人教版2024-2025学年七年级数学上册阶段拔尖专训14　线段与角计算中的动态探究问题

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便捷操作03

亮点功能04

线段中的动点问题【高分秘籍】线段的动点问题是难点也是热点问题，要注

意：①运动的方向；②运动的距离，特别是要会用两点间的

距离表示点的运动路程.1.

如图，已知数轴上点

A

表示的数为6，

B

是数轴上在

A

左

侧的一点，且

A

，

B

两点间的距离为18.动点

P

从点

A

出

发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设

运动时间为

t

(

t

＞0)秒.1234(1)数轴上点

B

表示的数是

，点

P

表示的数是

⁠

(用含

t

的代数式表示).－12

6

－4

t

1234①若点

Q

向右运动，当点

P

运动多少秒时，点

P

与点

Q

相遇？②若点

Q

向左运动，当点

P

运动多少秒时，点

P

与点

Q

间的距离为8个单位长度？(2)动点

Q

从点

B

出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴

匀速运动，点

P

，

Q

同时出发.1234【解】①若点

Q

向右运动，根据两点之间的距离为

18，得4

t

＋2

t

＝18，解得

t

＝3.故当点

P

运动3秒时，点

P

与点

Q

相遇.②当点

P

不超过点

Q

时，18＋2

t

－4

t

＝8，解得

t

＝5；

当点

P

超过点

Q

时，18＋2

t

＋8＝4

t

，解得

t

＝13.故当点

P

运动5秒或13秒时，点

P

与点

Q

间的距离为8个

单位长度.12342.

如图，线段

AB

＝28

cm，点

D

和点

C

在线段

AB

上，且

AC

∶

BC

＝5∶2，

DC

∶

AB

＝1∶4.点

P

从点

A

出发，以4

cm/s

的速度沿射线

AD

向点

C

运动，点

P

到达点

C

所在位置后

立即按照原路原速返回，到达点

D

所在位置后停止运动.

点

Q

从点

B

出发，以1

cm/s的速度沿着射线

BC

的方向运

动，点

Q

到达点

D

所在的位置后停止运动.点

P

和点

Q

同

时出发，点

Q

运动的时间为

t

s.1234(1)求线段

AD

的长度；

所以

AD

＝

AC

－

DC

＝20－7＝13(cm).1234(2)当点

C

恰好为

PQ

的中点时，求

t

的值.

1234

1234

1234

角中的旋转问题【高分秘籍】(1)角的一边动另一边不动，角度变大：目标角

＝起始角＋速度×时间；(2)角的一边动另一边不动，角度变

小：目标角＝起始角－速度×时间.3.

如图，以直线

AB

上一点

O

为端点作射线

OC

，使∠

BOC

＝70°，将一个直角三角板的直角顶点放在点

O

处.(注：

∠

DOE

＝90°)(1)如图①，若直角三角板

DOE

的一边

OD

放在射线

OB

上，则∠

COE

＝

°；20

1234(2)如图②，将直角三角板

DOE

绕点

O

逆时针方向转

动到某个位置，若

OC

恰好平分∠

BOE

，求∠

COD

的度数.1234【解】因为

OC

平分∠

EOB

，∠

BOC

＝70°，所以∠

EOB

＝2∠

BOC

＝140°.又因为∠

DOE

＝90°，所以∠

BOD

＝∠

BOE

－

∠

DOE

＝140°－90°＝50°.所以∠

COD

＝∠

BOC

－∠

BOD

＝70°－50°＝20°.1234(3)如图③，将直角三角板

DOE

绕点

O

转动，如果

OD

始

终在∠

BOC

的内部，试猜想∠

BOD

和∠

COE

有怎样

的数量关系？并说明理由.1234【解】∠

COE

－∠

BOD

＝20°.理由：∠

BOE

＝

∠BOC

＋∠

COE

＝∠

BOD

＋∠

DOE

，所以∠

COE

－∠

BOD

＝∠

DOE

－∠

BOC

＝90°－70°＝20°，即∠

COE

－∠

BOD

＝20°.12344.

如图①，

O

为直线

AB

上一点，过点

O

作射线

OC

，∠

AOC

＝30°，将一直角三角板(∠

M

＝30°)的直角顶点放

在点

O

处，边

ON

在射线

OA

上，另一边

OM

与

OC

都在

直线

AB

的上方.1234(1)将图①中的三角板绕点

O

以每秒3°的速度沿顺时针方

向旋转一周，如图②，经过

t

秒后

OM

恰好平分∠

BOC

，则

t

＝

⁠.5

1234【点拨】因为∠

AOC

＝30°，所以∠

BOC

＝150°.因为

OM

恰好平分∠

BOC

，所以∠

COM

＝75°.因为∠

NOM

＝90°，所以∠

CON

＝15°.所以

∠AON

＝∠

AOC

－∠

CON

＝30°－15°＝15°.所以

t

＝15°÷3°＝5.1234(2)在(1)的基础上，若三角板在转动的同时，射线

OC

也绕

O

点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图③，则经过多少秒后射线

OC

平分∠

MON

？请说明理由.1234【解】经过5秒或115秒后，

OC

平分∠

MON

.

理由：

因为∠

MON

＝90°，

OC

平分∠

MON

，所以∠

CON

＝45°.设经过

x

秒后

OC

平分∠

MON

.

由题意知∠

AON

＝(3

x

)°，∠

AOC

＝(30＋6

x

)°.因

为∠

AOC

－∠

AON

＝45°，所以(30＋6

x

)°－(3

x

)°

＝45°，解得

x

＝5.当

OC

停止运动，

ON

运动345°

时，

OC

也平分∠

MON

，此时

x

＝345°÷3°＝115.综上，经过5秒或115秒后，

OC

平分∠

MON

.

1234(3)在(2)的基础上，试探究经过多少秒时∠

MOC

＝36°.【解】设经过

y

秒时∠

MOC

＝36°.①当

OC

未停止运

动时，若

OC

未超过

OM

，因为∠

MOC

＝36°，∠

MON

＝90°，所以∠

NOC

＝90°－36°＝54°，即

(30＋6

y

)°－(3

y

)°＝54°，解得

y

＝8.若

OC

超过

OM

，则(30＋6

y

)°－90°－(3

y

)°＝36°，解得

y

＝

32.1234②当

OC

停止运动时，若

OM

运动到

OC