2023年山东省泰安市中考数学真题卷（含答案与解析）

泰安市2023年初中学业水平测试

数学试题

本试题分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，第I卷1至4页，第n卷4

至8页，共150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答.

2,考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回.

第I卷（选择题共48分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求）

2

1.3的倒数是（）

2233

A.-B.--C.—D.一一

3322

2.下列运算正确是（）

A2a-^-3h=5abB.（a-Z?）2=a2-b2

C.（tzZ?2）3=a3b5D.=_⑵s

3.2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果.科学家们通过对月球样品的

研究，精确测定了月球的年龄是20.3亿年，数据20.3亿年用科学记数法表示为（）

A.2.03x108年B.2.03x109年C.2.03x1010年D.20.3x1CT年

4.小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如下四种图形，则既是轴对称图形又是中心对

称图形的是（）

5.把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若Nl=35。，则N2的度数等于（）

6.为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测.在今年的抽测中，某校九年级

二班随机抽取了10名男生进行引体向卜测试,他们的成绩（单位：个）如下：7.11.10.11.6.

14，11，10,11，9.根据这组数据判断下列结论中埼堡的是（）

A.这组数据众数是11B.这组数据的中位数是10

C.这组数据的平均数是10D.这组数据的方差是4.6

7.如图，A8是。。的直径，。，C是。。上的点，NAZ）C=115。，则2朋C的度数是（）

8.一次函数y=ox+b与反比例函数y=—（a,b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是

x

9.如图，。。是X5C外接圆，半径为4,连接08,0C,04,若NC4O=40。，ZACB=70°,则

阴影部分的面积是（）

10.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之

重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相

同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了

13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两.根据

题意得（）

1lx=9y,fl0y+x=8jv+y,

A（10y+x）-（8x+y）=13.B9x+13=lly.

9x=lly,9x=11y

［（10y+x）-（8x+y）=13.,［（8x4->?）-（10y+x）=13.

11.如图，是等腰三角形，AB=ACfZA=36°.以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于

点F,交8。于点G,分别以点尸和点G为圆心，大于G的长为半径作弧，两弧相交于点”，作射线

2

BH交AC于点、D；分别以点8和点。为圆心，大于1劭的长为半径作弧，两孤相交于“、N两点，作直

2

15.二次函数），=一f一3x+4的最大值是.

16.在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量.如图，在塔前C

处，测得该塔顶端8的仰角为50。，后退60m（CD=60m）到。处有一平台，在高2m

（DE=2m）的平台上的E处，测得B的仰角为26.60.则该电视发射塔的高度A8为m.（精

确到1m.参考数据：tan50°«1.2,tan26.6°«0.5）

17.如图，在中，AC=BC=16,点。在48上，点E在BC上,点8关于直线OE的轴对称点

为点B'，连接OB',EB',分别与AC相交于尸点，G点，若A尸=8,。尸=7,夕尸=4,则CG的长度

18.已知，7Ap•…都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放.点

•都在x轴正半轴上，且44=44=44=.......=1,则点/您的坐标是

三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.）

（。x—1）炉+1Ox+25

19.（1）化简:

X2-4

2x+7>3

（2）解不等式组：x+1x-1.

---->----

32

20.2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开.为激励青少年争做

党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结

果分为四个等级：4级为特等奖，3级为一等奖，C级为二等奖，。级为优秀奖.并将统计结果绘制成了

如图所示的两幅不完整的统计图.

请根据相关信息解答下列问题：

（1）本次竞赛共有名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是度;

（2）补全条形统计图；

（3）若该党史馆有一个入口，三个出口.请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同

一出口走出的概率.

21.如图，一次函数y=-2x+2图象与反比例函数%=&的图象分别交于点A,点、B,与）'轴，x轴

x

分别交于点C，点O,作AE_Ly轴，垂足为点后，OE=4.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)在第二象限内，当乂＜当时，直接写出x的取值范围；

(3)点尸在/轴负半轴上，连接R4,且R4_LAB，求点P坐标.

22.为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具.该商店规定一次性购

买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款.小明如果给学校九年级学生每人购买一

个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按

批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？

23.如图，矩形A8CO中，对角线AC,BZ)相交于点O,点尸是OC边上的一点，连接AF，将

△AOb沿直线AF折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交。C于点儿连接尸G并延长交3C于点

(2)求证：FH=ME.

24.如图，5BC、uCDE1是两个等腰直角三角形，EF±AD.

(2)求证：4EHGS/\ADG：

AEAC

（3）求证:

~EH~~HC

25.如图1,二次函数y=ar?+力x+4的图象经过点A（-4,0）,8（-1,0）.

图1图2

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点P在二次函数对称轴上，当aBCP面积为5时，求尸坐标；

（3）小明认为，在第三象限抛物线上有一点。，使ND48+NAC8=90。；请判断小明的说法是否正

确，如果正确，请求出。的坐标；如果不正确，请说明理由.

参考答案

一、选择题

2

1.3的倒数是（）

22八33

A.-B.---C.-D.---

3322

【答案】D

【解析】

【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答.

［详解】解：・・・（一|）x（_|）=l,

23

・・・一二的倒数是一=,

32

故选：D.

【点睛】本题考查倒数的定义，掌握互为倒数的两个数积为1,是解题的关键.

2.下列运算正确的是（）

A.2rz4-3Z?=5abB.（a-b）2=a2-b2

C.（加）=a%D.34（-4。2）=-12^5

【答案】D

【解析】

【分析】A、不能合并，本选项错误；B、利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；C和D、利用

积的乘方及事的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断.

【详解】解：2a和劝不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意；

（a-b）2=a2-2ab+b2,故B选项错误，不符合题意；

（ab2^=ayb\故C选项错误，不符合题意；

3".（-4"）=一］2/,故D选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数累的除法，积的乘方与幕的乘方，熟练掌握完全

平方公式是解本题的关键.

3.2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果.科学家们通过对月球样品的

研究，精确测定了月球的年龄是20.3亿年，数据20.3亿年用科学记数法表示为（）

A.2.03x108年B.2.03x109年c.2.O3xlO,0^D.20.3xlO9^

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表现形式为ax10〃的形式，其中1＜忖V10,〃为整数，确定〃的值时，要看把

原数变成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，

〃是正数，当原数绝对值小于1时〃是负数；由此进行求解即可得到答案.

【详解】解：20.3亿年=2030000000年=2.03x1()9年，

故选B.

【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义.

4.小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如下四种图形，则既是轴对称图形又是中心对

【解析】

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形

叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度后与原图重合，

即可得到答案.

【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；

B、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；

C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；

D、是轴对称图形也是中心对称图形，故该选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握概念是解题关键.

5.把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若Nl=35。，则N2的度数等于()

A.65°B.55°C.45°D.60°

【答窠】B

【解析】

【分析】如图所示，过点。作则O石〃AB〃CD,由平行线的性质得到

ZEOC=Z2,ZAOE=Z\f进而推出Nl+N2=90°,由此即可得到答案.

【详解】解：如图所示，过点。作

•:ABNCD,

:.OE//AB//CD,

:・/EOC=Z2,ZAOE=Z\,

■:ZAOC=ZEOC+NAOE=90°，

・•・Nl+N2=90°,

•・•Zl=35°,

AZ2=9O°-Z1=55°,

故选B.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关

6.为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测.在今年的抽测中，某校九年级

二班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：7,11,10,1b6,

14,11,10,1b9.根据这组数据判断下列结论中箱送的是（）

A.这组数据的众数是11B.这组数据的中位数是10

C.这组数据的平均数是10D.这组数据的方差是4.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据众数的定义，中位数，平均数，方差的计算方法即可求解.

【详解】解：A、这组数据中出现次数最多的是11,故众数是11，正确，不符合题意；

B、这组数据重新排序为：6,7,9,10,10,11,lb1b11，14,故中位数是

"■^=10.5,错误，符合题意；

-小RWjFi刈口7+11+10+11+6+14+11+10+11+9100s山f出则口，八十必

C、这组数据的平均数是-------------------------------------二——=10,故平均数是10，正确，

1010

不符合题意；

D、这组数据的平均数是10,方差是§2=[（10—7）2+（10­n）2+…+（10-9）2]=46,故方差是

10

4.6,正确，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题主要考查调查与统计中的相关概念和计算，掌握众数的概念，中位数，平均数，方差的计算

方法是解题的关键.

7.如图，AB是0O直径，。，。是。。上的点，ZADC=115°,则NB4C的度数是（）

A

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答窠】A

【解析】

【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可.

【详解】解：VZADC=115°,

・•・4=65。，

'：AB是OO的直径，

・•・ZACB=90°,

・•・^BAC=180°-90°-65°=25°,

故选：A.

【点睛】本题考查圆的性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点是

关键.

8.一次函数丁=办+人与反比例函数），二些（mb为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是

X

)

【解析】

【分析】先根据一次函数图象确定。、b的符号，进而求出。力的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的

象限，看是否一致即可.

【详解】解：A、•・•一次函数图象经过第一、二、三象限，

。>0,b>0,

:.ab>0,

.••反比例函数丁=兹的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；

x

B、•・•一次函数图象经过第一、二、四象限，

。<0,/?>0,

，就<0,

・•・反比例函数），=些的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；

x

C、•・,一次函数图象经过第一、三、四象限，

，。>0,bvO,

/.tzZ?<0,

，反比例函数），=a的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故c不符合题意；

X

D、・・•一次函数图象经过第一、二、四象限,

，。<0,b>0,

二."v0’

反比例函数)，=—的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意;

故选D.

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决

本题的关键.

9.如图，OO是的外接圆，半径为4,连接08,0C,OA,若NC40=40。，ZACB=70°,则

阴影部分的面积是()

4

A.—71

3

【答案】C

【解析】

【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得/BOC=18()。—3()。'2=120。，再根据扇

形的面积公式即可求解.

【详解】解：，：OC=OB,OA=OC,ZCAO=40°,

AZOCA=ZOAC=40°,/OCB=，OBC,

•・•ZACB=70°,

・•・Z.OBC=ZOCB=ZAC^-ZACO=70°-40°=30°,

・•・ZBOC=180°-30°x2=l20°，

故选：C.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及扇形的面积公式等知识，求出

/5。。=120。是解答的关键.

10.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之

重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相

同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了

13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重），两.根据

我意得（）

llx=9y,l（）y+x=8x+y,

•［（10y+x）-（8x+y）=13.9x+13=lly.

9x=lly,9x=1ly

（10y+x）-（8x+y）=13.（8x+y）-（10y+%）=13.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的

重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可.

【详解】解：设每枚黄金重工两，每枚白银重y两，

由题意得'［（10y+x）-（8x+y）=13，

故选C.

【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关

键.

11.如图，“3。是等腰三角形，AB=AC,ZA=36°.以点8为圆心，任意长为半径作弧，交AB于

点F,交BC于点G,分别以点尸和点G为圆心，大于!尸G的长为半径作弧，两弧相交于点H,作射线

2

BH交AC于点、D；分别以点B和点。为圆心，大于1用9的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直

2

线MN交AB于点E,连接OE.下列四个结论：①NAED=N48C；②8C=AE；®ED=-BC；④当

2

AC=2时，AD=逐一1.其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据等腰三角形两底角相等与NA=36。，得到NA5C=NC=72。，根据角平分线定义得到

ZABD=ZCBD=36°f根据线段垂直平分线性质得到砂=ED,得到NEBD=NEDB，推出

NEDB=NCBD,得到OE〃3C,推出NAED=NA8。，①正确；根据等角对等边得到AD=AE，

AD=BD，根据三角形外角性质得到NBDC=72o=NC,得到BC=BD,推出8C=AE,②正确；

根据△AEDsAABC，得到g==r空匚，推出石。=避二15。，③错误；根据ac=2

BCACAD+DC2

时，CO=叵1AO,得到避二!■A。：？一AO,推出=6-1，④正确.

22

【详解】•・•J1BC中，AB=AC,ZA=36°,

・•・ZABC=ZC=1(180°-ZA)=72°,

由作图知，4。平分NA6C,MN垂直平分BD,

AZABD=ZCBD=-ZABC=36°,EB=ED，

2

:・ZEBD=/EDB，

:・/EDB=NCBD,

：.DE//BC,

：,ZAED=ZABC,①正确;

ZADE=NC,

工ZAED=ZADE>

・•・AD=AEf

'：ZA=ZABDr

AD=BD，

■:/BDC=ZA+ZABD=72°,

・•・4DC=NC,

:.BC=BD,

：.BC=AEf②正确；

设即=无，BC=a,

则AD=a,BE—x»

:.CD=BE=x,

■:/\AED^/\ABC，

EDADAD

•.-----------------------，

BCACAD-kDC

xa

:,一=---，

aa+x

x24-ax-«2=0»

Vx>0,

.75-1

••x=-------a，

2

即EZ)=避二!■BC，③错误；

2

当AC=2时，CD=2-AD,

•:CD=^^~AD，

2

・・・^^AO=2-AO,

2

:.ADf-l，④正确

・•・正确的有①©④，共3个.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质,

相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质.

12.如图，在平面直角坐标系中，RtZ\A08的一条直角边。8在x轴上，点A的坐标为(-6,4)；

Rt-CO力中，Z.COD=90°,00=46ZD=30°»连接8C,点M是3c中点，连接40.将

RtCOO以点。为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是()

A.3B.6夜-4C.2屈-2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】如图所示，延长胡到E,使得AE=A8,连接。笈CE,根据点A的坐标为(-6,4)得到

BE=8,再证明AM是LBCE的中位线，得到4M=』CE；解Rt二COD得到0C=4,进一步求出点

2

C在以。为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段OE上时，CE有最小值，即此时AM有最小

值，据此求出CE的最小值，即可得到答案.

【详解】解：如图所示，延长BA到E,使得4E=A5,连接OE,CE,

,:RtZXAOB的一条直角边0B在k轴上，点人的坐标为(-6,4),

・・・AS=4,08=6,

•\AE=AB=4,

:.BE=8,

•・•点M为BC中点,点4为比:中点，

・•・AM是乙区CE的中位线，

・•・AM=-CE：

2

在Rt/COD中，ZC0D=90°,0D=4&NO=30。，

.・.OC=—OD=4^

3

•・•将RtCOD以点。为旋转中心按顺时针方向旋转,

.•.点。在以O为圆心，半径为4的圆上运动,

，当点M在线段OE上时，CE有最小值，即此时AW有最小值,

•：OE=JBE2+OB?=10,

・・・CE的最小值为10—4=6,

；・AA7的最小值为3,

故选A.

【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角

形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键.

二、填空题

13.已知关于x的一元二次方程Y—4x—a=0有两个不相等的实数根，则。的取值范围是

【答案】

【解析】

【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可.

【详解】解；•・•关于”的一元二次方程9一4工一0—0有两个不相等的实数根,

:.A=/?2-4«c=(-4)-4xl(-a)>0,

••GV-4,

故答案为：。<-4.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程o?+瓜+。=0（4。0）,若

△=〃2—4ac>0,则方程有两个不相等的实数根，若A=b2—4ac=0,则方程有两个相等的实数根，若

A=Z?2—4ac<0>则方程没有实数根.

14.为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出

AB=4cm,则这张光盘的半径是cm.（精确到o」cm.参考数据：0之1.73）

【答案】6.9

【解析】

【分析】设光盘的圆心为O,三角尺和光盘的切点为C,连接OC,OB,Q4,经过圆外一点A的两条直线

AGAB都与圆O相切，所以04为N84C的角平分线，Z0AC=Z0AB=-ZBAC=60°,同时由切

2

线的性质得到OC_LAC,Q8_LA3,在中，1血/。48=1@1160。="，求出08=4辰01，

AB

即为圆的半径，进而确定出圆的直径.

【详解】解：设光盘的圆心为0,三角尺和光盘的切点为C,连接OC,OB,OA,如下图所示:

VACA8分别为圆。的切线，

・・为N8AC的角平分线，即OC_LAC,OBA-AB,

又；ZC4D=60°,

:.Z.0AC=ZOAB=-NBAC=60°,

2

在RtaAOB中，ZOAB=60°fA8=4cm,

AtanZOAB=tan60°=—,—=73,

AB4

***OB-4\/3cm«6.9cm，

则这张光盘的半径为6.9cm；

故答案为：6.9.

【点暗】此题考查了切线的性质，切税长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握

性质及定理是解本题的关键.

15.二次函数），二一/-3x+4的最大值是.

【答案】一25

4

【解析】

【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，即可求解.

【详解】解：利用配方法，将一般式化成顶点式：

2c4Z3、225

y=-x-3x+4=-（x+—）+—

,24

•・•二次函数开口向下，

，顶点处取最大值，

325

即当/二一二时，最大值为二.

24

25

故答案为：—.

4

【点睛】本题考查二次函数的相关知识.将一般式化为顶点式，顶点处取到最值.其中配方法是解决问题

的关键，也是易错点.

16.在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量.如图，在塔前C

处，测得该塔顶端8的仰角为50。，后退60m（CD=60m）到。处有一平台，在高2m

（DE=2m）的平台上的E处，测得8的仰角为26.60.则该电视发射塔的高度A3为m.（精

确到1m.参考数据：tan50°«1.2,tan26.6°«0.5）

【答案】55

【解析】

【分析】如图所示，过点E作所_LA8于尸，则四边形ADEF是矩形，可得到

AF=DE=2mfEF=AD；设防=xm,则A/=(x+2)m,解RtZ\ABC得到

>4C«-(x+2)m,解RtZ\8£尸得到EFn2xm,进而建立方程2%=*(/+2)+60

66

,解方程即可得到答案.

【详解】解：如图所示，过点E作EF_LA3于F,

由题意得，A3J_ADDE.LAD,

・•・四边形ADEF是矩形,

AAF=DE=2mfEF=AD,

设斯=311,则A3=区尸=（工+2）01

AD

在RtAABC中，tanZ.ACB=——

AC

x+25

・•・AC=——----------X-x+2)m,

tanZACBtan5006

BF

在Rt£J?E/中，tanZBEF=——

EF

3—^

-X---q2.xm,

tanZ.BEFtan26.6°

EF=AD,

2X=1(X+2)+60,

:.x«53»

:.AB=x+2«55m,

故答案为：55.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的

性质与判定等等，正确理解题意作出辅助线是解题的关键.

17.如图，在〜钻C中，AC=8C=16，点。在A5上，点E在上，点B关于直线£>£1的轴对称点

为点、B'，连接OB',EB',分别与AC相交于F点，G点，若A/—gDF-7,BT-4,则CG的长度

为__________

A

【答案】4.5

【解析】

Apr)r

【分析】根据等边对等角和折叠的性质证明NA=NB'，进而证明二则H=然后

代值计算求出Gr=3.5,则CG=AC—4尸一G/=4.5.

【详解】解：・・・AC=5C=16,

・・・Z4=ZB，

由折叠的性质可得Z_B=NB,

；・ZX=N»，

又•・•ZAFD=/BFG,

A^AFD^^FG,

AFDF87

-■-=,即nn一=,

B'FGF4GF

:・GF=35,

：.CG=AC-AF-GF=4.5,

故答案为：4.5.

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，等边对等角等等，证明

一AEE5一？FG是解题的关键.

18.已知，OAAAA都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放.点

△&,Z\4AI，Z\74，

42,4，4,.......都在％轴正半轴上，且4A=AA=44=.......=1，则点4O23的坐标是

【答案】（2023,-6）

【解析】

【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可.

【详解】解：由图形可得：4（2,0）,4（3,0）,4（5,0）,4（6,0）,4（8,0）,4（9,0）,

.*.O^=cos60°x（74I=l，A8=sin60OxO4,=6,

・•・A（1，①

同理：A《4,一6）,4（7,6），4（10,-后），

・・・&.43〃-1,0），4“（3〃,0），4向（3〃+1,君）（3〃+1）为偶数,国为奇数;

•••2023+3=6741,2023奇数

••・仆（2023,-6）.

故答案为（2023,-6）.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、坐标规律等知识点，先求出几个点、发现规

律是解答本题的关键.

三、解答题

19.(1)化简：f2--"A2-h10A+25

Ix+2)x2-4

2x+7>3

⑵解不等式组：L+lx-\.

---->-----

32

x—2

【答案】(1)--；(2)-2<x<5

x+5

【解析】

【分析】(1)根据分式的混合计算法则求解即可:

(2)先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”

求出不等式组的解集即可.

cx—+l0A+25

【详解】解:(1)2---------4--------------------

x+2)X2-4

_(2x4-4x-lY(x+5)2

(x+2x+2)(x+2)(x-2)

_x+5(x+2)(x-2)

-(x+5)2

_x-2

x+5

2x+7>3①

(2)\ix-1_

——x+>——②

32

解不等式①得：x>-2,

解不等式②得：x<5,

・•・不等式组的解集为一2Vx<5

【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键.

20.2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开.为激励青少年争做

党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结

果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，。级为优秀奖.并将统计结果绘制成了

如图所示的两幅不完整的统计图.

请根据相关信息解答下列问题：

（1）本次竞赛共有名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是度；

（2）补全条形统计图；

（3）若该党史馆有一个入口，三个出口.请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同

一出口走出的概率.

【答案】⑴200.108

（2）见解析（3）-

3

【解析】

【分析】（1）用A级的人数除以其人数占比即可求出获奖选手的总数，进而求出8级的人数，由此即可求

出。级的人数，再用360度乘以C级的人数占比即可得到答案；

（2）求出B级的人数，然后补全统计图即可；

（3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意得结果数，最后依据概率计算公式求解即可.

【小问1详解】

144°

解：80---=200名,

360°

・•・本次竞赛共有200名选手获奖，

・・・C级人数为200—80—200x25%—10=60名，

・•・扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360。乂幽=108度,

200

故答案为：200,108：

【小问2详解】

解：5级的人数为200x25%=50名，

补全统计图如下：

【小问3详解】

解：设这三个出口分别用E、尸、G表示，列表如下:

EFG

E(E,E)（尸，E）(G,£)

F出F)(F,F)(G,F)

G(E,G)(F,G)(G,G)

由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的结果数

有3种,

31

・•・参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率=§=].

【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统

计图，画出树状图或列出表格是解题的关键.

21.如图，一次函数y=-21+2的图象与反比例函数％=&的图象分别交于点A,点3,与y轴，上轴

x

分别交于点C，点O,作AE1），轴，垂足为点七，OE=4.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）在第二象限内，当弘＜出时，直接写出x的取值范围;

（3）点尸在x轴负半轴上，连接24,且P4J_AB，求点P坐标.

4

【答窠】（1）丁=一一；

x

（2）-l<x<o；

(3)(-9,0).

【解析】

【分析】（1）求出点A坐标，即可求出反比例函数解析式；

（2）观察图象特点，即可得出取值范围；

（3）先证明三角形相似，再根据相似三角形的性质求出线段尸。长，最后由线段和差即可求出。尸的长.

【小问1详解】

•・・QE=4,AE1.），轴，

，£（0,4）,点A的纵坐标为4，

•・•点A在y=-2工+2图象上，

・••当y=4时，4=-2x+2,解得：x=-l,

，点A坐标为（-L4）,

•・•反比例函数必的图象过点A,

x

；・4二-1x4=—4,

4

・•・反比例函数的表达式为：y=-一；

x

【小问2详解】

如图，在第二象限内，当x</2时，一1<工<0,

【小问3详解】

如图，过A作轴于点

：A£_Ly轴，

・•・ZAEO=ZEOM=ZOMA=90°,

・•・四逅形AEOM是矩形，

AAM=OE=4,OM=AE=\,

,：PAA-AB,

：•ZPAD=90°,即：ZPAM+ZDAM=90°，

•・・NZMM+NADM=90。，

:./PAM=ZADM,

:・ZDAM=ZAPD，

・•・^PAD^^AMD,

.ADPD

••砺一茄’

由y=-2x+2得：y=0时，一2%+2=0，解得：x=\,

・•.点D(l,0),

・•・4Z)=J(_]_1)2+(4_0『=26，MD=2,

.2君PD

••-9

22石

・•・PD=10,

・••点P(—9,0).

【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数的性质、求解反比例函数解析式、根据图象确定自变量x的取

值范围，相似三角形的判定等知识，注重数形结合是解答本题的关键.

22.为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具.该商店规定一次性购

买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款.小明如果给学校九年级学生每人购买一

个，只能按零售价付款，需用3600元：如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按

批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？

【答案】这个学校九年级学生有300人.

【解析】

【分析】设零售价为x元，批发价为y,然后根据题意列二元一次方程组求得零售价为12元，然后用3600

除以零售价即可解答.

【详解】解：设零售价为x元，批发价为y,

根据题意可得：

50x=60y

则学校九年级学生3600+12=300人.

答：这个学校九年级学生有300人.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、列二元一次方程组求得零售价是解答本题的

关键.

23.如图，矩形ABCO中，对角线AC,BO相交于点O,点尸是0c边上的一点，连接"，将

△AQP沿直线A尸折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交QC于点儿连接AG并延长交8c于点

M,交43的延长线于点E,且=

4£__«__.c

（1）求证：四边形06所是平行四边形；

（2）求证：FH=ME.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质证明=AE=8O，ZAGE=ZDAB=90°,由此

即可证明RtZXABZ泾RtZ\GEA得到NAEG=N£)NA,进而推出区£>〃瓦，再由的〃。/，即可证

明四边形£)3石尸是平行四边形；

(2)由(1)的结论可得应：=。/，进一步证明3E=G/，再证明△F’GH也△EBM,即可证明

FH=ME.

【小问1详解】

证明：•・•四边形48co是矩形，

AAB//CD,AD=BC,ZADC=ZABC=-BAD=90°,AC=BD,

2

由折叠的性质可得4D=AG,ZAGF=ZADF=90°，

ZAGE=ZDAB=90°

VAC=AE,AC=BD,

：・AE=BD,

・•・RtZVlBD^RtAGE4(HL),

：.ZAEG=ZDBA,

・•・BD〃EF、

又丁BE〃DF，

・•・四边形。班尸是平行四边形；

【小问2详解】

证明：•.•四边形。巫尸是平行四边形，

:,BE=DF,

由折叠的性质可得Gr=。尸，

・•・BE=GF,

,:CD〃AB,

・•・NHFG=NE,

又•・•NFGH=180°-ZAGF=90°=/MBE,

・•・AFGH^AEBM(ASA),

:・FH=ME.

【点睛】本题主要考查了矩形于折叠问题，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，熟

练掌握相关知识是解题的关键.

24.如图，JRC、CDE两个等腰直角三角形，EFJ.AD，

（1）当AF=D尸时，求NAED；

（2）求证：AEHGSRADG；

AEAC

（3）求证:

~EH~HC

【答案】（1）60°

（2）见详解（3）见详解

【解析】

【分析】（1）先证明E4=E£>,再证明GC是线段E7）的垂直平分线，即有E4=AD=O石，即上£4。

是等边三角形，问题得解；

（2）根据垂直可得？AGE2AGD2AFH90?,又根据？97G?AHF,可得

THEG?