第05讲空间直角坐标系（三大题型归纳易错分层练）（原卷版）

第05讲空间直角坐标系【人教A版选修一】目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01空间直角坐标系及点的坐标 3题型02空间点的对称问题 6题型03空间向量的坐标 9易错归纳 12分层练习 13夯实基础 13能力提升 19创新拓展 24一、空间直角坐标系及点的坐标1．空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：________________，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个________________________________．2．相关概念：________叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过________________________的平面叫做坐标平面，分别称为________平面，________平面，________平面，它们把空间分成八个部分．3．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝__________________.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组________，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的________，y叫做点A的________，z叫做点A的________．4．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点点的位置x轴上y轴上z轴上坐标的形式(x,0,0)(0，y,0)(0,0，z)点的位置Oxy平面内Oyz平面内Ozx平面内坐标的形式(x，y,0)(0，y，z)(x,0，z)注意点：(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.(2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.(3)建立的坐标系一般为右手直角坐标系．二、空间向量的坐标向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝________.题型01空间直角坐标系及点的坐标【解题策略】(1)建立空间直角坐标系的原则①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内．②充分利用几何图形的对称性．③一般用右手直角坐标系．(2)求某点M的坐标的方法作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z)．【典例分析】【例1】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求点N的坐标．【变式演练】【变式1】(1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则①顶点A，D1的坐标分别为______________；②棱C1C中点的坐标为________；③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为________．(2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．【变式2】已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，试建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标．【变式3】（2324高二下·江苏·课前预习）如图所示，在四棱锥中，建立空间直角坐标系，若，是的中点，求点的坐标.

题型02空间点的对称问题【解题策略】空间点对称问题的解题策略(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论【典例分析】【例2】在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．【变式演练】【变式1】在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；(2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．【变式2】（2324高二下·江苏·课前预习）点关于轴的对称点的坐标是，关于坐标平面的对称点的坐标是.【变式3】（2324高二上·全国·课后作业）已知点，求：(1)点关于各坐标平面对称的点的坐标；(2)点关于各坐标轴对称的点的坐标；(3)点关于坐标原点对称的点的坐标．题型03空间向量的坐标【解题策略】向量坐标的求法(1)点A的坐标和向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标形式完全相同，其中O为坐标原点；(2)起点不在原点的向量，其坐标可以通过向量的运算求得．【典例分析】【例3】课本例1如图，在长方体OABC－D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝2，以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(OA,\s\up6(→))，\f(1,4)\o(OC,\s\up6(→))，\f(1,2)\o(OD′,\s\up6(→))))为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.(1)写出D′，C，A′，B′四点的坐标；(2)写出向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，eq\o(B′B,\s\up6(→))，eq\o(A′C′,\s\up6(→))，eq\o(AC′,\s\up6(→))的坐标．【变式演练】【变式1】已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))的坐标．【变式2】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量eq\o(BN,\s\up8(→))，eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(A1B,\s\up8(→))的坐标．【变式3】已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图所示建立空间直角坐标系．(1)写出各顶点的坐标；(2)写出向量eq\o(EF,\s\up8(→))，eq\o(B1F,\s\up8(→))，eq\o(A1E,\s\up8(→))的坐标．易错点求空间中点的坐标的建系问题四棱锥V－ABCD中，底面是边长为4且∠ABC＝60°的菱形，顶点V在底面的射影是底面对角线的交点O，VO＝3，建立正确的坐标系求各点的坐标时，下列建系方式正确的是()A．(2)(3)B．(2)(4)C．(1)(4)D．(1)(2)(4)【夯实基础】一、单选题1．（2324高二下·甘肃天水·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（

）A． B． C． D．2．（2324高二上·陕西西安·阶段练习）在空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，则的坐标为（

）A． B． C． D．3．（2122高二·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．4．（2324高二上·河南南阳·阶段练习）正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）中，，点在上，且.建立如图所示的坐标系，则点的坐标为（

）A． B．C． D．二、多选题5．（2324高二上·河北邢台·阶段练习）在空间直角坐标系中，若四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（

）A． B． C． D．6．（2324高二上·江苏盐城·期末）在空间直角坐标系中，已知某平行四边形三个顶点的坐标分别为，，，则第四个顶点的坐标可能为（

）A． B．C． D．7．（2324高二下·河南·阶段练习）下列结论正确的是（

）A．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为B．若向量，且，则C．若向量，则在上的投影向量的模为D．为空间中任意一点，若，且，则四点共面三、填空题8．（2223高二上·吉林白城·阶段练习）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是9．（2324高二上·山东聊城·期末）在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为.四、解答题10．（2122高二上·全国·课后作业）（1）写出点关于原点对称的点的坐标；（2）写出点关于轴对称点的坐标.11．（2122高二·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中有一长方体，且，，(1)写出点的坐标，并将用标准正交基表示；(2)求的坐标．【能力提升】一、单选题1．（2324高二上·河北保定·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（

）A． B． C． D．2．（2324高二下·四川绵阳·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（

）A． B．C． D．3．（2324高二上·河南省直辖县级单位·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（

）A． B． C． D．4．（2223高二上·北京房山·期中）已知，则向量的坐标是（

）A． B．C． D．5．（2324高二上·北京西城·期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是单位正方体，其中点A的坐标是（

）

A． B． C． D．二、多选题6．（1920高二上·福建三明·期末）如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（

）A．点的坐标为，5，B．点关于点对称的点为，8，C．点关于直线对称的点为，5，D．点关于平面对称的点为，5，7．（2324高二上·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，，点E在线段AO的延长线上，且，下列向量坐标表示正确的是（）A． B．C． D．三、填空题8．（2324高二上·上海·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为．9．（2324高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是．四、解答题10．（2122高二·全国·课后作业）已知点，分别写出它关于平面、x轴、原点的对称点的坐标．【创新拓展】一、单选题1．（2122高二上·新疆伊犁·期末）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2的菱形，∠CBB1=60°，BC1交B1C于点O，AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O—xyz，则点A1的坐标为（

）

A．（，，1）B．（，2，）C．（，1，1）D．（，0，1）二、填空题2．（1920高二上·浙江温州·期末）在平面