2.4圆的方程（知识解读达标测试）

2.4圆的方程

【考点1：由圆的方程求圆心与半径】【考点2：求圆的标准方程】

【考点3：求圆的一般方程】【考点4：二元二次方程与圆的关系】

【考点5：点与圆的位置关系】【考点6：与圆有关的对称问题】

【考点7：与圆有关的轨迹问题】

【考点8：与圆有关的最值问题】

知识点1圆的标准方程1、定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。其中，定点称为圆心，定长称为圆的半径。2、确定圆的基本要素是：圆心和半径3、圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为4、几种特殊位置的圆的标准方程条件方程的标准形式圆心在原点圆过原点圆心在轴圆心在轴圆心在轴上且过原点圆心在轴上且过原点圆与轴相切圆与轴相切圆与两坐标轴都相切

【考点1：由圆的方程求圆心与半径】

【典例1】圆的圆心坐标和半径分别为（

）A．， B．， C．，3 D．，3【答案】A【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得.【详解】圆的圆心坐标为，半径为.故选：A【变式11】圆的圆心坐标和半径分别为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用圆的标准方程即可求得圆心坐标和半径.【详解】根据圆的标准方程，即可得圆心坐标为，半径为.故选：D【变式12】圆的圆心和半径分别是（

）A．， B．，2 C．，1 D．，【答案】D【分析】直接由圆的标准方程，确定圆心和半径，即可得到答案．【详解】由圆的方程，可得它的圆心和半径分别为，．故选：D．【变式13】已知圆，则圆心与半径分别为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】直接利用圆的标准方程写出圆的圆心与半径即可【详解】圆的方程为为标准形式，即圆心与半径分别为，故选：D.【考点2：求圆的标准方程】

【典例2】在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圆心和半径直接确定圆的方程.【详解】由题意可得方程为.故选：C.【变式21】已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据圆的标准方程得解.【详解】因为圆心为，半径为5，所以圆的标准方程为，故选：C【变式22】过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知求出所求圆的圆心和半径，即可求得答案.【详解】由圆可知，，故以为直径的圆的圆心为，半径为，故以为直径的圆的方程为，故选：D【变式23】已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程.【详解】设圆C的方程为，则圆心，则有，解之得,则有圆C的方程为，即故选：C知识点2：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有（1）若点在圆上（2）若点在圆外（3）若点在圆内知识点3：圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径．知识点诠释：由方程得（1）当时，方程只有实数解．它表示一个点．（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．

知识点4：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．（2）根据已知条件，建立关于或的方程组．（3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．【考点3：求圆的一般方程】【典例3】已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为.【答案】【分析】方法一：设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程组，求出答案；方法二：求出线段AB的垂直平分线方程，联立求出圆心坐标，进而计算出半径，写出圆的标准方程，化为一般方程.【详解】方法一：设所求圆的标准方程为，由题意得:，解得：故所求圆的方程为，即.方法二：线段的中点坐标为，即，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，即，由几何性质可知：线段的垂直平分线与的交点为圆心，联立，得交点坐标，又点到点的距离，即半径为，所以圆的方程为，即.故答案为：【变式31】求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为.【答案】【分析】分析出圆心在直线上，再结合其在上，最后得到圆心坐标即可得到答案.【详解】若经过点，，则圆心在直线上，又在直线l：上，令，则，故圆心坐标为，半径为，故所求圆的标准方程为.故答案为：.【变式32】在中，，B和C．则的外接圆方程为．【答案】【分析】设出圆的一般方程，代入点的坐标求解即可．【详解】由题意设圆的方程为，代入三个点的坐标可得，解得，所以的外接圆方程为，故答案为：．【变式33】已知圆，若圆与圆关于直线对称，则圆方程.【答案】【分析】先利用配方法求得圆的圆心与半径，根据直线的对称性求得圆的圆心，从而得解.【详解】圆可化为，则其圆心，半径，设圆的圆心为，因为圆与圆关于直线对称，所以，整理得，解得，所以圆得方程为：.故答案为：【考点4：二元二次方程与圆的关系】

【典例4】多选题若曲线是一个圆，则的取值可以是（

）A． B． C．2 D．6【答案】AD【分析】根据方程表示圆求参数范围即可.【详解】因为曲线表示圆，所以，解得或.故选：AD

【变式41】方程表示一个圆，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化简方程为，根据圆的标准方程，得到不等式，即可求解.【详解】由方程，可化为，要使得方程表示一个圆，则满足，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.【变式42】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将方程表示圆，化为标准式得出，由点在圆外，得出，即可结合得出答案.【详解】圆化为标准式：，则，即，又点在圆的外部，，解得，综上：.故选：C.【变式43】若表示圆的方程，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解.【详解】因为方程表示一个圆，所以，解得，所以的取值范围是.故选：D

【考点5：圆过定点问题】【典例5】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.【详解】设点，则线段的中点为，圆的半径为，所以，以为直径为圆的方程为，即，即，由，解得或，因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.故选：D.【变式51】若圆过坐标原点，则实数m的值为（

）A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1【答案】A【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以.故选：A．【变式52】当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点.【答案】（0，－2）和（0，1）【详解】解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）.【变式53】圆心在抛物线上，且与直线相切的圆一定过的点是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，根据抛物线的性质和圆的性质得出圆的半径为圆心到直线的距离，对于圆心到抛物线的焦点的距离，故抛物线的焦点在圆上．【详解】解：抛物线的标准方程为：，抛物线的准线方程为，焦点为．设动圆圆心为，则到的距离：．动圆与直线相切，到直线的距离为动圆半径，即动圆半径为，即为圆上的点．此圆恒过定点．故选：B．知识点5：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3、求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；（2）列出关于的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．

【考点6：与圆有关的对称问题】

【典例6】圆关于直线对称后的方程为（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】根据已知圆的圆心求出关于直线对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果.【详解】因为圆，所以圆的圆心为，半径为，设点关于直线对称的点为，所以，解得：，所以所求圆的圆心为，半径为,故所求圆的方程为：.故选：A.【变式61】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据圆上的任意两点关于直径对称即可求解.【详解】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则圆心在直线上，故代入解得，故选：D．【变式62】已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两点的坐标，求其中点坐标以及斜率，根据对称轴与两对称点连接线段的关系，可得答案.【详解】由题意得，，则的中点的坐标为，直线的斜率.由圆与圆关于对称，得的斜率.因为的中点在上，所以，即.故选：C.

【考点7：与圆有关的轨迹问题】

【典例7】如图，已知点是棱长为2的正方体的底面内（包含边界）一个动点，若点到点的距离是点到的距离的两倍，则点的轨迹的长度为．【答案】【分析】根据题意，得到，以为原点，建立平面直角坐标系，设，结合，求得点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，再由扇形的弧长公式，即可求解.【详解】在正方体中，可得平面，因为平面，所以，则点到的距离等于点到点的距离，即，在底面中，以为原点，以所在的直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可得，设，由，可得，整理得，即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，又由，可得，所以，即所对的圆心角为，所以点的轨迹的长度为圆弧长为.故答案为：.【变式71】已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，则动点的轨迹所围成图形的面积为．【答案】【分析】先求出P的轨迹方程，再求面积.【详解】设，由题意，则，平方化简得，即的轨迹是半径为4的圆，所围成图形面积为.故答案为：.

【变式72】已知线段的端点的坐标，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹所围成图形的面积（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用相关点法求得点的轨迹方程，进而求得面积.【详解】设线段的中点，，则，即，又因为端点在圆上运动，所以，即，整理得：，所以点的轨迹方程是以圆心为，半径为的圆.所以该圆的面积为.故选：C.【变式73】线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解.【详解】，设为线段中点，，设，则，即．则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆；故线段中点的轨迹所围成图形的面积为.故选：D

【考点8：与圆有关的最值问题】【典例8】在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为（

）A．34 B．40 C．44 D．48【答案】B【分析】借助点到直线的距离公式与圆上的点到定点距离的最值计算即可得.【详解】设，则，即等价于点到点的距离的平方的两倍加八，又，即.故选：B.【变式81】已知点A为曲线上的动点，B为圆上的动点，则的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．【答案】A【分析】数形结合分析可得，当时能够取得的最小值，根据点到圆心的距离减去半径求解即可.【详解】圆的圆心为，半径为1，由对勾函数的性质,可知，当且仅当时取等号，结合图象可知当A点运动到时能使点A到圆心的距离最小，最小值为4，从而的最小值为.故选：A【变式82】已知向量，，满足，，，，则的最小值等于（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示，向量的坐标满足方程，结合向量的数量积公式求得结果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，依题意令，，，，因为，所以，即，，则，则，则的最小值为4.故选：C.

【变式83】在平面直角坐标系中，已知P是圆上的动点，若，则的最小值为（

）A．12 B．8 C．6 D．4【答案】B【分析】先根据，再根据圆的性质求的最小值即可.【详解】，当且仅当P在线段CO上时等号成立.故选：B.1.经过，，三个点的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设经过，，三个点的圆的方程为，代入三点坐标可得答案.【详解】设经过，，三个点的圆的方程为，由题意可得，解得，且满足，所以经过，，三个点的圆的方程为，即为.故选：C.2．圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意设圆心坐标，建立方程，求解即可.【详解】解：设圆心坐标为，因为圆心在轴上且圆与轴相切，所以即为半径,则根据题意得：，解得，所以圆心坐标为：，半径为5，该圆的方程是,展开得：.故选：C.3．圆的圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【详解】由题意得，即，则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.故选：D.4．已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距离最小值为圆心到定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解.【详解】法一：设的重心为，则，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，又，的最小值是.法二：以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，即，化简得，点的轨迹方程为，设圆心为，，由圆的性质可知当过圆心时最小，又，故得最小值为.故选：C.5．曲线所围成的区域的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆的一般方程化为圆的标准方程，确定圆的半径，即可求解.【详解】由，得，故该曲线围成区域的面积为半径为3的圆的面积为.故选：D.6．直线与轴，轴分别交于点、，以线段为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线方程求出、点的坐标，从而求出的中点即为圆心，长的一半为半径，利用圆的标准方程直接写出，再化为一般方程即可.【详解】直线，即，与轴，轴分别交于点、，则的中点为，且，所以以线段为直径的圆的方程为，即.故选：B7．圆的圆心到直线与直线的距离相等，则实数（

）A． B．1或 C．或3 D．3【答案】C【分析】由题意可知，则，解之即可求解.【详解】由，知，则，解得或．故选：C．8．由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据正方形可得动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，求出方程即可.【详解】因为四边形为正方形，且,所以,故动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为.故选：B9．过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（

）A． B．．C． D．【答案】A【分析】设所求圆的方程为，求出圆心坐标代入直线，求得，即可求得答案.【详解】由题意设所求圆的方程为，即，圆心坐标为，代入中，即，解得，将代入中，即，满足，故所求圆的方程为，故选：A10．经过点(2，0)，且圆心是两直线x－2y＋1＝0与x＋y－2＝0的交点的圆的方程为（

）A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2【答案】D【详解】由得即所求