的取值范围为.

19.(2005•天津)设f(x)=lg-^三，贝Uf(-)+f(2)的定义域为.

2-x2x

20.(2008・天津)设a>l,若仅有一个常数c使得对于任意的xe[a,2a],都有ye[a,a2]

满足方程logax+logay=c,这时a的取值的集合为.

21.(2002•上海)已知函数y=f(x)(定义域为D,值域为A)有反函数丫=/1(x),则方

程f(x)=0有解x=a,且f(x)>x(xGD)的充要条件是y=fT(x)满足.

22.(2013•上海)对区间I上有定义的函数g(x),记g(I)={y|y=g(x),x£l).已知定义

域为[0,3]的函数y=f(x)有反函数丫=垢1(x),且fl([0,1函=[1,2),f((2,4])

=[0,1).若方程f(x)-x=0有解xo,贝!Jxo=.

23.(2004•湖南)若直线y=2a与函数丫=胪-1|(a>0且awl)的图象有两个公共点，则a

的取值范围是.

三.解答题(共7小题)

24.(2014秋•沙河口区校级期中)21、设a>0,a卉1,t>0,比较jlogat与1。卑

的大小，并证明你的结论.

25.解不等式lg(x-l)<0.

X

26.(2006・重庆)已知定义域为R的函数f(x)=一号些是奇函数.

2x+1+a

(I)求a,b的值；

(□)若对任意的t6R,不等式f(t2-2t)+f⑵2_k)<0恒成立，求k的取值范围.

27.如果正实数a,b满足aZb11.且a<l,证明a=b.

28.(2011•上海模拟)已知n为自然数，实数a>l,解关于x的不等式

T1—(-2)n

log^x-41ogx+1210g/---+n(-2)nlogx>------------log,(x2"a)

aazaaaJa

29.(2010•荔湾区校级模拟)f(x)=怆1+2*+…+(nT)%一,其中a是实数，n

n

是任意自然数且*2.

(I)如果f(x)当x€(-°°,1］时有意义，求a的取值范围；

(口)如果岭(0,1］,证明2f(x)<f(2x)当XHO时成立.

30.(2010•四川)设f(x)=/aX,a>0且a/),g(x)是f(x)的反函数.

1-ax

(I)设关于x的方程求log——-——---------(x)在区间［2,6］上有实数解,

a(x2-l)(7-x)

求t的取值范围；

no—n—二

<n)当2=©,e为自然对数的底数)时，证明：£g(k)>7n;

宾242n(n+1)

1n

(ID)当O<av工时，试比较|£f(k)-n|与4的大小，并说明理由.

2k=l

2015年10月18日姚杰的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共11小题）

1.（2014•湖南）若0<xi<x2〈l,则（）

xxxx

A.e2-ei>lnx2-InxiB.e2-ei<lnx2-Inxi

XXXX

C.X2el>XIe2D.X2el<XIe2

考点：对数的运算

性质.

专题：导数的综合

应用.

分析：分别设出两

个辅助函数f

（x）=ex+lnx,

由导数判断

其在（0,1）

上的单调性，

结合已知条

件0<xiVx2

<1得答案.

解答:解：令f(x)

=e'-Inx,

则f(x)

当x趋近于0

时，xex-1<

0,当x=l时，

xex-I>0,

因此在（0,1）

上必然存在f

（x）=0,

因此函数f

（x）在（0,

1）上先递减

后递增，故

A、B均错误；

X

令g(x)=—,

/,/\xeX_eX

g(X)=----2-

X

当OVxVl

时，gz(x)V

0.

7.g(x)在(0,

1)上为减函

数，

0<Xl<X2

<1,

X1x2

即

xi\

x2e才X]e

选项C正

确而D不正

确.

故选：C.

点评:本题考查利

用导数研究

函数的单调

性，考查了函

数构造法，解

答此题的关

键在于想到

构造两个函

数，是中档

题.

2.(2005•天津)若函数f(x)=loga(x3-ax)(a>0,a*l)在区间(-方，0)内单调递

增，则a的取值范围是()

A.[-i,1)B.,1)C.C，+8)D.(1,

4444

考点：对数函数的

单调性与特

殊点.

专题:计算题；压轴

题.

分析:将函数看作

是复合函数，

令g(x)=x3

-ax,且g(x)

>0,得x€(-

Va-0)U

(+8),

因为函数是

高次函数，所

以用导数来

判断其单调

性，再由复合

函数"同增异

减"求得结

果.

解答:解：设g(X)

=x3-ax,g

(x)>0,得

xG(--s/a，0)

U(

+8),

g((x)=3x2

-a,xG(-

卷。)时，

g(x)递减，

-卡)或xG

(\/-a<+°°)

时，g(x)递

增.

当a>l时，

减区间为(-

Vf°,'

不合题意，

当0<a<l

时‘飞'

0)为增区

间.

2

故选B.

点评:本题主要考

查复合函数

的单调性，结

论是同增异

减，解题时一

定要注意定

义域.

考点：反函数；函数

的图象.

专题：常规题型；压

轴题.

分析：先画出条件

中函数式

y=l+Vl-x2(-l(x40)

的图象，再将

其图象作关

于直线y=x对

称的图象即

得.

解答:解：作出函数

y=l+71~x2(-l<x4O)

的图象，如

图，

---互为反函

数的两个函

数的图象关

于直线y=x对

称，

函数

y=l+Vl_x2(-ldxdO)

的反函数图

象是：C.

点评:

考查反函数、

反函数的应

用、函数的图

象等基础知

识，考查数形

结合思想、化

归与转化思

想.属于基础

题.

4.(2008•天津)设a>l,若对于任意的xe[a,2a]>都有ye[a,a?]满足方程logax+logay=3,

这时a的取值集合为()

A.{a|l<a<2)B.{a|a>2)C.{a|2<a<3}D.{2,3)

考点：募函数的实

际应用.

专题：压轴题.

分析：先由方程

logaX+logay=

3解出y,转

化为函数的

值域问题求

解.

解答:解：易得

3

行JL,在忸，

x

2a]上单调递

减，

所以

2

y€a2]

9

故

2

今〉a=a22

故选B.

点评:本题考查对

数式的运算、

反比例函数

的值域、集合

的关系等问

题，难度不

大.注意函数

和方程思想

的应用.

5.（2005•山东）0Va<l,下列不等式一定成立的是（）

A.Ilog<!+a>(1-a)|+|log(I-a>(1+a)|>2；

B.|log<i+a>(1-a)|<|log(i-a)(1+a)|；

C.Ilog<1+a)(1-a)+10g(1.a)(1+a)|<|log<l+a)(1-a)|+|10g<1-a>(1+a)I；

D.|10g(1+a>(1-a)-log<1.a>(1+a)I>|log<l+a)(1-a)I-Ilog(I-a)(1+a)I

考点：对数函数的

单调性与特

殊点.

专题：计算题；压轴

题.

分析：用特殊值法，

来排除不成

立的选项即

可.

解答：解：取满足题

设的特殊数

值a=—,

2

log(l+a>(I-

a)=logo—<

i2

1。2看1,

23

0>log(i

(1+a)

】啜>

log[2=-1，

2

检验不等式

(B),(C),

(D)均不成

立，

故选A

点评:本题主要考

查客观题的

解法，可灵活

选择方法，如

特殊法，验证

法，数形结合

法等，解题不

但灵活，而且

效率很高.

6.(2005•天津)设fl(x)是函数f(x)=工(ax-ar)(a>l)的反函数，则使f"(x)

2

>1成立的x的取值范围为()

2-12-12

A.(-a——+8)B.(-8,3a——£)C.(-a——-1a)D.[a,+«>)

2a2a2a

考点：反函数.

专题：压轴题.

分析：本题考查反

函数的概念、

求反函数的

方法、解指数

方程、解不等

式等知识点，

有一定的综

合性；

首先由函数f

(x)J(ax

2

-a-x)(a>

1)求其反函

数，要用到解

指数方程，整

体换元的思

想，将a*看作

整体解出，然

后由f1(X)

>1构建不等

式解出即可.

解答:解：由题意设

y=l(ax-a-

2

x)整理化简

得a2x-2yax

-1=0,

解得：

ax=y±7y2+l

•/ax>0,

x=y+7y2+l

a

X=10ga

(y+V7+i

)

f1(x)

=l0ga

(x+Vx2+l

)

由使f-1(x)

>1得loga

(X+Vx2+1

)>1

•/a>l,

•••x+7x2+i

>a

由此解得:

2-1

x>-

~2^~

故选A

点评:本题虽为小

题，看似简

单，实际上综

合性强，用到

多方面的知

识和方法，更

需要一定的

运算能力；

尤其在求x时

难度大些，不

仅要用换元

思想把a*看

作整体求解，

还要根据范

围舍去

ax=y-Vy2+l

7.（2004•天津）函数尸3*2-1（-MxVO）的反函数是（）

A-y=-71+log3xB-尸_Jl+log3X（x>!）

cD

-y=-7i+iog3x（-1<X<1）-y=-^i+iog^q〈x4i）

考点：反函数.

专题：计算题；压轴

题；方程思

想.

分析：解方程

根据X的范

围，求出X的

值，然后X,y

互换，求出函

数的反函数.

解答：解：函数

y=3xZ-1,

可得x2-

Rog3y

x=l+log3y,

.•-l<x<0,

X=_^l+log3y

所以函数

(-l<x<0)

的反函数是：

-

y=1/i+iog3x(-1<x<D

故选D.

点评：本题考查反

函数的求法，

考查就是能

力，是基础

题.

8.(2004•江苏)设k>l,f(x)=k(x-1)(xGR).在平面直角坐标系xOy中，函数y=f

(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数y=fr(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个

函数的图象交于P点.已知四边形OAPB的面积是3,则k等于()

A.3B.至C.9D.国

235

考点：反函数.

专题：计算题；压轴

题.

分析：先根据题意

画出图形，由

于互为反函

数的两个函

数的图象关

于y=x对称，

从而两个函

数的图象交

于P点必在直

线y=x上.且

A,B两点关

于y=x对称，

利用四边形

OAPB的面积

=1ABXOP,

2

求得P(3,3)

从而求得k

值.

解答:解：根据题意

画出图形，如

图.

由于互为反

函数的两个

函数的图象

关于y=x对

称，

所以这两个

函数的图象

交于P点必在

直线y=x上.

且A,B两点

关于y=x对

称，

AB±OP

四边形

OAPB的面积

=1ABXOP=1

22

x&XOP=3

・••OP=3M.

/.P(3,3)

代入f(x)=k

(x-1)得：

k=-?

2

故选B.

点评:本题主要考

查反函数，反

函数是函数

知识中重要

的一部分内

容.对函数的

反函数的研

究，我们应从

函数的角度

去理解反函

数的概念，从

中发现反函

数的本质，并

能顺利地应

用函数与其

反函数间的

关系去解决

相关问题.

9.(2006•天津)已知函数y=f(x)的图象与函数y=a*(a>0且axl)的图象关于直线y=x

对称，记g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1].若y=g(x)在区间[1,2]上是增函数，则

实数a的取值范围是()

A.[2,+8)B.(0,1)U(1,2)C.[1,1)D.(0,

考点：指数式与对

数式的互化；

反函数.

专题：压轴题.

分析：先表述出函

数f(x)的解

析式然后代

入将函数g

(X)表述出

来，然后对底

数a进行讨论

即可得到答

案.

解答：解：己知函数

y=f(x)的图

象与函数

y=ax(a>0且

a#l)的图象

关于直线y=x

对称，

则f(x)

=10gaX,记g

(x)=f(x)

[f(x)+f(2)

-1]=(logaX)

2+(10ga2-1)

logaX.

当a>l时，

若y=g(x)在

区间

后，2]上

是增函数，

y=logaX为增

函数，

令t=logaX,

te〔loga/

Ioga2],要求

对称轴

loga2-1i

-----------限lo2-

2

,矛盾；

当OVaVl

时，若y=g(x)

在区间

[”上

是增函数，

y=logax为减

函数，

令t=10gaX,

te[loga2,

要

求对称轴

log2-1

>loga!

2

解得

所以实数a的

取值范围是

故选D.

点评:本题主要考

查指数函数

与对数函数

互为反函

数.这里注意

指数函数和

对数函数的

增减性与底

数的大小有

关，即当底数

大于1时单调

递增，当底数

大于0小于1

时单调递减.

10.（2011•湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减

少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素葩137的衰变过程中，其含量M（单位：太

_t

贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=MO2丽，其中Mo为t=0时钠137

的含量.已知t=30时，钠137含量的变化率是-10In2（太贝克/年），则M（60）=（）

A.5太贝克B.751n2太贝克C.1501n2太贝克D.150太贝克

考点：有理数指数

幕的运算性

质.

专题:计算题；压轴

题.

分析:由t=30时,

的137含量的

变化率是-

10In2(太贝

克/年)，先求

出M'(t)

=Mox

_Jt_

(-弓)ln2X2说

0U

，再由M(30)

=Mox

(一奇)ln2xi

=-101n2,求

出Mo,然后

能求出M

(60)的值.

解答:解：M1(t)

二Mox

(-/)ln2X2前

0U

M1(30)

二Mox

ln2X-l

2

=-101n2,

Mo=6OO.

M(60)=600X230=i5o

故选D.

点评:本题考查有

理数指数累

的运算法则，

解题时要注

意导数的合

理运用.

11.(2014•湖南)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为P，第二年的增长率

为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()

A.号B.(P+1)尸)-屋.屈D.”1)(q+i)7

考点：有理数指数

幕的化简求

值.

专题：函数的性质

及应用.

分析：根据增长率

之间的关系，

建立方程关

系即可得到

结论.

解答：解：设原来的

生产总值为

a,平均增长

率为X,

则a(1+p)

(1+q)=a

(1+x)2,

解得

l+x=

V(p+1)~(q+1)

即

x=

V(p+1)~(q+1)

-I,

故选：D.

点评：本题主要考

查指数累的

计算，根据条

件建立条件

关系是解决

本题的关键，

比较基础.

二.填空题(共12小题)

logjX,x〉1,

12.(2013♦北京)函数f(x)=<2的值域为(-8,2)

2X.x<l

考点：对数函数的

值域与最值；

函数的值域.

专题:函数的性质

及应用.

分析:通过求解对

数不等式和

指数不等式

分别求出分

段函数的值

域，然后取并

集得到原函

数的值域.

解答:解：当X>1时，

f（X）

log/Oog[1=0

22

当x<1时，0

<f（x）=2X

<2'=2.

所以函数

log]X,X>1

f（x）=2

2X.x<l

的值域为（-

8,2）.

故答案为（-

8,2）.

点评：本题考查了

函数值域的

求法，分段函

数的值域要

分段求，最后

取并集.是基

础题.

13.（2011・湖北）里氏震级M的计算公式为：M=lgA-IgAo,其中A是测震仪记录的地震

曲线的最大振幅，Ao是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振

幅是1000,此时标准地震的振幅Ao为0.001,则此次地震的震级为6级;9级地震的最

大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍.

考点:对数的运算

性质.

专题:计算题；压轴

题.

分析:根据题意中

的假设，可得

M=lgA-

lgAo=lg1000

-lg0.001=6；

设9级地震的

最大的振幅

是x,5级地

震最大振幅

是y.

9=lgx+3,

5=lgy+3,由

此知9级地震

的最大的振

幅是5级地震

最大振幅的

10000倍.

解答:解：根据题

意，假设在一

次地震中，测

震仪记录的

最大振幅是

1000,此时标

准地震的振

幅为0.001,

则M=lgA-

lgAo=lglOOO

-lg0.(X)l=3

-(-3)=6.

设9级地震的

最大的振幅

是x,5级地

震最大振幅

是y,

9=lgx+3,

5=lgy+3,解

得x=l()6,

y=102,

X106

—=~5=10000

yio2

故答案为：6,

1OOOO.

点评:本题考查对

数的运算法

则，解题时要

注意公式的

灵活运用.

x2+l,x>0.X_1，

的反函数是尸I2

14.（2007♦上海）函数尸J9J

x<04x<0.

XX

考点:反函数.

专题:压轴题；函数

的性质及应

用.

分析:由原函数的

分段解析式

分别解出自

变量X的解析

式，再把X和

y交换位置，

注明反函数

的定义域(即

原函数的值

域)，最后再

写成分段函

数的形式即

可.

解答:解：；y=x2+l

(x>0),

,,x=y]y~r

y>l,

故y=x2+l

（x>0）的反

函数为

y=Vx-1

（X>1）,

同样地，y=—

(x<0)的反

函数为y=W

x

(x<0),

「•函数

x2+l,x>0

由x<0

X

的反函数

是

Vx-bX>1

故答案为：

Vx-1，

H2,x<0.

,X

点评：本题考查函

数与反函数

的定义，求反

函数的方法

和步骤，注意

反函数的定

义域是原函

数的值域.

15.(2006•江苏)不等式kg2(x+^+6)《3的解集为_

{x|-3-2V2<x<-3+2A/2)U{1]_.

考点：对数函数的

单调性与特

殊点；其他不

等式的解法.

专题：计算题；压轴

题.

分析：由不等式

logo(x+^+6)43

zx

=log28知0<

x

由此可得到

所求的解集.

解答：解：