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文档简介
浙江省温州市瑞安市重点达标名校2025年初三3月第二次阶段考数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.如图是某几何体的三视图,则该几何体的全面积等于()A.112 B.136 C.124 D.842.下列计算正确的是()A.(a-3)2=a2-6a-9 B.(a+3)(a-3)=a2-9C.(a-b)2=a2-b2 D.(a+b)2=a2+a23.的相反数是()A. B.2 C. D.4.菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为AD边中点,菱形ABCD的周长为28,则OH的长等于()A.3.5 B.4 C.7 D.145.如图,已知△ABC中,∠A=75°,则∠1+∠2=()A.335°° B.255° C.155° D.150°6.二次函数y=3(x﹣1)2+2,下列说法正确的是()A.图象的开口向下B.图象的顶点坐标是(1,2)C.当x>1时,y随x的增大而减小D.图象与y轴的交点坐标为(0,2)7.如图,把一个矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′为()。A.70° B.65° C.50° D.25°8.的负倒数是()A. B.- C.3 D.﹣39.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,且AB=10,BC=15,MN=3,则AC的长是()A.12 B.14 C.16 D.1810.一组数据1,2,3,3,4,1.若添加一个数据3,则下列统计量中,发生变化的是()A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.如图,扇形OAB的圆心角为30°,半径为1,将它沿箭头方向无滑动滚动到O′A′B′的位置时,则点O到点O′所经过的路径长为_____.12.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,DE∥BC.若AD=6,BD=2,DE=3,则BC=______.13.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根,则a的值是______.14.袋中装有红、绿各一个小球,随机摸出1个小球后放回,再随机摸出一个,则第一次摸到红球,第二次摸到绿球的概率是_____.15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,CD是斜边AB上的中线,将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置,连接AE.若DE∥AC,计算AE的长度等于_____.16.如图,四边形ABCD是菱形,∠DAB=50°,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,则∠DHO=_____度.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+3交x轴于B、C两点(点B在左,点C在右),交y轴于点A,且OA=OC,B(﹣1,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)如图2,点D为抛物线的顶点,连接CD,点P是抛物线上一动点,且在C、D两点之间运动,过点P作PE∥y轴交线段CD于点E,设点P的横坐标为t,线段PE长为d,写出d与t的关系式(不要求写出自变量t的取值范围);(3)如图3,在(2)的条件下,连接BD,在BD上有一动点Q,且DQ=CE,连接EQ,当∠BQE+∠DEQ=90°时,求此时点P的坐标.18.(8分)某学校为弘扬中国传统诗词文化,在九年级随机抽查了若干名学生进行测试,然后把测试结果分为4个等级;A、B、C、D,对应的成绩分别是9分、8分、7分、6分,并将统计结果绘制成两幅如图所示的统计图.请结合图中的信息解答下列问题:(1)本次抽查测试的学生人数为,图①中的a的值为;(2)求统计所抽查测试学生成绩数据的平均数、众数和中位数.19.(8分)解方程:-=120.(8分)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB是⊙O的直径,OF⊥AB,交AC于点F,点E在AB的延长线上,射线EM经过点C,且∠ACE+∠AFO=180°.求证:EM是⊙O的切线;若∠A=∠E,BC=,求阴影部分的面积.(结果保留和根号).21.(8分)重百江津商场销售AB两种商品,售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元,售出3件A商品和5件B种商品所得利润为1100元.求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元?由于需求量大A、B两种商品很快售完,重百商场决定再次购进A、B两种商品共34件,如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元,那么重百商场至少购进多少件A种商品?22.(10分)某校在一次大课间活动中,采用了四钟活动形式:A、跑步,B、跳绳,C、做操,D、游戏.全校学生都选择了一种形式参与活动,小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查,根据调查统计结果,绘制了不完整的统计图.请结合统计图,回答下列问题:(1)这次调查中,一共调查了多少名学生?(2)求出扇形统计图中“B:跳绳”所对扇形的圆心角的度数,并补全条形图;(3)若该校有2000名学生,请估计选择“A:跑步”的学生约有多少人?23.(12分)如图,经过点C(0,﹣4)的抛物线()与x轴相交于A(﹣2,0),B两点.(1)a0,0(填“>”或“<”);(2)若该抛物线关于直线x=2对称,求抛物线的函数表达式;(3)在(2)的条件下,连接AC,E是抛物线上一动点,过点E作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点所组成的四边形是平行四边形?若存在,求出满足条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由.24.请根据图中提供的信息,回答下列问题:一个水瓶与一个水杯分别是多少元?甲、乙两家商场同时出售同样的水瓶和水杯,为了迎接新年,两家商场都在搞促销活动,甲商场规定:这两种商品都打八折;乙商场规定:买一个水瓶赠送两个水杯,另外购买的水杯按原价卖.若某单位想要买5个水瓶和n(n>10,且n为整数)个水杯,请问选择哪家商场购买更合算,并说明理由.(必须在同一家购买)
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、B【解析】试题解析:该几何体是三棱柱.如图:由勾股定理全面积为:故该几何体的全面积等于1.故选B.2、B【解析】
利用完全平方公式及平方差公式计算即可.【详解】解:A、原式=a2-6a+9,本选项错误;
B、原式=a2-9,本选项正确;
C、原式=a2-2ab+b2,本选项错误;
D、原式=a2+2ab+b2,本选项错误,
故选:B.本题考查了平方差公式和完全平方公式,熟练掌握公式是解题的关键.3、B【解析】
根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2=0,所以﹣2的相反数是2,故选B.本题考查求相反数,熟记相反数的性质是解题的关键.4、A【解析】
根据菱形的四条边都相等求出AB,菱形的对角线互相平分可得OB=OD,然后判断出OH是△ABD的中位线,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OHAB.【详解】∵菱形ABCD的周长为28,∴AB=28÷4=7,OB=OD.∵H为AD边中点,∴OH是△ABD的中位线,∴OHAB7=3.1.故选A.本题考查了菱形的对角线互相平分的性质,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,熟记性质与定理是解题的关键.5、B【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=75°,∴∠B+∠C=180°﹣∠A=105°.∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°,∴∠1+∠2=360°﹣105°=255°.故选B.点睛:本题考查了三角形、四边形内角和定理,掌握n边形内角和为(n﹣2)×180°(n≥3且n为整数)是解题的关键.6、B【解析】
由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性,则可判断四个选项,可求得答案.【详解】解:A、因为a=3>0,所以开口向上,错误;B、顶点坐标是(1,2),正确;C、当x>1时,y随x增大而增大,错误;D、图象与y轴的交点坐标为(0,5),错误;故选:B.考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a(x﹣h)2+k中,对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k).7、C【解析】
首先根据AD∥BC,求出∠FED的度数,然后根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等,则可知∠DEF=∠FED′,最后求得∠AED′的大小.【详解】解:∵AD∥BC,∴∠EFB=∠FED=65°,由折叠的性质知,∠DEF=∠FED′=65°,∴∠AED′=180°-2∠FED=50°,故选:C.此题考查了长方形的性质与折叠的性质.此题比较简单,解题的关键是注意数形结合思想的应用.8、D【解析】
根据倒数的定义,互为倒数的两数乘积为1,2×=1.再求出2的相反数即可解答.【详解】根据倒数的定义得:2×=1.
因此的负倒数是-2.
故选D.本题考查了倒数,解题的关键是掌握倒数的概念.9、C【解析】延长线段BN交AC于E.∵AN平分∠BAC,∴∠BAN=∠EAN.在△ABN与△AEN中,∵∠BAN=∠EAN,AN=AN,∠ANB=∠ANE=90∘,∴△ABN≌△AEN(ASA),∴AE=AB=10,BN=NE.又∵M是△ABC的边BC的中点,∴CE=2MN=2×3=6,∴AC=AE+CE=10+6=16.故选C.10、D【解析】A.∵原平均数是:(1+2+3+3+4+1)÷6=3;添加一个数据3后的平均数是:(1+2+3+3+4+1+3)÷7=3;∴平均数不发生变化.B.∵原众数是:3;添加一个数据3后的众数是:3;∴众数不发生变化;C.∵原中位数是:3;添加一个数据3后的中位数是:3;∴中位数不发生变化;D.∵原方差是:;添加一个数据3后的方差是:;∴方差发生了变化.故选D.点睛:本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数的,熟练掌握相关概念和公式是解题的关键.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、【解析】
点O到点O′所经过的路径长分三段,先以A为圆心,1为半径,圆心角为90度的弧长,再平移了AB弧的长,最后以B为圆心,1为半径,圆心角为90度的弧长.根据弧长公式计算即可.【详解】解:∵扇形OAB的圆心角为30°,半径为1,∴AB弧长=∴点O到点O′所经过的路径长=故答案为:本题考查了弧长公式:.也考查了旋转的性质和圆的性质.12、1【解析】
根据已知DE∥BC得出=进而得出BC的值【详解】∵DE∥BC,AD=6,BD=2,DE=3,∴△ADE∽△ABC,∴,∴,∴BC=1,故答案为1.此题考查了平行线分线段成比例的性质,解题的关键在于利用三角形的相似求三角形的边长.13、.【解析】试题分析:∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根,∴.考点:一元二次方程根的判别式.14、【解析】解:列表如下:所有等可能的情况有4种,所以第一次摸到红球,第二次摸到绿球的概率=.故答案为.15、2【解析】
根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长.【详解】由题意可得,DE=DB=CD=AB,∴∠DEC=∠DCE=∠DCB,∵DE∥AC,∠DCE=∠DCB,∠ACB=90°,∴∠DEC=∠ACE,∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°,∴∠ACD=60°,∠CAD=60°,∴△ACD是等边三角形,∴AC=CD,∴AC=DE,∵AC∥DE,AC=CD,∴四边形ACDE是菱形,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,∠B=30°,∴AC=2,∴AE=2.故答案为2.本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.16、1.【解析】试题分析:∵四边形ABCD是菱形,∴OD=OB,∠COD=90°,∵DH⊥AB,∴OH=BD=OB,∴∠OHB=∠OBH,又∵AB∥CD,∴∠OBH=∠ODC,在Rt△COD中,∠ODC+∠DCO=90°,在Rt△DHB中,∠DHO+∠OHB=90°,∴∠DHO=∠DCO=×50°=1°.考点:菱形的性质.三、解答题(共8题,共72分)17、(1)y=﹣x2+2x+3;(2)d=﹣t2+4t﹣3;(3)P(,).【解析】
(1)由抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点A,可求得点A的坐标,又OA=OC,可求得点C的坐标,然后分别代入B,C的坐标求出a,b,即可求得二次函数的解析式;(2)首先延长PE交x轴于点H,现将解析式换为顶点解析式求得D(1,4),设直线CD的解析式为y=kx+b,再将点C(3,0)、D(1,4)代入,得y=﹣2x+6,则E(t,﹣2t+6),P(t,﹣t2+2t+3),PH=﹣t2+2t+3,EH=﹣2t+6,再根据d=PH﹣EH即可得答案;(3)首先,作DK⊥OC于点K,作QM∥x轴交DK于点T,延长PE、EP交OC于H、交QM于M,作ER⊥DK于点R,记QE与DK的交点为N,根据题意在(2)的条件下先证明△DQT≌△ECH,再根据全等三角形的性质即可得ME=4﹣2(﹣2t+6),QM=t﹣1+(3﹣t),即可求得答案.【详解】解:(1)当x=0时,y=3,∴A(0,3)即OA=3,∵OA=OC,∴OC=3,∴C(3,0),∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B(﹣1,0),C(3,0)∴,解得:,∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3;(2)如图1,延长PE交x轴于点H,∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴D(1,4),设直线CD的解析式为y=kx+b,将点C(3,0)、D(1,4)代入,得:,解得:,∴y=﹣2x+6,∴E(t,﹣2t+6),P(t,﹣t2+2t+3),∴PH=﹣t2+2t+3,EH=﹣2t+6,∴d=PH﹣EH=﹣t2+2t+3﹣(﹣2t+6)=﹣t2+4t﹣3;(3)如图2,作DK⊥OC于点K,作QM∥x轴交DK于点T,延长PE、EP交OC于H、交QM于M,作ER⊥DK于点R,记QE与DK的交点为N,∵D(1,4),B(﹣1,0),C(3,0),∴BK=2,KC=2,∴DK垂直平分BC,∴BD=CD,∴∠BDK=∠CDK,∵∠BQE=∠QDE+∠DEQ,∠BQE+∠DEQ=90°,∴∠QDE+∠DEQ+∠DEQ=90°,即2∠CDK+2∠DEQ=90°,∴∠CDK+∠DEQ=45°,即∠RNE=45°,∵ER⊥DK,∴∠NER=45°,∴∠MEQ=∠MQE=45°,∴QM=ME,∵DQ=CE,∠DTQ=∠EHC、∠QDT=∠CEH,∴△DQT≌△ECH,∴DT=EH,QT=CH,∴ME=4﹣2(﹣2t+6),QM=MT+QT=MT+CH=t﹣1+(3﹣t),4﹣2(﹣2t+6)=t﹣1+(3﹣t),解得:t=,∴P(,).本题考查了二次函数的综合题,解题的关键是熟练的掌握二次函数的相关知识点.18、(1)50、2;(2)平均数是7.11;众数是1;中位数是1.【解析】
(1)根据A等级人数及其百分比可得总人数,用C等级人数除以总人数可得a的值;(2)根据平均数、众数、中位数的定义计算可得.【详解】(1)本次抽查测试的学生人数为14÷21%=50人,a%=×100%=2%,即a=2.故答案为50、2;(2)观察条形统计图,平均数为=7.11.∵在这组数据中,1出现了20次,出现的次数最多,∴这组数据的众数是1.∵将这组数据从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是1,∴=1,∴这组数据的中位数是1.本题考查了众数、平均数和中位数的定义.用到的知识点:一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.19、【解析】【分析】先去分母,把分式方程化为一元一次方程,解一元一次方程,再验根.【详解】解:去分母得:解得:检验:把代入所以:方程的解为【点睛】本题考核知识点:解方式方程.解题关键点:去分母,得到一元一次方程,.验根是要点.20、(1)详见解析;(2);【解析】
(1)连接OC,根据垂直的定义得到∠AOF=90°,根据三角形的内角和得到∠ACE=90°+∠A,根据等腰三角形的性质得到∠OCE=90°,得到OC⊥CE,于是得到结论;
(2)根据圆周角定理得到∠ACB=90°,推出∠ACO=∠BCE,得到△BOC是等边三角形,根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.【详解】:(1)连接OC,
∵OF⊥AB,
∴∠AOF=90°,
∴∠A+∠AFO+90°=180°,
∵∠ACE+∠AFO=180°,
∴∠ACE=90°+∠A,
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO,
∴∠ACE=90°+∠ACO=∠ACO+∠OCE,
∴∠OCE=90°,
∴OC⊥CE,
∴EM是⊙O的切线;
(2)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACO+∠BCO=∠BCE+∠BCO=90°,
∴∠ACO=∠BCE,
∵∠A=∠E,
∴∠A=∠ACO=∠BCE=∠E,
∴∠ABC=∠BCO+∠E=2∠A,
∴∠A=30°,
∴∠BOC=60°,
∴△BOC是等边三角形,
∴OB=BC=,
∴阴影部分的面积=,本题考查了切线的判定,等腰三角形的判定和性质,扇形的面积计算,连接OC是解题的关键.21、(1)200元和100元(2)至少6件【解析】
(1)设A种商品售出后所得利润为x元,B种商品售出后所得利润为y元.由售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元,售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程,构成方程组求出其解就可以;(2)设购进A种商品a件,则购进B种商品(34﹣a)件.根据获得的利润不低于4000元,建立不等式求出其解即可.【详解】解:(1)设A种商品售出后所得利润为x元,B种商品售出后所得利润为y元.由题意,得,解得:,答:A种商品售出后所得利润为200元,B种商品售出后所得利润为100元.(2)设购进A种商品a件,则购进B种商品(34﹣a)件.由题意,得200a+100(34﹣a)≥4000,解得:a≥6答:威丽商场至少需购进6件A种商品.22、(1)一共调查了300名学生;(2)36°,补图见解析;(3)估计选择“A:跑步”的学生约有800人.【解析】
(1)由跑步的学生数除以占的百分比求出调查学生总数即可;(2)求出跳绳学生占的百分比,乘以360°求出占的圆心角度数,补全条形统计图即可;(3)利用跑步占的百分比,乘以2000即可得到结果.【详解】(1)根据题意得:120÷40%=300(名),则一共调查了300名学生;(2)根据题意得:跳绳学生数为300﹣(120+60+90)=30(名),则扇形统计图中“B:跳绳”所对扇形的圆心角的度数为360°×=36°,;(3)根据题意得:2000×40%=800(人),则估计选择“A:跑步”的学生约有800人.此题考查了条形统计图,扇形统计图,以及用样本估计总体,弄清题中的数据是解本题的关键.23、(1)>,>;(2);(3)E(4,﹣4)或(,4)或(,4).【解析】
(1)由抛物线开口向上,且与x轴有两个交点,即可做出判断;(2)根据抛物线的对称轴及A的坐标,确定出B的坐标,将A,B,C三点坐标代入求出a,b,c的值,即可确定出抛物线解析式;(3)存在,分两种情况讨论:(i)假设存在点E使得以A,C,E,F为顶点所组成的四边形是平行四边形,过点C作CE∥x轴,交抛物线于点E,过点E作EF∥AC,交x轴于点F,如图1所示;(ii)假设在抛物线上还存在点E′,使得以A,C,F′,E′为顶点所组成的四边形是平行四边形,过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′,则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形,可得AC=E′F′,AC∥E′F′,如图2,过点E′作E′G⊥x轴于点G,分别求出E坐标即可.【详解】(1)a>0,>0;(2)∵直线x=
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