2023年山东省潍坊市中考数学真题（学生版+解析版）

2023年山东省潍坊市中考数学真题

注意事项：

L本试题满分150分，考试时间120分钟；

2.答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚；

3.请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置.

第I卷（选择题共44分）

一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分.每小题的四个选项中只有一项正确）

1.在实数1,一1,0,7份中，最大的数是（）

A.1B.-1C.OD.72

ab0c

A.-c<bB.a>-cc.\a-t\=b-aD.\c-c^=a-c

4.在我国古代建筑中经常使用样卯构件，如图是某种样卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（）

3

5.如图，在直角坐标系中，一次函数y=尤-2与反比例函数％=一的图象交于A,B两点,下列结论正确

x

的是［)

B.当x<-l时，x<%

c当0<x<3时，y,>y2D.当一1cx<0时，y<%

6.如图，在直角坐标系中，菱形OWC的顶点4的坐标为（-2,0）,Z4OC=60°.将菱形OA5C沿x轴

向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形。A'8'C',其中点夕的坐标为（）

A.(—2,6—1)B.(-2,1)C.(-73,1)D.(-瓜6-1)

二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.每小题的四个选项中，有多项正确，全

部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得。分）

7.下列运算正确的是（）

A.^64=4B.74=2C.（-3«）2=9«2D.a2a3=a6

8.下列命题正确的是（）

A.在一个三角形中至少有两个锐角

B.在圆中，垂直于弦的直径平分弦

C.如果两个角互余，那么它们的补角也互余

D.两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等

9.已知抛物线y=一5%一3经过点（一1,4）,则下列结论正确的是（）

A.抛物线的开口向下

B.抛物线的对称轴是X=*

4

C.抛物线与x轴有两个交点

49

D.当时，关于x的一元二次方程o?_5x-3T=0有实根

10.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图.图②中，

点4在直线/上往复运动，推动点4做圆周运动形成oo,A8与8。表示Itt柄连杆的两直杆，点C、。是

直线，与OO的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达O.若A8=12，

OB=5,则下列结论正确的是（）

，一

EA

图I图2

A.FC=2B.EF=12

C.当A8与。。相切时，£4=4D.当OB_LCD时，EA=AF

■第II卷（非选择题共106分）

三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分.只写最后结果）

11.从-&、6指中任意选择两个数，分别填在算式（升。）2+血里面的“口”与“O”中，计算该

算式的结果是.（只需写出一种结果）

12.月与教材中相同型号的计算器，依次按键，显示结果为

己百印6叫丫.借助显示结果，可以将一元二次方程f+x-1=0的正数解近似表示为.（精

确到0.001）

13.投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是.

14.在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，A8表示塔的高度，8表

示竹竿顶端到地面的高度，E尸表示人眼到地面的高度，AB>CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一

条水平直线上.已知AC=20米，CE=10米，CD=1米,EF=1.4米,人从点尸远眺塔顶8,视线恰

好经过竹竿的顶端。，可求出塔的高度.根据以上信息，塔的高度为米.

18.为研究某种化学试剂挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程

x

种场景下y随x变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；

（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克.在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下

发挥作用的时间更长？

19.某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件.学期末，学校对七、

八年级的学生投稿情况进行调查.

【数据的收集与整理】

分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表.

投稿篇数（篇）12345

七年级频数（人）71()15126

八年级频数（人）21013214

【数据的描述与分析】

（1）求扇形统计图中圆心角。的度数，并补全频数直方图.

七年级样本学生投八年级样本学生投

稿篇数扇形统计图稿篇数频数直方图

（2）根据频数分布表分别计算有关统计量:

统计量中位数众数平均数方差

七年级33X1.48

八年级mn3.31.01

直接写出表格中相、〃的值，并求出一

【数据的应用与评价】

（3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做

出评价.

20.工匠师傅准备从六边形的铁皮A8CD行中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示.经测量，

AB//DE,45与OE之间的距离为2米，AB=3米，4/=8C=1米，ZA=ZB=90°,

ZC=ZF=135°.MH，HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当的长度为多少时，矩形铁皮

MAC”的面积最大，最大面积是多少？

21.如图，正方形A8CD内接于OO,在AS上取一点七，连接AE，DE.过点A作AG_LAE,交。。

于点G,交DE于点F,连接CG,DG.

D

Ei

（1）求证：八AFDQACGD：

（2）若A8=2，ZBAE=30°,求阴影部分的面积.

22.［材料阅读］

用数形结合的方法，可以探究4+夕2+43++4〃+3的值，其中Ovgvi.

11A

例求」+-的值.

2⑶

方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知

的结果等于该正方形的面积,

即K1

丫4--+

2;

方法2：借助函数），和y=x的图象，观察图②可知

•的结果等于%,生，〃3，…%…等各条竖直线段的长度之和,

即两个函数图象交点到X轴的距离.因为两个函数图象的交点。,1）到X轴的距为1，

\3n

所以，打1n

++••++=1.

2>

【实践应用】

++©+•的求值过程.

2（12、2(2

方法I：借助面积为2的正方形，观察图③可知上+-,+=

3⑶佃5

22

方法2：借助函数），=和>=工的图象，观察图④可知

因为两个函数图象的交点的坐标为，

22f2

所以，-+4-=

3如3JJ

22

参照上面的过程，选择合适的方法，求33+13I+3|+…的值.

任务二3

4⑷4J<4

任务三用方法2,求q+d+...+g"+…的值（结果用《表不）.

迁移拓展】

长宽之比为避上1:1的矩形是黄金矩形,将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形.

2

2023年山东省潍坊市中考数学真题

注意事项：

L本试题满分150分，考试时间120分钟；

2.答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚；

3.请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置.

第I卷（选择题共44分）

一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分.每小题的四个选项中只有一项正确）

1.在实数1,一1,0,7份中，最大的数是（）

A.1B.-1C.OD.72

【答案】D

【解析】

【分析】正数大于0,负数小于0,两个E数；较大数的算术平方根大于较小数的算术平方根.

【详解】解：2>1，・••及>=l

•*-V2>1>0>-1

故选：D.

【点睛】本题考查实数的大小比较，二次根式的化简，掌握二次根式的性质公式是解题的关键.

2.下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答窠】D

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180。，如果旋转后的图形与另一个

图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线

两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得.

【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；

C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；

D、既是轴对称图形乂是中心对称图形，则此项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键.

3.实数小Ac在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（）

ab0c

A.-c<hB.a>-cc.\a-b\=b-aD.\c-c\=a-c

【答案】C

【解析】

【分析】根据数轴性质可得a<Z?<O<c,|4>例>|。|,据此逐项判断即可得.

【详解】解：由数轴可知，a<b<O<c,|iz|>|/?|>|c|.

A、-c>b,则此项错误，不符合题意；

B、”一c，则此项错误，不符合题意；

C^Qa-6<0,

:]a-t\=b-a,则此项正确，符合题意；

D、vc-a>0»

.•.卜一4二。一。，则此项错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考杳了数轴、绝对值的性质，熟练掌握数轴的性质是解题关键.

4.在我国古代建筑中经常使用桦卯构件，如图是某种样卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（）

怦卯

A.|B.----IC.j|:D.

nnn

（完]C

【解析】

【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得.

【详解】解：卯的俯视图是

故选：C.

【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键.

3

5.如图，在直角坐标系中，一次函数乂=1-2与反比例函数％=一的图象交于4,B两点,下列结论正确

~x

B.当工<一1时，y<y2

C.当0Vx<3时，%>当D.当一l<x<0时，yl<y2

【答案】B

【解析】

【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得.

【详解】解：A、当％>3时，则此项错误，不符合题意;

B、当工<一1时，y<%，则此项正确，符合题意;

c、当u<x<3时，y<%，则此项错误，不符合题意;

D、当T<x<0时，则此项错误，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握函数图象法是解题关键.

6.如图，在直角坐标系中，菱形。钻。的顶点4的坐标为（-2,0）,NAOC=60。.将菱形OA5C沿x轴

向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形。ABC,其中点8'的坐标为（）

C.(-"1)D.（一也，上一V）

【答案】A

【解析】

【分析】如图，过8作轴于”，求解。4=A5=2,AB//OC,可得NK4”=NAOC=60。，

求解A"=O"cos600=l,BH=d*-f=6，可得网―3,6）,再利用平移的性质可得

^（-2,73-1）.

【详解】解：如图，过8作轴于X,

•・•菱形。钻C的顶点A的坐标为（一2,0）,NAOC=60°.

：,OA=AB=2,AB//OC,

：,ZBAH=ZAOC=6Q0,

:.AH=OBcos60°=LBH=加-，=6，

・•・川-3询，

•・•将菱形。ABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿），轴向下平移1个单位长度，

:.2,>/3—1j；

故选A

【点睛】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，图形的平移，熟练的求解8

的坐标是解本题的关键.

二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.每小题的四个选项中，有多项正确，全

部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分）

7.下列运算正确的是（）

22236

A.V=64=4B.74=2C.（-3tz）=9aD.aa=a

【答案】BC

【解析】

【分析】根据立方根与算术平方根、积的乘方、同底数昂的乘法法则逐项判断即可得.

【详解】解：A、■石=-4,则此项错误，不符合题意；

B、、〃=2，则此项正确，符合题意；

C、（一3。）2=9/,则此项正确，符合题意；

D、则此项错误，不符合题意；

故选：BC.

【点睛】本题考查了立方根与算术平方根、积的乘方、同底数箱的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关

键.

8.下列命题正确的是（）

A.在一个三角形中至少有两个锐角

B.在圆中，垂直于弦的直径平分弦

C.如果两个角互余，那么它们的补角也互余

D.两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等

【答案】AB

【解析】

【分析】根据三角形的内角和定理、垂径定理、互余与互补、平行线的性质逐项判断即可得.

【详解】解：A、在一个三角形中至少有两个锐角，原命题正确，则此项符合题意；

B、在圆中，垂直于弦的直径平分弦，原命题正确，则此项符合题意；

C、设/A与N8互余，

.•.Z4+ZB=9O°,

.•.180。—ZA+180。—4=360。—90°=270。，

・•・如果两个角互余，那么它们的补角也互余，命题错误，则此项不符合题意；

D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角一定相等，原命题错误，则此项不符合题意；

故选：AB.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、垂径定理、互余与互补、平行线的性质，熟练掌握各定理和性

质是解题关键.

9.已知抛物线》=双2一5X一3经过点(-1,4),则下列结论正确的是()

A.抛物线的开口向下

B.抛物线的对称轴是x=工

4

C.抛物线与x轴有两个交点

49

D.当rv-彳时，关于x的一元二次方程⑪2一5%一3-，=0有实根

8

【答案】BC

【解析】

【分析】将点(-1,4)代入可求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次

方程的联系逐项判断即可得.

【详解】解：将点(一1,4)代入了=双2一5%一3得：。+5—3=4,解得。=2,

二.y=2f-5%-3=2(x-一？，

二.抛物线的开口向上，抛物线的对称轴是x=*,选项A错误，选项B正确；

4

「方程2f—5%—3=0的根的判别式△=(-5)2-4X2X(-3)=49>0,

・•・方程-5%-3=0有两个不相等的实数根，

「•抛物线与％轴有两个交点，选项C正确：

549

由二次函数的性质可知，这个抛物线的开口向上，且当x=一时，V取得最小值-一，

48

当f<49

•t-8一时，y=依2一5%—3与y=力没有交点，

当r49

<一

•-8时，关于x的一元二次方程依2-5工-3-，=0没有实根，选项D错误；

故选：BC.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象

与性质是解题关键.

10.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图.图②中，

点4在直线/上往复运动，推动点B做圆周运动形成。0,AB与8。表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是

直线，与OO的交点；当点A运动到七时，点B到达C；当点A运动到户时，点B到达£>.若A3=12,

08=5,则下列结论正确的是（）

A.FC=2B.EF=12

C.当AB与相切时，£4=4D,当Q8_LC£>时，EA=AF

【答案】AC

【解析】

【分析】如图，由题意可得：AB=CE=12,AB+BO=OE=H,FD=AB=12,OC=OB=OD=5,

从而可判断A,B,如图，当AB与0。相切时，求解AO=dAB2+OB2=13，可得

£4=EO—AO=17-13=4,可判断C：当QB_LCD时，如图，可得AO==J5而，

AE=EO-AO=l7-y/U9AF=AO-OF=>/\\9-2-5=4T\9-7»可判断D；从而可得答案.

【详解】解：如图，由题意可得：

AB=CE=\2,AB+BO=OE=17,FD=AB=12fOC=OB=OD=5,

/.FC=FD-CD=12-1O=2,故A符合题意；

EF=CE-CF=12-2=\0f故B不符合题意；

如图，当A3与，。相切时，

:.2450=9()。，

I\

2户里方2?

■•一一一J.

•••AO=yJAB2+OB2=13»

・・.E4=EO-AO=17-13=4,故C符合题意;

当08J_C。时，如图,

•*-AO=V122-52=Vn9，

・•・AE=EO-AO=\7-y/U9AF=AO-OF=y/\\9-2-5=y/T\9-1»

・・・AEwAF,故D不符合题意；

故选AC

【点睛】本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数形结

合的方法解题是关键.

第n卷（非选择题共106分）

三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分,只写最后结果）

11.从-近、百，卡中任意选择两个数，分别填在算式（60）2+血里面的“口”与“O”中，计算该

算式的结果是.（只需写出一种结果）

【答案】|^-273（或4&一2#或30+6,写出一种结果即可）

【解析】

【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得.

【详解】解：①选择-夜和百，

则（-四+百）+&=（2-2#+3,应

=（5-2#/血

=5+夜-26+&

2G.

2

②选择一四和指，

则卜发+#卜&=（2-2疝+6）+近

=（8-2配卜及

8+x/2—2>/F2+>/2

=4a-2折

③选择75和遥，

则（6+何+&=（3+29+6/0

=（9+6立卜也

=9+夜+6夜+应

=—^2+6.

2

故答案为：|^-2>/3（或4加-2"或|夜+6,写出一种结果即可）.

【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键.

12.月与教材中相同型号的计算器，依次按键，显示结果为

己巴印6rl叫「.借助显示结果，可以将一元二次方程/+工一1=0的正数解近似表示为.（精

确到0.001）

【答案】0.618

【解析】

【分析】先利用公式法求出一元二次方程的解，再根据精确度的概念即可得.

【详解】解：一元二次方程f+尤一1=0中的〃=1乃=1,。=-1,

则x二T±--4xlx（-l）二一1土石,

2x1--2-

所以这个方程的正数解近似表示为T十二工T+2236067977&0618f

22

故答案为:0.618.

【点睛】本题考查了近似数、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键.

13.投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是.

【解析】

【分析】先画出树状图，从而可得投掷两枚骰子，朝上一面的点数的所有等可能的结果，再找出投掷两枚骰

子，朝上一面的点数之和为7的结果，然后利用概率公式计算即可得.

【详解】解：由题意，画出树状图如下：

由图可知，投掷两枚骰子，朝上一面的点数的所有等可能的结果共有36种，其中，投掷两枚骰子，朝上

一面的点数之和为7的结果有6种，

则投掷两枚骰子，朝上一面点数之和为7的概率为2=「二!，

366

故答案为：7-

6

【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键.

14.在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，A8表示塔的高度，CD表

示竹竿顶端到地面的高度，放表示人眼到地面的高度，AB>CD、EF在同一平面内，点4、。、七在一

条水平直线上.已知4C=20米，CE=10米，0）=7米，所=1.4米，人从点尸远眺塔顶8,视线恰

好经过竹竿的顶端。，可求出塔的高度.根据以上信息，塔的高度为米.

【答案】18.2##181

【解析】

【分析】如图，过尸作/QJLA8于。，交8于H,可得DH=7—1.4=5.6,证明△尸。尸,

DHFH/

可得诙"而‘可得":出8’从而可得答案.

【详解】解：如图，过户作尸。，48于Q,交CD于H,

则由=CE=10,QH=AC=20fFQ=AE=AC+CE=30fEF=CH=AQ=iA,

・•・D"=7—1.4=56

■:DC//BA,

：.JFDHS.FBQ,

DHFH

~BQ~~FQ

1=工，解得：08=16.8,经检验符合题意;

JUQB

：.AB=AQ+QB=1.4+16.8=18.2（米）；

故答案为：18.2

【点睛】本题考查的是相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键.

四、解答题（共8小题，共90分.请写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

2_/-4x+4

15.（1）化简:

xx-1）X2-2x

3（x+4）>2（l-x）

（2）利用数轴，确定不等式组,x.12x的解集.

------<3-------

23

【答案】（1）—；（2）画图见解析，不等式组的解集为：-2<x<3.

x-1

【解析】

【分析】（1）先通分计算括号内的分式的减法，再通分计算分式的加法运算即可;

（2）分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分即

可.

（21、X2-4X-4

【详解】解：（1）---------2-----

x—\)x~—2工

2x-2-x(1-2『

x(x-l)x(x-2)

x-2+x-2

x(x-l)x

x—2~3x+2

x(x-l)x(x-l)

X2-2X

M—i)

x(x-2)

x(l)

x—2

3(x+4)>2{l-x)®

『喈②

由①得：3x+12>2-2x,

解得：x>-2,

由②得：3x—3<18—4x,

解得：工<3,

两个不等式的解集在数轴上表示如下:

-5-4-3-2-1012345

・•・不等式组的解集为：-2WXV3.

【点睛】本题考查的是分式的加减运算，一元一次不等式组的解法，熟记分式的加减运算的运算法则与解

不等式组的方法与步骤是解本题的关键.

16.如图，在金。中，8平分/ACS,AE_LCO,重足为点£过点E作E/〃8C、交AC于点尸,

G为5C的中点，连接尸G.求证：FG=-AB.

2

A

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】如图，延长AE交3C于”，证明ASA),则AE=E"=;A"，证明

dAEFssAHC,贝|「竺=任，即竺=［，解得AC=24尸，即尸是AC的中点，户G是aABC的

ACAHAC2

中位线，进而可得

2

【详解】证明：如图，延长AE交BC于H，

平分/AC3,AE1.CD,

:・ZACE=NHCE,ZAEC=ZHEC=90°,

VZACE=ZHCE,CE-CE,ZAEC-ZHEC-90°,

・•・r.ACE-HCE（ASA）,

・•・AE=EH=-AH

2t

•・•EF〃BC,

：.ZAEF=ZAHC,ZAFE=ZACH,

:.；.AEFs：AHC，

第二第'即第=3'解得AC=2A。

・•・尸是AC的中点,

又・・・G是3c的中点,

:,是./8C的中位线,

・•・FG=-AB.

2

【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，中位线.解题的关

键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

17.如图，/是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60。方向.一艘

勘测船从海岛C沿北偏西30。方向往灯塔8行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东15。方向

的。处石油资源丰富.若规划修建从。处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结

【答窠】（66—6）千米

【解析】

【分析】过点。作于点由垂线段最短可得0M的长即为所求，先求出NACB=90。，再根

据等腰直角三角形的判定与性质可得AC=CD，然后在Rt^ABC中，解直角三角形可得AC,8C的长,

从而可得的长，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得.

【详解】解：如图，过点。作DM1A3于点M，

由垂线段最短可知，的长即为所求,

由题意得：^BAC=60°,ZBAD=15°,ABCE=30°,AB//EF,AB=24千米,

/.ZC4D=45°,ZACF=ZBAC=60°,ZABC=NBCE=30。,

ZACB=180°-ZACF-NBCE=90°，

Rt工AC。是等腰直角三角形，

AC=CD,

在Rt/XABC中，AC=；AB=12千米，8C=48cos300=125/5千米，

8。=8。一。。二8。一4。=（12退一12）千米，

在Rt.BDW中，OM=g30=仅石一6）千米，

答：输油管道的最短长度是（66-6）千米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直

角三角形的方法是解题关键.

18.为研究某种化学试剂挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程

中剩余质量y（克）随时间工（分钟）变化的数据（0WXW20）,并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示.

（1）从丁二改+21（4工0）,>=人（攵工0）,》=-0.04x2+陵+。中，选择适当的函数模型分别模拟两

x

种场景下y随工变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；

（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克.在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下

发挥作用的时间更长？

【答案】（1）场景A中y随X变化的函数关系为y=-0.04f-0.我+21,场景B中丁随x变化的函数关系

为y=_1+21

（2）场景B

【解析】

【分析】⑴由图象可知，场景A中y随X变化的函数关系为丁=一0.04/+公+。，将（10,⑹，

（20,3）代入丁二一0.04/+以+。，进而可得y=—0.04/一0.卜+21；场景B中y随x变化的函数关系

为y=or+21（ax0）,将（20,1）代入，进而可得y=-x+21；

（2）场景A中当y=3时，无=20；场景B中，将），=3代入y=-x+21,解得，x=24,判断作答即

可.

【小问1详解】

解：由图象可知，场景A中V随彳变化的函数关系为y=-0.04d+bx+c,

-0.04xl02+10Z?+c=16

将(10,16),(20,3)KAy=-0.04x2+bx+

-0.04X202+20Z?+C=3

b=-OA

解得《

c—21

:.y=-0.04x2-0.1x+21；

场景B中y随X变化的函数关系为y=分+21（。工0）,

将（20,1）,代入y="+21,得20。+21=1,解得〃=-1,

:.y=-x+2l；

【小问2详解】

解：场景A中当y=3时，x=20；

场景B中，将y=3代入y=-x+21,得3=-x+21,解得冗=24,

V24>20,

・•・该化学试剂在场景B下发挥作用的时间更长.

【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式，二次函数解析式.解题的关键在于对知识的熟练掌握与

灵活运用.

19.某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件.学期末，学校对七、

八年级的学生投稿情况进行调查.

【数据的收集与整理】

分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表.

投稿篇数（篇）12345

七年级频数（人）71015126

八年级频数（人）21013214

【数据的描述与分析】

（1）求扇形统计图中圆心角。的度数，并补全频数直方图.

七年级样本学生投八年级样本学生投

稿篇数扇形统计图稿篇数频数直方图

5篇1篇

12%14%

4篇

24%a2篇

3篇

30%

（2）根据频数分布表分别计算有关统计量:

统计量中位数众数平均数方差

七年级33X1.48

八年级mn3.31.01

直接写出表格中〃?、〃的值，并求出工.

【数据的应用与评价】

（3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做

出评价.

【答案】（1）2=72。，见解析；（2）相=3.5,〃=4,x=3；（3）见解析

【解析】

【分析】（1）利用360。乘以七年级学生投稿2篇的学生所占百分比即可得a的值；根据八年级学生的投稿

篇数的频数分布表补全频数直方图即可；

（2）根据中位数和众数的定义、加权平均数公式即可得；

（3）从中位数、众数、平均数、方差的意义进行分析即可得.

【详解】解：（1）两个年级随机抽取的学生数量为7+10+15+12+6=501人），

贝ija=360°x—xlOO%=72°.

50

补全频数直方图如下:

八年级样本学生投

稿篇数频数直方图

-1x7+2x10+3x15+4x12+5x6.

(2)x=----------------------------------------=3,

50

将八年级学生的投稿篇数按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为其中位数,

­.-2+10+13=25,2+10+13+21=46,

3+4

•••中位数加=2一=3.5,

2

•・•在八年级学生的投稿篇数中，投稿篇数4出现的次数最多，

・'•众数〃=4.

(3)从中位数、众数、平均数来看，八色级学生的均高于七年级学生的，而且从方差来看，八年级学生

的小于七年级学生的，所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好.

【点睛】本题考查了扇形统计图、频数分布表、频数分布直方图、中位数、众数、平均数、方差，熟练掌

握统计调查的相关知识是解题关键.

20.工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCD防中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示.经测量，

AB//DE,A3与OE之间的距离为2米，入5=3米，AF=BC=1米,ZA=ZB=9O°,

ZC=ZF=135°.MH，HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当的长度为多少时，矩形铁皮

肱VG”的面积最大，最大面积是多少？

525

【答案】当的长度为了米时，矩形铁皮脑VG”的面积最大，最大面积是:■平方米

48

【解析】

【分析】连接分别交于点尸，交GN于点。，先判断出四边形ABb是矩形，从而可得

NEFC=/DCF=45。，再判断出四边形AMPF和四边形BCQN都是矩形，从而可得

PM=AF=BC=QN=1米，AM=PF,BN=CQ,MH_LCF,GN_LCF,然后设矩形MNGH的面积

为y平方米，MH=GN=x米,则AM=P”=(x-l)米，BN=GQ=(x-l)米,利用矩形的面积公式

可得)'关于上的二次函数，最后利用二次函数的性质求解即可得.

【详解】解：如图，连接分别交于点P,交GN于点。，

AF\BC,

・・・AF=BC=1米,

■.四边形ABCF是平行四边形，

又♦・・Z4=/B=90。，

••・四边形ABCr是矩形，

:.ZAFC=ZBCF=90°,CF//AB,

・・・ZBCD=ZAFE=\35°f

/EFC=/DCF=45。,

四边形MVG〃足矩形，

/.MH±AB,GN±AB,GN=MH,

■.四边形加仍/和四边形BCQN都是矩形，

PM=AF=BC=QN=1米,AM=PF,BN=CQ,MHICF,GNXCF,

Rt.PFH和Rt二QCG都是等腰直角三角形，

:.PH=PF,GQ=CQ,

:.AM=PH,BN=GQ,

设矩形脑VGH的面积为y平方米，MH=GN=X派,则AM=尸”=（x-l）米，BN=GQ=（x-T）

米，

VAB=3米,

,MV=A8-AM-3N=（5-2x）米，

/、（5丫?5

/.y=MH-MN=x（5-lx）=-2x--I+—,

又•••ABIIOE,AB与OE之间的距离为2米，AF=8C=1米,

/.l<x<2,

由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大：当2Vx«2时，y随x的增大而减小，

44

525

则当工=一时，y取得最大值，最大值为一，

48

525

答：当的长度为一米时，矩形铁皮MVG”的面积最大，最大面积是一平方米.

48

【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题

关键.

21.如图，正方形43co内接于OO,在AB上取一点七，连接AE，DE.过点A作AG_LAE,交O。

于点G,交DE于点F,连接CG,DG.

（1）求证：AAFDqACGD；

（2）若AB=2，N84石=30。，求阴影部分的面积.

【答案】（1）证明见解析

（2）­=、-6-3

【解析】

【分析】（1）如图，连接EG,证明NEDG=NE4G=900=NaC+NCDG,再证明NADC=90。，

AD=CD,可得NADF=NCDG,结合/DAF=NDCG,从而可得结论；

（2）如图，连接。4,0D,过F作FK_LAO于K，设/K=x,在AO上取。，使Q/二Q。，证明

ZO4E=75°,ZE4D=30o+90°=120°,ZMD=120°-90°=30°,可得A/=2x,AK=B，求

解Z4DF=180。—30。一135。=15。，而0F=Q。，可得NKQ厂=30。，FQ=2x=QDtQK=瓜,

可得2后+2上=2,再求解了,利用S阴影=S,"0+S弓形A。进行计算即可.

【小问1详解】

解：如图，连接EG,

VAEYAG,则NE4G=90。，

・•・ZEDG=ZEAG=90°=ZEDC+ZCDG，

•・•正方形488，

/.Z4DC=90°»AD=CD,

・・・4Z*+N&)C=90。，

：.ZADF=ZCDG,

■:/DAF=NDCG,

:.AAFDqACGD.

【小问2详解】

如图，连接。4,OD,过尸作/K_LAD十K，设”K=x,在AO上取。，使。尸=。。，

•・・O为正方形中心，

ZOAB=ZOAD=ZODA=45°,ZA8=90°,而NK4E=30。,

AZOAE=15°,ZE4D=30o+90o=l20°,

•・•ZEAG=90%

:.ZMD=120°-90°=30°,

••AF-2x，AK=y/3x.

•：ZAED=-ZAOD=45°

2t

・•