（中考数学真题模拟题分类）填空压轴题：尺规作图附解析

专题05填空压轴题：尺规作图

一、填空题

1.（2023•天津・统考中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形A3C内接于圆，且

顶点48均在格点上.

（1）线段A8的长为；

⑵若点〃在圆上，A5与CO相交于点只请用无刻虐的直尺，在如图所示的网格中，画出点。，使ACPQ为等

边三角形,并简要说明点0的位置是如何找到的（不要求证明）.

【答案】（1）回

（2）画图见解析;如图，取ACA5与网格线的交点££连接E尸并延长与网格线相交于点G;连接OB与网格

线相交于点〃连接“F并延长与网格线相交于点/,连接回并延长与圆相交于点（连接CK并延长与GB的

延长线相交于点Q,则点。即为所求

【分析】（1）在网格中用勾股定理求解即可；

（2）取ACA8与网格线的交点££连接瓦'并延长与网格线相交于点1％连接MB；连接。8与网格线相交于

点G,连接GF并延长与网格线相交于点〃连接AH并延长与圆相交于点/,连接C7并延长与处的延长线相

交于点Q则点0即为所求，连接PQ,AO,BK,过点£作“网格线，过点G作GS_L网格线，由图可得

Rt.A//咨RIa尸（AAS）,根据全等三角形的性质可得Rt，MiRl.〃NF（ASA）和04/08/V（SAS）,根据同弧所对

圆周角相等可得AO=8K,进而得至IN1=N2和NPCQ=60。，再通过证明.CAP^CBQ（ASA）即可得到结论.

【详解】（1）解：^=V2r7F=>/29；

故答案为：V29.

（2）解：如图，取AC4B与网格线的交点£门连接收并延长与网格线相交于点G;连接。5与网格线相交于

点H,连接HF并延长与网格线相交于点A连接AI并延长与圆相交于点（连接CK并延长与GB的延长线相

交于点0,则点。即为所求；

连接PQ,AD,BK,过点£作C网格线,过点C作G5_L网格线，

由图可得：VZAJF=ZBLF,ZAFJ=ZBFL,AJ=BL,

Rtx.VF^Rt4flLF（AAS）,

:.FJ=FL,AF=BF,

,:MJ=NL,

：.FJ-M.1=FL-NL，即FM=FN,

*：ZJMF=ZHNF,Z/FM=ZHFN,

：,R(!MF叁Rt.〃NF(ASA),

:.Fl=FH、

'：Z4F/=Z.BFH,AF=BF,

：,M/F^rfiHF(SAS),

，ZE4/=Z.FBH,

:.AD=BKf

JZ1=Z2,

•・•"BC是等边三角形，

:.ZACB=60°,即Z1+ZPCB=60°,

Z2+ZPCB=60°,KPZ.PCQ=60°,

'：ET=GS,ZETF=Z.GSF,ZEFT=ZGFS,

：,Rt>E7F^RtzGSF(AAS),

:.EF=GF,

VAF=BF,ZAFE=ZBFGt

：,MFE^*eFG(SAS),

・•・ZEAF=4GBF,

：.NGBF=ZEAF=NCBA=(^,

:.Z.CBQ=1800--ZGBF=60°,

/.NCBQ=NCAB,

9：CA=CB,

：,CAP^,CBQ(ASA),

：.CQ=CP,

•:NPCQ=60。，

・•・△PC。是等边三角形,此时点。即为所求；

故答案为：如图，取ACAB与网格线的交点££连接E尸并延长与网格线相交于点G;连接OB与网格线相

交于点H,连接并延长与网格线相交于点I,连接AI并延长与圆相交于点A；连接CK并延长与GB的延长

线相交于点。则点。即为所求.

【点睛】本题考查作图一复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题

关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键.

2.（2922•天津-统考中考真题）如图,在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点4B,。及NDPF的

一边上的点£尸均在格点上.

（I）线段E尸的长等于；

（II）若点机N分别在射线PD.PF上,满足NMBN=90。且8M=.请用无刻度的直尺,在如图所示的网

格中，画出点制N,并简要说明点和,V的位置是如何找到的（不要求证明）.

【答案】屈见解析

【分析】（I）根据勾股定理,从图中找出即所在直角三角形的直角边的长进行计算；

（II）由图可找到点。笈2=3。=后尸=3/=由，即四边形牙制是正方形，因为加=8乂NA/BN=90。，

所以ABQM^MFN,点J/在£0上,8伙酰与圆的交点为直径端点,所以EQ与切交点为此通过加与圆的交

点G和圆心。连线与圆相交于H,所以，在笈V上,则延长即与加相交点即为M

【详解】解：（I）从图中可知：点反尸水平方向距离为3,竖直方向距离为1,

所以防=疹于=而，

故答案为：M;

（II）连接AC,与竖网格线相交于点0,0即为圆心;取格点0（£点向右1格，向上3格），连接石。与射线PD

相交于点肥连接力仍与。。相交于点G;连接GO并延长,与相交于点〃;连接并延长,与射线尸尸相交

于点人则点黑、即为所求，

(I)线段AC的长等于；

(II)以AB为直径的半圆的圆心为0,在线段48上有一点产，满足AP=AC,请用不刻度的直尺，在如图所示

的网格中，画出点门并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明).

【答案】遥见解析

【分析】(I)根据勾股定理计算即可；

(II)先将zMCB补成等腰三角形,然后构建全等三角形即可.

【详解】解：(I)•・•每个小正方形的边长为1,

•*-AC=Vl2+22=>/5>

故答案为：5、

(II)如图，取BC与网格线的交点〃，则点D为房中点，连接0。并延长，与半圆相交于点£连接8E并延长,

与AC的延长线相交于点片则施为NBFA中位线，且=连接4E交BC于点G,连接AG并延长，与

AB相交于点P,因为则点？即为所求.

【点睛】本题主要考查复杂作图能力,勾设定理,中位线定理,全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质,

平行线的性质等知识点，掌握以上知识点并与己知图形结合是解决本题关键.

4.(2923•天津河西・统考一模)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形^ABC的顶点

4氏C均落在格点上.

(1)“8C的周长等于；

⑵有以A8为直径的半圆，圆心为0,请你在半圆内找到一个点只使得R4=AC,尸8=PC.请用无刻度的

直尺在如图所示的网格中画出点门并简要说明点〃的位置是如何找到的(不要求证明).

【答案】4+4人如图,取格点D,连接OD,再取半圆与格线的交点及连接AE,则AE与的交点即为所求

的点尸.

【分析】(1)利用勾股定理求解即可；

(2)取格点D,连接。。，再取半圆与格线的交点以连接4E,则AE与。。的交点即为所求的点A如图,证明

^AFE^POA,通过计算即可说明AP=242=AC.

22

【详解】⑴CABC=AC+BC+AB=4+2V2+2=4+4x/2,

故答案为：4+4夜；

(2)如图,取格点连接OD,再取半圆与格线的交点笈连接AE,则AE与OD的交点即为所求的点P.

理由如下：

如图，连接0邑

则OE=2,MO=1,

:.ME=B

：•A产="产石=1+6,4£=业+(2+可=18+46=瓜+壶,

FE//AB,

/.ZFEA=ZPAO,

又：ZAFM=ZAOP=\35°,

二AFESROA,

.EFAO-石+12

AEAPV6+V2AP

工”=2&=AC；

故答案为：取格点〃，连接。。，再取半圆与格线的交点七连接AE,则4E与。D的交点即为所求的点P.

【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题

的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.

5.(2D23•天津和平•统考一模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，。上的点A,圆心0均在格

点上，

⑴OA=；

(2)若点C是。。上的一个动点,连接AC,将AC绕点C逆时针旋转90。得到CB,连。8,当线段OB最长时,

点C的对应点为点C',点B的对应点为点*，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点C',川，并简

要说明点C',"的位置是如何找到的（不要求证明）.

【答案】的作直径4Q的垂直平分线交半圆于£连接E4.EQ,则*在以K为圆心，E4为半径的圆上运动,

直径AQ的垂直平分线交。E于8，过E作AB1的垂线交OO于C',当艮0,H三点共线时，0B最长,则点B1

即为所求

【分析】（D先根据垂径定理确定圆心，连接0A,由勾股定理可求出0A的长；

（2）作直径AQ的垂直平分线交半圆于E,连接网,EQ,则皆在以E为圆心，EZT为半径的圆上运动，当

£0,3'三点共线时，0B,最长

【详解】解：（1）如图,

OA=OC=JfS=&

故答案为：5、

⑵如图，点c,即为所画,

作直径AQ的垂直平分线交半圆于石，连接EA.EQ,则8'在以E为圆心，EA为半径的圆上运动,直径AQ的垂

直平分线交OE于8',过E作的垂线交OO于C',当B'三点共线时，08'最长，则点B'即为所求.

理由如下：

由作图可得：EA=EQ,ZAEe=90°,ZAEO=45°,

ZAl^O=NCEO=22.5°,

NEAE=45°-22.50=22.5°=ZAffO,

：.EA=EB'=EQ,

:."在以E为圆心，殖'为半径的圆上运动，CE是A"的垂直平分线，

・•・/BCE=ZACE=ZAQE=45°,CB'=CA,

・•・ZACB=90。，

,当£0,9三点共线时，08'最长，则点*即为所求.

故答案为：作直径AQ的垂直平分线交半圆于E,连接班,£0,则皆在以E为圆心，£4为半径的圆上运动，

直径AQ的垂直平分线交OE于*.过E作A9的垂线交。。于C,当£Q*三点共线时，OB最长，则点*

即为所求.

【点睛】本题主要考查了圆心的确定，垂径定理的应用，勾股定理以及在网格中确定三角形外接圆圆心，正

确作出图形是解答本题的关键.

6.(2023•天津南开・统考一模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中,每个小正方形的顶点叫做格

点.圆上的点力，氏。均为格点.

(1)圆的直径长为；

(2)请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,确定格点£使E4为圆的一条切线,并画出过点£的另一条切

线EF,切点为F,请简要说明切线EF的位置是如何找到的(不要求证明)..

【答案】5取格点笈连接AE,取格点G,H,A；连接GM,NH交于点匕连接AP交圆于点/；作射

线政

【分析】⑴连接AC,根据ZA4C=90。，可得4c为直径，即可；

(2)取格点E,连接AE,取格点G、H,他N,连接GM,NH交于点火,连接AP交圆于点打作射线放，则射线EF

即为所求.

【详解】解：(1)如图，连接4C,

根据题意得：ZABC=90°.

:.AC为直径，

,•*AC=732+42=5>

・•・圆的直径长为5;

故答案为：5.

(2)如图,取格点£连接AE,取格点G,H,N,连接GM,NH交于点P,连接AP交圆于点F,作射线EF,则射

线石尸即为所求.

G'P'H

理由：取格点工连接",CE,。尸,CP,OE,0E交心于点A；

•・•CE2=72+12=50,AC2=AE2=32+42=25,

.*.C£2=AC2+AE2,

JNC4£=90°,即C4J.AE,

・・・E4为圆的一条切线，

根据题意得：四边形是矩形，

，点户为矩形GHMN的中心，

，PJ=5.52=30.25,CP2=22+1§=6.25=2.52,

，AP，=AJ1+PJ2=3\25,CP=2.5,

*/AC2=52=25,

AC+CP2=AP2,

・•・ZACP=ZOl£=90o,

:.ZCAP+ZAPC=9Q°,

VOA=-AC=2.5=CP,AC=AE=5,

2

J^AC^EAO,

・•・ZAOE=ZAPC,

・•・ZG4P+Z4OE=90°,

・•・NA“>=90°,即QE_LAP,

:.AK=FK,

：.AE=FE,

/.ZEAF=^EFA,

•・•AO=OF,

・•・ZOFA-^OAF,

・••Z.OFA+ZEFA=ZOAF+ZEAF,

即NOFE=NOAE=90。,

・•・EF为圆的切线.

故答案为：取格点回连接AE,取格点GJl,M,N,连接GM,NH交于点P,连接加交圆于点£作射线后尸

【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握切

线的判定和性质,矩形的判定和性质,勾股定理及其逆定理是解题的关键.

7.（2023・天津东丽・统考一模）如图,在网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格

点，点A,B,M均为格点，点A,B,"均在以格点。为圆心的圆上.

（D线段A8的长等于.

⑵请你只用无刻度的直尺,在线段AB上画点尸，使AM2=AP-AB,并简要说明P点是如何找到的（不要求

证明）

【答案】4人取格点/,连接M/交A8于点P,点P即为所求作

【分析】（1）根据勾股定理计算即可；

⑵取格点/,连接MJ交AB于点P,点.P田为所求作.

【详解】⑴解：A8=“2+42=4夜,

故答案为：4夜

（2）解：取格点/,连接M7交AB于点P,点、P即为所求作,

【点睛】本题考查了作图-应用与设计,勾股定理,相似三角形的判定与性质,解直角三角形,解题的关键是

理解题意,灵活运用所学知识解决问题.

8.（2923•天津河东・一模）如图,在每个小正方形的边长为1的网格中，NAPC边上的点4点B,点。及点

〃均落在格点上,且点B,点C是圆上的点.

（1）线段A8的长等于.

（2）在网格内有一点E,满足ZABE=NBCE,在线段A尸上有一点F,当。产+EF取得最小值时,请用无刻度的

直尺,在如图所示的网格中，画出点£点£并简要说明点E,点尸的位置是如何找到的（不要求证明）.

【答案】3行如图，取格点.伙M连接取格点W、H、K、LX,连接HLWK交于7；连接7X,连接

“交7X于S,连接SO交融于F,连接8交圆于£则点反产即为所求

【分析】（1）利用勾股定理求解即可；

⑵如图，取格点风/V；连接MN,取格点W、H、K、LX,连接交于7；连接7X,连接OL交7X于

S,连接SD交AP于£连接O尸交圆于£则点反尸即为所求.

【详解】解：（1）由题意得，48=7?工？=30，

故答案为：3五；

⑵如图，取格点风/V；连接MN交BC于0,取格点W、H、K、LX,连接HL交于7；连接7X,连接

OL交7X于5连接S。交小于月连接。尸交圆于£；则点E、尸即为所求.

如图，连接AB,AC,

由勾股定理得AB=8C=律方=3应，AC=6,

/.AB2+BC2=AC2,

・•・ZA5C=90°,

同理可证ZCMB=ZNCM=90。，

:・BC，MN是直径，则点。是圆心，

是。的切线，

,/"EC=90。，

/.^CE+^CBE=90P,

■:ZABE=ZBCE,

：.ZABE+ZCBE=90（,

:.点、E即为BNC上一点,

设点。关于直线AP的对称点为ZX,点。关于直线AP的对称点为O'

：-bF=DF,OF=OF,

/.DF+FE=[>F+FE,

・••当。、以八。四点共线时，DF+FE域小,

，由对称性可知（7D与ODf的交点即为点F,

由网格的特点可知，点。关于直线AP的对称点即为点S

・•・连接SD交A尸于F,点尸即为所求，

・•・连接。尸交圆于£点£即为所求.

故答案为：如图,取格点风网连接MN交3C于。取格点卬、从K、LX,连接MK交于7；连接7%,

连接OL交7X于S,连接SO交AP于£连接。尸交圆于£则点E、尸即为所求.

【点睛】本题主要考查了切线的判定,圆周角定理，轴对称最短路径问题，圆外一点到圆上一点的距离的最

值问题,勾股定理和勾股定理的逆定理等等,熟练掌握相关知识是解题的关键.

9.(2923•天津-校联考一模)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中，点4B,C,〃均为格点,且点A,B

在圆上.

(1)线段AC的长等于；

(2)过点。作。/〃AC,直线。尸与圆交于点M,N(点M在N的左侧)，画出MN的中点P,简要说明点尸的

位置是如何找到的(不要求证明).

【答窠】J万取圆与格线的交点E,连接防，旗与格线的交点为圆心。；取格点F,连接尸D,与圆交于点

M,N;取圆与AC的交点连接4N,两线交于点/;作射线O/,交MN于点尸，则点P即为所求.

【分析】(1)根据勾股定理求出AC的长即可；

(2)取圆与格线的交点E,连接反，EB与格线的交点为圆心。；取格点尸，连接阳，与圆交于点"，N;取圆

与AC的交点”，连接，4N,两线交于点/;作射线OI,交MNF点P,则点P即为所求.

【详解】解：(1)AC=G+F=&j;

故答案为：J万；

(2)取圆与格线的交点E,连接EB,EB与格线的交点为圆心。：取格点F,连接FD,与圆交于点M,N;取圆

与AC的交点H,连接MH,AN,两线交于点/;作射线OI,交MN于点尸，则点P即为所求.

*/NBAE=90°,

，BE为圆的直径，

•••GK垂直平分48,

・•・BE鱼GK的交点为圆心0,

MN//AH,

AM=HN、

：.ZANM=NHMN,

：.IM=IN,

*：OM=ON,

/p垂直平分MN,

即

故答案为：取圆与格线的交点£连接即，与格线的交点为圆心0;取格点心连接加，与圆交于点

M;取圆与AC的交点H,连接MH,AN,两线交于点/;作射线O/,交MN于点P,则点P即为所求.

【点睛】本题主要考查了勾股定理,圆周角定理,垂直平分线的判定,等腰三角形的判定,垂径定理,解题的

关键是找出圆心。和点/.

10.（2023-天津滨海新・统考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，.SBC的顶点8,C在格点

上,顶点A是小正方形边的中点.

（DAB的长等于；

（2）E是线段48与网格线的交点，户是外接圆上的动点，点/在线段距上（点尸的位置不需要在图上

标注）,且满足PF=2BF.当行取得最大值时,请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺,画出点尸与

.ABC外接圆的圆心0,并简要说明点尸与点。的位置是如何找到的.（不要求证明）

【答案】巨将点3向下平移一个格点、向右平移6个格点，得格点〃，连接BQ,与外接圆相交于点

2

P.连接AP,将点3向下平移2个格点、向右平移1个格点，得格点G,连接3G并延长与圆相交于点〃，连

接与交于。点

【分析】①根据ABtg+O计算求解即可;②由题意知，空=：,娑NEB尸=乙的,则

y\2）AB3BP3

dEBFs^ABP，即空=?，可知当即最大，即AP最大，则AP为直径,如图，取格点。，则比＞与圆交点即为P,

AP3

连接AP,由90。的圆周角所对的弦为直径可得AP为直径,取格点G,连接BG并延长与圆交点记为H,连接

8,由90。的圆周角所对的弦为直径可得C”为直径，AP与C”的交点即为圆心。.

【详解】①解：.=小2+（步孚

故答案为：此；

2

RF\BF\

②解：由题意知，不7=彳，==：；,NJ耽=NABP,

AB3BP3

；・©FSAABP»

.EF1

•■=一,

AP3

当所最大,即最大，

:.AP为直径，

如图，取格点〃，连接3。，与J1BC外接圆用交于点P.连接AP,此时尸=90。，由90。的圆周角所对的弦

为直径可得AP为直径；

取格点G,则NGHC'=90V，连接8G并延长与圆相文于点“，连接CH,此时N〃HC'=90。，由91r的圆周角所

对的弦为直径可得。”为直径；

CH与AP交点即为圆心。点.

（草图）（正式图）

・♦•点。与点P即为所求.

【点睛】本题考查了勾股定理与格点，90。的圆周角所对的弦为直径,相似三角形的判定与性质.解题的关

键在于对知识点的熟练掌握与灵活运用.

11.（2023•天津西青・统考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点。，A,B均落在格点上，连

接。4,OB.

(1)线段。4的长等于.

⑵以。为圆心，3为半径作圆，在0。上找一点M,满足NBOA/=N4O5.请用无刻度的直尺，在如图所示

的网格中，画出点M,作出/BOM,并简要说明点M的位置是如何找到的(不要求证明).

【答案】而■图见解析,利用垂径定理找到点M

【分析】(1)利用勾股定理求出04的长即可；

(2)延长3。交。。于点C,取格点E,连接AE并延长交O于点M,点M即为所求.

【详解】解：⑴由勾股定理，得：OA=>Ja2+b2=4^+f=4v7：

故答案为：J万；

⑵延长80交O。于点C,取格点E,连接AE并延长交OO于点M,点M即为所求.如图所示:

由图可知：0A=AE,ZADO=ZOHC=90°,AD=OH=4,OA=OC,

ZAOE=ZAEO,

.•・ZOAD=ZHOC,

•・,ZAOE+ZCX4£>=90°,

:./HOC+NAEO=90。,

^OFE=90P,

:.BCLAM,

MC=AC.

ZMOC=ZAOC,

:.NBOM=ZAOB,

，点〃即为所求.

"点是根据垂径定理找到的；

故答案为：利用垂径定理找到点V

【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理.掌握并运用

相关知识点,是解题的关键.

12.（2023•天津河北・统考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中..•工是圆的内接三角形,

点A在格点上.点B,C在网格线上,且点，是小正方形边的中点.

（I）线段4C的长度等于；

（II）请用无刻度的直尺,在圆上找一点6使得/加尸+/蛆4=90°,并简要说明点P是如何找到的（不要求

证明）.

【答案】亨彳历延长AC至£作砂=质'则4=90。，同理作出尸公历’找到小正方形边的中

点G,连接CG交C于点尸，点P即为所求.

【分析】（1）根据网格和勾股定理即可求解;

（2）延长AC至E,作痔=历，则NE=90。，同理作出FH=历，找到小正方形边的中点G,连接CG交圆

于点P,点尸即为所求.

【详解】解：（1）依题意4C=

故答案沏号

(2)如图所示

延长AC至E,作EF=历，则"=90。，同理作出尸”=历

找到小正方形边的中点G,连接CG交圆于点P

・•・四边形C瓦G是矩形，

・•・ZACP=90°,

:.AP是直径，

・•・ZACP=90°

;BP=BP，

：."AP=NBCP

：.NBAP+ZBCA=NBCP++ZBC4=ZACP=90°,

工点P即为所求.

【点睛】本题考查了勾股定理，直角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，找到直径是解题的关键.

13.(2023•天津河西・天津市新华中学校考一模)如图,在每个边长为1的小正方形网格中，点48均在格

点上,以4?为直径作圆，点时为AB的中点.

1.线段力8的长度等于；

2.请用无刻度的直尺,在圆上找一点P,使得ZMAP=3NBMP,并简要说明点。的位置是如何找到的（不要

求证明）

【答案】闻见详解

【分析】选取合适的网格，解直角三角形即可求解力8的长;先找圆心,即选取网格点G、〃连接G"交46于

。点，可知0为圆心，再利用网格选取网格点仄F、Q连接刀0、外;二者相交于〃点，连接做交于点

月产即为所求.

选取网格点G、H,连接力交AB于。点,可知。为圆心,

连接布；以4根据网格间距可知力小5,吩2,

•・・力8是直径,

的族90°,

:.在Rt2ABG中，则利用勾股定理可知AB=X/52+22=晒,

如图:

在（1）的基础上,选取网格点氏F、0,连接£0、跖二者相交于〃点，连接〃〃交。。于点A尸即为所求.

工RtAAHB三RtAFQB,

：./FBQ=NABU,AB=BF,

:・/EBe/EB升NFBQ=/EBR/EBA=NAB六900,

：.ABLBF,

•••四边形硒下是是矩形，

・•・〃为人中点,有吩〃

•••0为直径46中点，

0斤BAOR,

又：业点为4B的中点，

即0?_1_①且乙历代45°,

则在四边形ORDB中,OB=BD=ORt且ORIOB,0B1BD,且线段OB、RD在劭同侧,

，四边形ORDB是正方形,

:・NB0IM50=/BOP,

则圆心角/财对应的圆周角N物片22.5°,

又•・•乙物生45°,

：・NM4六N丽阴■N班六450+22.5°=67.5°=3/BAP,

又・：ZBM六NBAP,

:.乙的片3N8明

得证.

故答案为：炳；在(1)的基础上,选取网格点公F、。，连接£0、皮;二者相交于〃点，连接交。。于点

月一即为所求.

【点睛】本题考查了圆心角与圆周角的知识、勾股定理等知识,充分利用网格特点构造特殊点是解答本题

的关键.

14.(2023•天津和平・统考二模)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A,8均在格点上.

(1)线段A8的长等于；

⑵若点M,N分别在圆上，满足NAWV=9O。且AM=AN.请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中，画出

点M,N,并简要说明点M,N的位置是如何找到的(不要求证明).

【答案】由取格点E,连接AE,跖，与圆相交于点尸，M;连接M,连接8与所1相交于点0;连接"O

并延长,与OO相交于点N,则点M,N即为所求

【分析】(1)利用勾股定理即可求解；

⑵首先取格点E,连接4E,BE,与圆相交于点尸，连接班•，可证得&AE"包BDA(SAS),可得

/BAE=90°,连接与所相交于点0,再根据圆周角定理，可得CD与切为直径，点。为圆心,连接MO并

延长,与。。相交于点N,则点M,N即为所求.

【详解】解；(1)"二正”二府,

故答案为：晒；

(2)如图：取格点E,连接AE,8E,与圆相交于点尸，M;连接M,连接C。与M相交于点。；连接并延

长，与O。相交于点N,则点M,N即为所求.

证明：在△AE”与△的中，

AH=BD

<NAHE=NBDA

EH=AD

.-...AEH^BZM(SAS),

:.Z.EAH=ZABD,

ZABD+ABAD=90°,

:.ZEAH+Z.BAD=9Q0

・•.NBAE=180°-90°=90°,

.・.8与M为直径，点。为圆心，

・•.MN为直径,

:.ZMAN=90P,

•・•点V,N即为所求，

故答案为：取格点E,连接从石，把，与圆相交于点尸，M;连接BF，连接C。与BF相交于点。；连接MO并

延长，与O。相交于点N,则点M,N即为所求.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，圆周角定理，证得C。

与M是圆的直径是解决本题的关键。。与

15.（2023•天津红桥•统考二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，,ABC的顶点C在格点上，顶

点8在网格线上，以A8为直径的0。经过点C.

（DNAC8的大小等于（度）；

（2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，在。上画出点尸，使NW=NPBC,并简要说明点尸的位置

是如何找到的（不要求证明）.

【答案】90取。。与网格线的交点M,N,连接MN交A8于点。：取BC与网格线的交点。，连接

人。，。。相交于点6：连接BG并延长，与AC相交于点E：连接OE并延长，与。。相交于点P,则点尸即

为所求

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角即可求解；

（2）取与网格线的交点M,N,连接M,V交A8于点。：取5C与网格线的交点O,连接AO,OC相交于

点G：连接8G并延长，与AC相交于点E：连接OE并延长，与相交于点P,则点尸即为所求.

【详解】解：（1）・・・45为直径的。。经过点。，

・•・ZACB=9O°,

故答案为:90.

（2）如图，取OO与网格线的交点M,N,连接MN交A8于点。：取与网格线的交点O,连接40,OC相

交于点G：连接8G并延长，与AC相交于点E：连接0E并延长,与相交于点P,则点P即为所求;

理由如下，

•・•/XMCN是直角三角形，，MN是直径,

丁A3是直径，

:.0点是圆心，

•・・。是5c的中点，。是AB的中点，

*,•G点是是SBC的重心，

:.BE是AC的中线，即E是4C的中点，

•••0E是"1BC的中位线，

：.OPA.CA,

,PC=PA，

；・NPBA=NPBC.

【点睛】本题考查了圆周角定理,三角形的重心，三角形的中位线的性质，垂径定理及其推论，熟练掌握以上

知识是解题的关键.

16.（2023-天津南开・统考二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中,圆上的点A,8,C及点。均

在格点上

（DNA8C的大小为（度）；

⑵。为上一点，连接AP,将AP绕点8顺时针旋转90。得到MN.请用无刻度的直尺,在如图所示的格中,

画出线段MN,并简要说明点M,N的位置是如何找到的（不要求证明）.

【答案】90见详解

【分析】（1）利用勾股定理求出BC、BD.8,再利用勾股定理的逆定理证明△股%＞是直角三角形，问题

得解；

⑵取网格点S、,MBC中点）、〃根据⑴可知ZABC=90°,即AC为圆的直径，连接"，交AC于点。

即。点为圆心，连接5尸并延长交圆。点月连接EO,交圆。点回连接防，并延长至G点，连接"C,交6G于

点A；连接MN,问题得解.

【详解】根据勾股定理可得：而2

（1）8c2=4+2?=20,8>=42+2?=20,2=62+2=40,

BC-+BD2=CD2,

・•・△BCD是直角三角形，

ZAfiC=90°,

故答案为:90;

⑵如图，取网格点S、7、做BC中点）、〃连接ST,交AC于点Q即。点为圆心，连接并延长交圆。点回

连接E。，交圆。点内连接班'，并延长至。点，连接HC,交8G于点儿连接MN,MN即为所求.

证明：根据（1）可知NABC=9O。，即4C为圆的直径,

SC=AT,/SCO=NOA7=90。，ZCOS=ZAOT,

：...SCO^^TAO,

・•・CO=AO,

〈AC为圆的直径，

・・・0点为圆心，

・・・£F为圆的直径，

：.ZEBF=90P,

点绕点8顺时针旋转90。得到的点在直线8尸上,

•，犷点为8C中点，ZABC=90°,

乂,**BM=BA=\/12+22=\/5,

・•・A点绕点B顺时针旋转90。得到的点为M,

•：CM=HM=4^^=5C/7=VF+F=ViO»

：.CM2+HM2=CH\

・••AHCM是直角三角形,且NHCM=45。,

由（1）可知在RlBCD中，BC=BD,

：./BDC=45°=/HCM,

•：ZEBF=90°=ZABC,

：.ZEBF-Z.CBE=ZABC-ZCBE,

・•・ZFBC=NEBD,

在eCN5和DM中，

BD=BC

♦ZFBC=NEBD

NBDC=450=NHCM

:・.CNI泾;DPB,

：.BN=BP,

又•・•尸点绕点8顺时针旋转90。得到的点在直线M上，

・•・。点绕点8顺时针旋转90。得到的点为"，

・・・MN即为所求，

故答案为：取网格点S、八做BC中点）、拉连接ST,交AC于点0,即。点为圆心，连接8P并延长交圆。

点£连接EO,交圆。点月连接防，并延长至G点,连接“C,交BG于点A；连接MN.

【点睛】本题难度较大,考查了勾股定理及其逆定理,圆周角定理,全等三角形的判定与性质，等腰三角形的

判定与性质等知识,灵活运用圆周角定理是解答本题的关键.

17.（2023•天津河东・统考二模）如图,在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A,B,C及线段DE

上的点〃均在格点上，

（1）线段比'的长等于；

（2）圆上有一个动点F,若点"为线段"'的中点,在线段应上有一点K.当初T取得最大值时,请用无刻度的

直尺,在如图所示的网格中，画出点A；并简要说明点4的位置是如何找到的（不要求证明）.

【答案】而如图所示

【分析】（1）根据勾股定理计算即可求得;

⑵根据点F的轨迹为圆，则点M的运动轨迹也为圆,确定点M的运动的圆心，即可推得.

【详解】(1)在方格中找到以DE为斜边的直角三角形

用勾股定理求解为：DE=y122+32=713

(2)如图：点七即为所求

原理：首先找圆心：连接4C,交网格线于点0;连接0。，找到。。的中点N,在圆上找任意一点尸，连接

OF,确定。产中点M,连接,则在中，点M,N均为边DF,D0的中点,故MN=go,根据点F

的轨迹为圆，则点M的运动轨迹也为以点N为圆心，为半径的圆，点《在线段。石上，当MK取得最大值

时,即连接硒，并延长与圆N交于一点,该点即为MK取得最大值时/点的位置,此时点｛在点E上,故点

E即为所求.

【点睛】本题考查了勾股定理，圆的综合应用，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质.

18.(2023•天津河西・统考二模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A,C均落在格

点上，点3在网格线上,且A8=1.

(I)线段BC的长等于；

(II)以8。为直径的半圆与边AC相交于点。，若在CO上有一点尸，使其满足NPCD=NBCD,请用不刻度的

直尺，在如图所示的网格中，画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明).

【答案】返见解析

3

【分析】(I)利用勾肌定理计算即可；

(II)由8。是圆的直径,得NBDCW,若NPCD=NBCD,根据三线合一,可知，点尸应在以点，为顶角的等

腰三角形的一腰上,所取格点M、N,使MN〃AC,且两平行线间距离等于点8到AC的距离,所以等腰三角

形另一顶点8'是30延长线与MN的交点，再连接"C与圆的交点即是所要求画的点只

【详解】解：(I)由勾股定理，得半，

故答案为：圾；

3

(II)幻图,取格点M,N,连接MN,连接6。并延长,与MN相交于点;连接SC,与半圆相交于点P,则点

P即为所求.

【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论,平行线分线段成比例，解题词关键是

熟练掌握勾股定理,等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论推论,平行线分线段成比例的应用是解题的关

键.

19.（2023•天津东丽・统考二模）如图,在网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格

点，点A,B,M均为格点，以格点。为圆心，4B为直径作圆，点M在圆上.

（I）线段AB的长等于；

（II）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺,在BM上找出一点尸，使PM=AM，并简要说明画图方法（不

要求证明）

【答窠】2则取格点C,连接AC并延长，交OO于点P,则点P即为所求

【分析】（1）根据勾股定理即可求解；

（2）取格点C,连接AC并延长,交OO于点P,则点P即为所求.

【详解】解：（D人3=及+6。=2亚

（2）如图所示,取格点C,连接AC并延长，交。O于点P,则点尸即为所求.

理由如下，

,/tanZ.DOA=tanZCAD=tanNMON=-

3

AMON=NCX。

ZACD4-ZC4D=90°

工ZMON+ZC4D=90°

AC±OM,

,PM=AM-

【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，正切的定义，垂径定理,熟练掌握以上知识是解题的关键.

20.（2023•天津滨海新•统考二模）如图,在每个小正方形的边长都为1的网格中，的顶点4氏。都

在圆上，点48均在格点上，点。在网格线上.

(I)线段48的长为；

(H)在优弧46上找一点R使CP=AB,请简要说明点〃的位置是如何找到的(不要求证明).

【答案】4设与MN交于点£连接AE并延长交8于点£连接成交圆上于一点，该点即为

点?

【分析】(I)根据网格直接得出A8的长即可；

(11)设BC与MN交于点E,连接AE并延长交CO于点F,连接M交圆上于一点,该点即为点P.

【详解】解：(I)根据网格可知，A3=4;

故答案为:4;

(II)设BC与MN交于点、£MN交AC于点G,连接AE并延长交8于点内连接8尸交圆上于一点，该点即为

点月如图所示：

•：GE//AB,

：,Z.CGE=NG4&Z.CEG=NCBA,

・•・ACGE^Z\CAB,

・・•网格中每个小正方形的边长都为1,

・•・eCGE的边GE上的高为1,/XCAB的边AB上的高为2,

.CE1

••---=—,

CB2

:.CE=BE,

'：CF//AB,

：・/FCE=ZABE、ZCFE=ZBAE,

：.^CEF^BEA,

：.CF=AB,

:,四边形48%为平行四边形，

BE//AC,

：.NCBP=ZACB,

：.CP=AB.

故答案为：设BC与MN交于点£连接AE并延长交CD于点月连接所交圆上于一点，该点即为点尸.

【点睛】本题主要考查了圆的基本知识,平行四边形的判定和性质,三角形全等的判定和性质,三角形相似

的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是根据格点的特点，作出NCBP=ZACB.

21.（2023•天津和平・统考三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A在格点上，点8在

格点上，圆心在线段AB上，圆与网格线相交于点C,过点C作圆的切线与网格线交于点P.

⑴AB=；

（2）过点尸作圆的切线,切点为M（点M不与点C重合）.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点

M,并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）.

【答案】图见解析，过点C作CP的垂线交A3于点0,则。为圆心，连接OP,作C用_LOP,与（。交于

点M,点M即为所求

【分析】（1）根据勾股定理进行计算即可得到答案；

（2）根据切线的性质作出图,并对作图过程作相应的描述即可.

【详解】解：⑴AB7ys

故答案为：\/13;

（2）如图所示：

过点C作CP的垂线交A8于点0,则0为圆心，连接OP,作0W_LOP,与交于点点M即为所求.

【点睛】本题主要考查了尺规作图一作切线，切线的性质，垂径定理,勾股定理,熟练掌握切线的性质,垂径

定理，是解题的关键.

22.（2023•天津红桥・统考三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A在格点上，3为小正方形

边的中点，以A8直径的半圆经过点C,且C为A3的中点.

（1）/班。的大小等于（度）；

（H）「是上的动点，过点p作直线AC的垂线，交A8的延长线于点£>;点Q在AC上,且满足4。=&3。,

连接PQ.当也取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺,画出点P,并简要说明点尸的位置

是如何找到的（不要求证明）.

【答案】45见解析

【分析】（I）连接BC,证明4ACB是等腰直角三角形即可，

（II）如图,取格点E,产,G,H,连接EF、GH相交于点/;取格点M,N,连接MN与AB相交于点O;连接/O,与

半圆相交于点P,则点尸即为所求.

【详解】(I)连接8C,

A8为圆的直径，

.-.ZAC8=90°,

C为AB的中点，

AC=BC，

：.AC=BC,即"C8是等腰直角三角形，

.\ZBAC=45°;

(H)如图,取格点E,F,G,”，

连接相交于点/;取格点M,N,连接"N与相交于点。；连接/。，与半圆相交于点尸，则点尸即为

所求.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解

决最值问题,属于中考常考题型.

23.(2023•天津河北・统考三模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，3C的顶点A,8在格点

上，C是小正方形边的中点.

(1)48的长等于；

(2)M是线段BC与网格线的交点，2是外接圆上的动点，点N在线段用上,且满足PN=28N.当

取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺,画出点尸，并简要说明点尸的位置是如何找到

的(不要求证明).

【答案】⑴石

⑵取格点O,连接8。并延长,与圆相交于点E