2023年山东省中考数学真题（附带答案解析）

2023年山东省中考数学真题（附带答案解析）

（满分：120分；考试时间：120分钟）

学校:___________班级：姓名：考号：

一、选择题

2

1.孑的倒数是（）

2233

A.—B.——C.—D.——

3322

【答案】D

【解析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答.

【详解】解：一"1）x（一m=1

，一二2的倒数是一3:

32

故选：D.

【点睛】本题考查倒数的定义，掌握互为倒数的两个数积为1,是解题的关键.

2.下列二次根式中与&是同类二次根式的是（）

A.74B.76C.瓜D.712

【答案】C

【解析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可.

【详解】解：A、=2与&不是同类二次根式，不符合题意；

B、后与夜不是同类二次根式，不符合题意；

C、次=20与0是同类二次根式，符合题意；

D、位=2石与血不是同类二次根式，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二

次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

3.下列四种图案中是中心对称图形的是（）

第1页供

A佥*

【答案】B

【解析】根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点

旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.

【详解】解：根据题意可得：是中心对称图形的只有B

故选：B.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着

某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.

4.下列计算正确的是（）

A.a2+a2—2a4B.（2/）'=6/C.a2-a3—a5D-i-a2—a4

【答案】C

【解析】根据合并同类项、幕的乘方、同底数幕的乘法、同底数幕的除法的运算法则逐项排查即可解答.

【详解】解：A.々2+42=2々2故该选项不正确，不符合题意；

B.（2/）3=8/故该选项不正确，不符合题意；

C.故该选项正确，符合题意；

D.故该选项不正确，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了合并同类项、塞的乘方、同底数舞的乘法、同底数耳的除法等知识，掌握运算法

则是解题的关键.

3m-2>1,

5.不等式组<c.解集在同一条数轴上表示正确的是（）

2-m>3

A..|.|,rB..||,一

.1ftI.1ftI

C..I.，.D..1.I,.

■I0I-10I

【答案】A

【解析】用数轴表示不等式的解集时要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，

若边界点含于解集为实心点，不含于解集却为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向

笫2页/共

右”.

3m-221①

【详解】解:

2-心3②

解不等式①得：加之/

解不等式②得：m<—1

将不等式的解集表示在数轴上，如图所示

故选:A.

【点睹】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关

键.

6.如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（

①⑤

【解析】根据俯视图的定义，即可进行解答.

【详解】解：根据题意可得：从该几何体正上方看,棱4E的投影为点E，棱48的投影为线段8E,棱

A。的投影为线段EO,棱AC的投影为正方形3CQE的对角线

・••该几何体的俯视图为:

第3页/共

【点精】本题主要考查了俯视图，解题的关键是熟练掌握俯视图的定义：从物体正上方看到的图形是俯视

图.

7.长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大.6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情

况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，

则下列说法正确的是（）

12345678学生班

A.甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数

B.甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数

C.甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差

D.甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差

【答案】D

【解析】根据平均数，中位数，极差，方差的定义分别求解即可.

【详解】甲班视力值分别为：4.7,5.0,4.7,4.8,4.7,4.7,4.6,4.4；

从小到大排列为：4.4,4.6,4.7,4.7,4.7,4.7,4.8,5.0；中位数为二——-=4.7

2

平均数为』(4.4+4.6+4.7+4.7+4.7+4.7+4.8+5.0)=4.7；极差为5.0-4.4=0.6

8

方差为$户苴(0.3)2+(0.1)2+(0.1)2+(0.3)2卜0.025；

乙班视力值分别为：4.8,4.7,4.7,5.0,464.5,4.9,4.4；

47+47

从小到大排列为：4.4,4.5,4.6,4.7,4.7,4.8,4.9,5.0,中位数为，——-=4.7

2

平均数为（（4.4+4.5+4.6+4.7+4.7+4.8+4.9+5.0）=4.7：极差为50—4.4=0.6

方差为产（［（0.3）2+（o2）2+（0.1）2+（0.1）2+（0.2）2+（o3『］=OQ35；

甲、乙班视力值的平均数、中位数、极差都相等，甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故D选项正

确

第4页/共

故选：D.

【点睛】本题考查了折线统计图，求平均数，中位数，极差，方差，熟练掌握平均数，中位数，极差，方

差的定义是解题的关键.

8.如图，在正方形中阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形

成的封闭图形.将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上.若小球停在阴影

部分的概率为耳，停在空白部分的概率为鸟，则R与2的大小关系为（）

A.P、＜P?B.”2C.D.无法判断

【答案】B

【解析】根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的•半，进而即可求解.

【详解】解：如图所示，连接AE,BD交于O

由题意得，AB,C,。分别是正方形四条边的中点

二点。为正方形的中心

••S四边形408尸二S四边形.。农

根据题意，可得扇形。A3的面积等于扇形C4O的面积

边形AO8尸一S烟形OABS四边形AOCC-S崩形A0C

・•・阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半

••4=8

故选：B.

【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，几何概率，得出阴影部分面积等于正方形面枳的一半是解

第5页/共

题的关键.

9.如图，抛物线丫=0¥2+云+。的顶点人的坐标为（一^,加）与工轴的一个交点位于。合和1之间，则以

下结论：①出（>0；®2b+c>0：③若图象经过点（一3,*）,（3,%），则必〉必；④若关于x的一元二次

方程⑪2+灰+。一3=0无实数根，则m<3.其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】根据图象，分别得出〃、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴得出。=人，再根据图象得出当

x=l时y=〃+b+c<0,即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在抛

物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程以2+以+c—3=0移项可得

ax2+bx+c=3^根据该方程无实数根，得出抛物线》=〃2+协；+。与直线丁=3没有交点，即可判断

④.

【详解】解：①•・•该抛物线开口向下

**•a<0

V该抛物线的对称轴在），轴左侧

•・•该抛物线于y轴交于正半轴

Ac>0

***abc>0

故①正确，符合题意；

（1）

②,:A——m

、2y>

:,该抛物线的对称轴为直线x=--=^a=b

la2

当工=1时y=。+人+。

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把。二Z?得：当x=l时y=2b+c

由图可知：当x=l时y<0

:.22?+c<0

故②不正确，不符合题意；

③・.♦该抛物线的对称轴为直线x=--

2

15（1、7

・・・（一3,乂）到对称轴的距离为一弓一（一3）二彳，（3,必）到对称轴的距离为3—--=-

•・•该抛物线开口向下

・•・在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小

・・54

•一〈一

22

：•y>%

故③正确，符合题意；

④将方程or?+反+.3=0移项可得012+bx+c=3

ax2+Zzx+c-3=0无实数根

・'.抛物线y="2+法+（?与直线丁=3没有交点

）

故④正确

综上：正确的有：①③④，共三个.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据二次函数图象判断各系数的方

法，熟练掌握二次函数的图象和性质.

io.如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点尸为位似中心作正方形出44,

正方形PA4AA，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形尸444的顶点坐标分

别为P（-3,O），A（—2,I），4（—I,O）,4（-2,-1）则顶点400的坐标为（）

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A.（31.34）B.（31,-34）C.（32,35）D.（32,0）

【答案】A

【解析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律右,々(〃-3,n).

【详解】解：4(-2,1)4(-1，2)4(0,3)/(1，4)L

3，n)

V100=3x34-2,则〃=34

・•.MOM

故选：A.

【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律.

二、填空题

11.“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位.目前,

北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次.3600亿用科学记数法表示为.

【答案】3.6x10"

【解析】科学记数法的表示形式为ax1(/的形式，其中1＜忖＜10,〃为整数.确定〃的值时要看把原

数变成。时小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：3600亿=3600000000(X),用科学记数法表示为3.6x10”.

故答案为：3.6x10".

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中

1V忖V10,〃为整数，正确确定。的值以及〃的值是解决问题的关键.

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12.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知Nl=102。，则N2的度数为

【答案】78。78度

【解析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解.

【详解】解:如图所示，依题意AB//DC

・•・Z2=/BCD

•・•ZBCD+Z1=18O0Zl=l02°

・•・ZBCD=180°-Zl=78°

，Z2=78°.

故答案为：78。.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

13.如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A,B,C,D,

连接A3,则上班。的度数为.

【答案】52.5°

【解析】如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB,由题意可得：OA=OB=OC=OD

ZAOB=50。—25。=25。然后再根据等腰三角形的性质求得NQW=65。NQ4D=25。最后根据角

的和差即可解答.

【详解】解：如图：连接OAO氏OCOD4XAB

由题意可得：OA=OB=OC=ODZAOB=50°-25°=25°ZAOD=\55°-25°=130°

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・•.NOAB=-(180°-ZAOB)=77.5°ZOAD=180。-NAOB)=25°

:.NBAD=NOAB-ZOAD=52.5°.

故答案为52.50.

【点睛】本题主要考查了角的度量、等腰三角形的性质等

知识点，灵活运用等腰三角形的性质是解答本题的关键.

14.如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下:

图片不符(无对应的特殊运算按键)

①2ndF］「I6按键的结果为4：

©OOOOHDQi3按键的结果为8；

③的。。。。。。1|日按键的结果为0.5；

2四日按键的结果为25.

以上说法正确的序号是

【答案】①③

【解析】根据计算器按键，写出式子，进行计算即可.

【详解】解：①2ndF］「［64Q按键的结果为病=4；故①正确,符合题意;

日按键的结果为4+(-2)3=-4：故②不正确，不符合题意:

③■按键的结果为疝(45。-15。)=疝30。=0.5；故③正确，符合题

意；

2

2用■按键的结果为x2=1()；故④不正确，不符

合题意:

第10页/共

综上：正确的有①@.

故答案为：①③.

【点睛】本题主要考查了科学计算器是使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个按犍的含义.

15.如图，在直角坐标系中0A与X轴相切于点及C8为0A的直径，点C在函数丁=幺（&>0/>0）的图象

x

上，0为）'轴上一点，.AC。的面积为6,则々的值为.

（k\k1k

【解圻】设。。,一，则。8=〃,4。=一，则AC=—BC=——，根据三角形的面积公式得出

Va）a22a

S"8=gAC・°B=6,列出方程求解即可•

【详解】解：设c（a，g）

■:04与4轴相切于点B

:.8c_Lx轴

：.0B=a,AC=-,则点。到AC的距离为。

a

•・・C5为0A的直径

・s_1k_k

"822a4

解得：左=24

故答案为：24.

【点懵】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径

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外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征.

16.如图1,在“8C中动点尸从点A出发沿折线ABfBCfC4匀速运动至点A后停止.设点尸的运动

路程为x,线段AP的长度为V,图2是丁与1的函数关系的大致图象，其中点尸为曲线DE的最低点，则

LABC的高CG的长为.

图1图2

【答案】递］外

22

【解析】过点A作AQ_L8C于点Q,当点夕与。重合时在图2中产点表示当A3+8Q=12时点p到达

点。，此时当P在5c上运动时”最小，勾股定理求得AQ,然后等面积法即可求解.

【详解】如图过点A作AQ_L8C于点。，当点尸与。重合时在图2中尸点表示当A8+8Q=12时点。

到达点。，此时当尸在8C上运动时"最小

图2

图1

:.BC=78。=4,。。=3

在RLABQ中A8=8,8Q=4

・•・AQ=JABZ-BQ2=y/s2-42=4>/3

第12页/共

=X

■:SABC~^^CG=—AQxBC

.”BCxAQ7x46773

••co=------------=-----------=------

AB32

故答案为：毡.

2

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键.

三、解答题

17.先化简，再求值："—6：+9(+2+3］其中。是使不等式空成立的正整数.

a-2I2-aJ2

__a—31

【答案】--：--

4+32

【解析】先根据分式混合运算法则进行化海,然后求出不等式的解集，得出正整数。的值，再代入数据计算

即可.

【详解】解："-6；+9,+2+3]

a-2I2-aJ

J（2+a）（2-a）5

a-22-a2-a

4―/+5

a-22-a

=（〃-3）22_a

a-2（3+〃）（3-a）

_Q_3

a+3

a—\

解不等式一VI得：a<3

2

•.Z为正整数

，a=l,2,3

•・•要使分式有意义。一2。0

，。02

,・■当。=3时。+2H--------=3+2-1--------=0

2-a2-3

；・a二3

第13页/共

1-31

，把a=l代入得：原式二=二一一.

1+32

【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合

运算法则，准确计算.

18.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项

人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才.已知A、B、C、I）、E五所大学设有数学学科拔尖学生培养

基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学.某市为了解中学生的参

与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计

（2）在扇形统计图中。所在的扇形的圆心角的度数为:若该市有1000名中学生参加本次活

动，则选择A大学的大约有人；

（3）甲、乙两位同学计划从A,B,。三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求

两人恰好选取同一所大学的概率.

【答案】（1）见解析（2）14.4°；（3）-200

3

【解析】（1）根据。的人数除以占比得到总人数，进而求得8的人数，补全统计图即可求解；

（2）根据。的占比乘以360。得到圆心角的度数，根据1000乘以选择A的人数的占比即可求解；

（3）根据列表法求概率即可求解.

【小问1详解】解：总人数为14・28%=50（人）

，选择8大学的人数为50—10—14—2—8=16,补全统计图如图所示

【小问2详解】在扇形统计图中。所在的扇形的圆心角的度

第14页/共

数为2x360。=14.4。

50

选择4大学的大约有1000乂4=200（人）

50

故答案为：14.4。；200.

【小问3详解】列表如下

ABC

乙

AAAABAC

BBABBBC

CCACBCC

共有9种等可能结果，其中有3种符合题意

，甲、乙两人恰好选取同一所大学概率为《.

3

【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图,

从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形

统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

19.风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在一处坡角为30。的坡地

新安装了一架风力发电机，如图1.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测

量，图2为测量示意图.已知斜坡8长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为

45°,利用无人机在点A的正上方53米的点8处测得P点的俯角为18。，求该风力发电机塔杆PD的高

度.（参考数据：sin18°aO.3O9cosl8°»0.951tanl8°«0.325）

图I图2

【答案】该风力发电机塔杆尸。的高度为32米

【解析】过点尸作,JLAB于点尸，延长尸力交AC延长线于点E,先根据含30。角直角三角形的性质得

第15页/共

出OE=8,设PO=x米，则PE=P£>+DE=（8+力米，进而得出AE=（8+x）米，证明四边形

FAEP为矩形,则PF=AE=（8+x）米，A/=PE=（8+x）米，根据线段之间的和差关系得出

RF

8尸=48-A尸=s（45-力米，最后根据万一=1an18。，列出方程求解即可.

【详解】解：过点尸作于点凡延长尸。交AC延长线于点E

根据题意可得：和PO垂直于水平面NDCE=30。，NB4C=45。和NG8P=18。

:.PEA.AE

•・・。乃=16米

：,DE=-CD=\6x-=S（米）

22

设PO=x米，则PE=PZHOE=（8+x）米

VZMC=45°PELAE

PF

・•・AE=------=（8+x）米

tan450'7

•・•AB_LAE为矩形

.・.P/=A石=（8+x）米Ab=PE=（8+x）米

•・,AB=53米

・•.B尸=48—AF=53-（8+x）=（45-x）米

,?NGBP=18。

・•・NBP尸=18。

BF45-r

・•・——=tan18°,即^0.325

PF8+x

解得：x«32

答：该风力发电机塔杆PO的高度为32米.

第16页/共

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助

线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤.

20.【问题背景】

如图I,数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形48CD进行如下操作：①分别以点

B,C为圆心，以大于iBC的长度为半径作弧，两弧相交于点E,F,作直线E尸交8C于点。，连接A。；

2

②将cABO沿4。翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CO于点。.

在矩形A3CQ中4)=5,A3=3,求线段CQ的长.

【问题解决】

经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：

方案一：连接Q2,如图2.经过推理、计算可求出线段CQ的长;

方案二：将二45。绕点O旋转180。至△RCO处，如图3.经过推理、计算可求出线段CQ的长.

请你任选其中一种方案求线段CQ的长.

25

【答窠】线段。。的长为

【解析】方案一：连接32,由翻折的不变性，知AP=A8=3,OP=OB=2.5证明

△QPgZXQCO(HL),推出「Q=C。，设尸Q=CQ=x,在RtZ^AOQ中利用勾股定理列式计算求解

第17页/共

即可;

方案二：将AABO绕点。旋转180。至△RCO处，证明NOAQ=NR,推出QA=QR,设CQ=x,同方

案一即可求解.

【详解】解：方案一：连接。。，如图2.

•・•四边形A8CO是矩形

AAB=CD=3AD=BC=5

由作图知80=OC='BC=2.5

2

由翻折的不变性，知AP=43=3OP=OB=25NAPO=N3=90。

OP=OC=2.5NQPO=NC=90°又OQ=OQ

・•・△?尸O^ZXQCO(HL)

・•.PQ=CQ

设PQ=CQ=x,则AQ=3+xDQ=3-x

22

在RtAADg中AD+QD=AQ?,即52+(3一,2=(3+

解得了=一25

12

25

・•・线段C。的长为右；

方案二：将二43。绕点。旋转180。至△RCO处，如图3.

第18页/共

•・•四边形A8CO是矩形

AAB=CD=3AD=BC=5

由作图知BO-OC--BC-2.5

2

由旋转的不变性，知CR=4B=3NBAO=NRZB=ZOCR=90°

则/OCR+NOCD=900+90°=l80°

，。、C、R共线

由翻折的不变性，知NB40=N04Q

・•・ZOAQ=ZR

：.QA=QR

设CQ=x,则Q4=QR=3+%DQ=3-x

RtZXAOQ中A。、。。？=AQ?,即52+（3_X『=（3+X）2

25

解得才二一

12

25

・•・线段CQ的长为在.

【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性

质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

21.中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶.《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及

3

的算书、许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的一，用600元购买《孙子

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算经》比购买《周髀算经》多买5本.

<1）求两种图书的单价分别为多少元？

（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》

数量不少于《孙子算经》数量的一半.由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售.求两种图

书分别购买多少本时费用最少？

【答窠】（1）《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；

（2）当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元.

3

【解析】（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是二人元，根据“用600元购买《孙子算经》

比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解；

（2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出机的取值范围，根据机

第19页/共

的取值范围结合函数解析式解答即可.

3

【小问1详解】解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是:x元

4

600600u

----=-----卜5

依题意得3x

—X

4

解得工二40

经检验，x=40是原方程的解，且符合题意

3

-x40=30

4

答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；

【小问2详解】解：设购买的《周髀算经》数量加本，则购买的《孙子算经》数量为（80-加）本

依题意得m>^（80-m）

解得力2262

3

设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元）

依题意得y=40x0.86+30x0.8（80—掰）=8m+1920

*.*A:=8>0

随m的增大而增大

・••当m=27时有最小值，此时y=8x27+1920=2316（元）

80-27=53（本）

答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元.

【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据

题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键.

22.如图，在菱形A5CO中对角线AC,6。相交于点经过A。两点，交对角线AC于点尸，连接

OF交AD于点、G，且AG=GD.

第20页/共

(1)求证：AB是：O的切线；

(2)已知。。的半径与菱形的边长之比为5:8,求tanNAOB的值.

【答案】(1)见解析(2)tanZADB=2.

【解析】(1)利用垂径定理得O尸_L4O，利用菱形的性质得NG4/=NB4/，利用半径相等得

ZOAF=ZOFA,即可证明NQA尸+/班/=90。，据此即可证明结论成立；

(2)设AG=GO=4a,由题意得。4:AG=5:4,求得O4=5a,由勾股定理得到OG=3a,求得

FG=2a,利用菱形的性质求得NA£>3=NAAG,据此求解即可.

VAG=GD,由垂径定理知。尸_L">

・•・ZOGA=ZFG4=90°

•・•四边形A8CO是菱形

:.ZGAF=ZBAF

:.Z.GAF+ZAFG=90°=ABAF+ZAFG

•・•04=0产

・•・Z0AF=Z0FA

・•・Z0AF+ZBAF=ZOAB=90°

又・・・。4为0O的半径

・•・AB是00的切线；

【小问2详解】解：•・•四边形4BCZ）是菱形AG=GD

・•・设八G=GD=4a

•・•0。的半径与菱形的边长之比为5:8

第21页/共

・•・在RtZXOAG中3:AG=5:4

-OA=5a0G=>l0A1-AG2=3a

・•・FG=OF-OG=2a

•・•四边形4BCO是菱形

，BD1.AC,即NOE4=90°=NFG4

ZADB=ZAFG

4G4/7

・•・tanZADB=tanZAFG=7——=—=2.

FG2a

【点睛】本题考查了菱形的性质，垂径定理，切线的判定，求角的正切值，勾股定理，解答本题的关键是

明确题意，找出所求问题需要的条件.

23.如图，点。为线段A8上一点，分别以AC3C为等腰三角形的底边，在A8的同侧作等腰-A8和

等腰©3CE,且NA=NC8E.在线段EC上取一点尸，使EF=4）,连接BRDE.

（2）如图2,若4）=2,BE的延长线恰好经过OE的中点G,求8E的长.

【答案】（1）见解析（2）BE=2+夜.

【解析】⑴证明8〃虚，推出ZDCE=Z.BEF,利用SAS证明△OC四△在3即可证明结论成立；

（2）取C/的中点"连接G“，证明G”是cbCD的中位线，设8E=a,^FH=-a-2证明

2t

△FGHSNBE,得到空=也，即々2_4〃一4=0,解方程即可求解.

BEEF

【小问1详解】证明：•.•等腰-ACO和等腰二BCE

：.AD=CDEC=EBZA=ZDCA

•：ZA=/CBE

:,ADCA=/CBE

：.CD//BE

:・NDCE=/BEF

,:EF=AD

第22页/共

・•・EF=CD

CD=EF

在/XDCE和*FEB中，4DCE=/FEB

EC=EB

：.ADC£^AFEB（SAS）

，DE=BF；

【小问2详解】解：取C尸的中点从连接GH

是△尸8的中位线

：.GH=-CD=-AD=\GH//CD

22

设BE=a,则C”=E”=4cE=L5E='a

222

'：EF=AD=2

・•・FH=-a-2

2

•：CD//BE

・•・GH//BE

・•・AFGHS/\FBE

，空二型，即ir-2

BEEF—二「

a2

整理得/—4。—4=0

解得a=2+&（负值已舍）

经检验〃=2+&是所列方程的解，且符合题意

：•BE=2+@

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，三角形中位线定理，全等三角形的判定

和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

第23页/共

24.如图，抛物线丁=公2+法+5与X轴交于AB两点，与y轴交于点C,43=4.抛物线对称轴

x=3与经过点A的直线），=履一1交于点。，与“轴交于点E.

备用图

（1）求直线A。及抛物线的表达式；

（2）在抛物线上是否存在点M,使得△ADM是以AO为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M

的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以点3为圆心，画半径为2的圆，点尸为上一个动点，请求出PC+gPA的最小值.

【答案】（1）直线40的解析式为y=x-l；抛物线解析式为y=f—6X+5

（2）存在