预习08圆的方程（七大考点）（原卷版）

预习08圆的方程一、圆的标准方程1．圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合．2．圆的标准方程：我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程．3．几种特殊位置的圆的标准方程条件方程形式过原点圆心在原点圆心在x轴上圆心在y轴上圆心在x轴上且过原点圆心在y轴上且过原点与x轴相切与y轴相切二、点与圆的位置关系点与圆的位置关系：（1）点在圆外；（2）点在圆上；（3）点在圆内.三、圆上的点到定点的最大、最小距离设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为:（1）若点在圆外,则;（2）若点在圆上,则;（3）若点在圆内,则.综上,.四、圆的一般方程1．圆的一般方程当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程．2．对方程的说明对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表：条件图形不表示任何图形表示一个点表示以为圆心,以为半径的圆考点01 求圆的标准方程【方法点拨】确定圆的标准方程的方法：（1）几何法：利用圆的几何性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程；（2）待定系数法：①设——设所求圆的标准方程为；②列——由已知条件，建立关于的方程组；③解——解方程组，求出；④代——将代入所设方程，得所求圆的标准方程.【例1】写出下列圆的标准方程：(1)圆心为，半径是；(2)圆心为，且经过点.【例2】圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（

）．A． B．C． D．【变式11】过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【变式12】过和两点的面积最小的圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【变式13】圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（

）A． B．C． D．考点02 点与圆的位置关系【方法点拨】判断点与圆的位置关系的方法：（1）计算该点与圆的圆心距离，与半径做比较即可；（2）把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并做出判断．【例3】已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【例4】已知点，圆C的标准方程：，若点M在圆C上，则a的值为；若点M在圆C的内部，则a的取值范围为．【变式21】（多选）已知，两点，以线段为直径的圆为圆P，则（

）A．在圆P上 B．在圆P内C．在圆P内 D．在圆P外【变式22】点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是．【变式23】点与圆的位置关系如何？考点03 二元二次方程是否表示圆【方法点拨】判断二元二次方程是否表示圆，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．方法如下：一是看是否大于零；二是直接配方变形为标准方程的形式，看方程等号右端是否为大于零的常数．【例5】如果方程表示一个圆，那么实数k的取值范围是什么？与圆是怎样的位置关系呢？【例6】已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式31】（多选）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（

）A．－1 B．0 C． D．1【变式32】（多选）若方程表示一个圆，则的取值可能为（

）A．3 B．2 C． D．【变式33】若点在圆的外部，则实数a的取值范围为．考点04 求圆的一般方程【方法点拨】用待定系数法求解圆的方程，选用标准方程还是一般方程的原则是：如果已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径建立方程，则通常设圆的标准方程；否则可设圆的一般方程．【例7】已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（

）A． B．C． D．【例8】过，，三点的圆与轴交于，两点，则（

）A．3 B．4 C．8 D．6【变式41】过三点的圆的方程为．【变式42】已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为.【变式43】圆的圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．考点05 圆的轨迹问题（直接法）【方法点拨】根据题目条件，建立关于动点的几何关系，再利用有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简．【例9】若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足，则△PAB面积的最大值为．【例10】已知两点，，点P满足，则点P的轨迹方程为.【变式51】动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是.【变式52】已知点、是距离为4的两个定点，动点满足，建立适当的平面直角坐标系，并求动点的轨迹方程．【变式53】已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍.(1)求点的轨迹方程；(2)如果把倍改成倍，求点的轨迹.考点06 圆的轨迹问题（代入法）【方法点拨】如果动点依赖于另一动点，而又按某个规律运动，则可先用表示，再把代入它满足的条件便得到动点的轨迹方程．【例11】线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（

）A．2 B．4 C． D．【例12】已知定点为圆的动点，则线段的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【变式61】已知点，动点P满足．(1)求动点P的轨迹方程：(2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程；【变式62】已知点，点在的圆周上运动，点满足，则点的运动轨迹围成图形的面积为（

）A． B． C． D．【变式63】从定点向圆任意引一条割线交圆于、两点，求弦的中点的轨迹．考点07 圆的最值问题【方法点拨】已知点在圆上，求的最值问题的处理方法如下：（1）求圆心与定点间的距离（2）根据圆的几何性质知，①当点M在圆外时，；②当点M在圆内时，.【例13】若实数满足，则的最大值是（

）A． B． C． D．【例14】已知P是过，，三点的圆上的动点，则的最大值为（

）A． B． C．5 D．20【变式71】已知圆，求圆上的点到点的距离的最大值与最小值．【变式72】.已知是圆上的一点，则的最小值是【变式73】已知直线与直线相交于点，，则点到坐标原点O的距离的最小值为．一、单选题1．过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（

）A． B．C． D．2．若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．3．圆恒过的定点为（

）A． B．C． D．4．已知圆关于直线对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．5．过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（

）A． B．．C． D．二、多选题6．设直线：，：，则（

）A．与平行 B．与相交C．与的交点在圆上 D．与的交点在圆外7．已知，是平面内两个定点，且，则满足下列条件的动点的轨迹为圆的是（

）A． B．C． D．三、填空题8．在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为．9．已知圆关于直线l对称的圆为圆，则直线l的方程为.四、解答题10．已知点，，，直线与轴交于点.(1)求点的坐标；(2)求的外接圆的标准方程.11．已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为.(1)求圆的标准方程；(2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程.12．赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，