《空间向量及其运算》教案、导学案、同步练习

a.i空间向量及其运算》教案

【教材分析】

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几

何》，本节课主要学习空间向量及其运算。

平面向量是重要的数学概念，它是链接代数与几何的桥梁。将平面向量拓展到空间，进

一步提升了向量的应用o本节是在学习了简单的立体几何与平面向量及其运算的基础上进行

教学的。通过本节课的学习，既可以对向量的知识进一步巩固和深化，又可以为后面解决立

体几何问题打下基础，所以学好这节内容是尤为重要的。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.经历向量及其运算由平面向空间推广的过1.逻辑推理：运用向量运算判断共线与垂直；

程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反2..直观想象：向量运算的几何意义；

向量、相等向量等的概念；3.数学运算：向量的加减、数乘与数量积运算及其

B.掌握空间向量的运算；加减、数乘、数量积；运算律；

C.能运用向量运算判断向量的共线与垂直.

【教学重点】理解空间向量的概念

【教学难点】掌握空间向量的运算及其应用

【教学过程】

教学过程教学设计意图

一、情境导学

章前图展示的是一个做滑翔运动员的场景，可以想象在滑翔过程中，创设问题情境，引导

飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉力，风力，

学生通过平面向量

重力等，显然这些力不在同一个平内，联想用平面向量解决物理问题

知识类比学习空间

的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运

向量

动员呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念

和表水开始。

由回顾知识出发，提

二、探究新知出问题，让学生感受

知识点一空间向量的概念到平面向量与空间

思考1.类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.向量的联系。即空间

答案在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.向量是平面向量向

在空间，把具有和的量叫做空间向量，向量的大小叫

(1)空间的拓展，处理空

做向量的或—.

间向量问题要转化

空间向量用有向线段表示，有向线段的表示向量的模，a的起

为平面向量解决。

―►

点是4终点是8则a也可记作47,其模记为.

—►

方向；大小；长度；模；长度；a或M曲

⑵几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量规定长度为0的向量叫_____记为0

单位向量______的向量叫单位向量

与向量a长度——而方向——的向量，称为a的相反

相反向量

向量，记为一3

方向_____且模_____的向量称为相等向量，一—且

相等向量

_____的有向线段表示同一向量或相等向量

零向量；模为1;相等；相反；相同；相等；同向；等长

知识点二空间向量的加减运算及运算律

思考2.下面给出了两个空间向量a、b,作出6+a,b-a.

答案如图，空间中的两个向量a,b相加时，我们可以先把向量a,

―►—►-►

。平移到同一个平面a内，以任意点。为起点作a=a,OB=b,贝

―►―►—►—►-►

=0A~\-0B=a+b,AB=OB—0A=b-a.

—\b///

让学生巩固空间向

量加减法及其运算

(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.

律的同时让学生感

受空间向量和立体

OaA图形间的联系，体现

—►—►-►

空间向平面的转化

OB=OA+AB=a+b

—►―►—►思想。

CA=OA-0C=a~b

—►―►―►—►-►

0B=0A+AB=0A+0C=a+b

(2)空间向量加法交换律

a-\-b—b+a

空间向量加法结合律

(a+6)+c—a+(6+c)

知识点三空间向量的数乘运算

思考3.实数A和空间向量a的乘积儿a的意义是什么？向量的数

乘运算满足哪些运算律？

答案2>0时，八a和a方向相同；A<0时，4a和a方向相反；

4a的长度是a的长度的|儿|倍.

空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：

①分配律：4(a+Z>)=，Ta+Ab,

②结合律：A(〃a)=(1〃)a.

(1)实数与向量的积

与平面向量一样，实数乂与空间向量a的乘积1a仍然是一个向量，

称为向量的数乘运算，记作4a,其长度和方向规定如下：

①1.

②当4>0时，4a与向量a方向相同；当几<0时，与向量司方

向；当4=0时，4a=0.

⑵空间向量数乘运算满足以下运算律

①4(=；②A(a+b)=；

③(几十4)a=(拓展).

12

相反；|4||a|；(X〃)a；几a+46；a+a

12

知识点四共线向量与共面向量

思考4.回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量

的定义.

答案如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那

么这些向量叫做共线向量或平行向量.

O

平行或重合；a=Ab；方向向量；OP=OA+ta；AB

定义平行于同一个平面的向量

三个向量

向量。与不共线向量a,6共面的充要条件是

共面的充

存在_____的有序实数对(x,y)使___________

要条件

点P位于—►

平存在有序实数对(X，力，使/片

面46。内

的充要条

件—>—►

对空间任一点。，有力三/十__________

o

同理阳〃&7,且〃G=|A|〃GAB=DC；

：.EF//HG,旦EF=HG；

...四边形砒狙为平行四边形；

四点£,F,G,〃共面；

知识点五空间向量数量积的概念

思考如图所示，在空间四边形勿比1中，力=8,AB=6,47=4,BC

=5,Zfl4C=45°,NOAB=60°,类比平面向量有关运算，如何求

—►-►

向量/与6由］数量积？并总结求两个向量数量积的方法.

解'：BC=AC~AB,

—►—►—►—►—►-►

：.OA・BC=OA・AC—OA・AB通过类比平面向量

―►—►―►―►―►―►—►-►数量积的运算让学

=\0A\H(7|COS{OA,AC)一81cos〈/，AB)

生掌握空间向量数

=8X4Xcos135°-8X6Xcos120°=24~16y/2.

量积的运算，并能解

求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度

决简单问题，提升推

不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.

理论证能力，提高学

(1)定义：已知两个非零向量a,b,则|a||引cos〈a,b)叫做a,b

生的数学抽象、数学

的数量积，记作

建模及逻辑推理的

(2)数量积的运算律

核心素养。

数乘向量与

向量数量积（几a）•b=_____

的结合律

交换律a,b=____

分配律a,（b+c）=________

a,b+a,c；入（a•ti）；b,a

(3)空间向量的夹角通过典例解析，进一

―►-►

步让学生体会空间

①定义:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0,作的=3，03=

向量在解决立体几

b,则______叫做向量a与6的夹角，记作〈a,6〉.②范围：〈a,6〉

£______.特别地：当〈a,b}=时，a_Lb.何中的应用，提升推

JI理论证能力，提高学

NAOB；［0,Ji］；y

生的数学运算及逻

①若a,6是非零向量，则a_Lg>_______

辑推理的核心素养。

两个

②若a与b同向，则d・6=______；若反向，则a・6=

向量

数量

特别地，a•a=___或a=

积的

③若9为a,6的夹角，则cos9=_______

性质

④a・引Wa•\b\

____a.b2

5.a；㈤|引；a*b—Q；a\,\b\；a\'\b\；a\

例2.已知平行六面体/阅B'CD'中，"=4,AD^3,

AA'=5,ZBAD=90°,ZBAA'=ZDAA'=60°,

(1)求的长；(如图所示)

(2)求肥nV7与菽的夹角的余弦值.

D'_____________"、

【分析】(1)可得同>=AC+CC'=AB+AD+AA'，由数量积的运算

可得|而X|2,开方可得；

(2)由(1)可知|前六|,又可求反［和正，•菽，代入夹角公式可得.

解：(1)可得AC'h正+CC'=屈+菽+炊'，

IAC7"|2=IAB+AD+AF*|2=^2+AD2+AAy，2+2

(AB-AD+AB-AAZ'+AD'AAy')

=42+32+52+2（4X3X0+4X5乂2+3乂5义工）=85

故AC，的长等于|AC'|=痘

（2）由（1）可知而亡=标+同+菽尸，|通厂尸位

故标…AC=（AB+AD+AA'）•（AB+AD）

=AB2+2AB-AD+AD2+AA/'AB+AA7-AL

=42+2X4X3X0+32+5X4X-1^5X3Xy=-^-

一_______________________________生

2-22-22-5

又|AC1—J（AB+AD）A/AB+2AB-AD+ADV4+0+3-r2—

V85x5

故Q与AC的夹角的余弦值=理五=运

lAC/'1lAC110

例3.已知：m,〃是平面a内的两条相交直线，直线，与a的交点

为8,且IX-m,l_Ln.

求证：2±a

解：设直线〃的方向向量为神，直线〃的方向向量为直线/的方

向向量为G，

'：m,〃是平面a内的两条相交直线

.，.7与；是平面a内的两个不共线向量，设平面a内的任一向量为

—

a>

由平面向量基本定理，存在唯一实数入，口，使之=入7+口。

又,：12m,l±n,1•ir=O>1•n=0

l，a=l•（入m+.n）=A1»ir+u1・n=0

.,.Tla

直线/垂直于平面a内的任意直线，

由线面垂直的定义得：7±a

1

/g\/

三、达标检测

1.下列命题中，假命题是（）通过练习巩固本节

A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小所学知识，通过学生

B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同解决问题，发展学生

C.只有零向量的模等于0的数学运算、逻辑推

D.共线的单位向量都相等理、数学建模的核心

答案：D素养。

解析容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向

量.

2.在下列命题中：

①若a、6共线，则a、6所在的直线平行；

②若a、6所在的直线是异面直线，则a、6一定不共面；

③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；

④已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p

=xa~\-yb~\-zc.

其中正确命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

答案A

解析根据空间向量的基本概念知四个命题都不对.

3.向量a,6互为相反向量，已知㈤=3,则下列结论正确的是（）

A.a=bB.a+6为实数0

C.a与右方向相同D.a=3

答案D

解析向量a,6互为相反向量，则a,b模相等、方向相反.故D正

确.

—►—►-►

4.在正方体/班力一481G〃中，已知下列各式：①(/8+80+CG；②

―►—►―►—►—►―►—►-►

(44+4。)+〃G；③(AB+BBJ+BC；④(44+45)+AG.其中运算

―►

的结果为/G的有一个.

答案4

解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：

—►—►—►—►—►-►

①(46+6。+CG=/C+CG="G；

—►—►—>—►—►―►

②C44+4加阳；

―►―►—►—►―►―►

③C46+微)+6匕=/a+合0=44；

―►—►―►―►—►-►

④(44+4旦)+笈G=/台+aa=/G.

―►

所以4个式子的运算结果都是4G.

―►-►

5.设台,金是平面内不共线的向量，已知/8=2ei+Aa,⑶=e+3金，

―►

CD=2e\一若4B,〃三点共线，贝i」A=____.

答案一8

―►—►—►-►

解析BD=CD—CB=ei—4^,AB=2ei+k8,

―►-►

又/、B、。三点共线，由共线向量定理得46=4劭，

.]-4.

••2—1•♦.k—8.

6.已知a、8是异面直线，且a_L6,e、e分别为取自直线a、Z?上的

12

单位向量，且a=2e+3e,b—ke-4e,a±Z?,则实数A的值为___.

1212

答案6

解析由a_L6,得a•6=0,

，(2e+3e)•(4e—4e)=0,2it-12=0,k=6.

1212

7.胡，平面264且是N6=90°的等腰直角三角形，MBBA、

111

□跖CC的对角线都分别相互垂直且相等，若力6=a,求异面直线掰

111

与47所成的角.

AB

―►―►—►―►—►—►

解如图所示.：阳=物+能，AC^AB+BC,

—►—►―►—►—►―►―►―►—►―►—►-►

C.BAx•AC=(BA+BB〉•(AB+B。=BA•AB+BA•BC+BBy•AB

―>―►

+B&・BQ

因为48_L况；BBLAB,BBIBC,

ii

―►-A-►―►―►―►―►-A

：.AB-BC=O,B氏•AB=Q,BR•BC=Q且曲•AB=~a.

—►—►

BA\,AC=~a.

―►―►—►―►―►―►

•AC=|BA,|•MC|cos(BA、,AC),

―►—►—►-►

又,:(BA,AC)e[0,n],<M,AC)=120°,

又..•异面直线所成的角是锐角或直角，

异面直线为1与4C成60°角.

2

,ff〜一a1-

••cos(BAi,AO)—i—r——.

N2a72a2Q

四、小结

1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的通过总结，让学生进

基础.一步巩固本节所学

2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；内容，提高概括能

利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.力。

3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表

示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问

题.其中合理选取基底是优化运算的关键.

【教学反思】

教学中主要突出了几个方面：一是创设问题情景，充分调动学生求知欲，并以此来激发学生

的探究心理。二是运用启发式教学方法，就是把教和学的各种方法综合起来统一组织运用于

教学过程，以求获得最佳效果。并且在整个教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规

律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教

学。三是注重渗透类比法、归纳法等一般的数学思想方法。让学生在探索学习知识的过程中，

领会常见数学思想方法，培养学生的探索能力和创造性素质。四是注意在探究问题时留给学

生充分的时间，使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、

数学建模的核心素养。

U.1空间向量及其运算》导学案

【学习目标】

1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向

量、相等向量等的概念；

2.掌握空间向量的运算；加减、数乘、数量积；

3.能运用向量运算判断向量的共线与垂直.

【重点和难点】

重点：理解空间向量的概念

难点：掌握空间向量的运算及其应用

【知识梳理】

一、温故知新

1.平面向量的概念

名称定义备注

既有—又有—的量。

向量平面向量是自由向量

向量的大小叫做向量的长度或模

零向量.长度等于0的向量，其方向是任意的记作0

单位向量长一度等于1个单位的向量与一非零向量a共线的单位向量为—

平行向量

方向_____________的______向量0与任一向量平行（或共线）

（或共线向量）

相等向量长度——且方向——的向量两向量只有相等或不等，不能比大小

相反向量长度——且方向——的向量0的相反向量为_____

2.向量的线性运算

(1)加法：是指求两个向量和的运算；

法则(几何意义)：三角形法则、平行四边形法则。

(2)减法：是指求a与b的相反向量的和的运算叫做a与b的差；

法则(几何意义)：三角形法则。

(3)数乘：是指求实数a与向量a的积的运算；

法则(几何意义)：①以。1=1对al；②当;1＞。时，Aa与a的方向；

③当［V0时，Aa与a的方向；④四2=0时，Aa=.

3.共线向量定理

向量与b共线的充要条件是，当且仅当存在唯一实数X,使得b=Aa。

4.平面向量基本定理

如果e”e?是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a,

一对实数乙，乙使。=,其中不共线的向量3,e?叫表示这一平面内所有向量

的一组基底。

结论：(1)若向量g_,在不共线，则aa+"b=O的等价条件是入=4=0；

(2)三终点A,B,C共线O存在实数九4使得乂话+”/，且;l+4=L

5.两个向量的夹角

(1)定义：一直两个非零向量a,b,作位=%而=8,则/40B=B叫做a与b的

夹角。

(2)范围：夹角£的取值范围是0

①当a与b同向时，9=；②反向时，0=—；③当a与b垂直时，0=,并记

作aj_b。6.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件

(1)a与b的夹角是锐角ga•b_o且a与b不共线；

(2)a与b的夹角是钝角Ha•b_o且a与b不共线。

7.平面向量的数量积

(1)定义：a•b=,规定0•a=；

(2)坐标表示：a-b=,其中a==(%202)；

(3)运算律

①交换律：a-b=；②结合律(a+。•b=；

③数乘：(脑0•b=.

(4)在b方向上的投影是；

(5)-b的几何意义：数量积a等于的a模|a1与b在的a方向上的投影的乘积。

8.向量数量积的性质

设a,b都是非零向量，是与b方向相同的单位向量，0是a与e的夹角，则

(1)e-a==；(2)a±bo；(3)a•a=；(4)•b||a

­\b1.

【学习过程】

一、情境导学

章前图展示的是一个做滑翔运动员的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同

方向大小各异的力，例如绳索的拉力，风力，重力等，显然这些力不在同一个平内，联想用

平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运

动员呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和表示开始。

二、探究新知

知识点一空间向量的概念

思考1.类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.

(1)在空间，把具有和的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的或—.

空间向量用有向线段表示，有向线段的表示向量的模，a的起点是4终点是氏则a

也可记作其模记为.

(2)几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量规定长度为0的向量叫—记为0

单位向量______的向量叫单位向量

相反向量与向量a长度____而方向_____的向量，称为a的相反向量，记为一a

方向_____且模____的向量称为相等向量，______且_____的有向线段表示

相等向量

同一向量或相等向量

知识点二空间向量的加减运算及运算律

思考2.下面给出了两个空间向量a、b,作出6+a,b~a.

⑴类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.

OB=OA+AB=a+b

―►―►―►

CA=OA-OC=a~b

―►―►—A-►―►

0B=OA+AB^如+0C=a+b

(2)空间向量加法交换律

a+6=6+a

空间向量加法结合律

(a+b)+c—a+(6+c)

知识点三空间向量的数乘运算

思考3.实数A和空间向量a的乘积4a的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算

律？

(1)实数与向量的积

与平面向量一样，实数4与空间向量a的乘积才a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，

记作1a,其长度和方向规定如下：

①I.

②当几＞0时，几3与向量a方向相同；当几〈0时，与向量a方向；当4=0

时，几3=0.

⑵空间向量数乘运算满足以下运算律

①4（〃a）=；②4（司+6）=；③（4+几）@=（拓展）.

12

知识点四共线向量与共面向量

思考4.回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义.

定义平行于同一个平面的向量

三个向量共面的充向量P与不共线向量a,6共面的充要条件是存在______的有

要条件序实数对（x,y）使___________

—►

点户位于平

存在有序实数对（X，力，使/々____________

面/比1内

的充要条件―►-►

对空间任一点。，有切—力+___________

做一做

1.如图，已知长方体切T'B'CD',化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的

向量.

⑴加'-CB-,(2)A4'+/6+HC.

例1.已知平行四边形A8切从平面AC外一点。引向量.

OE=A示，OF=AOB，0G=-^0C>0H=^0D.

求证：四点£,F,G,〃共面

变式训练1.对于空间任意一点。和不共线的三点4B,C,有如下关系:

6OP=OA+2OB+3OCt贝°()

A.四点。，A,B,C必共面B.四点只A,B,C必共面

C.四点ftP,B,C必共面D.五点ftP,A,B,C必共面

知识点五空间向量数量积的概念

思考5.如图所示，在空间四边形"况1中，》=8,AB=6,47=4,BC=5,Zfl4C=45

N0AB=6Q。，类比平面向量有关运算，如何求向量以与6al勺数量积？并总结求两个向量数

量积的方法.

(1)定义：已知两个非零向量a,b,贝UIa|161cos〈a,b)叫做a,6的数量积，记作a•6.

(2)数量积的运算律

数乘向量与向量数量积的结合律(几a)•b=______

交换律a•b=_____

分配律a•(6+c)=_________

(3)空间向量的夹角

①定义：已知两个非零向量a,A在空间任取一点。，作的=a0B=b,则叫做向量

a与6的夹角，记作〈a,6〉.②范围：〈a,b)e.特别地：当〈a,b)—时，a

Lb.

①若a,6是非零向量，贝

两个向量②若a与6同向，则a•6=______；若反向，则a・6=________.

数量积的特别地，a•a=____或|a|=

性质

③若。为a,6的夹角，则cos9=_______

④a•引Wa•\b\

例2.已知平行六面体/吸力B'CD'中，4?=4,49=3,AA'=5,ZBAD=9Q°，Z

BAA'=/DAA'=60°,

(1)求的长；(如图所示)

(1)如图，平行六面体中A3CD-4耳G2中，各条棱长均为1，共顶点4的三条棱两两所

成的角为60。，则对角线BQ的长为,

(2)如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，NA44=/。切=60。,

则异面直线A瓦与BCi所成角的余弦值为,

例3.已知：m,〃是平面a内的两条相交直线，直线/与a的交点为6,且，，如ILn.

求证：7±a

【当堂检测】

1.下列命题中，假命题是（）

A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C.只有零向量的模等于0

D.共线的单位向量都相等

2.在下列命题中:

①若a、6共线，则a、b所在的直线平行;

②若a、6所在的直线是异面直线，则a、6一定不共面;

③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面;

④已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量夕总可以唯一表示为°=xa+yb+zc.

其中正确命题的个数为（)

A.0B.1C.2D.3

3.向量a,6互为相反向量,已知必=3,则下列结论正确的是（）

A.a=bB.a+方为实数0

C.a与6方向相同D.|a|=3

4.在正方体四切一46Kq中，已知下列各式：①（力6+阅+%1；②（/4+4"）+"G；③（AB

+能）+笈G；④C44+4加+6G其中运算的结果为第的有一个.

5.设a,e是平面内不共线的向量，已知/6=2&+4白，CB=ei+3e2,CD=2ei—ei,若4B,

，三点共线，则#=

6.已知a、6是异面直线，且a_L6,e、e分别为取自直线a、6上的单位向量，且a=2e

121

+3e,b=ke-4e,aLb,则实数A的值为

212

7.庞_L平面力及7,且△48C是/6=90°的等腰直角三角形，=ABBA、口仍CC的对角线都分

11111

别相互垂直且相等，若AB=a,求异面直线物与/C所成的角.

【课堂小结】

1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.

2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以

解决一些距离、夹角问题.

3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未

知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键.

参考答案：

知识点一空间向量的概念

思考1.答案在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.

―►

(1)方向；大小；长度；模；长度；®或

(2)零向量；模为1；相等；相反；相同；相等；同向；等长

知识点二空间向量的加减运算及运算律

思考2.答案如图，空间中的两个向量a,6相加时，我们可以先把向量a,6平移到同

—►―►―►—►—►―►—►-►

一个平面a内，以任意点。为起点作力=a,OB=b,则％=的+如=a+6,AB=04=b

知识点三空间向量的数乘运算

思考3.答案4>0时，Aa和a方向相同；儿<0时，1a和a方向相反；八。的长度是a

的长度的I川倍.

空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：

①分配律：才(a+6)=4a+46,

②结合律：X(〃a)=(4〃)a.

⑴相反；|㈤；

(2)(4〃)a；Aa+46；4a+几a

12

知识点四共线向量与共面向量

思考4.答案如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量

叫做共线向量或平行向量.

平行或重合；a=A方向向量；OP=OA+ta；AB

O

—►—►―►—►

惟一；p—xa~\~yb；xAB-\~yAC\xAB-YyAC

做一做

—►―►—►―►—►―►—►

1.解(1)AA'~CB=AA'~DA=AA'+AD=AD'.

―►—►―►—►—►―►—►—►—►―►—►

(2)AA'+AB+B'C=34'+AB)+B'C=AB'+B'C=/，'.向量4/、如

图所示.

D'C

AB

例L

C

【分析】（1）可画出图形，根据五=k丞，而二女祇便可得到眼口，从而得出EF//AB,

OA0B

同理用〃，C,且有砂=用，这便可判断四边形砒/为平行四边形，从而得出四点£,F,G,

〃共面；

解：（1）证明：如图，

•OE=kOA,OF=kOB;,•卢普k；

OAOB

EF//AB,且杯'=|用/8；

同理用〃。C,且用=|A|2CAB=DC；

：.EF//HG,旦EF=HG；

四边形砒狙为平行四边形；

二四点£,F,G,〃共面；

变式练习1.【答案】B

【解析】由已知得方=,况+工砺+工比，而,+工+工=1,

二四点P、A、B、C

632632

共面.故选：B.

知识点五空间向量数量积的概念

思考5.

0A-BC=0A•AC-OA•AB

—►―►―►―►—►―►―►—►

=I0A\Hc|cos〈OA,AC)~|0A\|JJ?|COS〈04,Aff)

=8X4Xcos135°-8X6Xcos120°=24-1672.

求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹

角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.

（2）数量积的运算律6+a・c；入（a•垃；b•a

⑶空间向量的夹角NZ如；［0,兀］；2；y/a•a；嵩尚；a•Z?=0；\a\•\b\；—\a\•\b\；

2

a\

例2.

【分析】⑴可得AC''=4+CC'=标+标+AA',，由数量积的运算可得|正厂|2，开方可

得；

（2）由（1）可知|『|,又可求应|和京，•菽，代入夹角公式可得.

解：⑴可得AC''=正+8‘=薪+75+AA，'，

Ik|2=|标+菽+叱|2=/+而2+『2+2（屈.标+靛.『+正.『）

=42+32+52+2（4X3X0+4X5x2+3X5X2）=85

故的长等于|才|=5/而

（2）由（1）可知『=标+标+瓦尸，IAC^I=V85

故菽，•位=（AB+AD+AA7"）•（AB+AD）

=屈?+2屈•屈+说2+『次+『而

=42+2X4X3XQ+32+5X4X-^5X3Xy=-^

.__________________________________85_

|ACI=2=22=22=5

又V（AB+AD）VAB+2AB-AD+ADV4+0+37X-

V85x5

故/7与AC的夹角的余弦值=菽，,菽=每

lAC7"IlACI丁

变式练习2

（1）【答案】V2

【解析】在平行六面体中ABCD-A.B^D,中，因为各条棱长均为1,共顶点A的三条棱

两两所成的角为60°,所以

BA-BR=BABC=lxlxcosl200=--,BCBR=lxlxcos60°=-,

1212

所以鹤=丽+瓯+反，

所以画2=（而+函+研=丽2+B^2+BC2+2BABB^+2BCBA+2BB^BC，

=3+2xl-1jx2+2x1=2,所以|困卜收

(2)【答案】逅

6

【解析】三棱柱A3C-4用C中，底面边长和侧棱长都相等，ZBAA=NG4A=60。，设

棱长为1，

.—.1.1

则ABAC=lxlxcos600=—,ABAA=lxlxcos60°=—,

2-2

AC-AAi=lxlxcos60°=^.

ABy=AB+A\，BC^AA^+AC-AB，所以可.国'=（血+离）•（福+小㈣

_.kk_,2>2.kk]]]]

=AB-A4j+AB-AC-AB++A4j-AC-A4j-AB=-+--1+1+---=1

而阿=J（丽+福j=J店+2丽.福+丽2=73，

|BQ|=/（丽+恁—碉2=Vi+1+i-i-i+i=0-

所以cos〈福.南〉=普鉴="^=也

所以11画.西72x736•

例3.解：设直线力的方向向量为G，直线〃的方向向量为：，直线/的方向向量为7，

,:m,〃是平面a内的两条相交直线

；•IT与：是平面a内的两个不共线向量,设平面a内的任一向量为a，

由平面向量基本定理，存在唯一实数入，口，使之=入7+口11

XVILm,ILn,.,.7-n=0,H=0

,,1*a=1•（入m+P-n）=入-1-n+口1,n=0

•,1Xa

直线/垂直于平面a内的任意直线,

由线面垂直的定义得：1A-a

达标检测

1.答案：D

解析容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.

2.答案A

解析根据空间向量的基本概念知四个命题都不对.

3.答案D

解析向量a,b互为相反向量，则a,。模相等、方向相反.故D正确.

4.答案4

解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：

—►―►—►—►―►—►

①(46+6。+CG=〃+CG=AG；

—►—►—►―►—►—►

②(44+4加+4G=9+"4=阳；

—►—►―►—►—►-►

③(/9+隔)+笈&=/旦+氏4="4；

—►―►—►―►—►-►

④C44+461)+6iG=Aa+6iG=AG.

所以4个式子的运算结果都是4G

5.答案一8

—►―►—►-►

解析BD=CD—CB=eL4。,AB=2ei+ke^,

又/、B、〃三点共线，由共线向量定理得/夕=几微

1

-4

2_

~T'k=­8.

6.答案6

解析由a_L8,得a・b=O,

・・・(2e+3e)・(4e—4e)=0,A2^-12=0,：.k=6.

1212

7.

G

4

—►—►―►—►—►-►

解如图所