2024届物理一轮复习讲义强化二十带电粒子在叠加场和交变电磁场中的运动含答案

2024届物理一轮复习讲义专题强化二十带电粒子在叠加

场和交变电磁场中的运动

学习目标1.了解叠加场的特点，会分析带电粒子在叠加场中的运动问题。

2.会分析带电粒子在交变电、磁场中的运动问题。

考点一带电粒子在叠加场中的运动

1.叠加场

电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。

2.常见的几种运动形式

运动性质受力特点方法规律

匀速直线

粒子所受的合力为0平衡条件

运动

匀速圆周除洛伦兹力外,另外两力的合力为零qE牛顿第二定律、圆周运动的

运动=mg规律

较复杂的除洛伦兹力外，其他力的合力既不为

动能定理、能量守恒定律

曲线运动零，也不与洛伦兹力等大反向

例1如图1所示，在竖直平面内建立直角坐标系宜刀，其第一-象限存在着正交

的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面

向里。一带电荷量为+*质量为机的微粒从原点出发，以某一初速度沿与x轴

正方向的夹角为45。的方向进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A(/,

/)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，微粒继续运动一段时

间后，正好垂直于y轴穿出复合场。不计一切阻力，重力加速度为g,求：

图1

⑴电场强度E的大小；

(2)磁感应强度8的大小;

(3)微粒在复合场中的运动时间。

答案(嘴⑵唔+1班

解析(1)微粒到达A(/,/)之前做匀速直线运动，对微粒受力分析如图甲，可知

qE=mg,得

(2)由平衡条件得qvB=y[2mg

电场方向变化后，微粒所受重力与静电力平衡，微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆

周运动，轨迹如图乙所示

V2

qvB=m：

由几何知识可得r=y[2l

(3)微粒做匀速直线运动的时间

微粒做匀速圆周运动的时间

3

X的

4-兀

37T

=4

微粒在复合场中的运动时间

t=t\-\-t2=

跟踪训练

1.如图2所示，竖直平面M))，，其x轴水平，在整个平面内存在沿x轴正方向的

匀强电场E,在第三象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为8=

0.2To现有一比荷为3=25C/kg的带电微粒，从第三象限内某点以速度内向坐

标原点。做直线运动，加与工轴之间的夹角为9=45。，重力加速度g取lOm/s?。

求：

(1)微粒的电性及速度vo的大小；

(2)带电微粒在第一象限内运动时所达到最高点的坐标。

答案⑴带正电2y[2m/s(2)(0.6m,0.2m)

解析(1)带电粒子在第三象限内做直线运动，受到重力、静电力和洛伦兹力三

个力的作用，并且合力为零，即粒子做匀速直线运动，所以，微粒受到的洛伦兹

力垂直于速度方向斜向左上方，由左手定则可判断微粒带正电。对带电微粒受力

分析，如图所示，根据平衡条件可得解得a)=2啦m/s。

(2)带电微粒进入第一象限后做曲线运动，假设最高点为M点，从。到M点所用

的时间为G则将微粒从O到M的运动分解为沿x轴方向的匀加速直线运动和沿

y轴方向上的匀减速直线运动，在y轴方向上有

rosin450

O=Posm450-gt,y=-------1

在A■轴方向上有qE=mgtan45。=〃?〃工

x=vocos45°/+]。./

解得x=0.6m,y=0.2m

故所达到最高点的坐标为(0.6m,0.2m)o

考点二带电粒子在交变电磁场中的运动

解题基本思路

I先读图一看清并明白场的变化情况

度办后卜口.粒子在不同的变化场区的受力

过程分析.分析粒子在不同时间内的运动情况

[1.端模蜡.「运粒动子模在型不同运动阶段,各有怎样的

找衔接点一找出衔接相邻两过程的物理景

1

[选规律一联立不同阶段的方程求解

例2如图3所示，在xOy平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小

随时间周期性变化，B的变化周期为4如£的变化周期为2/0,变化规律分别如

图4甲、乙所示.在，=0时刻从O点发射一带负电的粒子(不计重力)，初速度

大小为加,方向沿y轴正方向，在x轴上有一点4图中未标出)，坐标为誓，0)。

若规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，y轴正方向为电场强度的正方向，

如、小班为己知量，磁感应强度与电场强度的大小满足肾=器；粒子的比荷满

q_兀

求:

mBoto°

图3

图4

⑴在，苦时，粒子的位置坐标;

(2)粒子偏离x轴的最大距离；

(3)粒子运动至A点的时间。

小4(votovoto,2PO/O

答案⑴匕，V(2)1.5W)A)+兀(3)32ro

解析(1)在。〜/0时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得

n4兀2vi

qvoBo==rn~

WBpcntvovoto

解何丁=2fo,ri=^-=—

则粒子在当时间内转过的圆心角a=j

所以在，=，时

VQtQVOtO

粒子的位置坐标为.兀'兀，

(2)在m〜2切时间内，设粒子经电场加速后的速度为。，粒子的运动轨迹如图所示-

y

Ax

贝1。=加+噜%=2oo

运动的位移)，=00,%=1.5Wo

在2fo〜3fo时间内粒子做匀速圆周运动

半径废=2n=怨叁

71

故粒子偏离丫轴的最大距离

.~,200fo

h=y-\-n=\.5voto-\—^-

(3)粒子在xOy平面内做周期性运动的运动周期为4加，故粒子在一个周期内向右

运动的距离

,-.八6^o/o

d=2r\4-2n=~—

〜J〃YL-48优加

AO间的距离为丁=8d

所以粒子运动至4点的时间r=32roo

规律总结

解题关键和应注意的问题

(1)解题关键是要明确带电粒子在不同时间段内、不同区域内的受力特性，对粒

子的运动情景、运动性质做出判断。

(2)这类问题一般都具有周期性，注意分析带电粒子的运动周期与电场周期、磁

场周期的关系。

(3)带电粒子在交变电磁场中运动仍遵循牛顿运动定律、运动的合成与分解、动

能定理、能量守恒定律等力学规律，所以此类问题的研究方法与质点动力学相同。

跟踪训练

2.在如图5甲所示的正方形平面0"c内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感

应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为足、带电荷量为+g的粒子(不计重力)

在，=0时刻平行于0c,边从。点射入磁场中。已知正方形边长为L磁感应强度

的大小为Bo,规定垂直于纸面向外的方向为磁场的正方向。

(1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期7b；

(2)若带电粒子不能从。。边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期7的最大值；

(3)要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变

化的周期7及粒子射入磁场时的速度大小。

虫虫…2兀加5KWTunqBoL

答案⑴瀛⑵荻⑶振丽(〃=2,4,6,…)

解析(1)由夕1/0=叼7，小=2詈

2兀〃7

解得7b=

qBo

(2)如图甲所示为周期最大时粒子不能从。。边射出的临界情况，由几何关系可知

sin2»解得。=30。

在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为150°

运动时间为尸韧产潇

所以磁感应强度的变化周期T的最大值为

（3）如图乙所示为粒子从6点沿着ab方向射出磁场的一种情况。在磁场变化的半

个周期内，粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为24其中夕=45。，即女=华

nm

所以磁场变化的周期为

T=qBo

弦。M的长度为s=n(〃=2,4,6,,,•)

CI

圆弧半径为R=^=累〃=2,4,6,…)

由qvoBo="*

解得。。=^^\九=2,4,6,…）。

提升素养能立

（限时：50分钟）

A级基础对点练

对点练1带电粒子在叠加场中的运动

1.（2023・河南洛阳高三期中）如图1所示，两竖直平行边界P。、MN间，有正交的

匀强电场和匀强磁场，匀强电场方向竖直向下，匀强磁场方向垂直纸面向里。一

带负电小球从。点以某一速度垂直边界PQ进入该场区，恰好能沿水平方向做直

线运动。若只减小小球从。点进入场区时的速度，则小球在场区内运动过程中,

下列判断正确的是（）

A.小球的动能减小B.小球的电势能减小

C.小球的重力势能减小D.小球的机械能减小

答案B

解析小球恰好能沿水平方向做直线运动，说明小球做匀速直线运动。由qE=

mg+qvB可知,当速度减小时，洛伦兹力减小，合力向上。小球将斜向上运动。

合力做正功，动能增加，故A错误；静电力做正功，电势能减小，机械能增加，

故B正确.D错误；高度增加,重力势能增加,故C错误。

2.（多选）（2022.广东卷）如图2所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电

场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次

经过N、P两点。已知何、尸在同一等势面上，下列说法正确的有（）

A.电子从N到尸，电场力做正功

B.N点的电势高于尸点的电势

C.电子从M到N,洛伦兹力不做功

D.电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力

答案BC

解析由题可知电子所受电场力水平向左，电子从N到尸的过程中电场力做负

功，故A错误；根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知，N点的电势高于尸点

的电势，故B正确；洛伦兹力总是和速度方向垂直，电子从M到N,洛伦兹力

不做功，故C正确；M点和尸点在同一等势面上，从M点到尸点电场力做功为

0,而洛伦兹力不做功，M点速度为0,根据动能定理可知电子在尸点速度也为

0,则电子在M点和。点都只受电场力作用，在匀强电场中电子在这两点所受电

场力相等，即所受合力相等，故D错误。

3.如图3所示，在真空中竖直平面（纸面）内边长为。的正方形A8CO区域，存在

方向沿C8（水平）的匀强电场和方向垂直纸面的匀强磁场（图中未画出）。一带电小

球以速率a（g为重力加速度大小）从A点沿AC方向射入正方形区域，恰好能沿

直线运动。下列说法正确的是（）

-------：£>

B.........

图3

A.该小球带负电

B.磁场的磁感应强度方向垂直纸面向外

C.若该小球从C点沿CA方向以速率如射入正方形区域，则小球将做直线运动

D.若电场的电场强度大小不变、方向变为竖直向上，该小球仍从A点沿AC方向

以速率弧射入正方形区域，则小球将从。点射出

答案D

解析小球做直线运动，说明小球受力平衡，小球的重力方向竖直向下，小球带

正电，受静电力水平方向向左，洛伦兹力方向垂直4。斜向上，则磁场的磁感应

强度方向垂直纸面向里，A、B错误；若该小球从C点沿C4方向以速率弧射

入正方形区域，则小球的合力不为零，速度会变化，洛伦兹力也会变化，小球将

做曲线运动，C错误；电场水平向左，由物体的平衡条件有q。8=啦〃吆（其中。

=y[ag）,qE=mg,电场的电场强度大小不变、方向变为竖直向上后，静电力与

重力平衡，小球沿逆时针方向做匀速圆周运动，设轨道半径为r,有qvB=〃r^:,

解得r=当4有2对1145。=。，所以小球将从。点射出，D工确。

4.如图4所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周

运动，其轨道半径为R,已知该电场的电场强度为E,方向竖直向下；该磁场的

磁感应强度为B,方向垂直纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g,贝IJ（）

A.液滴带正电

B.液滴比磴=4

C.液滴沿顺时针方向运动

D.液滴运动速度大小。=蜃

D1L

答案C

解析液滴在重力场、匀强电场、匀强磁场的复合场中做匀速圆周运动，可知

qE=mg,得孑=笔选项B错误；静电力方向竖直向上，液滴带负电，选项A错

误；由左手定则可判断液滴沿顺时针方向转动，选项C正确；对液滴有9£=mg,

qvB=nr^,得。选项D错误。

对点练2带电粒子在交变电磁场中的运动

5.如图5甲所示，竖直面内矩形区域内存在磁感应强度按如图乙所示的规

律变化的磁场（规定垂直纸面向外为正方向），区域边长45=5AO,一带正电的

粒子从A点沿48方向以速度如射入磁场，在。时刻恰好能从C点平行OC方

向射出磁场。现在把磁场换成按如图丙所示规律变化的电场（规定竖直向下为正

方向），相同的粒子仍以速度。。从4点沿A8方向射入电场，在不时刻恰好能从

C点平行0c方向射出电场。不计粒子的重力，则磁场的变化周期2和电场的

变化周期不之比为（）

A.1：1B.2小兀：3

C.2技：9D.V3n:9

答案C

解析设粒子的质量为〃人帝电荷量为夕，粒子的偏转半径为r,经与粒子转过

的圆心角为a,则有2rsina=A8,2（r—rcosa）=A。，又联立解得a

=60。，所以有六,7=苦，解得口=岑詈，如果把磁场换为电场，则有

AB=VOT29解得乃=黑所以为噜，故C正确，A、B、D错误。

6.如图6甲所示，在xOy坐标系的一、四象限存在匀强磁场，规定垂直纸面向里

为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化情况如图乙所示，1=0时亥h一个比

荷2=1.0X104C/kg的正电荷从（0,小）处以vo=l.OX104m/s的速度沿），轴负方

向射入磁场，则正电荷从射入磁场至第一次经过x轴所需的时间为（）

v/m

B/T

xxxxxxxx2.5-------1I--------1I—

1111

XXXXXXXX1111

°xxxxxxxxx/mo

xxxxxxxx:1：2：3：rA^xlO^s)

xxxxxxxxI____II____I0

xxxxxxxx-2.5

甲乙

图6

Q

A.8TCX10-5S10-5S

C.1.27iX10-4sD.yX10-4s

答案c

解析洛伦兹力提供向心力，则卬。8=/谭，解得〃=0.4m,圆周运动的周期为

丁=亲=8兀、1。一ss,则粒子每次圆周运动持续三分之一周期，对应的圆心角为

120°；位移大小2与小60。=押m,位移方向与y轴负方向成60°角，正电荷射

入磁场后到x轴的轨迹如图；正电荷第一次运动到x轴应为4点，运动时间为/

540°

—360。7=1.2兀X10's,故C正确。

"m

B级综合提升练

7.如图7甲所示，水平放置的平行金属板尸和。，相距为d,两板间存在周期性

变化的电场或磁场。尸、。间的电势差UPQ随时间的变化规律如图乙所示，磁感

应强度8随时间变化的规律如图丙所示，磁场方向垂直纸面向里为正方向。t=0

时刻，一质量为切、电荷量为+(7的粒子(不计重力)，以初速度如由P板左端靠

近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间，q、加、d、如、Uo为已知量。

(1)若仅存在交变电场，要使电荷飞到Q板时，速度方向恰好与。板相切，求交

变电场的周期7;

(2)若仅存在匀强磁场，且满足8。=鬻，粒子经一段时间恰能垂直打在。板上

(不考虑粒子反弹)，求击中点到出发点的水平距离。

答案⑴赛5=1'2,3,-)⑵痔与

解析(1)设经时间Z,粒子恰好沿切线飞到上板，竖直速度为零，加速度为。

半个周期内，粒子向上运动的距离为

d=2ny

t=nT

联立得7=^/^（'曰，2,3,…）。

（2）仅存在磁场时，带电粒子在匀强磁场中做半径为〃的匀速圆周运动，则有

vi

quoBo=，厂

解得

要使粒子能垂直打到上板上，在交变磁场的半周期，粒子轨迹的圆心角设为

90。+仇如图所示由几何关系得厂+2”山6=4

解得sin

则粒子打到上极板的位置距出发点的水平距离为X=L2（—cos仍=夸1/

8.（2023•江西景德镇高三月考）如图8所示，在区域I有与水平方向成30。的匀强

电场，电场方向斜向左下方。在区域II有竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的

匀强磁场，电场强度大小为E2=管,磁感应强度大小为6。质量为〃人电荷量

为一q的粒子从区域I的左边界P点静止释放。粒子沿水平虚线向右运动，进入

区域n,区域n的宽度为心粒子从区域n右边界的。点（图中未画出）离开，速

度方向偏转了60。，重力加速度为g。求：

1

图8

⑴区域I的电场强度大小Ei；

(2)粒子进入区域II时的速度大小；

(3)粒子从P点运动到Q点的时间。

2\[3qBdIqBdnin

答案(1⑵3m⑴3〃喀十3gB

解析(1)粒子在区域I沿水平虚线方向做直线运动，说明粒子在竖直方向上受

力平衡，根据平衡条件有qEisin30。=磔

解得等。

(2)粒子进入II区域后，根据题意有4改=叫

由此可知粒子在区域II中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，设粒子进入区

域II的速度大小为o,贝U有/归=偿~

根据几何关系有Hsin60。="

联立解得。=十四。

(3)粒子在区域II中做匀速圆周运动，其运动周期为7=篝

则粒子在区域n中运动时间为，2=疑60°丁

粒子在区域I沿水平虚线运动,

根据。=〃力，qEicos30。=〃也

故粒子从P点运动到O点的时间为t=t\+t2

联立解得片鬻+就。

9.如图9所示，坐标系xOy在竖直平面内，整个空间存在竖直向上的匀强电场，

y轴两侧均有方向垂直纸面向里的匀强磁场，左侧的磁感应强度大小是右侧的两

倍。£=0时刻，一个带正电微粒从0点以。=2m/s的初速度射入)，轴右侧空间,

初速度方向与x轴正方向成60。，微粒恰能做匀速圆周运动，第一次经过y轴的

点记为尸，。尸长L=0.8m。已知微粒电荷量q=+4Xl()―6c,质量机=2X

107kg,重力加速度g取速m/s2,求：

图9

(1)匀强电场的电场强度大小;

(2))，轴右侧磁场的磁感应强度大小；

(3)粒子第二次经过P点的时刻(结果可含兀)。

答案(1)0.5N/C(2)0.125T(3)皆s

解析(1)微粒射入y轴右侧空间，恰能做匀速圆周运动，说明微粒受到的静电

力与重力平衡，则有qE=tng

解得匀强电场的电场强度大小为

6=幽=0.5N/Co

q

(2)微粒做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力,

,V2

有qvB=nr-

由几何关系知，微粒做圆周运动的轨道半径为

L

2

r,=sin30°=L

联立解得y轴右侧磁场的磁感应强度大小为

5=0.125To

(3)微粒在y轴左侧运动时，有

V2

qv-2B=ni~

则力=亨

粒子从射入到第二次经过尸点的运动轨迹如图，由丁=乎，可知粒子在)，轴两

侧运动的周期分别为

e2nm-Tim

粒子从射入到第二次经过尸点经历的时间为

…71।八，5乃1471

/=2Xy+2X-r=-fys

14几

粒子第二次经过P点的时刻为£=岩So

1().在竖直平面内存在如图1()所不的坐标系，第II象限分布有磁感应强度为Bi

=1T的匀强磁场，一个质量为加=0.04kg,带电荷量为g=+0.03C的小球由尸

点静止释放，随后小球以速度。从Q点进入第III象限，速度方向与x轴的夹角。

=37°,己知尸点的位置坐标为(0,1.25m),Q点的位置坐标为(-0.6m,0),笫

HI象限分布有磁感应强度为治=与1\方向垂直纸面向里的匀强磁场和电场强

度为£=与N/C,方向沿y轴正方向的匀强电场，第IV象限在水平方向分布着电

场强度也为E=与N/C、方向沿x轴负方向的匀强电场，重力加速度取g=

10m/s2o求：

(1)小球经过。点时的速度大小；

(2)小球离开第ni象限的位置坐标，小球在第m象限运动的时旬；

(3)小球是否可以再次回到x轴？若可以，写出小球经过x轴的位置；若不可以,

写出小球距x轴最近时的位置坐标。

答案(1)5m/s(2)(0,-0.8m)哈s(3)不可以(0.75m,-().35m)

解析(1)由题意知，由P运动到Q点的过程中，洛伦兹力不做功，仅有重力做

功，由

可得。点的速度为v=5m/So

(2)在第III象限，由于qE=mg

故小球做匀速圆周运动，设小球从。点离开第HI象限，由/8=等

可得尺=翡=°501

由几何关系可得

QC=2R=L0m,OC=0.8m

故。点坐标为(0,-0.8m)

小球在第三象限做圆周运动转过的圆心角a=R

而T2兀R27tm

而7一0F

故小球在第三象限运动的时间为

afn

尸五丁=ms。

(3)小球在。点的速度大小vc=v=5m/s

由几何关系可知，与x轴的夹角为。=37。

在第IV象限，小球在竖直方向做加速度为g的匀减速直线运动，当竖直方向减速

为0时，有

Pcsin37°=gZ

可得f=0.3s

此时竖直方向位移〃=滔包F0.45m

由于h<OC

故小球不可以再次回到X轴，此时

y=OC一人=0.35m

小球在水平方向做匀减速直线运动，有

qE=max

所以小球的水平位移为

X=PCCOS37。/—%/

解得x=0.75m

故小球距x轴最近时的位置坐标为

(0.75m,—0.35m)。

专题强化十九带电粒子在组合场中的运动

学习目标1.会分析带电粒子在磁场和磁场组合场中的运动。2.会分析带电粒子

在磁场和电场组合场中的运动。

考点一磁场与磁场组合

磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两

个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用

两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。

例1如图1所示，空间存在方向垂直于X。y平面向里的匀强磁场，在0<)，<d的

区域I内的磁感应强度大小为B,在y>d的区域H内的磁感应强度大小为2及

一个质量为m、电荷量为一虱7>0)的粒子以速度誉从O点沿)，轴正方向射入区

域I。不计粒子重力。

区

域

=

一

区

域

I

X

图

(1)求粒子在区域I中运动的轨道半径;

(2)若粒子射入区域I时的速度为。=鬻，求粒子打在x轴上的位置坐标，并求

出此过程中带电粒子运动的时间。

答案(1W(2)[(4-V3)J,0]疆

解析(1)粒子在区域I中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有

qvoB=nr^

把。。=噜代入上式，解得R=d。

(2)当粒子射入区域I时的速度为。=2加=鬻时，轨迹如图所示。

在。4段做圆周运动的圆心在Oi,半径为2d；

在A8段做圆周运动的圆心在。，半径为d；

在BP段做圆周运动的圆心在。3,半径为2d；

可以证明ABOiQ为矩形，则图中J=30。，

由几何知识可得

OiQ=2dcos30。=小d

所以。。3=2"一54

所以0尸=。1。3+20。3=(4—小)d,即粒子打在x轴上的位置坐标为

[(4一小)d,0]

粒子在04段运动的时间为

30°2n/nnm

h=36^,~qB~=6qB

粒子在A3段运动的时间为

120°2兀加mn

’2=后而港=项

粒子在8尸段运动的时间为

nm

力=力=硒

所以在此过程中粒子的运动时间

_.2兀团

t=2t]+t2=3qB°

跟踪训练

1.（多选）空间存在如图2所示的相邻磁场，磁场I垂直纸面向里且宽度为d,磁

感应强度大小为8,磁场II垂直纸而向外且宽度为*,磁感应强度大小未知，磁

场I和磁场II的边界为平行的竖直面。现有一带电粒子以一定的水平速度从磁场

I边界上的0点垂直磁场I射入，当粒子从磁场II右边界C点（图中未画出）射出

时，速度方向也恰好水平，不计粒子所受重力，下列说法正确的是（）

图2

A.磁场II的磁感应强度大小为3B

B.粒子在磁场I中的轨迹半径是在磁场II中的轨迹半径的3倍

C.粒子在磁场I中偏转的圆心角是在磁场H中偏转的圆心角的3倍

D.粒子在磁场I中运动的时间是在磁场H中运动的时间的3倍

答案ABD

解析由于出射方向和入射方向相同，而粒子在两磁场区域偏转方向相反，所以

粒子在磁场I中偏转的圆心健应等于磁场H中偏转的圆心角，故C错误；设粒

子在磁场I、n中的轨迹半径分别为舟、心，无论粒子电性如何，根据对称性

可知所得结论应相同，所以假设粒子带正电，如图所示，根据几何关系可得看=

d

瓦，解得Ri=3&,故B正确；根据牛顿第二定律有卯3=顺，解得R=M，

所以然IM，所以磁场II的磁感应强度大小为82=38=38,故A正确；粒

子的运动周期为7=等=矍，粒子在磁场中运动的时间为，=卷。所以粒

子在磁场I、II中运动时间之比为先乐肛3,故D正确。

考点二电场与磁场组合

1.组合场

电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替

出现U

2.分析思路

(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不

同的规律处理。

(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题

的关键。

(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图。

(4)用规律

qE1qE2

类平抛<%=at=—t.y^——r

、—41H乙tH

区动

偏^角tan(p=—=

•/

(jvB=m——

匀速圆r

周运动mT2必0T

例2(2023•福建龙岩第一次质检)如图3所示，在平面(纸面)内，公＞0空间存

在方向垂直纸面向外的匀强磁场，第三象限空间存在方向沿式轴正方向的匀强电

场。一质量为〃2、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，以大小为办方向与y

轴正方向夹角。=60。的速度沿纸面从坐标为(0,3L)的P点进入磁场中，然后

从坐标为(0,一4L)的尸2点进入电场区域，最后从X轴上的P3点(图中未画出)

垂直于X轴射出电场。求：

(1)磁场的磁感应强度大小B；

(2)粒子从Pi点运动到Pi点所用的时间r；

⑶电场强度的大小E.

答案盗Q皤G检

解析(1)带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示，其圆心为Oi,对应轨道半径为

R,由几何关系可得

Rsin0=y[3L

由牛顿第二定律有qvB--胃

联立可得8=翳。

(2)带电粒子在磁场中运动时间为力，则

2n-20

h=~2^~T

丁=邨

(3)带电粒子在电场中运动时间为12,由运动的合成与分解有

vcos^t2=y[3L

ysin0-at2=O

由牛顿第二定律有qE=ma

联立可得“霭。

跟踪训练

2.（2023•安徽芜湖高三期末）如图4所示，在犬3,平面第一象限内有以虚线OP为

理想边界的匀强电场和匀强磁场区域，OP与x轴夹角为。=45°,OP与y轴之

间的电场平行于y轴向上，OP与上轴之间的磁场垂直纸面向里。在y轴上有一

点M,"到。点的距离为3%现有一个质量为加、电荷量为一夕的带负电粒子,

从M点以速度如垂直于y轴向右进入电场区域，粒子离开电场后从OP上的N

点进入磁场区域，已知N点到x轴的距离为2d。粒子经过磁场后从“轴上C点

离开，且速度方向与x轴垂直，不计带电粒子的重力，求：

图4

（1）电场强度大小E；

⑵磁感应强度大小B和粒子从M点运动到C点所用的总时间I.

小gmvinwc\d（4+加）

答案⑴砺⑵砺一^

解析（1）由题意，粒子从M到N做类平抛运动，轨迹如图所示。

在沿一y方向，布qE=ma

位移大小为y\=d=^t

沿x正方向做匀速运动，由几何关系得

x\=2d=VQt

解得Vy=VQ

又Vy=at

联立求得电场强度大小为E=砺。

（2）由题意，粒子从N点垂直0P进入磁场，到从C点垂直x轴离开磁场，由几

何关系知，粒子在磁场中做圆周运动的半径

R=LON=2y

在N点粒子速度与OP垂直，大小为。=地优

2

由牛顿第二定律得qvB=nr^

粒子在电场和磁场中运动的总时间为

_2d^^^u_d(4+71)

一。0pvo~2如

素养能力

（限时：40分钟）

A级基础对点练

对点练1磁场与磁场的组合

1.如图1所示，两匀强磁场的方向相同，以虚线MN为理想边界，磁感应强度大

小分别为31、比,今有一质量为加、电荷量为e的电子从上的P点沿垂直

于磁场方向射入匀强磁场Bi中，其运动轨迹为如图虚线所示的“心”形图线。

则以下说法正确的是（）

A.电子的运动轨迹为PENCMDP

B.8i=2比

C.电子从射入磁场到回到P点用时为嵬

D.Bi=4①

答案B

解析根据左手定则可知，电子从尸点沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场照时,

受到洛伦兹力方向向上，所以电子运行轨迹为PDMCNE尸，故A错误；由题图

可知，电子在左侧匀强磁场中的运动半径是在右侧匀强磁场中的运动半径的一

半，根据『=前可知囱=2%，故B正确，D错误；电子在题到所示运动过程中,

在左侧匀强磁场中运动两个半圆，即运动一个周期，在右侧匀强磁场中运动半个

周期，所以/=絮Tun4兀?"

故C错误。

eBieB\

2.如图2所示，竖直放置的尸。板左侧为垂直纸面向里的匀强磁场，右侧为垂直

纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小均为8=0.332T,一质量加=6.64XI0—27

kg,带电荷量q=3.2X10Fc的粒子（不计重力）从小孔1位置以垂直板方向，大

小为0=3.2X106mzs的速度开始运动,依次通过小孔2、3、4,已知相邻两孔间

的距离相等。则（）

P

XXI,.

1—

XX'|.・

xx2|••

B3|B.

4.

XX|••

Q

图2

A.粒子带负电

B.相邻两孔间的距离为0.2m

C.带电粒子从小孔1运动到小孔4所需时间约为5.89乂10一75

D.带电粒子在尸。板右侧匀强磁场中运动的时间约为1.95X10-7S

答案C

解析由左手定则可判断出粒子带正电，故A错误；画出粒子的运动轨迹如图

所不，由洛伦兹力提供向心力得4。8=/77及，可得R=^^=0.2m,贝1d=2R=

0.4m,故B错误；圆周运动周期为7=请Q3.93乂10一7s,带电粒子从小孔1

运动到小孔4所需时间等于1.5T,即约为5.89X1075,故c正确；如图所示，

带电粒子在PQ板右侧匀强磁场中运动的时间等于T,约为3.93X10-7s,故D

错误。

3.（多选）（2022•广东佛山高三期末）如图3所示，两相切于。点的圆，半径之比

2：1,Oi、。2分别为两圆圆心，AOi、OO2均垂直于。1。2连线，在圆形区域内

均有垂直纸面以圆周为边界的匀强磁场。现有一束电子以速度P垂直于Oi。连

线从4点射入磁场，经C点最终垂直于。02从。点射出磁场。已知电子电荷量

为e,质量为，〃，大圆内磁场的磁感应强度大小为瓦则以下说法正确的是（）

A.大圆内的磁场方向垂直纸面向里

B.小圆半径为翳

C.小圆内磁场的磁感应强度大小为2B

D.电子在磁场中运动的时间为猊

答案AC

解析电子由C点进入下方小圆，则可知电子刚进入磁场时受力竖直向下，由

左手定则可判断磁感线方向垂直纸面向里，故A正确；轨迹图如图所示，由几

何关系可知，两次轨迹均为四分之一圆，则有卯qvBi=—^-,n=2r,»

解得力=舞，&=2&电子在两个圆中运动时周期分别为.=黑，乃=等，

轨迹为两个四分之一圆弧，见运动时间为「=?+?=舞，故B、D错误，C正

444^0

确。

对点练2电场与磁场的组合

4.（多选）如图4所示，半径为L的圆边界内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab.

cd是圆边界的两个互相垂直的直径，边长为L的正方形defg内存在匀强电场，

边长de与直径”共线，电场与磁场垂直、与gd平行，质量为机、电荷量为g

的粒子（不计重力）从a点正对圆心0以初速度。。垂直射入磁场，从d点射出磁

场立即进入电场，最后恰好从。点射出电场，下列说法正确的是（）

图4

A.粒子带正电

B.电场方向由/指向e

C.粒子在磁场与电场中运动时间的比值为3

D.磁感应强度与电场强度大小的比值为《

答案AC

解析粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据左手定则知，粒子带正电，A正确；

粒子在电场中做类平抛运动，根据偏转特点，静电力方向水平向右，又因为粒子

带正电，所以电场方向由e指向B错误；根据粒子在磁场中做匀速圆周运动

的规律知，粒子在磁场中运动的时间力=察=技，在电场中运动时间为/2=点,

则2岩，C正确；设匀强磁场的磁感应强度为3,有夕。。8=喈，解得3=矍,

在电场中沿着de方向以速度刖做匀速直线运动L=vot2,沿着静电力方向做初速

度为0的匀加速直线运动，L**也解得E=誓,则苓=£D错误。

5.（多选）如图5所示，在直角坐标系X。），的第一象限内有一虚线，虚线与x轴正

方向间夹角9=30。。虚线上方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=

0.75X103To虚线下方到第四象限内有与虚线平行、电场强度E=20N/C的匀

强电场。一比荷*=2X105C，kg的带电粒子从y轴正半轴上的P点以速度vo=

300m/s沿x轴正方向射入磁场，粒子进入磁场后，从虚线上的M点（M点图中

未画出）垂直虚线方向进入电场（不计重力），贝义）

A.该带电粒子一定带正电

B.OM之间的距离为2m

C.粒子第一次穿过虚线后与x轴间的最小距离约为0.98m

D.粒子第一次穿过虚线后能击中x轴

答案BC

解析该粒子所受洛伦兹力向下，根据左手定则知，该带电粒子一定带负电，A

错误；根据牛顿第二定律得W忠=谭，解得r=2m,OM之间的距离为2m,

B正确；竖直方向的分速度为6，=如cos30。=15Mm/s,竖直方向的加速度为

4=qEs押30=2x］（）6m/S2,竖直方向摘=20y,解得y=0.017m,M点到冗轴

的距离为d=为in30°=1m,粒子第一次穿过虚线后与x轴间的最小距离约为

ymin=d—y=0.98m,C正确，D错误。

6.（多选）（2023•福建龙岩高三月考）如图6所示，第I象限存在垂直于纸面向外的

磁感应强度为B的匀强磁场，第HI象限存在沿y轴正方向的匀强电场，已知P

点坐标为一L,。一个质量为〃2,电荷量为4的带电粒子以的速度从P

点沿x轴正方向射出,恰好从坐标原点。进入匀强磁场中，不计粒子的重力,

以下说法正确的是（)

A.电场强度后=弓7

B.带电粒子到达。点时的速度大小v=y/5vo

C粒子射出磁场位置到。点的距离d=鬻

D.在磁场中带电粒子运动的时间，=蕊

答案CD

解析粒子运动轨迹如图

由题知，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，根据类平抛运动规律知，沿x轴

方向有L=3vott沿y轴方向有孕解得E=I2：：A错误；沿y轴方

D乙tiiqL

向有号解得0，=4°o,则到达0点时速度大小为够+济=5次）,B错

4vo

误；sin。=5如=（）.8,则。=53。，由洛伦兹力提供向心力有的8=.■天■，解得/?=

号鬻，由几何关系知，粒子运动的轨迹与，轴的交点到。点的距离L

0=2XqBX0.8=皿,C正确；带电粒子在匀强磁场中运动的周期TUQTU

篝，在磁场中运动的时间为，=繇r=谭，D正确。

7.（2023•江苏无锡高三期末）如图7所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金

属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值。静止的带电粒子带电

荷量为+小质量为皿不计重力），从点P经电场加速后，从小孔。进入N板右

侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为以方向垂直于纸面向外，CD为磁场边

界上的一绝缘板，它与N板的夹角为8=30。，孔。到板的下端。的距离为L,

当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CQ板上，贝政）

M+

P

图7

A.两板间电压的最大值3喏

B.能打到N板上的粒子的最大动能为曙

C.粒子在磁场中运动的垠长时间h=萧

D.CO板上可能被粒子打中区域的长度S=|L

答案A

解析当粒子垂直打在CD板上时，；m=L,此时速度最大，由q0mB=叫;和动

能定理qUm=^mVm,解得Um=q&：,A正确；最大动能为如产品日解得

Ekm=4/，B错误；粒子在磁场中运动的最长时间为Zm=；T,T=翌,解得

4〃/4C/LJ

品=黑,C错误；设轨迹和CD相切时的半径为⑵L=n+需有解得肛=上,

被粒子打中区域的长度为s=rm—不宗，解得s=（3—产）L,D错误。

idnJvD

M+-N

*/D

P隈

B级综合提升练

8.如图8,虚线乃上方存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为8