安徽省滁州市新锐学校2024-2025学年高二数学春季第一次阶段考试试题

PAGE9-安徽省滁州市新锐学校2024-2025学年高二数学春季第一次阶段考试试题选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则·i的虚部是()A．B．iC．-D．-i2.用数学归纳法证明不等式1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*且n>1)时,第一步应验证不等式()A．1＋eq\f(1,2)<2B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<2C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<3D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)<33.下列求导运算正确的是()A.B.C.D.4.若函数在定义域内可导，的图象如右图所示，则其导函数的图象可能为（） A.B.C.D.5.甲、乙、丙三人参与某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人中至少有一人达标的概率是()A．0.16B．0.24C．0.96D.0.046.函数的图象在A处的切线的倾斜角是（）A.60°B.30°C.120°D.45°7.将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标为1，2的小球放入同一个盒子中，则不同的方法共有()A．12种B．16种C．18种D．36种8.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－]∪[，＋∞)B．[－，]C．(－∞，－)∪(，＋∞)D．(－，)9.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，其次次也摸到正品的概率是()A.B.C.D. 10.在平面直角坐标系中，直线x－y＝0与曲线所围成的图形的面积为()A．1B.C.D.911.直线与曲线相切，则b的值为()A.-2B.-1C.D.112.已知函数是定义在R上的奇函数，且在区间上有恒成立，若，令，，，则（）A.B.C.D.填空题：本大题4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上.13.的绽开式中各项的系数和为，则该绽开式中含项的系数为.14.若数列的通项公式为(n∈N*)，记f(n)＝，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推想出f(n)＝.15.某次测量发觉一组数据具有较强的相关性,并计算得，其中数据因书写不清，只记得是内的随意一个值，则该数据对应的残差的肯定值不大1的概率为.（残差=真实值-预料值）16.学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预料如下:甲说:“是或作品获得一等奖”；乙说:“作品获得一等奖”；丙说:“两项作品未获得一等奖”；丁说:“是作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．并将答案写在答题卡相对应题号的空白处.17.（本题满分10分）已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋5m在x（1）求m，n的值；（2）求函数f(x)在区间[-2,6]上的最大值和最小值.18.（本题满分12分）某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数AQI的监测数据，结果统计如下：AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]大于300空气质量优良稍微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失(单位：元)与空气质量指数AQI(记为)的关系式为：,试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并推断能否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染总计供暖季非供暖季总计1000.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．20.（本题满分12分）在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解状况，进行了一次创城学问问卷调查(一位市民只能参与一次).通过随机抽样，得到参与问卷调查的1000人得分(满分100分)的统计结果如下表所示.组别[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数2515020025022510050(1)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分Z听从正态分布N(μ,210)，μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)，请用正态分布的学问求P(36<Z≤79.50);(2)在(1)的条件下，“创城办”为此次参与问卷调查的市民制定如下嘉奖方案:①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费,得分低于μ的可以获赠1次随机话费;②每次赠送的随机话费和对应的概率如下表:赠送的随机话费(单位:元)2040概率0.750.25现有市民甲要参与此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参与问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望.附:参考数据与公式≈14.5,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827;P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545;P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9973.21.（本题满分12分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满意.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.（本题满分12分）已知函数f(x)=x2eax，其中a≤0，e为自然对数的底数.探讨函数f(x)的单调性；（2）若x∈[0,1]，求证：f(x)≤1. 数学（理科）答案1.A∵z＝eq\f(1,1＋i)＝eq\f(1－i,2)，∴eq\x\to(z)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，∴eq\x\to(z)·i＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i.2.B3.B[解析]对于A，(2x)′＝2xln2；对于B，(3ex)′＝3ex；对于C，(x2－eq\f(1,x))′＝2x＋eq\f(1,x2)；对于D，(eq\f(x,cosx))′＝eq\f(cosx＋xsinx,cosx2)；综上可知选B.4.D5.C【解析】三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.6.A【解析】:，∴，∴切线的斜率k=，.7.C解析：选C可先分组再排列，所以有eq\f(1,2)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝18种方法．8.B解析f′(x)＝－3x2＋2ax－1，若f(x)在(－∞，＋∞)上为单调函数只有f′(x)≤0，∴Δ＝(2a)2－4(－3)(－1)≤0，解得－eq\r(3)≤a≤eq\r(3).9.D【解析】记“第一次摸到正品”为事务A，“其次次摸到正品”为事务B，则P(A)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,9),C\o\al(1,10)C\o\al(1,9))＝eq\f(3,5)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,5),C\o\al(1,10)C\o\al(1,9))＝eq\f(1,3).故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(5,9).10.C解析如图所示由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－2x，,y＝x，))得交点(0,0)，(3,3)．∴阴影部分的面积为S＝(x－x2＋2x)dx＝(－x2＋3x)dx＝(－eq\f(1,3)x3＋eq\f(3,2)x2)eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,,))eq\o\al(3,0)＝－9＋eq\f(27,2)＝eq\f(9,2).11.B.解析：设切点为，由得，所以，，，代入直线方程得，选B.12.C【解析】依题意，为偶函数，所以是上的增函数，，，所以.故选C.13.5解析：依题意得2n＝32，n＝5，二项式的绽开式的通项是Tr＋1＝·()5－r·()r＝，令，得r＝1.因此，在该二项式的绽开式中x项的系数是＝5.14.15.解析：依据题意,又,所以,由几何概型的概率公式可得,该数据对应的残差的肯定值不大于1的概率.B解析：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满意题意，

若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满意题意，

若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满意题意，

若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不满意题意，

所以若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B17.解（1）∵f′(x)＝3x2＋6mx＋n，∴由已知可得解得：（2）由（1）得f(x)＝x3-3x2-9x-5，f′(x)＝3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）,当-1<x<3时，,f′(x)<0,f(x)单调递减，当x<-1或x>3时，f′(x)>0,f(x)单调递增，则f(x)在x=-1处有极大值，为f(1)=0,在x=3处有微小值，为f(3)=-32，又f(-2)=-7,f(6)=49,∴f(x)的最大值是f(6)=49，最小值是为f(3)=-32.18.解:解：(1)记“在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于200元且不超过600元”为事务A，由得得，频数为39，所以P(A)＝eq\f(39,100).(2)依据以上数据得到如下列联表：非重度污染重度污染总计供暖季22830非供暖季63770总计8515100的观测值为有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．19.解：（1）因为，由余弦定理，得，即.所以.（2）因为，由正弦定理，得，所以.从而，即，故.因为，所以，从而.因此.20.解：解析(1)用频率估计概率可得各组别的概率分别为0.025,0.15,0.2,0.25,0.225,0.1,0.05,则E(Z)=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65.故μ=65,≈14.5,∴P(50.5<Z≤79.5)≈0.6827,P(36<Z≤94)≈0.9545.∴P(36<Z≤50.5)≈=0.1359.∴P(36<Z≤79.5)=P(36<Z≤50.5)+P(50.5<Z≤79.5)≈0.1359+0.6827=0.8186.(2)易知P(Z<μ)=P(Z≥μ)=.获赠的话费X的可能取值为20,40,60,80.P(X=20)=;P(X=40)=;P(X=60)=;P(X=80)=.X的分布列为X20406080P∴E(X)=20×+40×+60×+80×=37.5.21.（1）证明：取的中点，连接，，由已知得，所以，又点是的中点，所以.因为，点是线段的中点，所以.又因为，所以，从而平面，所以，又，不平行，所以平面.（方法一）由（1）知，过点作的平行线交于点，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，，，所以，，.设平面的法向量为，由，得，令，得.同理，设平面的法向量为，由，得，令，得.所以二面角的余弦值为.（方法二）取的中点，上的点，使，连接，易知，.由（1）得，所以平面，所以，又，所以平面，所以二面角的平面角为.又计算得，，，所以.22.解：（1）①当a=0时，令得x=0.若x>0,则,从而