吉林省长春市2025届高三数学二模考试试题文含解析

PAGE20-吉林省长春市2025届高三数学二模考试试题文（含解析）一､选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解一元二次不等式，解出集合A，然后进行交集的运算即可.【详解】解：因为，；∴.故选：C.【点睛】此题考查集合的交集运算，属于基础题.2.若（），，则（）A.0或2 B.0 C.1或2 D.1【答案】A【解析】【分析】利用复数的模的运算列方程，解方程求得的值.【详解】由于（），，所以，解得或.故选：A【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.3.下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.【详解】函数的定义域为，在上为减函数.A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.B选项，的定义域为，不符合.C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.D选项，的定义域为，不符合.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.4.已知等差数列中，若，则此数列中肯定为0是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将已知条件转化为的形式，由此确定数列为的项.【详解】由于等差数列中，所以，化简得，所以为.故选：A【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.5.若单位向量、夹角为，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面数量积的定义和运算性质计算出的值，进而可得出的值.【详解】由于位向量、夹角为，则，，因此，.故选：C.【点睛】本题考查利用平面对量数量积计算平面对量的模，考查计算实力，属于基础题.6.《中学数学课程标准》(2024版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，依据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（）(注:雷达图(RadarChart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(SpiderChart)，可用于对探讨对象的多维分析)A.甲的数据分析素养高于乙B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养C.乙的六大素养中逻辑推理最差D.乙的六大素养整体水平优于甲【答案】D【解析】【分析】依据雷达图，依次推断每个选项的正误得到答案.【详解】依据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A错误依据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B错误依据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C错误依据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D正确故答案选D【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的实力.7.命题：存在实数，对随意实数，使得恒成立；：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别推断命题和的真假性，然后依据含有逻辑联结词命题的真假性推断出正确选项.【详解】对于命题，由于，所以命题为真命题.对于命题，由于，由解得，且，所以是奇函数，故为真命题.所以为真命题.、、都是假命题.故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的推断，属于基础题.8.已知函数，则函数的零点个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】对分两种状况求方程的根的个数即得解.【详解】当时，或，都满意；当时，，所以方程没有实数根.综合得函数的零点个数是2.故选：B【点睛】本题主要考查函数的零点的个数的求法，意在考查学生对该学问的理解驾驭水平和分析推理实力.9.已知为锐角，且，则角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对先化切为弦，再利用和角差角的正余弦公式化简即得解.【详解】由题得为锐角，∴∴.因为为锐角，∴.故选：C【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系和和角差角的正余弦公式的应用，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.10.若双曲线（，）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得，的关系，即可得到所求的离心率．【详解】双曲线的一条渐近线方程设为，由题得圆的圆心为，半径，可得圆心到渐近线的距离为，则，化为，所以，故选：．【点睛】本题主要考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算实力，属于基础题．11.已知数列的前项和为，且，（），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题得再利用累乘法求出，即得.【详解】由题得（）所以（）由题得，所以（）.所以所以.所以.故选：B【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列前项和与的关系，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.12.在正方体中，点，，分别为棱，，的中点，给出下列命题：①；②；③平面；④和成角为.正确命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【详解】设正方体边长为，建立空间直角坐标系如下图所示，，.①，，所以，故①正确.②，，不存在实数使，故不成立，故②错误.③，，，故平面不成立，故③错误.④，，设和成角为，则，由于，所以，故④正确.综上所述，正确的命题有个.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系向量推断方法，考查运算求解实力，属于中档题.二､填空题13.若满意约束条件，则的最大值为__________．【答案】4【解析】【详解】作出可行域如图所示：由，解得.目标函数，即为，平移斜率为-1的直线，经过点时，.14.曲线在处的切线与直线垂直，则________.【答案】1【解析】【分析】先求出切线的斜率解方程即得解.【详解】由题得所以.故答案为：1【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查两直线垂直的性质，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.15.在半径为2的圆上有，两点，且，在该圆上任取一点，则使得为锐角三角形的概率为________.【答案】【解析】【分析】如图，当点P在劣弧CD上运动时，为锐角三角形.求出劣弧CD的长，再利用几何概型的概率公式求解.【详解】如图，四边形ABCD是矩形，当点P在劣弧CD上运动时，为锐角三角形.由于OD=OC=CD=2，所以,所以劣弧CD的长为，由几何概型的概率公式得.故答案为：【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.16.三棱锥的顶点都在同一个球面上，满意过球心，且，则三棱锥体积的最大值为________；三棱锥体积最大时，平面截球所得的截面圆的面积为________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由于是球的直径，故当时，三棱锥体积取得最大值，由此求得体积的最大值.求得三棱锥体积最大时，等边三角形的外接圆半径，由此求得等边三角形的外接圆的面积，也即求得平面截球所得的截面圆的面积.【详解】依题意可知，是球的直径，所以当，即时，三棱锥体积取得最大值为.此时，即三角形是等边三角形，设其外接圆半径为，由正弦定理得，所以等边三角形的外接圆的面积，也即平面截球所得的截面圆的面积为.故答案为：(1).(2).【点睛】本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查球的截面面积的计算，考查空间想象实力，属于中档题.三､解答题17.已知在的三个内角分别为、、，，.（1）求的大小；（2）若，求长【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题得，再解方程即得解；（2）求出，再利用正弦定理得解.【详解】（1）由题得，所以，所以，解得，，∴.（2）由正弦定理得.【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查和角的正弦公式的应用，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.18.2024年入冬季节，长春市民为了迎接2024年北京冬奥会，增加身体素养，主动开展冰上体育熬炼.现从速滑项目中随机选出100名参加者，并由专业的评估机构对他们的熬炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参加者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求的值；（2）将选取的100名参加者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列列联表补充完整，并推断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男性30女性50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）【答案】（1）（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为列方程，解方程求得的值.（2）依据表格数据填写列联表，计算出的值，由此推断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【详解】（1）由题意，解得.（2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为.完善列联表如下：擅长不擅长合计男性203050女性104050合计3070100，比照表格可知，，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【点睛】本小题主要考查依据频率分布直方图计算小长方形的高，考查列联表独立性检验，属于基础题.19.如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，分别为，的中点，为棱上一点，且.（1）求证；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面MNG,MG即得证；（2）设与交于点，先求出，再求出即得解.【详解】（1）由题意平面平面，因为,所以平面,因为平面,所以,因为,平面,,所以平面MNG,因为MG平面MNG,所以MG.（2）设与交于点，在直角△中，,在直角中，,所以，则，因为平面MNG,所以就是到平面的距离，可知到平面的距离为.【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，考查空间点到平面距离的计算，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.20.已知椭圆：（）的左、右顶点分别为、，焦距为2，点为椭圆上异于、的点，且直线和的斜率之积为.（1）求的方程；（2）设直线与轴的交点为，过坐标原点作交椭圆于点，试证明为定值，并求出该定值.【答案】（1）（2）证明见解析；该定值为【解析】【分析】（1）由已知得，且，即得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为：，求出，，再计算得其值为定值.【详解】（1）已知点椭圆：（）上，可设，即，又，且，可得椭圆的方程为.（2）设直线的方程为：，则直线的方程为.联立直线与椭圆的方程可得：，由，可得，联立直线与椭圆的方程可得：，即，即.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.21.已知函数.（1）若为的极值点，且（），求的值.（2）求证：当时，有唯一的零点.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题得，，对两式消元因式分解即得的值；（2）由题得，再分析和的图象即得当时，有唯一的零点.【详解】（1）由题得，由题可知，所以，所以（i）因为，所以.即（ii）（ii）-（i）得，所以.（2）令，则，令，，可知在和上单调递增，在上单调递减，又，；为过点的直线，又，则，因此有且只有一个交点，即有唯一的零点.【点睛】本题主要考查利用导数探讨函数零点和极值，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.22.已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（1）求和的一般方程；（2）过坐标原点作直线交曲线于点（异于），交曲线于点，求的最小值.【答案】（1）曲线的一般方程为：；曲线的一般方程为：（2）【解析】【分析】（1）消去曲线参数方程中的参数，求得和的一般方程.（2）设出过原点的直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，求得的表达式，结合三角函数值域的求法，求得的最小值.【详解】（1）曲线的一般方程为：；曲线的一般方程为：.（2）设过原点的直线的极坐标方程为；由得，所以曲线的极坐标方程为在曲线中，.由得曲线的极坐标方程为，所以而到直线与曲线的交点的距离为，因此，即的最小值为.【点睛】本小题主要考查参数方程化为一般方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.23.已知函数.（