第02讲2.1.2两条直线平行和垂直的判断（知识清单5类热点题型讲练分层强化训练）

第02讲2.1.2两条直线平行和垂直的判断课程标准学习目标①理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件。②能根据直线的斜率判断两条直线平行或垂直.。③能应用两条直线平行或垂直解决相关问题，理解用代数法解决几何问题.。通过本节课的学习，理解两条直线平行与垂直的几何位置与代数运算相结合的条件与意义，能应用两直线的斜率的关系判断两直线的位置关系，并能解决与两条直线位置关系相关联的综合问题.知识点01：两条直线平行对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有.对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.【即学即练1】（2024高二·全国·专题练习）已知经过，经过，，求证：．【答案】证明见解析【分析】求出直线的斜率，说明两直线不重合，根据斜率相等，即可证明结论.【详解】证明：由题意得直线的斜率为，直线的斜率为，又，,即不共线，即不重合，因为，∴.知识点02：两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即.对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．【即学即练2】（多选）（2324高二上·全国·单元测试）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（）A．B．C．以点为直角顶点的直角三角形D．以点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断.【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，所以B错误，对于C，因为，，所以，所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确，对于D，因为，，所以，所以D错误，故选：AC题型01两直线平行关系的判定【典例1】（2324高二上·福建泉州·期末）记平面直角坐标系内的直线、与x轴正半轴方向所成的角的正切值分别为、，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【答案】A【分析】根据直线的位置关系结合充分、必要条件分析判断.【详解】由题意可知：已经存在，若∥，则，即充分性成立；若，则可能重合，即必要性均不成立；综上所述：“”是“”的充分不必要条件.故选：A．【典例2】（多选）（2324高二·全国·课后作业）满足下列条件的直线与一定平行的是（

）A．经过点，，经过点，B．的斜率为1，经过点，C．经过点，，经过点，D．经过点，，经过点，【答案】CD【分析】求出设直线的斜率为，直线的斜率为．根据斜率是否相等，即可判断直线的位置关系；【详解】设直线的斜率为，直线的斜率为．对于A．，，，与不平行．对于B，，，，故或与重合对于C，，，则有．又，则A，B，M不共线．故.对于D，由已知点的坐标，得与均与x轴垂直且不重合，故有．故选：CD【典例3】（2324高二·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．(1)的倾斜角为60°，经过点，；(2)平行于y轴，经过点，．【答案】(1)或与重合(2)【分析】（1）根据两直线的斜率关系即可判断位置关系，（2）根据两直线均无斜率即可判断位置关系.【详解】（1）由题意，知直线的斜率，直线的斜率，所以，所以或与重合．（2）由题意，知是y轴所在的直线，所以．【变式1】（多选）（2122高二上·浙江丽水·阶段练习）已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（

）A．若，则斜率B．若斜率，则C．若倾斜角，则D．若，则倾斜角【答案】BCD【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果．【详解】A选项，，可能直线与的倾斜角都是，斜率不存在，所以A选项错误.B选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B选项正确.C选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C选项正确.D选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D选项正确.故选：BCD【变式2】（多选）（2324高二·全国·课后作业）（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（

）．A．的斜率为2，过点，B．经过点，，平行于轴，且不经过点C．经过点，，经过点，D．的方向向量为，的倾斜角为【答案】BC【分析】根据题意，结合直线斜率的计算公式以及两直线平行的结论，一一判断即可.【详解】对于A，由题意得，所以与平行或重合，故A错；对于B，由题意得，因平行于轴，且不经过点，所以，故B正确；对于C，由题意得，，，所以，故C正确；对于D，直线的斜率为，直线的斜率为，所以与不平行，故D错．故选：BC．【变式3】（2324高二·江苏·课后作业）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行：(1)，，，；(2)，，，；(3)，，，；(4)，，，．【答案】(1)平行(2)平行(3)平行(4)不平行【分析】（1）求出，，斜率，再判断两直线不重合得平行；（2）由斜率相等，及不重合得结论；（3）由两直线斜率都不存在，且不重合得平行；（4）由斜率不相等得不平行．【详解】（1），，，不共线，因此与平行．（2），，又两直线不重合，直线与平行，（3）直线，的斜率都不存在，且不重合，因此平行；（4）,，直线与不平行，题型02两直线垂直关系的判定【典例1】（2024·全国·模拟预测）已知两条直线和，其斜率分别是一元二次方程的两不等实数根，则其位置关系是（

）A．平行 B．垂直 C．重合 D．异面【答案】B【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得．【详解】由题意，设两条直线和的斜率分别为，且为一元二次方程的两不等实数根，则，所以.故选：B【典例2】（2324高二上·湖南邵阳·阶段练习）若直线的倾斜角为45°，直线经过点P（2，1），Q（3，6），则直线与的位置关系是（

）A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合【答案】A【分析】由倾斜角可得直线的斜率，由斜率公式可得直线的斜率，可判断垂直关系.【详解】由题可知直线的斜率为，直线的斜率为，所以直线与垂直故选：A【典例3】（2324高二上·河南·阶段练习）判断下列直线与是否垂直：(1)的倾斜角为，经过，两点；(2)的斜率为，经过，两点；(3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且.【答案】(1)(2)与不垂直(3)【分析】（1）的斜率为，根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可；（2）根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可；（3）根据二倍角的正切公式求出的值，判断斜率的乘积是否为即可.【详解】（1）因为的倾斜角为，所以的斜率为.因为经过，两点，所以的斜率为.因为，所以.（2）因为经过，两点，所以的斜率为.因为的斜率为，且，所以与不垂直.（3）记的斜率为，因为，所以，解得或.因为为锐角，所以.因为的斜率为，且，所以【变式1】（2324高二上·福建三明·期中）已知直线经过，两点，直线倾斜角为，那么与（

）A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直【答案】B【分析】根据两点求出直线的斜率，根据倾斜角求出直线的斜率，可知斜率乘积为，从而得到垂直关系.【详解】由题意可得：直线的斜率，直线的斜率，∵，则与垂直.故选：B.【变式2】（2324高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直．(1)的斜率为，经过点，；(2)经过点，，经过点，；(3)经过点，，经过点，．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据判断直线垂直；（2）斜率不存在，则判断是否与x平行，若平行，则两直线垂直；（3）方法一：根据判断直线垂直；方法二：利用直线的方向向量判断直线垂直.【详解】（1）设直线，的斜率分别为，，则，，因为，所以．（2）由点A，B的横坐标相等，得的倾斜角为，则，设直线的斜率为，则，所以轴．故．（3）方法一：直线的斜率，直线的斜率，因为，所以；方法二：直线的方向向量，直线的方向向量，因为，所以，所以．【变式3】（2324高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．(1)经过点经过点；(2)经过点经过点．【答案】(1)不垂直，理由见解析(2)垂直，理由见解析【分析】（1）由题知直线，的斜率存在，分别计算出、的斜率，即可判断（1）组直线不垂直；（2）由题知轴，轴，即可判断（2）组直线垂直.【详解】（1）由题知直线，的斜率存在，分别设为，，，，∴与不垂直．（2）由题意知的倾斜角为90°，则轴；由题知直线的斜率存在，设为，，则轴，∴．题型03已知两直线平行关求参数【典例1】（2024高三上·广东·学业考试）已知直线，它们的斜率分别记作，若是方程的两个根，则a的值（

）A．1 B．C．1或 D．无法确定【答案】C【分析】利用直线平行得到，从而得到二次方程判别式为零，由此得解.【详解】因为，所以，因为是方程的两个根，所以，解得.故选：C.【典例2】（2324高二上·全国·课后作业）已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为.【答案】0或1【分析】分当直线AB的斜率不存在，直线MN的斜率不存在及两直线的斜率都存在时进行求解即可，注意检验下两直线不重合.【详解】解：当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不合题意；当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不合题意；当m≠－2，且m≠－1时，kAB＝，kMN＝.因为AB∥MN，所以kAB＝kMN，即，解得m＝0或m＝1.当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合.综上，m的值为0或1.故答案为：0或1【典例3】（2324高二上·广东深圳·期中）已知直线经过两点，经过两点．(1)若，求的值；(2)若的倾斜角互余，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，可得，再结合斜率公式即可得解；（2）设的倾斜角为，则直线的倾斜角为，再结合斜率公式即可得解.【详解】（1），因为，所以，得，经检验，符合题意，所以；（2）因为的倾斜角互余，设的倾斜角为，则直线的倾斜角为，所以，得．【变式1】（2223高二上·北京丰台·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线经过两点，经过两点，若，则；若，则．【答案】【分析】根据垂直时，斜率乘积为，平行时，斜率相等来列式计算即可.【详解】由已知，当时，所以，解得，当时，，解得，经验证：当时，不重合.故答案为：；.【变式2】（2324高二·全国·假期作业）已知直线的倾斜角为，直线的斜率，若，则的值为.【答案】【详解】由题意得，解得.【变式3】（2324高二上·广东湛江·阶段练习）当a为何值时，直线：与直线：.(1)平行；(2)垂直.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得到，即可得到答案.（2）根据题意得到，即可得到答案.【详解】（1）要使，则需满足.故当时，直线与直线平行.（2）要使，则需满足，∴.故当时，直线与直线垂直.题型04已知两直线垂直关求参数【典例1】（2324高二上·湖南郴州·期末）已知，若直线与直线垂直，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，利用斜率公式求得，再由两直线的位置关系，得到，即可求解.【详解】由点，可得，因为直线与直线垂直，可得，即，解得，所以直线的斜率为.故选：A.【典例2】（2324高二上·甘肃兰州·阶段练习）若直线与的斜率、是关于k的方程的两根，若，则（

）A．2 B．－2 C．0 D．－4【答案】B【分析】由直线垂直得，结合韦达定理得参数值．【详解】，方程为，所以，，此时满足题意．故选：B．【典例3】（2324高二上·广东湛江·阶段练习）当a为何值时，直线：与直线：.(1)平行；(2)垂直.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得到，即可得到答案.（2）根据题意得到，即可得到答案.【详解】（1）要使，则需满足.故当时，直线与直线平行.（2）要使，则需满足，∴.故当时，直线与直线垂直.【变式1】（2324高二上·河南郑州·阶段练习）已知的倾斜角为45°，经过点．若，则实数m为（

）A．6 B．－6 C．5 D．－5【答案】B【分析】根据垂直关系得到，由此计算出的值.【详解】因为，，且，所以，解得，故选：B.【变式2】（2024高二·全国·专题练习）若直线l经过点和，且与经过点，斜率为的直线垂直，则实数a的值为．【答案】【分析】求出直线l的斜率，利用直线垂直关系列式求出a的值即得.【详解】依题意，直线的斜率存在且为，由直线l经过点和，得直线的斜率，解得，所以实数a的值为.故答案为：【变式3】（2324高二上·天津和平·期中）已知直线：与直线：垂直，则的值为.【答案】【分析】根据两直线垂直得充要条件计算即可得解.【详解】因为直线：与直线：垂直，所以，解得.故答案为：.题型05直线平行、垂直在几何中的应用【典例1】（2024高二上·全国·专题练习）已知四边形的顶点，则四边形的形状为.【答案】矩形【分析】分别求出直线的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论.【详解】解：，且不在直线上，.又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又.平行四边形为矩形.故答案为：矩形.【典例2】（2024高二·全国·专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.【答案】或或.【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D的坐标.【详解】由题，，所以kAC=2，，kBC=－3，设D的坐标为（x，y），分以下三种情况：①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC，所以，，，得x=7，y=5，即②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC，所以，，得x=－1，y=9，即③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC所以，得x=3，y=－3，即所以D的坐标为或或.【变式1】（2324高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明．【答案】四边形是矩形，证明见解析【分析】根据题意，结合直线斜率的坐标计算公式，分别判断直线是否平行与垂直即可.【详解】四边形是矩形．证明如下：边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，所以，，所以，，所以四边形是平行四边形．又，所以，所以四边形是矩形．又，，令，即，无解，所以与不垂直，故四边形是矩形．【变式2】（2324高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状.【答案】矩形【分析】可借助斜率验证四边形对边平行，邻边垂直，对角线不垂直即得解【详解】由斜率公式，得，，，，，.∴，，∴，，∴四边形为平行四边形.又，∴.又，∴与不垂直，∴四边形为矩形.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2324高二上·河南许昌·期末）经过两点的直线的方向向量，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】由题意与向量共线，所以由对应分量成比例即可求解.【详解】由题意与直线的方向向量共线，所以，解得.故选：C.2．（2324高二上·山东潍坊·期末）已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（

）A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直【答案】B【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得．【详解】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．故选：B．3．（2324高二上·湖南张家界·阶段练习）已知直线过，，且，则直线的斜率为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】应用两点式求直线的斜率，由垂直关系即可得直线的斜率.【详解】由题设，又，则直线的斜率为.故选：A4．（2324高二上·全国·课后作业）以，，为顶点的三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．以点为直角顶点的直角三角形D．以点为直角顶点的直角三角形【答案】C【分析】求出、的斜率，即可判断.【详解】因为，，所以，，∴，∴，∴是以点为直角顶点的直角三角形.故选：C5．（2324高二上·湖南常德·期中）下列说法中正确的有（

）①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行；②若，则；③所有的直线都有倾斜角；④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为1.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】对于①，根据斜率的定义进行判断；对于②，举出反例；对于③，根据倾斜角定义得到③正确；对于④，举出反例.【详解】对于①，若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行，正确；对于②，若，但可能斜率不存在，此时不能得到，错误；对于③，所有的直线都有倾斜角，正确；对于④，若两条直线中，一条直线斜率为0，另一条没有斜率，也满足垂直关系，但不满足它们的斜率之积为1，错误.，故正确的个数为2.故选：B6．（2324高二上·湖北武汉·期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据轴对称的性质，可知直线与过点，的直线平行，且斜率都存在，则由斜率相等列出式子即可.【详解】设，，则点，所在直线的斜率为，由题意知，过点，的直线与直线平行，所以，整理得：.故选：B7．（2324高二上·全国·课后作业）已知点，若直线，则的值为（）A．1或 B．或C．或3 D．3或【答案】A【分析】由题意可知CD与x轴不垂直，即.分类讨论，当AB与x轴垂直和AB与x轴不垂直时，根据两直线的位置关系求出对应的m值即可.【详解】∵A，B两点纵坐标不相等，∴AB与x轴不平行.∵，则CD与x轴不垂直，∴，即.当AB与x轴垂直时，，解得，此时，点C，D的纵坐标均为，则轴，此时，满足题意；当AB与x轴不垂直时，，，∵，∴，即，解得.综上，m的值为或，故选：A.8．（2324高二上·全国·课后作业）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（

）A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合【答案】A【分析】利用根与系数的关系得，得到答案.【详解】设两直线的斜率分别为，是方程的两根，，利用根与系数的关系得：，故两直线的位置关系是垂直．故选：.二、多选题9．（2324高二上·江苏宿迁·开学考试）下列说法中不正确的是（

）A．直线倾斜角的范围是：，且当倾斜角增大时，斜率也增大B．若两直线平行，则两直线的斜率相等C．若两直线的斜率之积等于，则两直线垂直D．过点且斜率为1的直线方程可表示为：【答案】ABD【分析】由直线倾斜角与斜率的关系即可判断A，由两直线的位置关系即可判断BC，由直线的点斜式方程即可判断D.【详解】直线倾斜角的范围是：，当时，倾斜角增大时，斜率也增大；当时，斜率不存在；当时，倾斜角增大时，斜率也增大；故A错误；若两直线平行，则两直线的斜率可能不存在，故B错误；若两直线的斜率之积等于，则两直线垂直，故C正确；过点且斜率为1的直线方程为，而中，故D错误；故选：ABD10．（2324高二上·山东济南·期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（

）A．若斜率，则 B．若，则C．若倾斜角，则 D．若，则【答案】ABC【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项，举反例可判断D.【详解】对于A,若两直线斜率，则它们的倾斜角，则，正确；对于B，由两直线垂直的条件可知，若，则，正确；对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角，则，正确；对于D,若，不妨取，则，不满足，不垂直，D错误，故选：三、填空题11．（2324高二上·全国·课后作业）已知，，，，四点构成的四边形是平行四边形，则点的坐标为．【答案】或或.【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D的坐标.【详解】由题，，所以，，，设的坐标为（且且），分以下三种情况：①当为对角线时，有，，所以，，，解得，即；②当为对角线时，有，，所以，，解得，即；③当为对角线时，有，所以，解得，即；所以D的坐标为或或.故答案为：或或12．（2324高二上·全国·课后作业）已知点，，，是的垂心．则点