2016-2017九年级上册数学教案

第一章特殊平行四边形

1.菱形的性质与判定（一）

教学目标：

一、知识与技能：

1、菱形的概念和性质定理.

二、过程与方法：

1、经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；

2、体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力;

三、情感态度与价值观：

1、在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力

2、树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。

教学重、难点：

1、掌握菱形的概念和性质定理；

2、探索并掌握菱形是轴对称图形；

3、菱形的性质定理的应用。

课型：新授课。

教法：采用“探索——发现——猜想——证明”教学模式

学法：采用“观察发现——自主探究——合作交流——推理论证”学习模式

课时：1课时

教学过程：

第一环节课前准备

1、教师在课前布置学生复习平行四边形的性质，搜集菱形的相关图片。

2、教师准备菱形纸片，上课前发给学生上课时使用。

第二环节设置情境，提出课题

D

教师：同学们，观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有

什么样的共同特征呢？

......AB

教师：请同学们观察，图中的平行四边形与OABCD相比较，还有不同点吗？

（彩图中的平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等）。

定义“一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”。

第三环节猜想、探究与证明

1、想一想

①教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质

吗？

学生：菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。

②教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流。

学生分小组讨论菱形的性质。

2、做一做

教师：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：

（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？

（2）菱形中有哪些相等的线段？

教师巡视并参与学生活动，引导学生分析怎样折纸才能得到正确的结论。学生研讨完毕，教师

要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论，以便于后面的教学。

归纳：

①菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直。②菱形的

四条边相等。

3、证明菱形性质

教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严

格的逻辑证明。

已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,时角线AC与BD相交于点0.

求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC±BD.

证明：（1）•••四边形ABCD是菱形，

AAB=CD,AD=BC（菱形的对边相等）.

XVAB=AD

；.AB=BC=CD=AD

（2）VAB=AD

••.△ABD是等腰三角形

又•.•四边形ABCD是菱形

/.OB=OD（菱形的对角线互相平分）

在等腰三角形ABD中，

VOB=OD

AA01BD

即AC1BD

第四环节练习巩固

1.在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,ZBAD=60°,BD=6,求菱形的边

长AB和对角线AC的长。

2.随堂练习

如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BI）相交于点0.

已知AB=5cm,A0=4cm求BD的长.

第五环节课堂小结

本节课我们探讨了菱形的定义、性质，我们来共同总结一下：

1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线;

②菱形的四条边都相等；

③菱形的对角线互相垂直平分。

3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行计算和推理。

第六环节布置作业：

习题1.1知识技能1,2

第七环节板书设计:

教学反思

1.菱形的性质与判定（二）

教学目标:

一、知识与技能:

1、理解菱形的判别条件及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题;

2、掌握用尺规作菱形的方法;

二、过程与方法:

1、经历“实验一猜想一证明一应用”的科学探索过程，进一步提高学生推理论证的能力;

三、情感态度与价值观:

1,经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。

教学重、难点:

1、菱形判定定理的证明及应用.

2、学生独立完成证明的过程，增强学生对待科学的严谨治学态度。

课型:新授课

教法:采用“明确目标——问题导学——展示交流——训练提升”教学模式

学法:采用“自主探究—合作交流——归纳总结”学习模式

课时:1课时

教学过程:

第一环节：课前准备学生带自制的菱形

第二环节：温故知新通过练习复习上节课探究过的菱形的定义和性质

第三环节：展示交流,引导探究.

请学生说明自己制作的菱形的过程，教师从中抓住“对角线垂直的平行四边形是菱形”、“四

条边相等的四边形是菱形（菱形的尺规作图）”和“利用长方形纸剪折菱形”等，引导学生认识到理

论证明的必要性，并引导学生思考菱形的判定与菱形的性质之间的关系。

归纳：1、对角线垂直的平行四边形是菱形;

2、四条边相等的四边形是菱形。

第四环节：教师引导，独立证明

（）对角线垂直的平行四边形是菱形

已知:如图1-3,在DABCD中,对角线AC与BD交于点0,AC±BD.

求证：DABCD是菱形

证明：二•四边形ABCD是平行四边形

.\0A=0C

XVAC1BD

/.Bl）是线段AC的垂直平分线

Z.BA=BC

，四边形ABCD是菱形（菱形定义）

（二）四条边相等的四边形是菱形

已知:如图1-5,四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.

求证：四边形ABCD是菱形

第五环节：练习巩固

随堂练习画一个菱形,使它的两条对角线长分别是4cm、6cm.

第六环节：课堂小结作业布置

习题1.21题3题

第七环节板书设计：

教学反思

1.菱形的性质与判定(三)

教学目标：

一、知识与技能：

1、能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。

二、过程与方法：

2、经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。

三、情感态度与价值观：

1、在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；

2、在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。

教学重、难点：

1、菱形的性质定理及判定定理的运用；

2、菱形的计算与证明方法的归纳总结

课型：新授课

教法：采用“启发诱导——导练结合”教学模式

学法：采用“自主探究—合作交流——归纳总结——练习巩固”学习模式

课时：1课时

教学过程：

第一环节：知识回顾

1.如图1所示：在菱形ABCD中，AB=6,请回答下列问题：

(1)其余三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？

(2)对角线AC与BD有什么位置关系？

(3)若NADC=120°,求AC的长。

2.如图2所示：在DABCD中添加一个条件使其成为菱形：

添加方式1：.

添加方式2：.

第二环节：知识应用

例3如图3,四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.

求：(D对角线AC的长度；

(2)菱形ABCD的面积.

解：(1八•四边形ABCD是菱形，

.\AC±BD,HPZAED=90°,

DE=1/2XBD=5(cm)

，在RtZXADE中,由勾股定理可得:

AE=yjAD2-DE2=7132-52=12（加）.

.*.AC=2AE=2X12=24(cm).

(2)S菱形ABCD=SAABD+SACBD

=2XSAABD=2X1/2XBDXAE

=BDXAE=10X12=120(cm2).

变式训练：如上图3,四边形ABCD是菱形，其中对角线BD长为12cln,AC长为16cm.求：

(1)菱形的边长；

(2)求菱形一条边上的高。

3.方法启迪：

同学们在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么方法感悟或者经验？

第三环节：做一做

1.两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？

第四环节：练习巩固

L如图6所示，菱形ABCD的周长为40cm,它的一条对角线BD长10cm,则

ZABC=°,AC=cm.

2.已知，如图知在四边形ABCD中，AD=BC,点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点,四边

形EGFH是()

A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.正方形

3.已知：如图9,在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF,

求证：（l）ZkADE丝CDF；（2）ZDEF=ZDFE.

第五环节：课堂小结

第六环节：作业布置

习题1.3第3题，第4题,

第七环节板书设计:

教学反思

2.矩形的性质与判定(一)

教学目标：

一、知识与技能：

1、掌握矩形的的概念，理解矩形与平行四边形的关系。

2、理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明；

二、过程与方法：

1、通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的

观点.

2、会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力.

三、情感态度与价值观：

1、在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。

教学重、难点：

1、掌握矩形的的概念和性质定理；

2、矩形性质定理的运用。

课型：新授课

教法：采用“情景引入——探索发现——猜想证明——归纳总结”教学模式

学法：采用“观察——猜想——证明——归纳”学习模式

课时：1课时

教学过程：

第一环节：创设情景，导入新课

1、平行四边形具有哪些性质？

2、探究矩形的定义。

利用一个活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察。在演示过程

中让学生思考：

(1)在运动过程中四边形还是平行四边形吗？

(2)在运动过程中四边形不变的是什么？

(3)在运动过程中四边形改变的是什么？

不变：对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形

变：角的大小

(4)角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形。(矩形)

矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形

第二环节：分组讨论，探究新知

1.既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？

教师对学生的回答进行归纳：

边角对角线对称性

类别

矩形对边平行且相等对角相等对角线互相平分中心对称图形

2.但矩形是特殊的平行四边形，它还具有一些特殊性质。

教师在学生口答的基础上，引导学生得出（板书）：

矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.

矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.

第三环节：推理论证

（教师写出定理1、2的已知、求证，请同学分析思路写出证明过程）

已知:如图，四边形ABCD是矩形，ZABC=90°对角线AC与DB相交于点0。

求证：（D/ABC=/BCD=/CDA=NDAB=90°

（2）AC=BD

第四环节：完善性质

问题1：请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。

①矩形是不是中心对称图形？如果是，那么对称中心是什么？

②矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条？

结论：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。

板书矩形的性质：

1、从边来说，矩形的对边平行且相等；

2、从角来说，矩形的四个角都是直角；

3、从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分；

4、从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

第五环节：练习巩固

已知aABC是RtA,ZABC=90°,BD是斜边AC上的中线.

⑴若BD=3cm,则AC=cm；

(2)若NC=30°,AB=5cm,则AC=cm,BD=_____cm.

第六环节：例题讲解

例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点0,ZA0D=120°,AB=2.5cm,

求矩形对角线的长。

证明：•.•四边形ABCD是矩形，

，AC=BD(矩形的对角线相等)

0A=0C=l/2AC,0B=0D=l/2BD,

；.0A=0D。

VZA0D=120°,

AZ0DA=Z0AD=l/2(180°-120°)=30°.

又•••/DAB=90°(矩形的四个角都是直角)

.\BD=2AB=2X2.5=5.

第七环节：小结

(1)矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

(2)矩形的性质

(3)矩形的•条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成两对全等

的等腰三角形。

第八环节布置作业：

第九环节板书设计:

教学反思

2.矩形的性质与判定（二）

教学目标：

一、知识与技能：

1、进一步发展推理论证能力，进一步体会证明的必要性和作用，体会归纳等数学思想方法。

2、能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；

二、过程与方法：

1、经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学

生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；

2、学生通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法；

三、情感态度与价值观：

1、在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；

教学重、难点：

1、运用综合法证明矩形的性质和判定定理；

2、矩形的判定定理的应用。

课型：探究课

教法：采用“诱思导学——合作交流——归纳总结”教学模式

学法：采用“猜想——类比——合作——总结”学习模式

课时：1课时

教学过程：

第一环节：创设情境，提出问题

课前准备小木板和橡皮筋，制作一个如图所示的平行四边形的活动框架。在一个平行四边形活

动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动•对不相邻的顶点时，平行四边形的形

状会发生什么变化？

第二环节：先猜想再实践，发展几何直觉

根据上面的实践活动提出以下两个问题：随着的变化，两条对角线将发生怎样的变化？

当两条对角线相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？

归纳总结

定理两条对角线相等的平行四边形是矩形。

学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；

对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；

请学生交流大体思路；

用规范的数学语言写出证明过程；

第三环节：再创情境，猜想实践

情境二：李芳同学用四步画出一个四边形，“边、直角、边一一直角、边一一直角、边”，她说这

就是一个矩形，她说的对吗？为什么？

学生现猜想然后小组讨论，将讨论的结果进行证明。

定理三个角是直角的四边形是矩形。

第四环节：实际应用；A0

问题：一

①如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是平行四边

形？

BC

②如果仅有一根足够长的绳子，如何判断个四边形是菱形？

③如果仅有一根足够长的绳子，如何判断个四边形是矩形？

请说明如何操作，并说明这样做的原因。

例题讲解

例2：如上图在DABCD中，对角线AC和BD相较于点0,AAB0是等边三角形，AB=4,求DABCD的

面积.

第五环节：练习巩固

1.已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC.

求证：四边形ABCD是矩形.

2.已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相较于点0,

CM〃BD,DM〃AC.

求证:四边形0CMD是矩形.

第六环节：小结

第七环节：布置作业

习题1.51,2题

第八环节板书设计:

教学反思

2.矩形的性质与判定（三）

教学目标：

一、知识与技能：

1、能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；提高实际动手

操作能力。

二、过程与方法：

2、经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学

生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；

三、情感态度与价值观：

1、通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态

度，从而养成良好的习惯。

2、通过课堂的自主探究活动，让学生感受合作学习的成功，培养主动探求、勇于实践的精神，激发

学生学习数学的激情，树立学好数学的信心。

教学重、难点：

1、矩形的性质和判定定理的运用；

2、矩形的计算与证明的归纳总结。

课型：新授课

教法：采用“诱思导学——讲练结合——归纳总结”教学模式

学法：采用“自主探究—合作交流”学习模式

课时：1课时

教学过程：

第一环节复习导入

1.如图1,矩形ABCD的两条对角线相交于点0,已知NA0D=120",AB=2.5cm,

c-

则NDA0=,AC=cm,,矩形”8一。

2.如图2,四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件，可使它成为矩形。

第二环节讲授新课

例3如图1-14,在矩形ABCD中，AD=6,对角线AC与BD交于

点0,AEJ_BD,垂足为E,ED=3BE.求AE的长.

解；四边形ABCD是矩形，

.-.AO=BO=DO=1/2BD（矩形的对角线相等且互相平分）.

NBAD=90°（矩形的四个都是直角）.

VED=3BE,

.,.BE=OE.

又：AEJLBD,

.*.AB=AO.

.*.AB=AO=BO.

即aABO是等边三角形.

AZAB0=60°.

AZADB=90°-ZAB0=30°.

在RtZ\AED中,

VZADB=30°,

.,.AE=1/2AD=1/2X6=3.

例4如图1-15,在aABC中，AB=AC,AD为NBAC的平分线,AN为△ABC外角/CAM的平分线，CE

LAN,垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.

证明：YAD平分NBAC,AN平分/CAM,

.,.ZCAD=1/2ZBAC,ZCAN=1/2ZCAM.

.*.ZDAE=ZCAD+ZCAN

=1/2（ZBAC=ZCAM）

=1/2X180°

=90°.

在4ABC中，

VAB=AC,AD为NBAC的平分线，

AAD1BC.

AZADC=90".

又；CEJ_AN,

ZCEA=90°.

四边形ADCE为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.

第三环节巩固提高

在例题4中，若连接DE,交AC于点F（如图176）

试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论.

线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.

练习：已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的等边aABD和

△CBD组成，M、N分别是BC和AD的中点.

求证：四边形BMDN是矩形.

第四环节课堂小结：

第五环节布置作业

习题1.62,5题

第六环节板书设计:

教学反思

3.正方形的性质与判定（一）

教学目标：

一、知识与技能：

1、在具体情境中理解正方形的特征，得出正方形的概念；

2、在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，体验数学发现的过程，并得出正

确的结论；

3、进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信

息相互转化的能力；

二、过程与方法：

1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能

力；

三、情感态度与价值观：

1、培养学生勇于探索、团结协作交流的精神，激发学生学习的积极性与主动性。

教学重、难点：

1、掌握正方形的概念和性质定理；

2、正方形的性质定理的运用。

课型：探究课

教法：采用“观察——发现——猜想——证明”教学模式

学法：采用“自主探究——合作交流——归纳总结”学习模式

课时：1课时

教学过程：

第一环节：课前准备

搜集身边的矩形（提前布置）。

以合作小组为单位，开展调查活动：各尽所能收集生活中应用的各种矩形图形。

第二环节：情境引入

活动内容：展示学生的成果，包括图片以及实物等各种学生能得到的“图形”。

第三环节：合作学习

第一：①引出“有一组邻边相等的矩形叫做正方形”②正方形是菱形吗?你认I\

为正方形有哪些性质？

第二：通过引导学生回顾关于矩形、菱形的性质、“正方形既是矩形又是菱图is

形”得出关于正方形的两个定理“正方形的四个角都是直角四条边都相等”

“正方形的对角线互相垂直平分”

第三：引用书上的议一议，让学生解决“正方形有几条对称轴”

第四环节：例题讲解

例1：如图1T8,在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF；BE与DF

之间又怎样的关系？请说明理由。

第五环节：议一议

平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？

与同伴交流

第六环节：练习提高

A__________________D

1：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,图中有多少

个等腰三角形？

2：如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF,DF。你/\

能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明。D1/X

（第2题图）

第七环节：课堂小结

正方形的性质：包括其边角关系以及对称性。

将平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的联系建立起适合学生自己的知识结构。

第七环节：布置作业

课本习题1.72,3题

第七环节板书设计：

教学反思

3.正方形的性质与判定（二）

教学目标：

一、知识与技能：

1、掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。

2、发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并

能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力。

二、过程与方法：

1、经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，掌握正方形的判定定理，发现决定中点四边形形状的

因素，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。

三、情感态度与价值观：

1、使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。

2、通过凸四边形的中点四边形的探求过程，以及引申至凹四边形的中点四边形的探求过程，引导学

生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳、类比、转化的思想方法等，培养积极探

索、勇于创新的精神，以及推陈出新的创新能力。

教学重、难点：

1、用综合法证明正方形的判定定理及判定定理的应用；

2、中点四边形的判定方法。

课型：探究课

教法：采用“情景引入——猜想证明——归纳总结”教学模式

学法：采用“动手操作——自主探究——合作交流”学习模式

课时：1课时

教学过程：

第一环节：情景引入

问题：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？

（学生动手折叠、思考、剪切）I

引导学生总结出正方形的判定定理：Q/

对角线相等的菱形是正方形。।

对角线垂直的矩形是正方形。--一/

有一个角是直角的菱形是正方形。

教师用小黑板展示下面的框架图，复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系。

此框架图给出了正方形的判别条件，先判定一个四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形是矩

形，然后再判定这个矩形是菱形；或者先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形。由于判

定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件不一样，所以判定一个四边形是不是正方形

的具体条件相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。

第二环节：例题讲解（例2）

通过例2,复习巩固平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定定理，让学生尝试综合运用特

殊四边形的性质和判定解决问题。

第三环节：猜想结论，分组验证

问题：1.如图，在AABC中，EF为△ABC的中位线，

①若NBEF=30。，则NA=.

②若EF=8cm,则AC=.

2.在AC的下方找一点D,做CD和AD的中点G、H,问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？

3.四边形EFGH的形状有什么特征？

通过问题串，复习三角形中位线性质定理和命题“依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平

行四边形”。

问题：如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？

内容2：学生以数学小组的形式，在众多的特殊四边形（平行四边形，矩形，菱形，正方形）中选

择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形，并验证结论的正确性。

图1_8-4图1-8-5图1-8-61-8-7

归纳结论：

平行四边形的中点四边形是平行四边形；

矩形的中点四边形是菱形；

菱形的中点四边形是矩形；

正方形的中点四边形是正方形。

决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系。

若对角线相等，则中点四边形EFGH为菱形；

若对角线互相垂直，则中点四边形EFGH为矩形；

若对角线既相等，又垂直，则中点四边形EFGH为正方形；

若对角线既不相等，又不垂直，则中点四边形EFGH为平行四边形。

图1-8-7图1-8-12图1-8-13图1-8-14

第四环节：随堂练习

第五环节：课堂小结

第六环节：布置作业

习题1.82、4

第七环节板书设计:

教学反思

第一章回顾与思考

教学目标：

一、知识与技能：

1、复习三种特殊平行四边形的性质及判定，及理解他们之间的关系；

二、过程与方法：

1、经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维；

2、经历课前准备总结，探索三种特殊平行四边形的关系，发展总结归纳能力和初步的演绎推理的能

力；

三、情感态度与价值观：

1、积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；

2、通过“猜想一总结一证明一应用"的数学活动提升科学素养。

教学重、难点：

1、三种特殊平行四边形性质和判定的复习;

2、三种特殊平行四边形的关系；

3、总结关系方法的多样性和系统性。

课型：复习课，练习课

教法：采用启发诱导、类比探究的教学模式

学法：采用“类比探究——归纳总结——灵活应用”学习模式

课时：2课时

教学过程：

第一环节：导入课题

让学生用自己的方式总结三种特殊平行四边形的关系图，课堂上先交流讨论。

第二环节：基础巩固

考察基础的判断题

1、一组对边平行的四边形是梯形。（）

2、一组对边平行，另一组对边相等的的四边形是平行四边形。（）

3、两条对角线相等的四边形是矩形。（）

4、一组邻边相等的的矩形是正方形。（）

5、对角线互相垂直的四边形是菱形。（）

6、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。（）

第三环节：出示例题，总结方法

例1：已知：如图（4）在正方形ABCD中，F为CD延长线上的一点，CE

，AF于E,交AD于M

求证：ZMFD=45°

例2.如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘米，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕

为EFo试确定重叠部分AAEF的面积。

第四环节：复习题

第五环节：总结

第六环节：布置作业：

（1）复习题9,14题（2）复习题15,16题

第五环节板书设计：

教学反思

第二章一元二次方程

1.认识一元二次方程（一）

教学目标：

一、知识与技能：

1、正确理解一元二次方程度概念；

2、掌握一元二次方程的一般形式；

二、过程与方法：

1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学

模型。

三、情感态度与价值观：

2、学生经历合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验和数学思考，具备了一定的合作与交流

的能力；

教学重、难点：

1、一元二次方程的概念及其一般形式；

2、对一元二次方程的概念的理解（特别是a=0的情况）。

课型：定义课

教法：自主探索——合作交流——归纳

学法：探索——合作交流——归纳

课时：1课时

教学过程：

第一环节：自主探究问题一

出示问题一：幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面

积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，根据这一情境，结合已知量你想求哪些

量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？

你能找到图中的矩形地面、条形区域和地毯区域吗？并让一生指出对应的三部分：接着要求学生从

这一实物图中抽象出几何图形，自己画出所抽象出的几何图形，然后教师呈现第二幅图。

教学中教师可以诙完成下列任务：

（1）罗列学生提的问题；

（2）引导学生分析所提问题满足的条件，提出解答的方式；

（3）引导学生列出相应的方程并整理。

从实际效果来看，学生提HI的问题多样有：(1)花边的宽，(2)中央长方形的长、宽等；学生列

方程问题不大，所列方程也多样，依据的等量关系不同，得到的方程也不同；但是，整理方程时显

得困难，这与课前没有复习整式的运算有直接的关系。

第二环节：自主探究问题二

在学生的疑问处提出问题:你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗?

得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？

根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。

第三环节：自主探究问题三

如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙匕梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如

果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？

第四环节：总结归纳

归纳元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次

方程的概念及其项和项的系数。

第五环节：练习巩固

活动内容：

1、把方程(3x+2)2=4(x—3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、-次项系数

和常数项.

2.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2

尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了.你知道竹

竿有多长吗？请根据这一问题列出方程.

第六环节：小结

让学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，学会了什么？还有哪些困惑？

第七环节：布置作业

习题2、1

第七环节板书设计:

教学反思

1.认识一元二次方程（二）

教学目标：

一、知识与技能：

1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，进一步提高学生分析问题的能力。

二、过程与方法：

1、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识

和能力。

三、情感态度与价值观：

1、激发学生求解的意识，培养学生大胆尝试的精神，在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣，培养

学生的合作学习意识，学会在合作学习中相互交流。

教学重、难点：

1、探索一元二次方程的解。

2、由学生概括得出用“夹逼”思想解一元二次方程的实质及步骤；

3、促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力，另一方面又为方程精确解的研究做铺垫。

课型：新授课

教法：探索交流

学法：观察发现——合作交流

课时：1课时

教学过程：

第一环节：复习回顾

活动内容：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：

（8-2x）（5-2x）=18,即:2X2-13X+11=0.

2222

（x+6）+7=10（即：x+12x-15=0o

发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。上一节课的两个问题是否已经得以完全解决?

你能求出各方程中的x吗？

第二环节：情境引入

活动内容：1、有一根外带有塑料皮长为100m的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只

万用表（能测量是否通）进行检查，你怎样快速的找到这一处断裂处？与同伴进行交流。

2、在前一节课的问题中，我们若设所求的宽度为x（m）,得到方程：（8-2X）（5-2X）=18,即：

2X2-13X+11=0.

（1）根据题目的已知条件，你能确定x的大致范围吗？说说你的理由.

（2）x可能小于0吗？可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由，并与同伴进行交流.

(3)完成下表:

X00.511.522.5

2x2-13x+ll

(4)你知道所求的宽度x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗?与同伴进行交流.

活动目的：

设计问题b目的在于激发学生的学习兴趣，同时让学生体会和理解“夹逼”的思想，为2的解决

提供铺垫；

问题2,顺应第1环节，设法求出花边的宽度，这里引领学生经历一个初步估计范围、逐步逼近的

过程，为后续其他问题的解决提供了范本、样例。

问题2,第(1)问，因为x表示的是所求的宽度，学生能意识到x不可能小于0；第(2)问，学生

大多数能够从实际情况出发，意识到当x大于4和当x大于2.5时，将分别使原矩形地面的长和宽

小于0,不符合实际情况；第(3)问，学生在利用计算器对表格中的数据进行计算的过程中发现,

当x=l时,代数式2x2-13x+ll的值等于0；所求的宽度为1m。

第三环节：做一做

活动内容：上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程

(x+6)-+7-=1()2,把这个方程化为一般形式为x?+12x-15=0

(1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？

(2)小明认为底端也滑动了1m,他的说法正确吗?为什么？

(3)底端滑动的距离可能是2m吗?可能是3m吗?为什么？

(4)x的整数部分是几?十分位是几？

第四环节：练习与提高

活动内容：五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方。您能求出这五个整数分别是多

少吗？

第五环节：课堂小结

活动内容：师生互相交流总结探索解一元二次方程的基本思路和关键，以及在求解(或近似解)时

应注意的问题。

第六环节：布置作业

习题2.2第1题、第2题、第3题.

第七环节板书设计:

教学反思

2.用配方法求解一元二次方程(一)

教学目标：

一、知识与技能：

1、会用开方法解形如(x+加尸的方程，理解配方法，会用配方法解二次项系数为1

的一元二次方程；

二、过程与方法：

1、经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型,

增强学生的数学应用意识和能力；

三、情感态度与价值观：

1、在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。

教学重、难点：

1、理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的•元二次方程；

2、探索如何配方，会把系数为1的一元二次方程配成(尤+=〃("2°)的形式；

3、让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型,

并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想；

课型：新授课

教法：自主探索和讲授相结合

学法：探索——交流——练习

课时：1课时

教学过程：

第一环节：复习回顾

活动内容：1、如果一个数的平方等于4,则这个数是，若一个数的平方等于7,则这个数是。一

个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？

2、用字母表示因式分解的完全平方公式。

活动目的：通过前两个问题，引导学生复习开平方和完全平方公式，为学生后面配方法的学习作好

铺垫。

实际效果：第1和第2问选两三个学生口答，由于问题较简单，学生很快回答出来。

第二环节：自主探究

(1)你能解哪些一元二次方程？

(2)你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？

22222

炉=5.»lx+3=5.»X+2X+1=5.»(X+6)+7=10°

（3）上节课，我们研究梯子底端滑动的距离N〃D满足方程『+12尤-15=°,你能仿照上面儿个

方程的解题过程,求出》的精确解吗?你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里？（合作交流）

第三环节：讲授新课

活动内容1：做一做：（填空配成完全平方式，体会如何配方）

填上适当的数，使下列等式成立。（选4个学生口答）

x~+12.x+=（x+6）-x~-6x+=（x-3）-

x~+8x+=（x+___）2-4x+=（x-____）2

问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如一+以的式子如何配成完全平

方式？（小组合作交流）

活动目的：配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征，在此通过几个

填空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“•次项系数一半的平方”，右边填的是“一

次项系数的一半”，进•步复习巩固完全平方式中常数项与次项系数的关系，为后面学习掌握配

方法解一元二次方程做好充分的准备。

实际效果：由于在复习回顾时己经复习过完全平方式，所以大部分学生很快解决四个小填空题。通

2

过小组的合作交流，学生发现要把形如厂+内的式子如何配成完全平方式，只要加上一次项系数

&

一半的平方即加上2即可。而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,使如何配成完

全平方式的方法更加透彻。事实上，通过对配方的感知的过程，学生都能用自己的语言归纳总结出

配成完全平方式的方法，这就为下一环节“用配方法解一元二次方程”打好基础。由此也反映出学

生善于观察分析的良好品质,而这种品质是在学生自觉行为中得到培养的，体现了学生良好的情感、

态度、价值观。

活动内容2：

例题讲解：

（1）解方程：x2+8x-9=0.（师生共同解决）

解:可以把常数项移到方程的右边，得

x2+8x=9

两边都加上（一次项系数8的一半的平方），得

x2+8x+42=9+42.

（x+4）2=25

开平方，得x+4=±5,

即x+4=5,或x+4=-5.

所以xl=l,x2=-9.

（2）解决梯子底部滑动问题：/+12x-15=0（仿照例1,学生独立解决）

解：移项得x2+12x=15,

两边同时加上62得，x2+12x+62=15+36,即(x+6)2=51

两边开平方，得x+6=±®

所以：玉=病-6,%=一同-6,但因为无表示梯子底部滑动的距离所以尤2=一病-6不

合题意舍去。

答：梯子底部滑动了(、回一6)米。

活动内容3：及时小结、整理思路

用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？(小组合作交流)

第四环节：练习与提高

活动内容：解下列方程

(l)x2-1Ox+25=7;(2)x2—14x=8;(3)x2+3x=l;(4)x2+2x+2=8x

活动目的：对本节知识进行巩固练习。

实际效果：此处留给学生充分的时间与空间进行独立练习，通过练习，学生基本都能用配方法解解

二次项系数为1、一次项系数为偶数的一元二次方程，取得了较好的教学效果，加深了学生对“用

配方法解简单一元二次方程”的理解。

第五环节：课堂小结

活动内容：师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键，以及在应用配方法时应

注意的问题。

活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想(学生畅所欲言，教师给予鼓励)。

第六环节：布置作业

习题2.31题、2、3题

第七环节板书设计：

教学反思

2.用配方法求解一元二次方程（二）

教学目标：

一、知识与技能：

1、经历配方法解一元二次方程的过程，获得解一元二次方程的基本技能；

二、过程与方法：

1、经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；

2、能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一

步培养分析问题、解决问题的意识和能力.

三、情感态度与价值观：

1、在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。

教学重、难点：

1、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；

2、利用一元二次方程解决有关的实际问题；

课型：例题练习讲解课

教法：引导探索—合作交流——讲解归纳

学法：自主练习一合作交流——练习归纳

课时：1课时

教学过程：

第一环节复习回顾

活动内容：回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤。

活动目的：回顾配方法的基本步骤，为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。

实际效果：教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮助学生回顾并整理步骤

例如：x2-6x-40=0

移项，得x2-6x=40

方程两边都加上32（一次项系数一半的平方），得

x2-6x+32=40+32

即（x-3）2=49

开平方，得x-3=土7

即x-3=7或x-3=-7

所以xl=10,x2=-4

学生•般都能整理出配方法解方程的基本步骤：通过对这个方程基本步骤地熟悉学生们顺畅的理清

思路，掌握了每一步的理论依据，增强了解题的信心，达到预期的目的。

配方法的两节课连贯性强，作为一种新的方法，学生在新授期间应多接触，熟练掌握基本的步骤，

掌握每一步的原理，这样会增强学生对这个知识点的驾驭能力。一般的一元二次方程配方解法的步

骤(移项，配方，开平方，求解)及注意事项。移项的目的是将二次项和•次项调整到等号的左边，

常数项调整到右边；配方是将方程的两边添加一个常数项(•次项系数一半的平方)原理是根据公

222

式a+2ab+b=(a+b)进行的：开平方的原理是平方根的定义，需要注意一个正数有两个平

方根，它们是互为相反数；求解的过程是解两个•元一次方程，要注意符号的变化。

第二环节：情境引入

活动内容：1.将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答.

1.x2+2x+=(x+)2

2.x2-4x+=(x-)2

3.x2++36=(x+)2

4.x2+10x+=(x+)2

5.x2-x+=(x_)2

2.请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别

1.x2+6x+8=02.3x2+18x+24=0

第三环节：例题讲解：

例2解方程3x2+8x-3=0

解：方程两边都除以3,得

x2+—x-l=O

3

移项，得X2+—1

3

配方，得父

28_(4丫

X+—%+=1+

33J

x-\—=±-=—9x7=-3

应用提高：333

做一做：一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度hGn)与时间t(S)满足关

系:h=15t-5t2,小球何时能达到10米的高度？

解：根据题意得

15t-5t2=10

方程两边都除以-5,得

t2-3t=-2

配方，得

3

第四环节：练习与提高

活动内容：课本习题2.4问题解决2.

印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树

林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数有多少，两队猴子在一起？大意是说：•群猴

子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12,那么猴子的总数是多少？

请同学们解决这个问题。

解：可设猴子的总数是x,由题意可得

2

(8x)2+12=x

解得xl=16x2=48

答：这群猴子可能是16只，也可能是48只。

第五环节：课堂小结

1.学生总结解一元二次方程的基本步骤；

2.利用一元二次方程解决实际问题的思路，对于结果的理解。

第六环节：布置作业

习题2.4第1题；

第七环节板书设计：

教学反思

3.用公式法求解一元二次方程（一）

教学目标：

一、知识与技能：

1、能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.

二、过程与方法：

1、在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数

学建模意识和合情推理能力。

2、通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。

三、情感态度与价值观：

1、通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交

流的意识和能力

教学重、难点：

1、学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式；

2、正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程；

课型：新授课

教法：引导探索法

学法：合作交流——练习巩固

课时：1课时

教学过程：

第一环节；回忆巩固

活动内容：

①用配方法解下列方程：（l）2x43=7x（2）3X2+2X+1=0

（全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算）

第二环节探究新知

（1）活动1：自主推导求根公式。

提出问题：解一元二次方程：ax2+bx+c=0（a^O）

学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共

同归纳、总结，得出求根公式.

x2+—%+-=0

解：两边都除以一次项系数:a。«

问：为什么可以两边都除以一次项系数:a

答：因为aWO

,b/b、、b2c门

XH--X+(--)----H--=0

2

配方:加上再减去一次项系数一半的平方a2a4aa

/b、,b~-4ac八

a+一).——/L=°

即：=_—4a

.b、、b2—4ac

(》+一)-=,,

a4a'

问：现在可以两边开平方吗？

b：-4ac>0

答：不可以，因为不能保证4"

竺心竺20

问：什么情况下4"

学生讨论后回答：

答：・・•#0

・•・4a2>0

b：-4ac>0

要使4/

只要b'Yac》。即可

b