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文档简介
2023年山东省潍坊市中考数学真题
注意事项:
L本试题满分150分,考试时间120分钟;
2.答卷前,请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚;
3.请在答题纸相应位置作答,不要超出答题区域,不要答错位置.
第I卷(选择题共44分)
一、单项选择题(共6小题,每小题4分,共24分.每小题的四个选项中只有一项正确)
1.在实数1,一1,0,7份中,最大的数是()
A.1B.-1C.OD.72
ab0c
A.-c<bB.a>-cc.\a-t\=b-aD.\c-c^=a-c
4.在我国古代建筑中经常使用样卯构件,如图是某种样卯构件的示意图,其中,卯的俯视图是()
3
5.如图,在直角坐标系中,一次函数y=尤-2与反比例函数%=一的图象交于A,B两点,下列结论正确
x
的是[)
B.当x<-l时,x<%
c当0<x<3时,y,>y2D.当一1cx<0时,y<%
6.如图,在直角坐标系中,菱形OWC的顶点4的坐标为(-2,0),Z4OC=60°.将菱形OA5C沿x轴
向右平移1个单位长度,再沿y轴向下平移1个单位长度,得到菱形。A'8'C',其中点夕的坐标为()
A.(—2,6—1)B.(-2,1)C.(-73,1)D.(-瓜6-1)
二、多项选择题(共4小题,每小题5分,共20分.每小题的四个选项中,有多项正确,全
部选对得5分,部分选对得3分,有错选的得。分)
7.下列运算正确的是()
A.^64=4B.74=2C.(-3«)2=9«2D.a2a3=a6
8.下列命题正确的是()
A.在一个三角形中至少有两个锐角
B.在圆中,垂直于弦的直径平分弦
C.如果两个角互余,那么它们的补角也互余
D.两条直线被第三条直线所截,同位角一定相等
9.已知抛物线y=一5%一3经过点(一1,4),则下列结论正确的是()
A.抛物线的开口向下
B.抛物线的对称轴是X=*
4
C.抛物线与x轴有两个交点
49
D.当时,关于x的一元二次方程o?_5x-3T=0有实根
10.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动,图①是发动机的实物剖面图,图②是其示意图.图②中,
点4在直线/上往复运动,推动点4做圆周运动形成oo,A8与8。表示Itt柄连杆的两直杆,点C、。是
直线,与OO的交点;当点A运动到E时,点B到达C;当点A运动到F时,点B到达O.若A8=12,
OB=5,则下列结论正确的是()
,一
EA
图I图2
A.FC=2B.EF=12
C.当A8与。。相切时,£4=4D.当OB_LCD时,EA=AF
■第II卷(非选择题共106分)
三、填空题(共4小题,每小题4分,共16分.只写最后结果)
11.从-&、6指中任意选择两个数,分别填在算式(升。)2+血里面的“口”与“O”中,计算该
算式的结果是.(只需写出一种结果)
12.月与教材中相同型号的计算器,依次按键,显示结果为
己百印6叫丫.借助显示结果,可以将一元二次方程f+x-1=0的正数解近似表示为.(精
确到0.001)
13.投掷两枚骰子,朝上一面的点数之和为7的概率是.
14.在《数书九章》(宋•秦九韶)中记载了一个测量塔高的问题:如图所示,A8表示塔的高度,8表
示竹竿顶端到地面的高度,E尸表示人眼到地面的高度,AB>CD、EF在同一平面内,点A、C、E在一
条水平直线上.已知AC=20米,CE=10米,CD=1米,EF=1.4米,人从点尸远眺塔顶8,视线恰
好经过竹竿的顶端。,可求出塔的高度.根据以上信息,塔的高度为米.
18.为研究某种化学试剂挥发情况,某研究团队在两种不同的场景下做对比实验,收集了该试剂挥发过程
x
种场景下y随x变化的函数关系,并求出相应的函数表达式;
(2)查阅文献可知,该化学试剂发挥作用的最低质量为3克.在上述实验中,该化学试剂在哪种场景下
发挥作用的时间更长?
19.某中学积极推进校园文学创作,倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件.学期末,学校对七、
八年级的学生投稿情况进行调查.
【数据的收集与整理】
分别从两个年级随机抽取相同数量的学生,统计每人在本学期投稿的篇数,制作了频数分布表.
投稿篇数(篇)12345
七年级频数(人)71()15126
八年级频数(人)21013214
【数据的描述与分析】
(1)求扇形统计图中圆心角。的度数,并补全频数直方图.
七年级样本学生投八年级样本学生投
稿篇数扇形统计图稿篇数频数直方图
(2)根据频数分布表分别计算有关统计量:
统计量中位数众数平均数方差
七年级33X1.48
八年级mn3.31.01
直接写出表格中相、〃的值,并求出一
【数据的应用与评价】
(3)从中位数、众数、平均数、方差中,任选两个统计量,对七、八年级学生的投稿情况进行比较,并做
出评价.
20.工匠师傅准备从六边形的铁皮A8CD行中,裁出一块矩形铁皮制作工件,如图所示.经测量,
AB//DE,45与OE之间的距离为2米,AB=3米,4/=8C=1米,ZA=ZB=90°,
ZC=ZF=135°.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当的长度为多少时,矩形铁皮
MAC”的面积最大,最大面积是多少?
21.如图,正方形A8CD内接于OO,在AS上取一点七,连接AE,DE.过点A作AG_LAE,交。。
于点G,交DE于点F,连接CG,DG.
D
Ei
(1)求证:八AFDQACGD:
(2)若A8=2,ZBAE=30°,求阴影部分的面积.
22.[材料阅读]
用数形结合的方法,可以探究4+夕2+43++4〃+3的值,其中Ovgvi.
11A
例求」+-的值.
2⑶
方法1:借助面积为1的正方形,观察图①可知
的结果等于该正方形的面积,
即K1
丫4--+
2;
方法2:借助函数),和y=x的图象,观察图②可知
•的结果等于%,生,〃3,…%…等各条竖直线段的长度之和,
即两个函数图象交点到X轴的距离.因为两个函数图象的交点。,1)到X轴的距为1,
\3n
所以,打1n
++••++=1.
2>
【实践应用】
++©+•的求值过程.
2(12、2(2
方法I:借助面积为2的正方形,观察图③可知上+-,+=
3⑶佃5
22
方法2:借助函数),=和>=工的图象,观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为,
22f2
所以,-+4-=
3如3JJ
22
参照上面的过程,选择合适的方法,求33+13I+3|+…的值.
任务二3
4⑷4J<4
任务三用方法2,求q+d+...+g"+…的值(结果用《表不).
迁移拓展】
长宽之比为避上1:1的矩形是黄金矩形,将黄金矩形依次截去一个正方形后,得到的新矩形仍是黄金矩形.
2
2023年山东省潍坊市中考数学真题
注意事项:
L本试题满分150分,考试时间120分钟;
2.答卷前,请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚;
3.请在答题纸相应位置作答,不要超出答题区域,不要答错位置.
第I卷(选择题共44分)
一、单项选择题(共6小题,每小题4分,共24分.每小题的四个选项中只有一项正确)
1.在实数1,一1,0,7份中,最大的数是()
A.1B.-1C.OD.72
【答案】D
【解析】
【分析】正数大于0,负数小于0,两个E数;较大数的算术平方根大于较小数的算术平方根.
【详解】解:2>1,・••及>=l
•*-V2>1>0>-1
故选:D.
【点睛】本题考查实数的大小比较,二次根式的化简,掌握二次根式的性质公式是解题的关键.
2.下列图形由正多边形和圆弧组成,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
【答窠】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义(在平面内,把一个图形绕某点旋转180。,如果旋转后的图形与另一个
图形重合,那么这两个图形互为中心对称图形)和轴对称图形的定义(如果一个图形沿一条直线折叠,直线
两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形)逐项判断即可得.
【详解】解:A、是轴对称图形,但不是中心对称图形,则此项不符合题意;
B、不是轴对称图形,是中心对称图形,则此项不符合题意;
C、是轴对称图形,但不是中心对称图形,则此项不符合题意;
D、既是轴对称图形乂是中心对称图形,则此项符合题意;
故选:D.
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形,熟记定义是解题关键.
3.实数小Ac在数轴上对应的点如图所示,下列判断正确的是()
ab0c
A.-c<hB.a>-cc.\a-b\=b-aD.\c-c\=a-c
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴性质可得a<Z?<O<c,|4>例>|。|,据此逐项判断即可得.
【详解】解:由数轴可知,a<b<O<c,|iz|>|/?|>|c|.
A、-c>b,则此项错误,不符合题意;
B、”一c,则此项错误,不符合题意;
C^Qa-6<0,
:]a-t\=b-a,则此项正确,符合题意;
D、vc-a>0»
.•.卜一4二。一。,则此项错误,不符合题意;
故选:C.
【点睛】本题考杳了数轴、绝对值的性质,熟练掌握数轴的性质是解题关键.
4.在我国古代建筑中经常使用桦卯构件,如图是某种样卯构件的示意图,其中,卯的俯视图是()
怦卯
A.|B.----IC.j|:D.
nnn
(完]C
【解析】
【分析】根据俯视图的定义(从上面观察物体所得到的视图是俯视图)即可得.
【详解】解:卯的俯视图是
故选:C.
【点睛】本题考查了俯视图,熟记俯视图的概念是解题关键.
3
5.如图,在直角坐标系中,一次函数乂=1-2与反比例函数%=一的图象交于4,B两点,下列结论正确
~x
B.当工<一1时,y<y2
C.当0Vx<3时,%>当D.当一l<x<0时,yl<y2
【答案】B
【解析】
【分析】结合一次函数与反比例函数的图象,逐项判断即可得.
【详解】解:A、当%>3时,则此项错误,不符合题意;
B、当工<一1时,y<%,则此项正确,符合题意;
c、当u<x<3时,y<%,则此项错误,不符合题意;
D、当T<x<0时,则此项错误,不符合题意;
故选:B.
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象,熟练掌握函数图象法是解题关键.
6.如图,在直角坐标系中,菱形。钻。的顶点4的坐标为(-2,0),NAOC=60。.将菱形OA5C沿x轴
向右平移1个单位长度,再沿y轴向下平移1个单位长度,得到菱形。ABC,其中点8'的坐标为()
C.(-"1)D.(一也,上一V)
【答案】A
【解析】
【分析】如图,过8作轴于”,求解。4=A5=2,AB//OC,可得NK4”=NAOC=60。,
求解A"=O"cos600=l,BH=d*-f=6,可得网―3,6),再利用平移的性质可得
^(-2,73-1).
【详解】解:如图,过8作轴于X,
•・•菱形。钻C的顶点A的坐标为(一2,0),NAOC=60°.
:,OA=AB=2,AB//OC,
:,ZBAH=ZAOC=6Q0,
:.AH=OBcos60°=LBH=加-,=6,
・•・川-3询,
•・•将菱形。ABC沿x轴向右平移1个单位长度,再沿),轴向下平移1个单位长度,
:.2,>/3—1j;
故选A
【点睛】本题考查的是菱形的性质,勾股定理的应用,锐角三角函数的应用,图形的平移,熟练的求解8
的坐标是解本题的关键.
二、多项选择题(共4小题,每小题5分,共20分.每小题的四个选项中,有多项正确,全
部选对得5分,部分选对得3分,有错选的得0分)
7.下列运算正确的是()
22236
A.V=64=4B.74=2C.(-3tz)=9aD.aa=a
【答案】BC
【解析】
【分析】根据立方根与算术平方根、积的乘方、同底数昂的乘法法则逐项判断即可得.
【详解】解:A、■石=-4,则此项错误,不符合题意;
B、、〃=2,则此项正确,符合题意;
C、(一3。)2=9/,则此项正确,符合题意;
D、则此项错误,不符合题意;
故选:BC.
【点睛】本题考查了立方根与算术平方根、积的乘方、同底数箱的乘法,熟练掌握各运算法则是解题关
键.
8.下列命题正确的是()
A.在一个三角形中至少有两个锐角
B.在圆中,垂直于弦的直径平分弦
C.如果两个角互余,那么它们的补角也互余
D.两条直线被第三条直线所截,同位角一定相等
【答案】AB
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理、垂径定理、互余与互补、平行线的性质逐项判断即可得.
【详解】解:A、在一个三角形中至少有两个锐角,原命题正确,则此项符合题意;
B、在圆中,垂直于弦的直径平分弦,原命题正确,则此项符合题意;
C、设/A与N8互余,
.•.Z4+ZB=9O°,
.•.180。—ZA+180。—4=360。—90°=270。,
・•・如果两个角互余,那么它们的补角也互余,命题错误,则此项不符合题意;
D、两条平行直线被第三条直线所截,同位角一定相等,原命题错误,则此项不符合题意;
故选:AB.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、垂径定理、互余与互补、平行线的性质,熟练掌握各定理和性
质是解题关键.
9.已知抛物线》=双2一5X一3经过点(-1,4),则下列结论正确的是()
A.抛物线的开口向下
B.抛物线的对称轴是x=工
4
C.抛物线与x轴有两个交点
49
D.当rv-彳时,关于x的一元二次方程⑪2一5%一3-,=0有实根
8
【答案】BC
【解析】
【分析】将点(-1,4)代入可求出二次函数的解析式,再根据二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次
方程的联系逐项判断即可得.
【详解】解:将点(一1,4)代入了=双2一5%一3得:。+5—3=4,解得。=2,
二.y=2f-5%-3=2(x-一?,
二.抛物线的开口向上,抛物线的对称轴是x=*,选项A错误,选项B正确;
4
「方程2f—5%—3=0的根的判别式△=(-5)2-4X2X(-3)=49>0,
・•・方程-5%-3=0有两个不相等的实数根,
「•抛物线与%轴有两个交点,选项C正确:
549
由二次函数的性质可知,这个抛物线的开口向上,且当x=一时,V取得最小值-一,
48
当f<49
•t-8一时,y=依2一5%—3与y=力没有交点,
当r49
<一
•-8时,关于x的一元二次方程依2-5工-3-,=0没有实根,选项D错误;
故选:BC.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系,熟练掌握二次函数的图象
与性质是解题关键.
10.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动,图①是发动机的实物剖面图,图②是其示意图.图②中,
点4在直线/上往复运动,推动点B做圆周运动形成。0,AB与8。表示曲柄连杆的两直杆,点C、D是
直线,与OO的交点;当点A运动到七时,点B到达C;当点A运动到户时,点B到达£>.若A3=12,
08=5,则下列结论正确的是()
A.FC=2B.EF=12
C.当AB与相切时,£4=4D,当Q8_LC£>时,EA=AF
【答案】AC
【解析】
【分析】如图,由题意可得:AB=CE=12,AB+BO=OE=H,FD=AB=12,OC=OB=OD=5,
从而可判断A,B,如图,当AB与0。相切时,求解AO=dAB2+OB2=13,可得
£4=EO—AO=17-13=4,可判断C:当QB_LCD时,如图,可得AO==J5而,
AE=EO-AO=l7-y/U9AF=AO-OF=>/\\9-2-5=4T\9-7»可判断D;从而可得答案.
【详解】解:如图,由题意可得:
AB=CE=\2,AB+BO=OE=17,FD=AB=12fOC=OB=OD=5,
/.FC=FD-CD=12-1O=2,故A符合题意;
EF=CE-CF=12-2=\0f故B不符合题意;
如图,当A3与,。相切时,
:.2450=9()。,
I\
2户里方2?
■•一一一J.
•••AO=yJAB2+OB2=13»
・・.E4=EO-AO=17-13=4,故C符合题意;
当08J_C。时,如图,
•*-AO=V122-52=Vn9,
・•・AE=EO-AO=\7-y/U9AF=AO-OF=y/\\9-2-5=y/T\9-1»
・・・AEwAF,故D不符合题意;
故选AC
【点睛】本题考查的是线段的和差运算,圆的切线的性质,勾股定理的应用,理解题意熟练的利用数形结
合的方法解题是关键.
第n卷(非选择题共106分)
三、填空题(共4小题,每小题4分,共16分,只写最后结果)
11.从-近、百,卡中任意选择两个数,分别填在算式(60)2+血里面的“口”与“O”中,计算该
算式的结果是.(只需写出一种结果)
【答案】|^-273(或4&一2#或30+6,写出一种结果即可)
【解析】
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法,再计算二次根式的除法即可得.
【详解】解:①选择-夜和百,
则(-四+百)+&=(2-2#+3,应
=(5-2#/血
=5+夜-26+&
2G.
2
②选择一四和指,
则卜发+#卜&=(2-2疝+6)+近
=(8-2配卜及
8+x/2—2>/F2+>/2
=4a-2折
③选择75和遥,
则(6+何+&=(3+29+6/0
=(9+6立卜也
=9+夜+6夜+应
=—^2+6.
2
故答案为:|^-2>/3(或4加-2"或|夜+6,写出一种结果即可).
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法,熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键.
12.月与教材中相同型号的计算器,依次按键,显示结果为
己巴印6rl叫「.借助显示结果,可以将一元二次方程/+工一1=0的正数解近似表示为.(精
确到0.001)
【答案】0.618
【解析】
【分析】先利用公式法求出一元二次方程的解,再根据精确度的概念即可得.
【详解】解:一元二次方程f+尤一1=0中的〃=1乃=1,。=-1,
则x二T±--4xlx(-l)二一1土石,
2x1--2-
所以这个方程的正数解近似表示为T十二工T+2236067977&0618f
22
故答案为:0.618.
【点睛】本题考查了近似数、解一元二次方程,熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键.
13.投掷两枚骰子,朝上一面的点数之和为7的概率是.
【解析】
【分析】先画出树状图,从而可得投掷两枚骰子,朝上一面的点数的所有等可能的结果,再找出投掷两枚骰
子,朝上一面的点数之和为7的结果,然后利用概率公式计算即可得.
【详解】解:由题意,画出树状图如下:
由图可知,投掷两枚骰子,朝上一面的点数的所有等可能的结果共有36种,其中,投掷两枚骰子,朝上
一面的点数之和为7的结果有6种,
则投掷两枚骰子,朝上一面点数之和为7的概率为2=「二!,
366
故答案为:7-
6
【点睛】本题考查了利用列举法求概率,正确画出树状图是解题关键.
14.在《数书九章》(宋•秦九韶)中记载了一个测量塔高的问题:如图所示,A8表示塔的高度,CD表
示竹竿顶端到地面的高度,放表示人眼到地面的高度,AB>CD、EF在同一平面内,点4、。、七在一
条水平直线上.已知4C=20米,CE=10米,0)=7米,所=1.4米,人从点尸远眺塔顶8,视线恰
好经过竹竿的顶端。,可求出塔的高度.根据以上信息,塔的高度为米.
【答案】18.2##181
【解析】
【分析】如图,过尸作/QJLA8于。,交8于H,可得DH=7—1.4=5.6,证明△尸。尸,
DHFH/
可得诙"而‘可得":出8’从而可得答案.
【详解】解:如图,过户作尸。,48于Q,交CD于H,
则由=CE=10,QH=AC=20fFQ=AE=AC+CE=30fEF=CH=AQ=iA,
・•・D"=7—1.4=56
■:DC//BA,
:.JFDHS.FBQ,
DHFH
~BQ~~FQ
1=工,解得:08=16.8,经检验符合题意;
JUQB
:.AB=AQ+QB=1.4+16.8=18.2(米);
故答案为:18.2
【点睛】本题考查的是相似三角形的实际应用,作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键.
四、解答题(共8小题,共90分.请写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
2_/-4x+4
15.(1)化简:
xx-1)X2-2x
3(x+4)>2(l-x)
(2)利用数轴,确定不等式组,x.12x的解集.
------<3-------
23
【答案】(1)—;(2)画图见解析,不等式组的解集为:-2<x<3.
x-1
【解析】
【分析】(1)先通分计算括号内的分式的减法,再通分计算分式的加法运算即可;
(2)分别解不等式组中的两个不等式,再在数轴上表示两个不等式的解集,再确定两个解集的公共部分即
可.
(21、X2-4X-4
【详解】解:(1)---------2-----
x—\)x~—2工
2x-2-x(1-2『
x(x-l)x(x-2)
x-2+x-2
x(x-l)x
x—2~3x+2
x(x-l)x(x-l)
X2-2X
M—i)
x(x-2)
x(l)
x—2
3(x+4)>2{l-x)®
『喈②
由①得:3x+12>2-2x,
解得:x>-2,
由②得:3x—3<18—4x,
解得:工<3,
两个不等式的解集在数轴上表示如下:
-5-4-3-2-1012345
・•・不等式组的解集为:-2WXV3.
【点睛】本题考查的是分式的加减运算,一元一次不等式组的解法,熟记分式的加减运算的运算法则与解
不等式组的方法与步骤是解本题的关键.
16.如图,在金。中,8平分/ACS,AE_LCO,重足为点£过点E作E/〃8C、交AC于点尸,
G为5C的中点,连接尸G.求证:FG=-AB.
2
A
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】如图,延长AE交3C于”,证明ASA),则AE=E"=;A",证明
dAEFssAHC,贝|「竺=任,即竺=[,解得AC=24尸,即尸是AC的中点,户G是aABC的
ACAHAC2
中位线,进而可得
2
【详解】证明:如图,延长AE交BC于H,
平分/AC3,AE1.CD,
:・ZACE=NHCE,ZAEC=ZHEC=90°,
VZACE=ZHCE,CE-CE,ZAEC-ZHEC-90°,
・•・r.ACE-HCE(ASA),
・•・AE=EH=-AH
2t
•・•EF〃BC,
:.ZAEF=ZAHC,ZAFE=ZACH,
:.;.AEFs:AHC,
第二第'即第=3'解得AC=2A。
・•・尸是AC的中点,
又・・・G是3c的中点,
:,是./8C的中位线,
・•・FG=-AB.
2
【点睛】本题考查了角平分线,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,中位线.解题的关
键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.
17.如图,/是南北方向的海岸线,码头A与灯塔B相距24千米,海岛C位于码头A北偏东60。方向.一艘
勘测船从海岛C沿北偏西30。方向往灯塔8行驶,沿线勘测石油资源,勘测发现位于码头A北偏东15。方向
的。处石油资源丰富.若规划修建从。处到海岸线的输油管道,则输油管道的最短长度是多少千米?(结
【答窠】(66—6)千米
【解析】
【分析】过点。作于点由垂线段最短可得0M的长即为所求,先求出NACB=90。,再根
据等腰直角三角形的判定与性质可得AC=CD,然后在Rt^ABC中,解直角三角形可得AC,8C的长,
从而可得的长,最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得.
【详解】解:如图,过点。作DM1A3于点M,
由垂线段最短可知,的长即为所求,
由题意得:^BAC=60°,ZBAD=15°,ABCE=30°,AB//EF,AB=24千米,
/.ZC4D=45°,ZACF=ZBAC=60°,ZABC=NBCE=30。,
ZACB=180°-ZACF-NBCE=90°,
Rt工AC。是等腰直角三角形,
AC=CD,
在Rt/XABC中,AC=;AB=12千米,8C=48cos300=125/5千米,
8。=8。一。。二8。一4。=(12退一12)千米,
在Rt.BDW中,OM=g30=仅石一6)千米,
答:输油管道的最短长度是(66-6)千米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质,熟练掌握解直
角三角形的方法是解题关键.
18.为研究某种化学试剂挥发情况,某研究团队在两种不同的场景下做对比实验,收集了该试剂挥发过程
中剩余质量y(克)随时间工(分钟)变化的数据(0WXW20),并分别绘制在直角坐标系中,如下图所示.
(1)从丁二改+21(4工0),>=人(攵工0),》=-0.04x2+陵+。中,选择适当的函数模型分别模拟两
x
种场景下y随工变化的函数关系,并求出相应的函数表达式;
(2)查阅文献可知,该化学试剂发挥作用的最低质量为3克.在上述实验中,该化学试剂在哪种场景下
发挥作用的时间更长?
【答案】(1)场景A中y随X变化的函数关系为y=-0.04f-0.我+21,场景B中丁随x变化的函数关系
为y=_1+21
(2)场景B
【解析】
【分析】⑴由图象可知,场景A中y随X变化的函数关系为丁=一0.04/+公+。,将(10,⑹,
(20,3)代入丁二一0.04/+以+。,进而可得y=—0.04/一0.卜+21;场景B中y随x变化的函数关系
为y=or+21(ax0),将(20,1)代入,进而可得y=-x+21;
(2)场景A中当y=3时,无=20;场景B中,将),=3代入y=-x+21,解得,x=24,判断作答即
可.
【小问1详解】
解:由图象可知,场景A中V随彳变化的函数关系为y=-0.04d+bx+c,
-0.04xl02+10Z?+c=16
将(10,16),(20,3)KAy=-0.04x2+bx+
-0.04X202+20Z?+C=3
b=-OA
解得《
c—21
:.y=-0.04x2-0.1x+21;
场景B中y随X变化的函数关系为y=分+21(。工0),
将(20,1),代入y="+21,得20。+21=1,解得〃=-1,
:.y=-x+2l;
【小问2详解】
解:场景A中当y=3时,x=20;
场景B中,将y=3代入y=-x+21,得3=-x+21,解得冗=24,
V24>20,
・•・该化学试剂在场景B下发挥作用的时间更长.
【点睛】本题考查了函数图象,一次函数解析式,二次函数解析式.解题的关键在于对知识的熟练掌握与
灵活运用.
19.某中学积极推进校园文学创作,倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件.学期末,学校对七、
八年级的学生投稿情况进行调查.
【数据的收集与整理】
分别从两个年级随机抽取相同数量的学生,统计每人在本学期投稿的篇数,制作了频数分布表.
投稿篇数(篇)12345
七年级频数(人)71015126
八年级频数(人)21013214
【数据的描述与分析】
(1)求扇形统计图中圆心角。的度数,并补全频数直方图.
七年级样本学生投八年级样本学生投
稿篇数扇形统计图稿篇数频数直方图
5篇1篇
12%14%
4篇
24%a2篇
3篇
30%
(2)根据频数分布表分别计算有关统计量:
统计量中位数众数平均数方差
七年级33X1.48
八年级mn3.31.01
直接写出表格中〃?、〃的值,并求出工.
【数据的应用与评价】
(3)从中位数、众数、平均数、方差中,任选两个统计量,对七、八年级学生的投稿情况进行比较,并做
出评价.
【答案】(1)2=72。,见解析;(2)相=3.5,〃=4,x=3;(3)见解析
【解析】
【分析】(1)利用360。乘以七年级学生投稿2篇的学生所占百分比即可得a的值;根据八年级学生的投稿
篇数的频数分布表补全频数直方图即可;
(2)根据中位数和众数的定义、加权平均数公式即可得;
(3)从中位数、众数、平均数、方差的意义进行分析即可得.
【详解】解:(1)两个年级随机抽取的学生数量为7+10+15+12+6=501人),
贝ija=360°x—xlOO%=72°.
50
补全频数直方图如下:
八年级样本学生投
稿篇数频数直方图
-1x7+2x10+3x15+4x12+5x6.
(2)x=----------------------------------------=3,
50
将八年级学生的投稿篇数按从小到大进行排序后,第25个数和第26个数的平均数即为其中位数,
.-2+10+13=25,2+10+13+21=46,
3+4
•••中位数加=2一=3.5,
2
•・•在八年级学生的投稿篇数中,投稿篇数4出现的次数最多,
・'•众数〃=4.
(3)从中位数、众数、平均数来看,八色级学生的均高于七年级学生的,而且从方差来看,八年级学生
的小于七年级学生的,所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好.
【点睛】本题考查了扇形统计图、频数分布表、频数分布直方图、中位数、众数、平均数、方差,熟练掌
握统计调查的相关知识是解题关键.
20.工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCD防中,裁出一块矩形铁皮制作工件,如图所示.经测量,
AB//DE,A3与OE之间的距离为2米,入5=3米,AF=BC=1米,ZA=ZB=9O°,
ZC=ZF=135°.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当的长度为多少时,矩形铁皮
肱VG”的面积最大,最大面积是多少?
525
【答案】当的长度为了米时,矩形铁皮脑VG”的面积最大,最大面积是:■平方米
48
【解析】
【分析】连接分别交于点尸,交GN于点。,先判断出四边形ABb是矩形,从而可得
NEFC=/DCF=45。,再判断出四边形AMPF和四边形BCQN都是矩形,从而可得
PM=AF=BC=QN=1米,AM=PF,BN=CQ,MH_LCF,GN_LCF,然后设矩形MNGH的面积
为y平方米,MH=GN=x米,则AM=P”=(x-l)米,BN=GQ=(x-l)米,利用矩形的面积公式
可得)'关于上的二次函数,最后利用二次函数的性质求解即可得.
【详解】解:如图,连接分别交于点P,交GN于点。,
AF\BC,
・・・AF=BC=1米,
■.四边形ABCF是平行四边形,
又♦・・Z4=/B=90。,
••・四边形ABCr是矩形,
:.ZAFC=ZBCF=90°,CF//AB,
・・・ZBCD=ZAFE=\35°f
/EFC=/DCF=45。,
四边形MVG〃足矩形,
/.MH±AB,GN±AB,GN=MH,
■.四边形加仍/和四边形BCQN都是矩形,
PM=AF=BC=QN=1米,AM=PF,BN=CQ,MHICF,GNXCF,
Rt.PFH和Rt二QCG都是等腰直角三角形,
:.PH=PF,GQ=CQ,
:.AM=PH,BN=GQ,
设矩形脑VGH的面积为y平方米,MH=GN=X派,则AM=尸”=(x-l)米,BN=GQ=(x-T)
米,
VAB=3米,
,MV=A8-AM-3N=(5-2x)米,
/、(5丫?5
/.y=MH-MN=x(5-lx)=-2x--I+—,
又•••ABIIOE,AB与OE之间的距离为2米,AF=8C=1米,
/.l<x<2,
由二次函数的性质可知,当时,y随x的增大而增大:当2Vx«2时,y随x的增大而减小,
44
525
则当工=一时,y取得最大值,最大值为一,
48
525
答:当的长度为一米时,矩形铁皮MVG”的面积最大,最大面积是一平方米.
48
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、矩形的判定与性质等知识点,熟练掌握二次函数的性质是解题
关键.
21.如图,正方形43co内接于OO,在AB上取一点七,连接AE,DE.过点A作AG_LAE,交O。
于点G,交DE于点F,连接CG,DG.
(1)求证:AAFDqACGD;
(2)若AB=2,N84石=30。,求阴影部分的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)=、-6-3
【解析】
【分析】(1)如图,连接EG,证明NEDG=NE4G=900=NaC+NCDG,再证明NADC=90。,
AD=CD,可得NADF=NCDG,结合/DAF=NDCG,从而可得结论;
(2)如图,连接。4,0D,过F作FK_LAO于K,设/K=x,在AO上取。,使Q/二Q。,证明
ZO4E=75°,ZE4D=30o+90°=120°,ZMD=120°-90°=30°,可得A/=2x,AK=B,求
解Z4DF=180。—30。一135。=15。,而0F=Q。,可得NKQ厂=30。,FQ=2x=QDtQK=瓜,
可得2后+2上=2,再求解了,利用S阴影=S,"0+S弓形A。进行计算即可.
【小问1详解】
解:如图,连接EG,
VAEYAG,则NE4G=90。,
・•・ZEDG=ZEAG=90°=ZEDC+ZCDG,
•・•正方形488,
/.Z4DC=90°»AD=CD,
・・・4Z*+N&)C=90。,
:.ZADF=ZCDG,
■:/DAF=NDCG,
:.AAFDqACGD.
【小问2详解】
如图,连接。4,OD,过尸作/K_LAD十K,设”K=x,在AO上取。,使。尸=。。,
•・・O为正方形中心,
ZOAB=ZOAD=ZODA=45°,ZA8=90°,而NK4E=30。,
AZOAE=15°,ZE4D=30o+90o=l20°,
•・•ZEAG=90%
:.ZMD=120°-90°=30°,
••AF-2x,AK=y/3x.
•:ZAED=-ZAOD=45°
2t
・•
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