（中考数学一轮复习）第22章 二次函数 同步学案

22.1二次函数的图象和性质

22.1.1二次函数

「概念课」二次函数

学习目标

□理解并掌握二次函数的定义

□理解并掌握二次函数解析式需要满足的条件

□能判断是否是二次函数的解析式

引导问题1什么是二次函数？二次函数的解析式有什么特点？

1.二次函数的定义：

一般地，形如（a、b、c为常数，）的函数叫做二次函数.

2.下列函数是二次函数的是（）.

A.y=3x-2B.y=-C.y=3x2+2x+lD.y=|%|

原因是：________________________________________________________________________

3.下面哪个函数不是二次函数？（）

1221

A.y=2x-xB.y=^x-ic.y--31D.y-x+2

原因是：________________________________________________________________________

4.请你完成下面的表格：

解析式二次项系数（a）一次项系数（6）常数项（c）

y=尤2一1+2

13r

y=——x2+—x-7

24

y=4x2

引导问题2二次函数的解析式必须满足什么条件?

5.二次函数的解析式y=af+h%+c需要满足的三个条件:

①含自变量的代数式是,

②自变量的最高次数是，

③不等于0.

6.下面哪个函数是二次函数？（）

A.y=B.y=3f一（3k+2%-1）

c.y=--x2D.y^ax2+bx+c

X

原因是：

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

22.1.2二次函数的y=a，图象和性质

「概念课」二次函数的图象

学习目标

□熟悉二次函数的图象，并能根据图象掌握二次函数的性质

引导问题1二次函数的图象有什么特点？

1.使用描点法在右面的坐标系中画出二次函数了=；好的图象,

请根据图象回答下列问题.

(1)二次函数的图象是一条\7/

(2)右图中二次函数的图象有什么特征：：4-3-2^T'l234

(3)这个函数开口向，函数图象的顶点是最

点，图象顶点的坐标是

引导问题2什么是二次函数的最值？二次函数的增减性是怎样变化的？

2.二次函数的最值是Cx/y)的最大值或最小值,等于其函数图象

3.(1)上面的二次函数y=该函数有最(大/小)值为.

(2)如右图所示，图中所示函数的最值是(

A.最大值1B.最小值1

C.最大值3D.最小值3

(3)如右图所示，图中所示函数的最值是(

A.最大值1B.最小值1

99

C.最大值2D.最小值2

4

总结：当二次函数开口,时，函数有最小值;

当二次函数开口.时，函数有最大值.

4.请完成下面的表格.

函数图象增减性

①当％2』时，y随x的增大而________

②当％《而时，）随％的增大而________

r\

③当I〉％2时，）随子的增大而________

a,%)x④当二442时，）随％的增大而________

0

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」参数〃与函数图象

学习目标

□了解并掌握二次项系数”与函数图象的关系

引导问题1参数〃和二次函数图象开口方向之间有什么关系？

1.二次函数图象的开口方向取决于：

2

引导问题2参数〃和二次函数图象开口大小之间有什么关系？

3.二次函数的开口大小取决于

①当时，〃的值越大，二次函数图象的开口大小越

②当时，〃的值越小，二次函数图象的开口大小越

综上：”的越大，则二次函数图象的开口大小越小.

4.两个二次函数的图象如右图所示，其中一个是y=

2

另一个是》=公，则a可能的取值为（）？

A.1B.-

3

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

22.1.3二次函数y=ct（x-h）2+k的图象和性质

「概念课」上下平移

学习目标

□能够根据二次函数图象的上下平移，得到平移后的函数解析式

□理解并掌握二次函数》=G2（。/0）、y^ax2+k（“、女为常数，。70）的性质

引导问题1二次函数》二麻2（。/0）图象上下平移时，解析式如何发生变化?

1.二次函数"苏（。/0）的图象上下平移左（左＞0）个单位时:

向上平移女个单位，二次函数的解析式变为：

向下平移上个单位，二次函数的解析式变为：.

2

2.如右图所示，二次函数》=一厂的图象向上平移4个单位，得到新

的图象对应的解析式为（）？

A.y=-4x2B.y=-f+4c.y=-x2-4

3.将抛物线y=+2向下平移5个单位，新图象的顶点坐标是（）.

A.（。，-3）B.（0,-5）

引导问题2二次函数》二麻2（。/0）的图象有什么样的性质？

4.请你完成下面的表格.

)=加(“>0))=加(“<0)

\f/

\/r

图象

开口方向

开口大小1,越大，开口越________

顶点

最值

对称轴

当时，y随工的增大而

当x>0时，y随工的增大而

引导问题3二次函数了二。%2+女（4、女为常数，。/0）图象有什么样的性质？

5.请你完成下面的表格.

y=加+k(。>0)y-ax1+k(a<0)

图象

2

开口大小和y二ax相比，________（有/没有）发生变化

顶点

最值

对称轴

6.分别写出下面三个二次函数的最值:

(1)y=2f+3有最____—值,是________.

(2)y=5f_4有最——值,是________.

(3)y=7-口2有最________值，是________

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」左右平移

学习目标

□能够根据二次函数图象的左右平移，得到平移后的函数解析式

□理解并掌握二次函数y=a（%—/i）2（a/0）的性质

引导问题1二次函数》=以2（。/0）图象左右平移时，解析式如何发生变化?

22

i.如右图所示，将二次函数》=%的图象向右平移两个单位，那么函数y=%图象上的点:

①（-2,4）平移后的点坐标将变为.

②（0,0）平移后的点坐标将变为.

③01,1）平移后的点坐标将变为.

那么，平移后图象对应的解析式应该是什么样的呢？

y=x2y=________

(0,0)O-O2（2,0）0=(2-2)2

(-M)1=(-1)2<=>(LI)1=(1—)2

(-2,4)4=(-2『（。，4）4=(0—)2

2.后翁（口诀为“在加有诚”）：

（1）把》=麻2（。/0）的图象向右平移个单位，顶点坐标为（,）,新图象

所对应的解析式为：.

（2）把》二以2（。/0）的图象向左平移八个单位，顶点坐标为（,）,新图象

所对应的解析式为：.

3.将二次函数y=2/的图象向右平移一个单位，新图象对应的解析式为（）？

A.y-2x2-xB.y^（2x-l）~c.y^2（x-l）2

4,将二次函数y=-2/的图象向左平移2个单位，新图象对应的解析式为

如果再向右平移3个单位，新图象对应的解析式为.

引导问题2二次函数y=a（x—/I）?（a丰0）图象有什么样的性质？

5.请你完成下面的表格.

y-a^x-hf(a>0)y-a^x-hf(tz<0)

F

图象

1

开口方向

开口大小同越大，开口越________

顶点

最值

对称轴

当时，）随X的增大而

当％>/z时，y随x的增大

而

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」任意平移

学习目标

□能根据二次函数的图象任意平移，得到平移后图象对应的函数解析式

□掌握并灵活运用y=/z)2+k(a丰0)的图象和性质

引导问题1二次函数》二麻2(。/0)图象任意平移时，解析式如何发生变化？

1.如右图，将二次函数y=f的图象任意平移，使得顶点平移到\f/

(3,-5),那么这个二次函数图象平移的方法是：先向平\/

移个单位，再向平移个单位.TTT

请你根据“上_______下_________,左________右________”的平

r*3,-5)

移口诀，写出平移后的解析式：.

2.将>=-(好图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，图象对应解析式为()?

A.y=-i(x+3)2+2B.y=-1(x+2)2+3C.y=-1(x-2)2+3

追问：新图象的顶点坐标为：.

3.总绡：将二次函数y=©I。/0)的图象向右平移//个单位，向上平移左个单位，平移后

图象对应的解析式为：.

引导问题2什么是二次函数的顶点式？二次函数的顶点式有什么性质？

4.二次函数的表达形式“一般式”为y=©2+法+C(QH0)

那么二次函数的表达形式“顶点式”为：.

它被称为“顶点式”的原因是:_____________________________________________________

5.请你完成下面的表格:

开口方

二次函数顶点坐标如何平移

向

1

x1>9由图象向________平移________

y=--(-)+7y=

个单位，再向________平移________个单位

2

由》=一%图象向________平移________个

y=一(4+2丫+1

单位，再向________平移________个单位

由y=________图象向_________平移

y=-3(2-x)2-4________个单位，再向_______平移

________个单位

6.请你根据顶点式的性质，完成下面的表格:

y-a^x-hf+k(a^Q)y=苏（"0）

将的图象

y=a(x-/z)2+k("0)

意义上下平移闲个单位（上加下减）

当//,%=()时的特殊情况

左右平移〃个单位（左加右减）

开口方向。＞0时，开口向上；时，开口向下

开口大小Q越大，开口越________

顶点(0,0)

对称轴

最值

y随工的增大而增大

）随X的增大而减小

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

「概念课」任意二次函数的图象与性质

学习目标

□能将二次函数的一般式转化为顶点式

□掌握任意二次函数的图象及性质

引导问题1如何将二次函数的一般式转化为顶点式？

1.请你将二次函数的一般式y=G?+&+c(aH0)转化为顶点式y^a(x-h^+k的形

式，完成下面的过程.

第一步，提二次项系数：》=。()+c；

第二步，配平方：y=a()+c；

第三步，写成顶点式：y=a()2+().

2.把上式和顶点式一般形式y=a(x—0)2+左(。力0)对比，那么儿女分别对应着：()

222

7b74ac-b7b74ac-bb4c-b

A.n----,k-------B.h=——,k=-----C-.h1----,k

2a4a2a4a2a4〃

引导问题2二次函数的顶点坐标公式是什么？

3.二次函数的顶点坐标公式为：(,).

如果二次函数的顶点坐标已知，那么可以得到什么性质？()

A.对称轴B.函数的最值C.函数的增减趋势D.上面的都可以得到

4.函数丁=2炉—％+3的顶点坐标为：(,),请你写出计算过程:

5.抛物线y=—+2x+2的对称轴为：.这个二次函数有最_______值,

为：________

引导问题3任意二次函数的图象性质是什么？

6.请你完成下面的表格:

顶点式一般式

解析式格式y=a(x一A)?+k(aw0)y-ax2+bx+c(aw0)

开口方向Q>0时，开口向上；Q<0时，开口向下

开口大小。越大，开口越________

顶点(,)(,)

对称轴直线________直线________

最值

y随x的增大

而增大

y随子的增大

而减小

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「解题课」二次函数增减性的应用一上

能力目标

□能利用二次函数的增减性比较二次函数值大小、求二次函数最值

拔高练习

1.若A(91,yJ,8(102,%)，C(97,%)，。(110,”)是抛物线丁=/一200工+65536上

攻略的四点，则%、为、为、%按由大到小的顺序排列为

若抛物线开口向上

与对称轴距离越

大，那么函数值越

大

若距离越小。函数

值越小

2.已知0＜加＜3,且点A(O,a),BQn+l,b),。(1―3,c)都在二次函数

了=一泡%2-2#%+&—2的图象上，则“、3、C按由小到大的顺序排列为.

3.在二次函数y=f—2x—3中，当一3二龙W—2时，求y的最大值和最小值.

攻略

画出示意图

标出工的范围

由示意图确定

y的最大值或

最小值

「解题课」二次函数增减性的应用一下

能力目标

□已知函数增减性和最值，能反求参数范围

拔高练习

1.若二次函数y=（x丫+1,当时，y随x的增大而减小，求加的取值范围.

攻略

画示意图

再根据题意确定参

数的取值范围

2.当1>1时，二次函数丁=-f+2加;+c的值随工的值的增大而减小，求实数方的取值范

围.

3.y=%?+（1—。）％+1是关于％的二次函数，当％的取值范围是1<x<3时，y在％=1时

取得最大值，求实数〃的取值范围.

「解题课」二次函数对称性的应用一上

能力目标

□能利用二次函数的对称性解决问题

1.根据二次函数的对称性可知:

结论1:图象上关于对称轴对称的两个点，它们的.相等，且中点在.

结论2：图象上的两点如果相等，那么它们关于对称.

2.一个抛物线与X轴的公共点是(一1,0)，(3,0)，求这条抛物线的对称轴.

攻略

二次函数的图象上

1.关于对称轴对称

的点，纵坐标相同

且中点在对称轴上

2.纵坐标相同的两

个点，关于对称轴

对称

3.已知二次函数的图象经过(0,3),(4,3)两点，则该二次函数图象的对称轴为

A.x=2B.x=3C.x=4

4.(1)已知抛物线与x轴的一个交点A(3,0),对称轴是x=—l,求与点A关于对称轴对

称的点的坐标.

(2)已知抛物线上的点A(a,c)，对称轴是X=m,若点B(b,c)与点A关于对称轴对称，

求6.

5.总结：

(1)两个结论：

二次函数图象上，关于对称轴对称的点，它们的相等，且中点在________上;

纵坐标相等的两个点，它们关于对称.

(2)两种题型：

已知二次函数图象上两个点求对称轴：若二次函数图象过点4(七》)、B(x2,y),则

对称轴为：％=-----------；

已知点A(a,c),对称轴为％=加，则A关于对称轴对称的点为(,).

「解题课」二次函数对称性的应用一下

能力目标

□能够利用二次函数的对称性解决问题

拔高练习

1.已知二次函数丁=炉+加；—1,当％=4时的函数值与％=2007时的函数值相等，则

尤=2011时的函数值为多少？

攻略

(1)关于对称轴对

称

1.函数值相等

2.纵坐标相同

3.两点连线〃力轴

(2)代入求值：

选更简单的点

(3)若计算量太大,

试试换个思路

2.已知AX，%),6(X2，》2)是函数丁=。九2+匕龙+3图象上两点，且AB〃x轴，则当

%=玉+%2时，函数值为多少？

3.已知％=2加+〃+2和1=加+2〃时，多项式Y+4X+6的值相等，且用一〃+2。0,

则当工=3（加+〃+1）时，多项式Y+4X+6的值等于多少？

「概念课」参数。反的作用

学习目标

□理解并掌握二次函数解析式系数a"c的作用

引导问题1如何根据顶点式判断图象?

)

引导问题24、6的作用是什么？

2.丁=2/+4%-1的图象是哪一个？（）

请你说明理由:

3.判断：y=4%2—x+3图象的顶点横坐标—2是（“正数”、“负数”或“0”）.

2a

4.总结：

±

--

当《、方同号时,船0,二次函数图象的对称轴在y轴的侧;

±

-

当a、6异号时,-0,二次函数图象的对称轴在y轴的侧.

20

这个规律即为：.

抛物线y=—二——32ix+1024的对称轴在哪里？（）

55

A.y轴左边B.就是y轴C.y轴右边

A

6.当b=0时，x=~—0,此时抛物线的对称轴是.

2a

引导问题3C的作用是什么？

7.二次函数y=gx2—x+4的图象有可能是哪一个？（）

8.对于二次函数y=ox2+0x+c（aw0）,当％=。时，-y=,即函数过点（o,）.

引导问题4如何根据二次函数一般式判断图象？

9.如何根据“、b、C,判断二次函数丁=。必+。%+（;（。W0）的图象？

秘籍：一看,二看,三看,同左异右.

10.二次函数y=-f+4x+l的图象是？（）

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

22.2二次函数与一元二次方程

22.2.1二次函数与一元二次方程

「概念课」二次函数与二次方程

学习目标

□了解二次函数与一元二次方程的关系

□会求抛物线与X轴的交点的坐标

□能确定抛物线与％轴的交点个数

引导问题1如何求抛物线与％轴的交点坐标？

1.求抛物线y=%2+2%-3与二轴的交点坐标.

解：第一步，令，将二次函数解析式转化为一元二次方程，即：

第二步，解出上面的一元二次方程得：%=,%=

第三步，将方程的解写成（“横”或“纵”）坐标，可以得到：抛物线与％轴

的交点坐标是：（,）,（,）

注意：上面最重要的就是第一步，令,将二次函数转化为一元二次方程.

请你说明原因：求抛物线与％轴的交点坐标，为什么是令?

2.二次函数y=——4x+4的图象与工轴的交点坐标是（）？

A.（2,0）,（2,0）B.（1,0）,（2,0）c.（2,0）

引导问题2如何确定抛物线与x轴的交点个数？

3.请你完成下面的表格：

A=〃—4ac方程根的情况图象与％轴的交点个数示例图象

y

A>0

A=Z?2—4ac方程根的情况图象与x轴的交点个数示例图象

y

A=0一

y

A<0

4,二次函数,=%2一6%+9图象与％轴有几个交点？

解：第一步，计算△并判断△的正负：△=,A0

第二步，根据△和0的关系，确定二次函数与％轴有个交点.

5.已知抛物线丁=如2一2%—1与％轴有两个交点，求机的取值范围.

提示：首先将二次函数变为二次方程，再根据抛物线与井轴交点个数和二次方程的△的

关系，就可以求出用的取值范围了.请你在下面写出解题步骤.

解：

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」交点式

学习目标

□理解并掌握二次函数交点式的概念

□能够判断二次函数有没有交点式

引导问题1什么是二次函数的交点式？

1.我们已经学过的二次函数的表达形式包括：(1)一般式_________________；(2)顶点式

2.以二次函数,=必—2x-3为例：将2x-3部分进行因式分解，得到：

，即y=.你能直接写出这个抛物线与％轴的交点

坐标吗？.

3.将二次函数丫=3犬+2X+3右边部分进行因式分解，并直接写出它的图象与x轴的交

点坐标.

解：提出二次项系数：y=1()

将括号内的部分因式分解：y=1()()

直接写出与子轴的交点坐标(,),(,).

4.总春

将二次函数丁=。%2+云+。(。W0)进行因式分解，转化为y=.这

种形式的二次函数就称为“戈卓式”或者“取根式”.

请你说明：为什么这个形式会被称为“交点式”？这里的“交点”是指什么交点？

5.二次函数y=-2(x-Ip,这是什么形式的表达式？()

A.交点式B.顶点式C.两者都是

请你说明原因：_________________________________________

引导问题2如何判断二次函数有没有交点式？

6.与％轴没有交点的抛物线，能写成交点式的形式吗？()

A.能B.不能C.有些能，有些不能

7.如何判断二次函数有无交点式？

(1)今y=，得到一元二次方程

(2)计算A=Z?2-4ac

(3)根据△的正负，判断方程根的情况，并得到二次函数有无交点式.

A>0A=0A<0

两个不相等的实数根两个相等的实数根

方程根的情况无实数根

%______%2%____

二次函数图象与工

轴交点个数

交点式

8.请你判断抛物线丁=3炉+5%-2有没有交点式?

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「解题课」二次函数在％轴交点的距离

能力目标

□能够套用公式求二次函数的图象在X轴交点的距离

□能够已知二次函数的图象在X轴交点的距离，反求参数

1.已知抛物线y=a九2+H+C与％轴交于点A（%,0）和点8（%2，°）两点，求AB两点的距

攻略

交点距离公式

园T三T

2.求抛物线y=V—4x+2与％轴两个交点间的距离.

3.若关于K的二次函数丁=加？一（3加一l）x+2加一2的图象与％轴两个交点间的距离为2,

求抛物线的解析式.

「解题课」二次函数恒成立问题

能力目标

□能利用最值解决恒成立问题

□能通过判别式分析二次函数图象

1.如果二次函数y=ar+bx+c(aw0)的函数值y>0对于一切％恒成立，那么系数a、b、

攻略C满足什么条件？

1.若y>0恒成

[a>0

立：1

[A<0

2.若y<0恒成

立：I

[A<0

3.若y20恒成

ftz>0

立：4

[A<0

4.若yK0恒成

立：《fa<0

[A<0

2.已知关于％的二次函数y=--2日+42一左，若y恒成立，求人的取值范围.

3.已知关于1的二次函数％=以？+4公-5。和一次函数必=2x—2,若对于任意％均有

必N%，求a的取值范围.

「概念课」求二次函数的解析式

学习目标

□能根据条件灵活运用适当的方法求二次函数的解析式

引导问题1如何求二次函数的解析式？

1.求经过（1,5）,（-2,-1）,（0,1）三个点的抛物线解析式.

解：（设）设抛物线的解析式为：

（代）函数图象经过（1,5）,（—2,-1）,（0,1）三个点

二把（1,5）,（—2,—1）,（0,1）分别代入抛物线的解析式得到:

（解）解得：＜b=

c-________

（写）抛物线的解析式为：.

2.求经过（2,1）,（-1,2）,（0,—1）三个点的抛物线解析式.

3.一条抛物线经过点4（—9,0）,8（—19,0）和点C（l,100）,求它的解析式.

解：发现突破口：点A,点5的纵坐标都为0,所以它们是抛物线与的交点.

这种情况下，应该选择设（）？

A.一般式B.顶点式C.交点式

（设）设抛物线的解析式为：y=a[x-][x-]

（代）函数图象经过c（uoo）

把c（l,100）代入抛物线的解析式得到：

（解）解得：a=

（写）抛物线的解析式为:.转化为一般式:.

4.一条抛物线经过点（—3,0）,（1,0）和点（3,3）,求它的解析式.

5.一个二次函数图象的顶点坐标为（-3,-2）,且经过点（一1,2）,求这个函数的解析式.

解：发现突破口：题目给出了

这种情况下，应该选择设（）？

A.一般式B.顶点式C.交点式

（设）设抛物线的解析式为：y=a[x-]2+,即：y=

（代）•函数图象经过（T2）

把（T,2）代入抛物线的解析式得到：

（解）解得：a=

（写）抛物线的解析式为:.转化为一般式:.

6.一个二次函数图象经过点（一1,2）,且当x=l时，函数取最小值-3,求函数的解析式.

7.，鲤:

使用待定系数法

（1）给出抛物线经过的任意三个点的坐标，则设

（2）若其中有两个点是与％轴的交点，则设

（3）若其中有顶点，则设.

「解题课」二次函数图象辨析-上

能力目标

□能将二次函数图象的性质代数化

2.