2022-2023学年北京市大兴区八年级（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年北京市大兴区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）1．（2分）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列运算中，结果正确的是（）A． B． C． D．3．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD．下列条件不能判定此四边形为平行四边形的是（）A．AB＝CD B．AD∥BC C．∠B＝∠D D．AD＝BC4．（2分）下列不是轴对称图形的是（）A．有一个角是30°的直角三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形5．（2分）如图，有一根电线杆在离地面6m处的A点断裂，此时电线杆顶部C点落在离电线杆底部B点8m远的地方，则此电线杆原来长度为（）A．10m B．12m C．14m D．16m6．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC等于（）A．20 B．15 C．10 D．57．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BD的垂直平分线交BD于点E，交AD于点F，连接BF，则△ABF的周长是（）A．6 B．8 C．9 D．108．（2分）如图，在△ABC中，AB＝2AC，射线AM平分∠BAC，BD⊥AM于点D，CE⊥AM于点E，若F为BC的中点，连接EF，DF．下列结论：①FE∥AB；②AC＝DE；③FE＝FD；④∠BAC+∠DFE＝180°．其中正确结论的序号是（）A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①②③④二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．（2分）比较大小：（填“＞”，“＜”或“＝”）．11．（2分）计算：＝．12．（2分）如图，为了测量池塘边上A，B两点间的距离，在池塘外选一点C，分别连接CA和CB并延长到点D，E，使AD＝AC，BE＝BC，连接DE．若测得DE＝20m，则A，B两点间距离是m．13．（2分）如图，在菱形ABCD中，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积是．14．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AB＝1，则BD的长是．15．（2分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边DC，AD上的点，AE⊥BF．若AB＝5，AF＝2，则CE的长是．16．（2分）如图，四边形ABCD与四边形BEFG为正方形（AB＞BE），AG，CE相交于点H，连接BH．下列结论中：①AG＝CE；②AG⊥CE；③BH平分∠CBG．所有正确结论的序号是．三、解答题（共68分，第17-24题，每题5分，第25题6分，第26-27题，每题7分，第28题8分）17．（5分）计算：．18．（5分）计算：．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a：b＝3：4，c＝10．求a，b的长．20．（5分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形．21．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且OE＝OF，求证：BE＝DF．22．（5分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF＝5cm．求△ACF的面积．23．（5分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：AD⊥EF．24．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，BC＝CD＝1，AB＝2，．求∠ABC的度数．25．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OF，若AD＝5，EC＝2．求OF的长．26．（7分）已知a＞0，b＞0，有下列正确的结论：若a+b＝2，则；若a+b＝3，则；若a+b＝6，则．（1）根据以上三个正确的结论，猜想：若a+b＝9，则；（2）猜想a+b与的数量关系，并证明．27．（7分）在正方形ABCD中，E为射线BA上一动点（点E不与A，B重合），作∠EDF＝45°，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当点E在线段AB上时，用等式表示线段EF，AE，CF的数量关系；（2）如图2，当点E在线段BA的延长线上时，①依题意补全图2；②用等式表示线段EF，AE，CF的数量关系，并证明．28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两条坐标轴的距离之和等于点Q到两条坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为和谐点．例如，图1中的P，Q两点即为和谐点．（1）已知点A（3，﹣1）．①在点E（﹣4，0），F（1，1），G（2，0）中，点A的和谐点是；②若点B在y轴上，且A，B两点为和谐点，则点B的坐标是；（2）已知点C（3，0），点D（0，﹣3），连接CD，点M为线段CD上一点．①经过点（n，0）且垂直于x轴的直线记作直线l，若在直线l上存在点N，使得M，N两点为和谐点，则n的取值范围是；②若点S（m，0），点T（m+2，0），在以线段ST为斜边的等腰直角三角形的某条边上存在点K，使得M，K两点为和谐点，则m的取值范围是．

2022-2023学年北京市大兴区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）1．（2分）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、不是最简二次根式，不符合题意；B、是最简二次根式，符合题意；C、不是最简二次根式，不符合题意；D、不是最简二次根式，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．（2分）下列运算中，结果正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的加减、乘法、除法进行计算即可求解．【解答】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；B．，故该选项不正确，不符合题意；C．，故该选项正确，符合题意；D．，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次根式的加减、乘法、除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．3．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD．下列条件不能判定此四边形为平行四边形的是（）A．AB＝CD B．AD∥BC C．∠B＝∠D D．AD＝BC【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；C、∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠D+∠C＝180°，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；D、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．4．（2分）下列不是轴对称图形的是（）A．有一个角是30°的直角三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此即可作出判断．【解答】解：A．有一个角是30°的直角三角形不是轴对称图形，故选项符合题意；B．矩形是轴对称图形，故选项不符合题意；C．菱形是轴对称图形，故选项不符合题意；D．正方形是轴对称图形，故选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．5．（2分）如图，有一根电线杆在离地面6m处的A点断裂，此时电线杆顶部C点落在离电线杆底部B点8m远的地方，则此电线杆原来长度为（）A．10m B．12m C．14m D．16m【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：在Rt△ABC中，AB＝6m，BC＝8m，∴AC＝＝＝10（m），故这根高压电线杆断裂前高度为：6+10＝16（m）．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合的思想的应用．6．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC等于（）A．20 B．15 C．10 D．5【分析】根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC＝AB．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝120°，∴∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝5．故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定．7．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BD的垂直平分线交BD于点E，交AD于点F，连接BF，则△ABF的周长是（）A．6 B．8 C．9 D．10【分析】根据垂直平分线的性质得出FD＝FB，根据平行四边形的性质得出AD＝BC，进而即可求解．【解答】解：∵EF是BD的垂直平分线，∴FD＝FB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴△ABF的周长＝AB+AF+FB＝AB+AF+FD＝AB+AD＝AB+BC＝3+5＝8，故选：B．【点评】本题考查了垂直平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．8．（2分）如图，在△ABC中，AB＝2AC，射线AM平分∠BAC，BD⊥AM于点D，CE⊥AM于点E，若F为BC的中点，连接EF，DF．下列结论：①FE∥AB；②AC＝DE；③FE＝FD；④∠BAC+∠DFE＝180°．其中正确结论的序号是（）A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①②③④【分析】延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，根据三角形中位线定理即可判断出①②③④的正确性，即可得出结果．【解答】解：延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，∵AE平分∠GAC，BD⊥AE，∴∠BAD＝∠HAD，∠ADB＝∠ADH＝90°，在△ADB和△ADH中，，∴△ADB≌△ADH（ASA），∴BD＝DH，AH＝AB＝2AC，∴AC＝CH，∵F为BC的中点，∴DF∥AH，，同法可得：△AEG≌△AEC（ASA），∴，∴AG＝BG，∵F为BC的中点，∴FE∥AB，，故①正确；∴EF＝FD，故③正确；连接CD，∵AC＝CH，BD＝DH，∴，∵CE⊥AD，∴DE＜CD（直角边小于斜边），即：DE＜AC，故②错误；∵EF∥BG，DF∥HC，∴∠FED＝∠BAD，∠FDE＝∠HAD，∴∠FED+∠FDE＝∠BAD+∠HAD＝∠BAC，∵∠FED+∠FDE+∠EFD＝180°，∴∠BAC+∠EFD＝180°，故④正确；故选：B．【点评】本题主要考查三角形的中位线定理．解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，进而得到三角形的中位线．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣2．【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴被开方数x+2为非负数，∴x+2≥0，解得：x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．【点评】此题主要考查了二次根式中被开方数的取值范围，关键把握二次根式中的被开方数是非负数．10．（2分）比较大小：＜（填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】比较两个无理数的大小，进行恰当的转化可以较直观的比较．【解答】解：∵，而20＜23，∴，故答案为：＜．【点评】本题考查的是两个无理数的大小比较，可以用近似数比较，也可以进行适当转化进行比较．11．（2分）计算：＝5．【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可．【解答】解：原式＝＝5．故答案为：5．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．12．（2分）如图，为了测量池塘边上A，B两点间的距离，在池塘外选一点C，分别连接CA和CB并延长到点D，E，使AD＝AC，BE＝BC，连接DE．若测得DE＝20m，则A，B两点间距离是10m．【分析】先由AD＝AC，BE＝BC得到，又由∠C＝∠C得到△CAB∽△CED，则，即可得到A，B两点间距离．【解答】解：∵AD＝AC，BE＝BC，∴CD＝2AC，CE＝2BC，∴，∵∠C＝∠C，∴△CAB∽△CED，∴，∴，即A，B两点间距离是10m．故答案为：10．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明△CAB∽△CED是解题的关键．13．（2分）如图，在菱形ABCD中，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积是24．【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，∴菱形的面积S＝AC•BD＝×8×6＝24．故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．14．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AB＝1，则BD的长是2．【分析】先证明△AOB是等边三角形，得出OB＝AB＝1，再由矩形的性质得出BD＝2BO＝2．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，∴，又∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝AB＝1，∴BD＝2BO＝2故答案为：2．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等．15．（2分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边DC，AD上的点，AE⊥BF．若AB＝5，AF＝2，则CE的长是3．【分析】证明△ABF≌△DAE，得出DE＝AF，即可得出EC＝DF＝AD﹣AF，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAF＝∠ADE＝90°，∵AE⊥BF，∴∠EAF+∠AFB＝90°，∵∠ABF+∠AFB＝90°∴∠EAD＝∠ABF，在△ABF，△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴DE＝AF，∴EC＝DF＝AD﹣AF＝5﹣2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．16．（2分）如图，四边形ABCD与四边形BEFG为正方形（AB＞BE），AG，CE相交于点H，连接BH．下列结论中：①AG＝CE；②AG⊥CE；③BH平分∠CBG．所有正确结论的序号是①②．【分析】根据正方形的性质和SAS证明△ABG≌△CBF可得AG＝CE；连接AC，根据三角形内角和定理可得∠CHA＝90°即AH⊥CE；过B作BM⊥AG于M，BN⊥CE于N，证明BM＝BN，可判断③．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形BEFG为正方形，∴AB＝BC，BE＝BG，∠ABC＝∠EBG＝90°，∴∠ABC+∠CBG＝∠EBG+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，在△ABG和△CBE中，，∴△ABG≌△CBF（SAS），AG＝CE；故①正确．∴∠BAG＝∠BCE，连接AC，如图，则∠BAC＝∠BCA＝45°，∴∠HAC＝45°﹣∠BAG，∠HCA＝45°+∠HCB＝45°+∠BAG，∴∠HAC+∠HCA＝45°﹣∠BAG+45°+∠BAG＝90°，∴∠CHA＝90°即AH⊥CE；故②正确；过B作BM⊥AG于M，BN⊥CE于N，如图，∴∠GMB＝∠ENB＝90°，∵△ABG≌△CBF，∴∠MGB＝∠NEB，又BG＝BE，∴△GBM≌△EBN（AAS），∴BM＝BN，∴BH是∠AHE的平分线，∴BH平分∠AHE，故③错误；综上所述，正确的结论是①②，故答案为：①②【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及角平分线的性质定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．三、解答题（共68分，第17-24题，每题5分，第25题6分，第26-27题，每题7分，第28题8分）17．（5分）计算：．【分析】原式先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案．【解答】解：＝＝．【点评】本题主要考查了二次根式的加减法，正确化简二次根式是解答本题的关键．18．（5分）计算：．【分析】原式先计算二次根式的乘除法，再计算加减即可．【解答】解：＝＝．【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a：b＝3：4，c＝10．求a，b的长．【分析】根据a：b＝3：4，设a＝3x，b＝4x，根据勾股定理可得，结合题意求得x的值即可求解．【解答】解：设a＝3x，b＝4x，根据勾股定理可得．又∵c＝10，即5x＝10，∴x＝2，∴a＝3x＝6，b＝4x＝8，即a，b的长分别为6，8．【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．20．（5分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形．【分析】只要证明AF∥EC，AF＝EC即可；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，EC∥AF，又EC＝BC，AF＝AD，∴EC＝AF，∴四边形AECF是平行四边形．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且OE＝OF，求证：BE＝DF．【分析】由平行四边形的性质得出OB＝OD，由SAS证明△OBE≌△ODF，即可得出BE＝DF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，在△OBE和△ODF中，，∴△OBE≌△ODF（SAS），∴BE＝DF．【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．22．（5分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF＝5cm．求△ACF的面积．【分析】根据折叠的性质得到∠BAC＝∠FAC，由四边形ABCD是矩形，AB＝8cm，得到AB∥CD，CD＝AB＝8cm，∠D＝90°，则∠BAC＝∠FCA，∠FCA＝∠FAC，得到CF＝AF＝5cm，则DF＝3cm，由勾股定理求得AD＝4cm，即可求得△ACF的面积．【解答】解：∵把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，∴∠BAC＝∠FAC，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8cm，∴AB∥CD，CD＝AB＝8cm，∠D＝90°，∴∠BAC＝∠FCA，∴∠FCA＝∠FAC，∴CF＝AF＝5cm，∴DF＝CD﹣CF＝3cm，∴，∴△ACF的面积是．【点评】此题考查了矩形的折叠问题、勾股定理、等角对等边等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．23．（5分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：AD⊥EF．【分析】证明四边形AEDF为菱形，根据菱形的对角线相互垂直即可得出结论．【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠FAD，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴四边形AEDF为菱形，∴AD⊥EF．【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握菱形的判定和性质，平行四边形的判定是解题的关键．24．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，BC＝CD＝1，AB＝2，．求∠ABC的度数．【分析】连接BD，由∠C＝90°，BC＝CD＝1，得到∠CBD＝∠CDB＝45°，则BD2＝BC2+CD2＝2，AB＝2，，则，得到∠ABD＝90°，即可得到∠ABC的度数．【解答】解：如图，连接BD，∵∠C＝90°，BC＝CD＝1，∴∠CBD＝∠CDB＝45°，BD2＝BC2+CD2＝2；∵AB＝2，，∴，∴∠ABD＝90°，∴∠ABC＝∠ABD+CBD＝90°+45°＝135°．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质，灵活运用勾股定理的逆定理是解题的关键．25．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OF，若AD＝5，EC＝2．求OF的长．【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据菱形的性质得到AD＝AB＝BC＝5，根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝5，∴AD＝AB＝BC＝5，∵EC＝2，∴BE＝5﹣2＝3，∵四边形AEFD是矩形，∴EF＝AD＝5，DF＝AE，∴BF＝BE+EF＝3+5＝8，在Rt△ABE中，，∴DF＝AE＝4，在Rt△BDF中，，∵∠BFD＝90°，BO＝DO，∴．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．26．（7分）已知a＞0，b＞0，有下列正确的结论：若a+b＝2，则；若a+b＝3，则；若a+b＝6，则．（1）根据以上三个正确的结论，猜想：若a+b＝9，则；（2）猜想a+b与的数量关系，并证明．【分析】（1）根据三个正确的结论即可得到答案；（2）猜想，利用，且，即可证明猜想正确．【解答】解：（1）由题意可以猜想：若a+b＝9，则；故答案为：（2）a+b与的数量关系为：猜想，证明：∵，且，∴，∴．【点评】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．27．（7分）在正方形ABCD中，E为射线BA上一动点（点E不与A，B重合），作∠EDF＝45°，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当点E在线段AB上时，用等式表示线段EF，AE，CF的数量关系；（2）如图2，当点E在线段BA的延长线上时，①依题意补全图2；②用等式表示线段EF，AE，CF的数量关系，并证明．【分析】（1）延长BA，取点G，使AG＝CF，连接DG，证明△ADG≌△CDF（SAS），得出DG＝DF，∠CDF＝∠ADG，证明△GDE≌△FDE（SAS），得出GE＝EF，根据GE＝AG+AE＝CE+AE，得出EF＝CF+AE；（2）①根据题意补全图形即可；②在CB上截取CG＝AE，连接AG，BD，证明△ADE≌△CDG（SAS），得出∠EDA＝∠GDC，DE＝DG，证明△EDF≌△GDF（SAS），得出EF＝GF，根据CF＝CG+GF＝AE+EF，即可得出CF＝AE+EF．【解答】解：（1）EF＝CF+AE；理由如下：延长BA，取点G，使AG＝CF，连接DG，如图所示：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC，∠DAE＝∠C＝∠ADC＝90°，∴∠DAG＝180°﹣90°＝90°，∴∠DAG＝∠C，∵AG＝CF，AD＝CD，∴△ADG≌△CDF（SAS），∴DG＝DF，∠CDF＝∠ADG，∵∠CDF+∠ADE＝90°﹣∠EDF＝45°，∴∠ADG+∠ADE＝∠CDF+∠ADE＝45°，即∠EDG＝45°，∴∠GDE＝∠EDF，∵DE＝DE，DG＝DF，∴△GDE≌△FDE（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝AG+AE＝CE+AE，∴EF＝CF+AE；（2）①补全图形，如图所示：②CF＝AE+EF；证明如下：如图，在CB上截取CG＝AE，连接AG，BD，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC，∠DAB＝∠C＝∠ADC＝90°，，∴∠DAE＝180°﹣90°＝90°，∴∠DAE＝∠C，∵AE＝CG，AD＝CD，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠EDA＝∠GDC，DE＝DG，∵∠EDF＝∠CDB＝45°，∴∠EDA+∠ADF＝∠CDG+∠BDG＝45°，∴∠ADF＝∠BDG，∵∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠BDF＝45°，∴∠ADF＝∠BDG，∴∠EDA+∠ADF＝∠BDF+∠BDG，即∠EDF＝∠GDF，∵ED＝GD，DF＝DF，∴△EDF≌△GDF（SAS），∴EF＝GF，∴CF＝CG+GF＝AE+EF，即CF＝AE+EF．【点评】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，构造全等三角形，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两条坐标轴的距离之和等于点Q到两条坐