2021-2022版老教材数学人教A版必修5学案：2.4等比数列

2.4等比数列

第1课时等比数列

L理解等比数列的定义.(数学抽象)

学

2.掌握等比数列的通项公式及其应用.(逻辑推理、数学运算)

习

3.了解等比数列与指数函数的关系、能在具体情境中识别数列

目

的等比关系，能利用等比数列解决相应的问题.(逻辑推理、数据

标

分析)

必备知识・自主学习

1.类比等差数列，等比数列是如何定义的？如何定义等比中

项？

导思

2.类比等差数列的通项公式，等比数列的通项公式怎样？如

何推导？

1.等比数列的概念

一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个

数列叫做等比数歹U,这个常数叫做等比数列的公比，用q表示(qWO).

思考7

⑴定义中为什么”从第2项起”，从第1项起可以吗？

提示：因为数列的第1项没有前一项，因此必须“从第2项起”.

⑵怎样利用递推公式表示等比数列？

提示:-^-=q(n22)或加(qWO).

an-ian

2.等比中项

在a与b中间插入一个数G,使a,与b成等比数列,那么G叫做a与b

的等比中项.

思考7

(1)G是a与b的等比中项,a与b的符号有什么特点?a,G,b满足的关

系式是什么？

提示：a与b同号，满足的关系式是G?=ab.

⑵如果2,a,4成等比数歹！J,如何求a?答案唯一吗？

提示：由吼士得a2=8,即a=±2&,答案不唯一.

2a

3.等比数列的通项公式

首项为ab公比是q(qWO)的等比数列的通项公式为a“=ad1

思考7

⑴等比数列的通项公式是a0=27其图象是由什么样的点组成的？与函

数y=2」的图象有什么关系？

提示：通项公式为a=2联1的图象是由离散的点构成的，这些离散的点都

在函数y=2一的图象上.

⑵除了课本上采用的不完全归纳法，你还能用什么方法推导等比数列

的通项公式.

提示：还可以用累乘法.

当n>2时,-^=q，…,—=q,

an-i<an-2rQix

后二［、［_02°37l~lClji_n-1

所以an-ai•—•—....•-----ai•q.

aa

n-2n-i

2基础小测>

1.辨析记忆（对的打“J”，错的打“义”）.

⑴一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于常数,这个数列

一定是等比数列.

⑵若G是a与b的等比中项,则

⑶若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定是等比数列.

提示：（1）义.应等于同一个常数.

⑵X.G=±V^.

⑶义.如0,0,0满足02=0X0,但不是等比数歹（］.

2.已知2,b,8是等比数列，则实数b=

A.6B.4C.-4D.4或-4

【解析】选D.因为2,b,8成等比数列，

所以b=±V2X8=±4.

3.（教材二次开发：练习改编）等比数列｛aj中，a2=2,a5=~,则公比

4

q=•

【解析】由定义知a2=ap=2,①

1

as-aiq4--,②

4

11

所以②♦①得q--＞所以q=-.

82

答案，

2

关键能力•合作学习

类型一等比数列基本量的运算（逻辑推理、数学运算）

题组训练、

1.在等比数列｛aj中，若a2=3,a5=-24,贝a产

223c3

A.-B・一一C.——D.一

3322

2.已知各项为正数的等比数列｛a,J中，a2=l,a4a6=64,则公比q=

A.4B.3C.2D.V2

3.在公比为整数的等比数列｛aj中，a-a=-2,a"3=一,则｛aj的通项公

233

式&n=•

4

【解析】1.选C.设公比为q,则与皿=qJ-8,

a2alcl

贝Iq=-2,贝IaF-

-22

2.选C.因为各项为正数的等比数列｛an｝中，a2=1,a4a6=64,所以

%q=i

・%q5-64，且q>0,

解得agq=2,

所以公比q=2.

3.设等比数列的首项为a”公比为q,

10

因为a2~a3二一2,a1+a3二,

3

aiQ-aiQ2=-2,

所以，

,2I。

%+%q=工，

两式相除整理可得,2q-5q-3=0,

1

由公比q为整数可得，q=3,a,=-.

3

n-2

所以an=3.

答案：3”2

藏版链面利用基本量结合方程思想运算

⑴a,和q是等比数列的两个基本量,解决本题时，只要求出这两个基本

量,其余的量便可以通过通项公式列方程（组）得出.

⑵等比数列的通项公式涉及4个量aban,n,q,只要知道其中任意三个

就能求出另外一个,解题时常列方程（组）来解决.

【补偿训练】

1.已知等比数列｛aj中，2尸27,q=-3,则a尸

A.1B.-1C.3D.-3

【解析】选B.等比数列｛aj中，a」=27,q=-3,则

q3（-3）3

2.已知等比数列｛aj中，出=4,a8=8,则a1。的值是

A.5B.6C.14D.16

【解析】选D.依题意，设公比为q,等比数列｛aj中，a6=4,a8=8,

所以也出事q2旦2,

5

a6a1q4

Q

又％=3^q2=2,

2

所以a10=a8Xq=8X2=16.

912

3.已矢口a尸一，an=-,q=一，贝ljn=.

833

921

［解析】因为aF-q=-,an=-,

833

所以工i.

38\3/

所以（TWG）3

所以n-1=3,

所以n=4.

答案:4

类型二等比中项的应用（数学运算）

【典例】已知b是a,c的等比中项,求证:ab+bc是a?+b2与b?+c2的等比

中项.

四步内容

条件:b是a,c的等比中项.

理解题意

结论:ab+bc是a?+b2与b?+c2的等比中项.

思路探求证明(ab+bc)2=(a2+b?)E+c?)即可

【证明】b是a,c的等比中项,则b2=ac,且a,b,c均不为零，

又(a2+b2)(b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c-a2b2+2a2c2+b2c2,

书写表达(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,所以

(ab+bc)J(a2+b2),(b?+c2),

即ab+bc是a2+b2b'+c'的等比中项.

本题的关键是用递推法分析出ab+bc与a2+b^nb?+c2的关

题后反思

系.

解题策略等比中项法证明等比数列

“a,G,b成等比数列”等价于"G2=ab(a,b均不为0)”，可以用它来

判断或证明三个数成等比数列.

跟踪训练、

1.一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值

是.

【解析】设三边为a,aq,aq2(q>1),

由勾股定理(aq2)2=(aq)2+a2,所以

较小锐角记为6,则sin0l.

aq2q22

答案:小

2

2.设等差数列｛4｝的公差d不为0,ai=9d,若ak是&与a2k的等比中项,

则k等于

A.2B.4C.6D.8

【解析】选B.因为a=(n+8)d,

又a2k,所以[(k+8)d]2=9d-(2k+8)d,

解得k=-2(舍去)，k=4.

【拓展延伸】

等比中项的注意点

1.注意非零.若b2=ac且acWO,则a,b,c成等比数列.这里要注意条件

ac#O;若只有条件b2=ac,我们得不到a,b,c成等比数列的结论.

2.注意个数.当a,b同号时,a,b的等比中项有两个,异号时，没有等比

中项.

3.注意从第2项起.在一个等比数列中，从第2项起,每一项(有穷数列

的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.

【拓展训练】

⑴三个不相等的实数a,b,c成等差数列，且a,c,b成等比数列，则

a•b♦c=.

【解析】由题意得2b=a+c①，

c12=ab②，

由①得c=2b-a③，

将③代入②得a=b(舍去)或a=4b,

所以c=2b-a=2b-4b=-2b.

则a：b：c=4：1：(-2).

答案:4：1：(-2)

⑵在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98

石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石,则衰分比例为.

【解析】设衰分比例为q,

28

则甲、乙、丙各分得一,28,28q石，

q

所以泪~28+28q=98,

q

1

所以q=2或

2

1

又0<q<1,所以q=-.

2

答案:1

2

【补偿训练】

-1,a,b,c,-25是等比数列，则abc=.

【解析】设该等比数列的公比为q,

因为b是a,c的等比中项，也是-1,-25的等比中项，

所以b2=-1X(-25)=25,

所以b二±5,

又因为b=-1Xq2<0,

所以b=-5,

所以abc=bJ25.

答案：-125

类型三等比数列的判断与证明(逻辑推理、数学运算)

角度…L-利用定义证明等比数列—

【典例】已知数列｛aj满足ai=l,2an+i=3an+l.

证明：｛a0+l｝是等比数列.

【思路导引】证明现金为常数，或整体构造证明.

an+l

、31

++

【证明】方法一：因为2an+i-3an1，所以an+i--an-

22

3an+1+13an+33/n+1

an+l+l22222^-3

fln+lan+lan+lan+l2

所以“骷

an+l2

=+=+

方法二:因为2an+i3an1,所以2an+i+23an1+2,

+=

即2an+i2=3an+3,所以2(an+i+1)3(an+1),所以""+1+1=］所以｛。九+1｝

a九十12

是以士为公比的等比数列.

2

♦变式探究

若将本例中的条件改为“a32an+l"，其他条件不变，证明：瓜+1｝是

等比数列.

【证明】因为an+1=2an+1,

所j乂a4+i+l=2an+l+l=2a-+2:2

a?i+1a?i+1a?i+1

所以｛an+1｝是以2为公比的等比数列.

角度2…已知工与旦工的关系证明等比数列…

［典例］已知数列瓜｝的前n项和为Sn,且满足

3

S=-a+b(n£N,b£R,bWO).

n2n

⑴求证：瓜｝是等比数列；

⑵求证：｛an+1｝不是等比数列.

【思路导引】(1)消去Sn,利用an,am的关系证明；(2)考查出数列的前

三项进行证明.

3

【证明】(1)因为Sn=-an+b,

2

3

所以当n，2时，Sn-i二一am+b,

2

一.33

两式相减得S-Sn-i=-a+b—a-i-b,

n2n2n

33

所以a--a-a-i,

n2n2n

所以an=3an-i,又aF-2b^0,

故｛aJ是公比为3的等比数列.

⑵由⑴知a尸-2b,

所以a2=-6b,a3=-18b,所以数列｛an+1｝的前三项为

a"1=1-2b,a2+1=1-6b,a3+1=1-18b,

22

(a2+1)=1+36b-12b.

(a^D(a3+1)=1+36b-20b,

因为bWO,所以0+1)21(arH)3+1),

故数列｛an+1｝不是等比数列.

标嬴函数列｛4｝是等比数列的判断方法

⑴定义法：若数列｛4｝满足3=q(q为常数且不为零)或

an

2=q(n与2,q为常数且不为零)，则数列｛aj是等比数列.

⑵等比中项法:对于数列瓜｝,若。工广4•a“.2且anWO,则数列｛aj是

等比数列.

⑶通项公式法：若数列瓜｝的通项公式为an=adT(aH0,qW0),则数

列｛aj是等比数列.

题组训练、

n

1.已知数列的前n项和为Sn=2+a,试判断｛4｝是否是等比数列.

nn1n1

［解析］an=Sn-Sn-1=2+a-2--a=2-(n22).

当n22时,3=二=2；当n=1时,%1=力=二_.

na

an2rn2+a

故当a=-1时，数列｛aj成等比数列，其首项为1,公比为2;

当aW-1时，数列｛aj不是等比数列.

2.已知数列的前n项和为Sn=2-an.求证数列｛aj是等比数列.

——

【证明】因为Sn—2an,所以Sn+i—2an+i,

所以an+i=Sn+i-Sn=(2-an+i)-(2-an)=an-an+i,

1

所以ai=-a.又因为Si=2-a所以ai=1#=0.

n+2nb

又由an+i-an^pan^O,所以巴吐壬士

2Q九2

所以数列｛an｝是等比数列.

【拓展延伸】

判断数列为等比数列时，根据定义,是从第2项起,后一项与前一

项的比是同一非零常数，需验证n=l时是否成立.

【拓展训练】

已知数列｛an｝的前n项和Sn满足关系式lg(Sn+l)=n(n=l,2,…)，试证明

数列EJ是等比数列.

【证明】由已知可得SLI0n7.

nn-1n-1

当n22时，an=S-Sn-F(10-1)-(10-1)=9X10,

又当n=1时，ai=Si=9也满足上述通项公式，

n-1

所以数列｛aj的通项公式an=9X10.

而当n22时，卫-四°一:10为一常数，

n2

an_]9xlO-

所以数列｛aJ是等比数列.

【补偿训练】

数歹!J瓜｝的前n项和为S”a.=l,an+I=—Sn,nGN*.求证:数列仁可为等比

nInJ

数列.

n

S1+2s2n+2sSn+1

【证明】因为2=Sn+a纣Z="n.=_2_^2X且，所以-^=2,又

n+1n+1n+1n+1n」

n

3工半=1,所以数列｛弓4是以1为首项，2为公比的等比数列.

课堂检测-素养达标

1.已知数列瓜｝是等比数列,且ai=l,a4=8,则a6=

A.15B.24C.32D.64

【解析】选C.设公比为q,由aFl,a4二8可得公比q=2,

古攵a6二a〕q-32.

2.下面四个数列中，是等比数列的是

A.q,2q,4q,6qB.q,q；q3,ql

1111

C.q,2q,4q,8qD.,—

qq/qi

【解析】选D.A项不符合等比数列定义；B,C两项中q不等于0时是等

1

比数列，q=0时不是等比数列；D项符合等比数列的定义，公比是-.