3.2.1函数的单调性与最值课件高一上学期数学

第3章函数的概念与性质函数的单调性与最值湘教版

数学

必修第一

册课标要求1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2.理解函数单调性和最值的作用和实际意义.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点一函数的最大(小)值设D是函数f(x)的定义域,I是D的一个非空子集.(1)最大值:如果有a∈D,使得不等式

对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取到最大值M=

,称M为f(x)的最大值,a为f(x)的最大值点.

(2)最小值:如果有a∈D,使得不等式

对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取到最小值M=

,称M为f(x)的最小值,a为f(x)的最小值点.

名师点睛注意区分最值和最值点,最值和最值点分别为函数值和自变量的取值.f(x)≤f(a)f(a)f(x)≥f(a)f(a)过关自诊已知函数f(x)在区间[-2,2]上的图象如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是(

)A.f(-2),0 B.0,2C.f(-2),2 D.f(2),2C解析

由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.知识点二函数单调性的概念函数增函数减函数定义如果对于区间I上任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有任意指所有f(x1)

f(x2)

f(x1)

f(x2)

就称f(x)是区间I上的增函数,也称f(x)在区间I上单调递增就称f(x)是区间I上的减函数,也称f(x)在区间I上单调递减图象特征函数f(x)在区间I上的图象是上升的函数f(x)在区间I上的图象是下降的图示

1.<<>2.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)

,区间I叫作y=f(x)的单调区间.介绍函数的单调性必须要指出函数的单调区间

名师点睛1.函数的单调性是函数在某个区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分,也就是单调区间是定义域的某个非空子集.2.对于单独一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在书写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但在某些点无意义时,单调区间不能包括这些点.单调性过关自诊1.已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是(

)B2.如果(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是(

)A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2) D.不能确定D解析

根据函数单调性的定义可知,所取的两个自变量的值必须在同一单调区间内才能由函数的单调性比较其函数值的大小,故选D.3.试用函数单调性的定义证明:函数f(x)=x+在区间(0,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.重难探究·能力素养速提升探究点一确定函数的单调区间【例1】

(1)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是(

)A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)=-

D.f(x)=-|x|C解析

函数f(x)=3-x为一次函数,在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;函数f(x)=-|x|,当x>0时,f(x)=-x,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,不符合题意.故选C.(2)函数y=x2-2|x|+1的单调递增区间是(

)A.(-1,0)B.(-1,0)和(1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,-1)和(0,1)B由图象可知,函数的单调递增区间为(-1,0)和(1,+∞).故选B.变式探究已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.由图象可知,函数的单调递增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调递减区间为[1,2].规律方法

1.一次、二次函数及反比例函数的单调性:(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性由系数k决定:当k>0时,该函数在R上是增函数;当k<0时,该函数在R上是减函数.(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性以对称轴x=为分界线.(3)反比例函数y=(k≠0)的单调性如下表所示.k的符号单调性k>0在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减k<0在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增2.对于含绝对值的函数可以去掉绝对值号转化为分段函数或作出函数图象判断函数单调性.探究点二证明函数的单调性因为1<x1<x2,所以x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在(1,+∞)上是减函数.规律方法

1.利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤

2.作差变形的常用技巧(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号.(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.变式训练1(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断这个函数在(-∞,-2)上的单调性并证明.∵x1<x2<-2,x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增.探究点三函数单调性的应用1.根据函数单调性比较大小【例3】

已知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,试比较f(a2-a+1)与

的大小.规律方法

函数单调性的应用问题的解题策略(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.(2)利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.变式训练2已知g(x)是定义在区间[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求实数t的取值范围.2.根据函数单调区间或单调性求参数范围【例4】

函数f(x)=x2+(2a+1)x+1在区间[1,2]上是单调函数,则实数a的取值范围是(

)A规律方法

含参数的函数单调性问题,应明确若函数在某一区间I上是单调递增(或单调递减),则该区间是函数的原单调递增区间(或单调递减区间)D的非空子集,即I⊆D.变式训练3如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,那么实数a的取值范围是(

)A.(-∞,-3] B.[-3,+∞)C.(-∞,5] D.[5,+∞)A解析

∵二次函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的对称轴为x=-=-(a-1)=1-a,抛物线开口向上,∴函数在(-∞,1-a]上单调递减,要使f(x)在区间(-∞,4]上单调递减,则对称轴1-a≥4,解得a≤-3.3.含参数的分段函数的单调性问题【例5】

(多选题)已知函数f(x)=是R上的函数,且满足对于任意的x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,则a的可能取值是(

)A.1 B.-1 C.-2 D.-3CD规律方法

分段函数的单调性不要忽视分段函数定义域的分界点的大小,由于分段函数是一个函数,因此对于分段函数在实数集R上的单调递增(减)的问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小应满足函数的单调性的性质,否则求出的参数的范围会出现错误.变式训练4若函数f(x)=是R上的单调函数,则实数a的取值范围为

.

4.利用函数的单调性求最值【例6】

已知函数f(x)=x+.(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.解

(1)∀x1,x2∈[1,2],且x1<x2,∵x1<x2,∴x1-x2<0.当1≤x1<x2≤2时,x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0.∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减.(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+=4;f(x)的最大值为f(1).∵f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.变式探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.当1≤x1<x2≤2时,f(x1)>f(x2),f(x)在区间[1,2]上单调递减;当2<x1<x2≤3时,x1x2>0,4<x1x2<9,即x1x2-4>0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在区间(2,3]上单调递增.规律方法

1.利用单调性求函数最值的一般步骤:(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性写出最值.2.函数的最值与单调性的关系:(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间(b,c]上单调递减(增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.学以致用·随堂检测促达标1234561.(多选题)若函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则下列区间是函数f(x)的单调递减区间的为(

)A.[-4,-2] B.[-3,-1]C.[-4,0] D.[1,4]AD解析

由图可得f(x)在[-4,-2]上单调递减,在[-2,1]上单调递增,在[1,4]上单调递减,则f(x)的单调递减区间为[-4,-2],[1,4].故选AD.1234562.已知函数y=ax和y=在(0,+∞)上都单调递减,则函数f(x)=bx+a在R上是(

)A.减函数且f(0)<0B.增函数且f(0)<0C.减函数且f(0)>0D.增函数且f(0)>0A解析

∵y=ax和y=在(0,+∞)上都单调递减,∴a<0,b<0,则f(x)=bx+a在R上为减函数,且f(0)=a<0,故选A.1234563.下列函数在区间(1,+∞)上单调递增的是(

)A.y=|x-1|+2B.y=C.y=x2-4x+5D.y=-3x-1A123456解析

对于A,在区间(1,+∞)上,y=|x-1|+2=x+1是增函数,符合题意;对于B,y=是反比例函数,在区间(0,+∞)上是减函数,