专题拓展一元二次方程根的分布问题（技巧解密4考点过关检测）

专题拓展：一元二次方程根的分布问题一、二次函数相关知识对于形如的二次函数，有以下性质：1、判别式：；求根公式：；2、韦达定理：，；3、二次函数对称轴，定点坐标（，）．二、一元二次方程根的0分布方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.0分布结合判别式、韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。三、一元二次方程根的k分布分布情况两根都小于即两根都大于即一根小于，一大于即大致图象（a>0）得出的结论大致图象（a<0）得出的结论综合结论（不讨论a）四、一元二次方程根在区间的分布分布情况两根都在内两根仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，大致图象（）得出的结论或大致图象（）得出的结论或综合结论（不讨论）——————考点一：根在R上的分布例1．（2223高一下·安徽滁州·月考）“”是“关于的方程有两个不等实根”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为关于的方程有两个不等实根，所以，解得或，所以“”是“关于的方程有两个不等实根”既不充分也不必要条件.故选：D【变式11】（2324高一上·福建莆田·月考）已知命题“，关于的一元二次方程有实数根”是真命题，则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为，关于的一元二次方程有实数根，所以，解得，故答案为：【变式12】（2324高一上·全国·课后作业）若关于x的方程的解集为，则实数k的取值范围是.【答案】【解析】当时，方程的解为，不满足题意；当时，因为关于x的方程的解集为，所以，解得；综上，实数k的取值范围是，故答案为：.【变式13】（2324高一上·江苏南京·月考）若下列两个方程：，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为.【答案】或.【解析】有实根，则，解得或，有实根，则，解得或，故实数a的取值范围是或或或.故答案为：或.考点二：根的“0”分布例2.（2324高一上·福建厦门·月考）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为方程有两个不相等的正实数根，所以，解得且.故选：A.【变式21】（2324高一上·四川绵阳·月考）关于的方程至少有一个负根的充要条件是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】当方程没有根时，，即，解得；当方程有根，且根都不为负根时，可得，解得，综上可知，即关于的方程没有一个负根时，，所以至少有一个负根的充要条件是.故选：B【变式22】（2223高一下·河北保定·月考）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为，则，解得，故选：A【变式23】（2324高一上·广西南宁·月考）设：实数满足，：一元二次方程“”有两个负数解，则是（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】命题：一元二次方程有两个负数解，所以，解得，所以是的充分不必要条件，故选：A.考点三：根的“k”分布例3.（2223高一上·江苏宿迁·月考）已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则可能为（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【解析】令，则，由题可知，，且，即，解得，故所有选项中满足题意的的值是：.故选：B.【变式31】（2223高一上·江苏盐城·月考）关于的方程有两个不相等的实数根且，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，解得：，即的取值范围为.故选：D.【变式32】（2324高一上·湖南长沙·月考）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令由题可知：则，即故选：C【变式33】（2324高一上·北京·月考）已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设方程的两根为，依题意有：，因都大于1，则，且，显然成立，由得，则有，解得，由解得：，于是得，所以的取值范围是.故选：A考点四：根在区间上的分布例4.（2223高一上·广东广州·月考）已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为关于的方程在区间内有实根，所以在区间内有实根，令，，所以在上单调递减，所以，即，依题意与在内有交点，所以.故选：B【变式41】（2324高一上·广西南宁·月考）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】方程对应的二次函数设为：因为方程恰有一根属于，则需要满足：①，，解得：；②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，把点代入，解得：，此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去把点代入，解得：，此时方程为，两根为，，而，故符合题意；③函数与x轴只有一个交点，，解得，经检验，当时满足方程恰有一根在区间(0,1)内;综上：实数m的取值范围为故选：D【变式42】（2223高一上·江苏扬州·月考）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故选：B.【变式43】（2223高一上·湖南·期中）已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为．【答案】【解析】令，根据题意得，由①得：，由②得：，由③得：，求交集得：故的取值范围为.故答案为：一、单选题1．（2223高一上·福建福州·月考）关于x的一元二次方程有两个正实数根，则q的取值范围是（

）A． B． C．或 D．【答案】D【解析】因为一元二次方程有两个正实数根，所以，解得，故选：D2．（2324高一上·甘肃武威·开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．且【答案】B【解析】根据题意可知；，由韦达定理可得，解得，故选：B3．（2223高一上·辽宁沈阳·月考）一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为一元二次方程有一个正根和一负根，设两根为和，所以，解得，故.故选：A.4．（2324高三上·四川·月考）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，因为方程在区间上有两个不相等的实数解，所以，即，解得，所以的取值范围是．故选：A．5．（2324高一上·全国·课后作业）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】记，则为开口向上的二次函数，要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要，解得，故选：C6．（2324高一山·全国·课后作业）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】当方程没有根时，，即，解得；当方程有根，且根都不为负根时，，解得，综上，，即关于x的方程没有一个负根时，，所以关于x的方程至少有一个负根的充要条件是，故选:B.二、多选题7．（2324高一上·山西太原·月考）已知关于的方程，则（

）.A．当时，方程有两个不相等的实数根B．方程无实数根的一个充分条件是C．方程有两个不相等的负根的充要条件是D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是【答案】BC【解析】对于A：当时，，此时，此时方程没有实数根，故A错误；对于B：方程无实数根的充要条件是，即，所以方程无实数根的一个充分条件是的子集，显然符合，故B正确；对于C：方程有两个不相等的负根的充要条件是解得：，故C正确;对于D：方程有一个正根和一个负根的充要条件是解得：，故D错误;故选：BC.8．（2223高一上·江苏南京·期末）设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（

）A．当时，方程的两个实数根之和为0B．方程无实数根的一个必要条件是C．方程有两个不相等的正根的充要条件是D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是【答案】BCD【解析】对于A选项，时无实根，A错误；对于B选项，当时方程有实根，当时，方程无实根则，解得，一个必要条件是，B正确；对于C选项，方程有两个不等正根，则，，，，解得；对于D选项，方程有一个正根和一个负根，则，，解得，D正确；故选：BCD.三、填空题9．（2324高一上·江苏南京·月考）设为实数，若二次函数在区间上有两个零点，则的取值范围是.【答案】【解析】二次函数的对称轴为，且开口向上，因为二次函数在区间上有两个零点，所以方程在区间内有两个不同的根，记方程的两根为，则，解得，所以.故答案为：10．（2023高一·全国·课后作业）关于的方程的两根均大于，则实数的取值集合为.【答案】【解析】不妨设关于的方程的两实数根为，，则，若两根均大于，则，矛盾，故不存在实数，使得关于的方程的两根均大于，即实数的取值集合为.故答案为：11．（2324高一上·湖北·月考）命题“时，方程有两个不等实数根”是真命题，则实数的取值范围是．【答案】【解析】因为命题“时，方程有两个不等实数根”是真命题，所以函数的图象在上与轴有两个不同的交点，因此，解得，所以实数的取值范围是，故答案为：四、解答题12．（2324高一上·浙江金华·月考）已知关于的方程，当方程的根满足下列条件时，求的取值范围.(1)有两个实数根，且一个比2大，一个比2小；(2)至少有一个正根.【答案】(1)；(2)【解析】（1）设，则由题意可得，解得.（2）关于x的方程无实数根时，，解得，关于x的方程有两个负实数根时，，解得，所以关于x的方程无实数根时或有两个负实数根时，可得关于x的方程至少有一个正实数根，则.13．（2324高一上·上海黄浦·期中）已知、、