第一讲代数公式及因式分解讲义高一上学期数学暑假初高中衔接

第一讲代数公式及因式分解知识点讲解：一．乘法公式：1．知识巩固（1）平方差公式：（2）完全平方公式：（3）高频应用变式：①②③④⑤⑥2．拓展衔接（1）立方和公式：（2）立方差公式：（3）两数和的立方公式：（4）两数差的立方公式：（5）三数和平方公式：（6） ，（7）．二．因式分解1．知识巩固（1）因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算叫做因式分解．注意：因式分解的最后结果必定为“乘积”的形式．（2）提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．注意：①公因式可能是单项式，也可能是多项式．②提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律．如：（3）公式法：①平方差公式：②完全平方公式：③立方和公式：④立方差公式：⑤两数和的立方公式：⑥两数差的立方公式：⑦三数和平方公式：2.拓展衔接因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形，我们已学过提取公因式法和公式法等分解因式的方法，下面我们继续学习其他分解因式的方法．1．二次三项式多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例如，和都是关于x的二次三项式．在多项式中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．在多项式中，把ab看作一个整体，即，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．2．十字相乘法利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式x2+(a+b)x+ab，其常数项ab与一次项系数a+b可以通过“十字相乘，乘积相加”方式建立联系，得到．因为因为因为因为，所以．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）推广衔接对于二次项系数不是1的二次三项式(，，都是整数且)来说，如果存在四个整数，使，，且，那么．（它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定）学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．二次项系数不为1的二次三项式二次项系数不为1的二次三项式．条件：（1），（2），（3）．分解结果：=．◆◆◆◆◆◆◆3．分组分解法观察多项式xm+xn+ym+yn，它的各项并没有公因式，因此不能用提取公因式来分解因式；这是一个四项式，因此也不能直接用公式法或十字相乘法来分解因式．观察多项式的各项，前两项有公因式x，后两项有公因式y，分别提取后得到x（m+n）+y（m+n）．这时又有了公因式（m+n），因此能把多项式xm+xn+ym+yn分解因式．分解过程是xm+xn+ym+yn=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）．如果把一个多项式的项适当分组，并提出公因式后，各组之间又出现新的公因式，那么这个多项式就可以用分组方法来分解因式．先将多项式分组后分解因式的方法称为分组分解法，用这种方法分解因式，分组时应预见到下一步分解的可能性．4．求根公式法对于有些二次三项式，若用十字相乘法不易凑出十字，可以解一元二次方程，当时，设方程的两个根分别为，，则．5．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法、求根公式法等．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．

例题讲解：例1.化简：例2.已知，，，求，的值．例3.化简：．例4.已知，，求下列各式：（1）；（2）．变式练习：1．化简：．2．化简：（1）；（2）．3．运用立方和或立方差公式化简：（1）；（2）．4．已知，求证：．5．设，，对于任意，比较与的大小关系．6．求函数的最大值．7．当时，求代数式的值．例题讲解：例1.分解因式：．例2.分解因式：．例3.分解因式：．例5.分解因式：．例6.分解因式：．例7.分解因式：．例8.在实数范围内分解因式：．例9.当时，．请根据这一事实，将分解因式．变式练习：1．分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．2．分解因式：（1）；（2）；（3）．3．分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．4．因式分解：（1）；（2）．5．因式分解：．6．因式分解：．7．因式分解：．8．在实数范围内因式分解：．9．在实数范围内因式分解：．

答案与解析例题讲解：例1.化简：【解答】解：．例2.已知，，，求，的值．【解答】解：；，，，．例3.化简：．【解答】解：原式．例4.已知，，求下列各式：（1）；（2）．【解答】解：（1）∵，∴．（2）∵，∴，即．∵，∴．再由（1）的结论，得．∴．变式练习：1．化简：．【解答】解：．2．化简：（1）；（2）．【解答】解：（1）；（2）．3．运用立方和或立方差公式化简：（1）；（2）．【解答】解：（1）；（2）．4．已知，求证：．【解答】解：【证法1】左边．由，得，故右边．故等式成立．【证法2】左边．由，得，故右边．故等式成立．5．设，，对于任意，比较与的大小关系．【解答】解：∵，，∴，∵，∴，∴．6．求函数的最大值．【解答】解：由题意，得．故函数的最大值为．7．当时，求代数式的值．【解答】解：，当时，原式．例题讲解：例1.分解因式：．【分析】将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5．由于6=2×3=(﹣2)×(﹣3)=1×6=(﹣1)×(﹣6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5．【解答】解：==．例2.分解因式：．【分析】【解答】解：原式==．例3.分解因式：．【分析】【解答】解：=．例4.分解因式：．【分析】【解答】解：=．例5.分解因式：．【解答】解：【解法1】．【解法2】．例6.分解因式：．【解答】解：．例7.分解因式：．【分析】本题用前面学过的方法似乎均不奏效，若将其中一项拆成两项，就可考虑分组分解．【解答】解：．例8.在实数范围内分解因式：．【解答】解：解方程，得，故．例9.当时，．请根据这一事实，将分解因式．【解答】解：．变式练习：1．分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．1．【解答】解：（1）=；（2）=；（3）=；（4）=；（5）=；（6）=；（7）=；（8）=．2．分解因式：（1）；（2）；（3）．2．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）利用十字相乘法进行因式分解即可；（3）先提取公因式，再利用公式法进行因式分解．【解答】解：（1）；（2）；（3）．3．分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．3．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）先提公因式，再用公式法进行因式分解即可；（2）先用完全平方公式再用平方差公式进行因式分解即可；（3）分组分解法因式分解即可；（4）平方差公式法进行因式分解即可．【解答】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．4．因式分解：（1）；（2）．4．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；（2）先分组，再根据完全平方公式和平方差公式分解即可．【解答】解：（1）；（2）．5．因式分解：．5．【答案】．【分析】先把后三项作为一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：．6．因式分解：．6．【答案】．【分析】先把前三项作为一组，提取公因式，再利用完全平