2021-2022学年山东省临沂市兰山区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

2021-2022学年山东省临沂市兰山区九年级第一学期期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（共14小题）.1．下列银行标志中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．方程x2﹣x＝56的根是（）A．x1＝7，x2＝8 B．x1＝7，x2＝﹣8 C．x1＝﹣7，x2＝8 D．x1＝﹣7，x2＝﹣83．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB＝25°，在∠ADC的度数是（）A．45° B．60° C．70° D．75°4．抛物线y＝﹣x2+3x﹣的对称轴是（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝6 D．x＝﹣5．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则阴影部分的面积为（）A． B． C．4﹣π D．6．若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（）A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣47．如图所示，先将图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°，之后所得到的图形是（）A． B． C． D．8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（）A． B． C． D．9．若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象，过不同的五点A（﹣2，n）、B（6，n）、C（0，y1）、D（，y2）、E（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y310．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2心旋转180°得C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，直至得C5，若P（14，m）在第5段抛物线C5上，则m值为（）A．2 B．1.5 C．﹣2 D．﹣2.2511．以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A． B． C． D．212．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．113．阅读理解：设＝（x1，y1），＝（x2，y2），若⊥，则•＝0，即x1•x2+y1•y2＝0．已知＝（﹣2，x+1），＝（3，x+2），且⊥，则x的值为（）A．±2 B．1或﹣4 C．﹣1或4 D．114．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为（）A．2 B． C．1 D．2二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）15．关于x的方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是．16．二次函数y＝2x2﹣8x+1的最小值是．17．在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于°．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值是．19．如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A、M、C三点的抛物线．其中A点离地面1.4米，M点是足球运动过程中的最高点，离地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点C是球落地时的第一点．那么足球第一次落地点C距守门员的水平距离为米．三、解答题（本大题共6小题，共63分）20．已知关于x的方程x2+ax+a﹣3＝0．（1）若该方程的一个根为2，求a的值及方程的另一个根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．21．如图，在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（5，﹣1），C（1，1），将△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△DEF，其中点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F．（1）直接写出平移后的△DEF的顶点坐标：D、E、F；（2）在网格中画出△ABC绕原点顺时针旋转90°后的图形△A1B1C1；（3）求出△A1B1C1的面积．22．某地区在2020年开展脱贫攻坚的工作中大力种植有机蔬菜．某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图（2）所示．（其中图（1）的图象是直线，图（2）的图象是抛物线，其最低点坐标是（6，1））．（1）求每千克蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式；（2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益；（3）求出一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？23．如图，O为菱形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，求⊙O的半径．24．把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．25．有公共顶点A的△ABD，△ACE都是等边三角形．（1）如图1，将△ACE绕顶点A旋转，当E，C，B共线时，求∠BCD的度数；（2）如图2，将△ACE绕顶点A旋转，当∠ACD＝90°时，延长EC角BD于F，①求证：∠DCF＝∠BEF；②写出线段BF与DF的数量关系，并说明理由．参考答案一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分1．下列银行标志中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．2．方程x2﹣x＝56的根是（）A．x1＝7，x2＝8 B．x1＝7，x2＝﹣8 C．x1＝﹣7，x2＝8 D．x1＝﹣7，x2＝﹣8【分析】利用因式分解法求解即可。解：∵x2﹣x＝56，∴x2﹣x﹣56＝0，则（x﹣8）（x+7）＝0，∴x﹣8＝0或x+7＝0，解得x1＝﹣7，x2＝8，故选：C．3．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB＝25°，在∠ADC的度数是（）A．45° B．60° C．70° D．75°【分析】由旋转的性质得∠DCE＝∠ACB＝25°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，则△ACE是等腰直角三角形，得∠CAE＝∠E＝45°，再由三角形的外角性质求解即可．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，∴∠DCE＝∠ACB＝25°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴∠CAE＝∠E＝45°，∴∠ADC＝∠E+∠DCE＝45°+25°＝70°，故选：C．4．抛物线y＝﹣x2+3x﹣的对称轴是（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝6 D．x＝﹣【分析】利用对称轴方程为x＝﹣代入计算即可．解：∵y＝﹣x2+3x﹣，∴a＝﹣，b＝3，∴对称方程为x＝﹣＝3，故选：A．5．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则阴影部分的面积为（）A． B． C．4﹣π D．【分析】连结AO、BO、DO，CO，设⊙O半径为r，利用面积公式求出内切圆半径，r＝＝2，再说明四边形OFCE是正方形，得S阴影＝S正方形OFCE﹣S扇形OFE＝4﹣＝4﹣π，解：连结AO、BO、DO，CO，设⊙O半径为r，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，∴AC⊥OF，AB⊥OD，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，∴S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BCO∴＝，∴r＝＝2，∵∠C＝90°，∠OFC＝∠OEC＝90°，OF＝OE∴四边形OFCE是正方形，∴∠FOE＝90°，∴S阴影＝S正方形OFCE﹣S扇形OFE＝4﹣＝4﹣π，故选：C．6．若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（）A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4【分析】设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，求出y，即可得出选项．解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，解得：y＝4或﹣2，当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程无解，舍去，所以x2+2x＝4．故选：B．7．如图所示，先将图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°，之后所得到的图形是（）A． B． C． D．【分析】将图沿着它自己的右边缘翻折，则圆在正方形图形的右上角，然后绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°，则圆在正方形图形的左下角，利用此特征可对四个选项进行判断．解：先将图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°，之后所得到的图形为．故选：A．8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（）A． B． C． D．【分析】二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y＝﹣kx+1经过的象限，对比后即可得出结论．解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；故选：A．9．若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象，过不同的五点A（﹣2，n）、B（6，n）、C（0，y1）、D（，y2）、E（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3【分析】由A（﹣2，n）、B（6，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝2，再由C（0，y1）、D（，y2）、E（3，y3）与对称轴的距离，即可判断y2＞y3＞y1．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过A（﹣2，n）、B（6，n），∴开口向下，对称轴为直线x＝＝2，∵C（0，y1）、D（，y2）、E（3，y3）与对称轴的距离C最远，D最近，∴y2＞y3＞y1；故选：B．10．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2心旋转180°得C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，直至得C5，若P（14，m）在第5段抛物线C5上，则m值为（）A．2 B．1.5 C．﹣2 D．﹣2.25【分析】求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在x轴上方，然后求出到抛物线C5平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线C5的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．解：令y＝0，则﹣x（x﹣3）＝0，解得x1＝0，x2＝3，∴A1（3，0），由图可知，抛物线C5在x轴上方，相当于抛物线C1向右平移4×3＝12个单位得到，∴抛物线C5的解析式为y＝﹣（x﹣12）（x﹣12﹣3）＝﹣（x﹣12）（x﹣15），∵P（14，m）在第5段抛物线C5上，∴m＝﹣（14﹣12）（14﹣15）＝2．故选：A．11．以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A． B． C． D．2【分析】分别画出对应的图形计算出三条边心距，利用勾股定理的逆定理可证明它们构建的三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算此三角形的面积．解：如图1，△ABC为⊙O的内接正三角形，作OM⊥BC于M，连接OB，∵∠OBC＝∠ABC＝30°，∴OM＝OB＝2；如图2，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，作ON⊥DC于N，连接OD，∵∠ODC＝∠ADC＝45°，∴ON＝DN＝OD＝2；如图3，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，作OH⊥DE于H，连接OE，∵∠OED＝∠FED＝60°，∴EH＝OE＝2，OH＝EH＝2，∴半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2，2，2，∵22+（2）2＝（2）2，∴以三条边心距所作的三角形为直角三角形，∴该三角形的面积＝×2×2＝2．故选：D．12．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置判断a，b，c符号．②把x＝±2分别代入函数解析式，结合图象可得（4a+c）2﹣（2b）2的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y值越大．④由抛物线顶点纵坐标为m可得ax2+bx+c≥m，从而进行判断ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．解：①∵抛物线图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在直线y轴左侧，∴a，b同号，b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，故①正确．②（4a+c）2﹣（2b）2＝（4a+c+2b）（4a+c﹣2b），当x＝2时ax2+bx+c＝4a+c+2b，由图象可得4a+c+2b＞0，由图象知，当x＝﹣2时，ax2+bx+c＝4a+c﹣2b，由图象可得4a+c﹣2b＜0，∴（4a+c）2﹣（2b）2＜0，即（4a+c）2＜（2b）2，故②正确．③|x1+1|＝|x1﹣（﹣1）|，|x2+1|＝|x2﹣（﹣1）|，∵|x1+1|＞|x2+1|，∴点（x1，y1）到对称轴的距离大于点（x2，y2）到对称轴的距离，∴y1＞y2，故③错误．④∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），∴y≥m，∴ax2+bx+c≥m，∴ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．故④正确，综上所述，①②④正确，故选：B．13．阅读理解：设＝（x1，y1），＝（x2，y2），若⊥，则•＝0，即x1•x2+y1•y2＝0．已知＝（﹣2，x+1），＝（3，x+2），且⊥，则x的值为（）A．±2 B．1或﹣4 C．﹣1或4 D．1【分析】根据向量垂直的定义列出关于x的方程﹣2×3+（x+1）（x+2）＝0，通过解该方程求得x的值即可．解：∵＝（﹣2，x+1），＝（3，x+2），且⊥，∴•＝0，即﹣2×3+（x+1）（x+2）＝0．整理，得（x﹣1）（x+4）＝0．解得x1＝1，x2＝﹣4故选：B．14．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为（）A．2 B． C．1 D．2【分析】首先连接OQ，根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．解：连接OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∵OQ为定值，∴当OP的值最小时，PQ的值最小，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，∴AB＝OA＝8，∴OP＝＝4，∴PQ＝＝2．故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）15．关于x的方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是k≥﹣．【分析】分类讨论：当k＝0，方程变形为3x﹣1＝0，此一元一次方程有解；当k≠0，Δ＝9﹣4k×（﹣1）≥0，方程有两个实数解，得到k≥﹣且k≠0，然后综合两种情况即可得到实数k的取值范围解：当k＝0，方程变形为3x﹣1＝0，此一元一次方程的解为x＝；当k≠0，Δ＝9﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣，即k≥﹣且k≠0时，方程有两个实数根，综上所述实数k的取值范围为k≥﹣．故答案为：k≥﹣．16．二次函数y＝2x2﹣8x+1的最小值是﹣7．【分析】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解．解：∵二次函数有最小值，∴＝﹣7，故答案为：﹣7．17．在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于60或120°．【分析】根据弦BC垂直平分半径OA，可得OD：OB＝1：2，得∠BOC＝120°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可得弦BC所对的圆周角度数．解：如图，∵弦BC垂直平分半径OA，∴OD：OB＝1：2，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°．故答案为：60或120．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值是．【分析】由旋转的性质可证△CDE为等边三角形，当DE最短，CD最短，CD⊥AB时，CD最短，由直角三角形等面积法，即可求得．解：由旋转的性质得，CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE为等边三角形，∴CD＝CE＝DE，当DE最短，CD最短，当CD⊥AB时，CD最短，此时＝，即AC•BC＝AB•CD，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，由勾股定理得，AC＝4，∴3×4＝5CD，∴CD＝，∴线段DE长度的最小值是，故答案为：．19．如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A、M、C三点的抛物线．其中A点离地面1.4米，M点是足球运动过程中的最高点，离地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点C是球落地时的第一点．那么足球第一次落地点C距守门员的水平距离为14米．【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+3.2，将点A（0，1.4）代入求出a的值即可得解析式，求出y＝0时x的值即可得．解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+3.2，将点A（0，1.4）代入，得：36a+3.2＝1.4，解得：a＝﹣0.05，则抛物线的解析式为y＝﹣0.05（x﹣6）2+3.2；当y＝0时，﹣0.05（x﹣6）2+3.2＝0，解得：x1＝﹣2（舍），x2＝14，所以足球第一次落地点C距守门员14米．故答案为：14．三、解答题（本大题共6小题，共63分）20．已知关于x的方程x2+ax+a﹣3＝0．（1）若该方程的一个根为2，求a的值及方程的另一个根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【分析】（1）将x＝2代入方程x2+ax+a﹣3＝0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．解：（1）将x＝2代入方程x2+ax+a﹣3＝0得4+2a+a﹣3＝0，解得a＝﹣，方程为x2﹣x﹣＝0，即3x2﹣x﹣10＝0，解得设x1＝﹣，x2＝2．（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣3）＝a2﹣4a+12＝a2﹣4a+4+8＝（a﹣2）2+8＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．21．如图，在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（5，﹣1），C（1，1），将△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△DEF，其中点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F．（1）直接写出平移后的△DEF的顶点坐标：D（﹣2，1）、E（1，﹣3）、F（﹣3，﹣1）；（2）在网格中画出△ABC绕原点顺时针旋转90°后的图形△A1B1C1；（3）求出△A1B1C1的面积．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可．（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（3）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．解：（1）如图，△DEF即为所求，D（﹣2，1）、E（1，﹣3）、F（﹣3，﹣1），故答案为：（﹣2，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1）．（2）如图，△A1B1C1即为所求．（3）△A1B1C1的面积＝4×4﹣×1×2﹣×3×4＝5．22．某地区在2020年开展脱贫攻坚的工作中大力种植有机蔬菜．某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图（2）所示．（其中图（1）的图象是直线，图（2）的图象是抛物线，其最低点坐标是（6，1））．（1）求每千克蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式；（2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益；（3）求出一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？【分析】（1）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出每千克蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式；（2）利用待定系数法求出每千克成本与销售月份之间的关系式，由收益w＝每千克售价﹣成本列出w与x的函数关系式，利用配方求出二次函数的最大值；（3）列出一年中销售每千克蔬菜的收益与销售月份x之间的关系式，根据二次函数的性质可得答案．解：（1）设每千克蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式为y＝kx+b，将（3，5）和（6，3）代入得，，解得：．∴每千克蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式为y＝﹣x+7；（2）设每千克成本与销售月份之间的关系式为：y＝a（x﹣6）2+1，把（3，4）代入得，4＝a（3﹣6）2+1，解得a＝．∴y＝（x﹣6）2+1，即y＝x2﹣4x+13．收益w＝﹣x+7﹣（x2﹣4x+13）＝﹣（x﹣5）2+，∵a＝﹣＜0，∴当x＝5时，w有最大值，w最大＝．∴5月销售每千克蔬菜的收益最大，最大为元；（3）一年中销售每千克蔬菜的收益：w＝﹣x+7﹣（x2﹣4x+13），当w＝1时，﹣x+7﹣（x2﹣4x+13）＝1，解得：x1＝7，x2＝3，∵a＝﹣＜0，x为正整数，∴一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月．23．如图，O为菱形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，求⊙O的半径．【分析】（1）根据菱形的性质得到AC是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明；（2）根据菱形的边长可以求得其对角线的长，根据等腰直角三角形的性质和对角线的长列方程求解．解：（1）连接OM，过点O作ON⊥CD于N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，∴∠OMC＝∠ONC＝90°，∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠ACB＝∠ACD，∵OC＝OC，∴△OMC≌△ONC，∴ON＝OM，∴CD与⊙O相切；（2）∵ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴∠ACB＝60°，AC＝1，设半径为r．则OC＝1﹣r，OM＝r，∵∠ACB＝60°，∠OMC＝90°，∴∠COM＝30°，MC＝，∴解得r＝＝2﹣3．24．把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．【分析】（1）根据二次函数图象