第一章空间向量与立体几何综合训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

试卷第=page22页，共=sectionpages22页试卷第=page11页，共=sectionpages22页空间向量与立体几何1．已知是空间的一个基底，若，则下列可以为空间一个基底的是（）A． B． C． D．2．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A． B．C． D．3．空间三点，，，则（）A．与是共线向量 B．的单位向量是C．与夹角的余弦值 D．平面的一个法向量是4．给出下列命题：①直线的方向向量为，直线的方向向量为，则②直线的方向向量为，平面的法向量为，则.③平面的法向量分别为，则.④平面经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量是平面的法向量，则u＋t＝1.其中真命题的序号是（）A．②③ B．①④ C．③④ D．①②5．已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（）A． B． C． D．6．如图，在棱长为的正方体中，点是左侧面上的一个动点，满足，则与的夹角的最大值为（）A．B．C．D．7．在矩形ABCD中，，，平面ABCD，，则PC与平面ABCD所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．120°8．正方体的棱上到直线与的距离相等的点有个，记这个点分别为，，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．在四棱锥中，平面，是矩形，且，，，则平面与平面的夹角为（）A． B． C． D．10．已知为空间的一个基底，若，，，，且，则分别为____.11．如图所示平行六面体中，，则___________.12．如图，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点．求证：．13．已知空间三点，，.（1）求向量与夹角的余弦值；（2）求向量在向量上的投影向量；（3）求点到直线的距离.14．如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，的中点．（1）求证：平面平面EFG；（2）求平面与平面EFG间的距离．答案第=page1212页，共=sectionpages11页答案第=page1111页，共=sectionpages1111页参考答案1．D【分析】根据空间向量共面定理和基底的概念，逐项检验，即可得到正确结果.【详解】由于，可知共面，所以选项A不能作为空间的一个基底；由于，可知共面，所以选项B不能作为空间的一个基底；由于，可知共面，所以选项C不能作为空间的一个基底；假设不是空间的一组基底，即向量共面，则存在实数使得，即，所以,因为是空间的一组基底，所以的值不存在，即可向量不共面，所以是空间的一组基底，所以选项D正确；故选:D.2．D【分析】利用向量运算的三角形法则､平行四边形法则表示出即可．.【详解】解：因为平行六面体中，为与的交点所以为的中点，因为，，，所以故选：D3．D【分析】由题得，，，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：根据题意得，，A：显然，所以与不共线，故错误；B：的单位向量为，即为或，故错误；C：，故错误；D：设平面ABC的一个法向量是，因为，，所以，即，所以，所以D正确故选：D4．B【分析】依据题意得到：①求数量积，得到，即；②求数量积，可得到，故或；③利用与的关系，两者既不平行，也不垂直，故两个平面不平行，是相交关系；④利用法向量的定义得到，解出，，进而可求解．【详解】①，所以，即，所以①正确．②，所以，所以或，所以②错误．③因为，且，所以与是相交的．所以③错误．④因为，，是平面的法向量，A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，所以．所以，即，解得，，所以．所以④正确．故选：B.5．C【分析】根据方向向量的坐标求出对应的模，利用空间向量的数量积即可求出两条异面直线所成的角.【详解】∵两条异面直线的方向向量分别是，，，又两条异面所成的角为，则，

故选C.6．B【分析】先建立空间坐标系，再根据向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可.【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系,是左侧面上的一个动点,设，其中，，又，设，设，，在上单调递减，在上单调递增，且又且在上单调递减，时取最大值与的夹角的最大值为故选：B7．A【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角；【详解】解：以点A为坐标原点，AD，AB，AP所在的直线分别为x轴,y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则，，，平面ABCD的一个法向量为，所以．又因为，所以，所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在的直线所成的角为60°，所以斜线PC与平面ABCD所成的角为30°．故选：A8．D【分析】建立空间直角坐标系，用坐标法计算线面夹角.【详解】正方体的棱上到直线与的距离相等的点分别为：，的中点，的四等分点（靠近），假设与重合，的中点为，的四等分点（靠近）为，如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，设平面的法向量，则，即，取，得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为，故选：D.9．A【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出夹角，结合图形即可求出结果.【详解】因为平面，是矩形，所以两两垂直，故以为坐标原点，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，又，，，所以,因为平面，所以平面的一个法向量为，而,设平面的法向量为，则，取，则平面的法向量，，所以，由图可知平面与平面的夹角为锐角，所以平面与平面的夹角为，故选：A.10．ABC【分析】由，可判定A正确；由，可判定B正确；由且，可判定C正确；由是平面的一个法向量，得到，可判定D不正确.【详解】由题意，向量，对于A中，由，可得，所以A正确；对于B中，由，所以，所以B正确；对于C中，由且，可得向量是平面的一个法向量，所以C正确；对于D中，由是平面的一个法向量，可得，所以D不正确.故选：ABC11．，-1，-1，-0.5【分析】由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组，使，进而化简，然后结合得到答案.【详解】由题意得，为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组，使，又∵，∴⇒，故答案为：.12．【分析】在平行六面体中，由空间向量可得，对其两边平方，再根据空间向量的数量积公式，即可求得，由此即可求出结果.【详解】在平行六面体中，所以，所以13．证明见解析【分析】利用空间向量的数量积为0的方法证明两直线垂直.【详解】证明：设，，，这三个向量不共面，{，，}构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则，，所以.所以．14．（1）（2）（3）【分析】（1）利用向量的夹角公式计算其夹角的余弦值即可；（2）由题意求解向量的投影向量即可；（3）首先求得的值，然后计算点面距离即可.（1）解：由空间三点，，，可得，则.所以向量与夹角的余弦值为.（2）解：由，可得，又由向量与夹角的余弦值为，可得，又由，可得向量的单位向量为，故向量在向量上的投影向量.（3）解：由，可得，所以点到直线的距离.15．（1）证明见详解；（2）﹒【分析】(1)要证面面平行，转化为证明两组线面平行，连接AC，证明EF∥AC∥，可证∥平面，同理可证EG∥平面；(2)由(1)知两平面平行，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，两平面间的距离为在法向量上