初升高衔接数学(例题+练习+详解)

初升高衔接·数学专题一绝对值知识梳【知识点1】初中知识要点在初中，我们学习了正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.几何意义：在数轴上一个数对应的点与原点之间的距离叫作该数的绝对值．公式1|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a＞0，,0，a＝0，,－a，a＜0.))【知识点2】高中拓展要求会使用“零点分段法”化简包含若干个绝对值之和的算式．公式2|ab|＝|a|·|b|.公式3eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＝eq\f(|a|,|b|).公式4|a|＝|a|·|b|.【知识点3】基础记忆知识例一般地，数a的绝对值|a|表示数a对应的点与原点的距离．同理，绝对值|a－b|表示数轴上数a对应的点与数b对应的点的距离．例如：|3－0|指在数轴上表示数3的点与原点的距离，所以3的绝对值是3，即|3－0|＝|3|＝3.|6－2|指数轴上表示6的点和表示2的点的距离，所以数轴上表示6的点和表示2的点的距离是4，即|6－2|＝4.结合数轴与绝对值的知识解答下列问题：(1)解含绝对值的方程|x＋2|＝1得x的解为________；(2)解含绝对值的不等式|x＋5|＜3得x的取值范围是________；(3)求含绝对值的方程eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,6)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(11,6)))＝2的整数解是________；(4)解含绝对值的不等式：|x－1|＋|x－3|＞4.分析(1)根据绝对值的方程定义解得答案即可．(2)解出不等式|x＋5|＜3的解集即可．(3)去掉绝对值，再根据方程的正负值求得方程的解集即可．(4)去掉绝对值，再根据解得不等式的正负值即可．解(1)因为|x＋2|＝1，所以x＋2＝1或x＋2＝－1，解得x＝－1或x＝－3，故答案为－1或－3；(2)因为|x＋5|＜3，所以－3＜x＋5＜3，解得－8＜x＜－2，故答案为－8＜x＜－2；(3)方程eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,6)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(11,6)))＝2的解是数轴上到－eq\f(11,6)与到eq\f(1,6)等于2的所有点的组成，所以－eq\f(11,6)≤x≤eq\f(1,6)，则该方程的整数解为x＝－1或x＝0；(4)解法一：由x－1＝0，得x＝1；由x－3＝0，得x＝3；①若x＜1，不等式可变为－(x－1)－(x－3)＞4，即－2x＋4＞4，解得x＜0，又x＜1，所以x＜0；②若1≤x＜3，不等式可变为(x－1)－(x－3)＞4，即2＞4，所以不存在满足条件的x；③若x≥3，不等式可变为(x－1)＋(x－3)＞4，即2x－4＞4,解得x＞4.又x≥3，所以x＞4.综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4.解法二：如图，|x－1|表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为3的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|.所以，不等式|x－1|＋|x－3|＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4.由|AB|＝2，可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．x＜0或x＞4.专题练习1.|－1|的相反数是()A.－1 B.1C.0 D.22.若|x|＝2，|y|＝3，且x，y异号，则|x＋y|的值为()A.5 B.5或1C.1 D.1或－13.若|a|＝3，|b|＝2，且a＜b，则a＋b的值是()A.5或1 B.1或－1C.5或－5 D.－5或－14.已知a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是()A.a＜－a＜b B.|a|＞b＞－aC.－a＞|a|＞b D.|a|＞|－1|＞b5.三个数a，b，c均不为0，且a＋b＋c＝0，则eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＋eq\f(c,|c|)＝()A.1 B.－1C.1或－1 D.06.如果|x＋1|＝1＋x，|3x＋2|＝－3x－2，那么x的取值范围是()A.－1≤x≤－eq\f(2,3) B.x≥－1C.x≤－eq\f(2,3) D.－eq\f(2,3)≤x≤－17.设有理数a，b，c满足a＞b＞c(ac＜0)，且|c|＜|b|＜|a|，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(a＋b,2)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(b＋c,2)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a＋c,2)))的最小值是()A.eq\f(a－c,2) B.eq\f(a＋b＋2c,2)C.eq\f(2a＋b＋c,2) D.eq\f(2a＋b－c,2)8.已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|b－c|－3|c－a|－|a＋b|＝________.9.若|a－2021|＋eq\r(b＋2021)＝2，其中a，b均为整数，则符合题意的有序数对(a，b)的组数是________．10.已知a，b，c为3个自然数，满足a＋2b＋3c＝2021，其中a≤b≤c，则|a－b|＋|b－c|＋|c－a|的最大值是________11.解不等式：(1)|x－2|≤3;(2)x2－5|x|＋6＞0.12.解不等式：|x－4|＋|x＋2|＞8.专题二乘法公式知识梳理【知识点1】初中知识要点在初中，我们学习了多项式的乘法运算，知道乘法公式可以使多项式的运算变得更为简便，初中主要学习了两个基本的乘法公式——平方差公式和完全平方公式．公式1平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.公式2完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.【知识点2】高中拓展高中代数部分是以函数为主线展开学习的，为研究函数的性质，需要同学们具有较强的代数恒等变形能力，也就是说，在高中学习中还会遇到更为复杂的多项式的乘法运算．因此，在本专题中，我们将拓展乘法公式的内容，补充一些高中常用的乘法公式．由于(a＋b)3＝(a＋b)2(a＋b)＝(a2＋2ab＋b2)(a＋b)＝a3＋a2b＋2a2b＋2ab2＋ab2＋b＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3于是有公式3完全立方和公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3将公式3中的b全部换成－b.于是有公式4完全立方差公式：(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3由完全立方和公式可得(a＋b)3－3a2b－3ab2＝a3＋b3，即(a＋b)[(a＋b)2－3ab]＝a3＋b3于是有公式5立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.仿公式4，请同学们思考：公式6立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________.由于(a＋b＋c)2＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc于是有公式7(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc同时，我们还应注意乘法公式的一些常见变形：1.a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；2.a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；3.(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)；4.a3＋b3＝(a＋b)3－3ab(a＋b)．【知识点3】基础记忆知识例1已知a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，求a2＋b2＋c2的值．解a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝8.例2设a，b，c为三角形的三条边，已知a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋a2c分析此问题就是要想办法证明a＝b＝c.在一个已知等式a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋a2c2中，要证明a＝b＝c，一般采用由x2＋y2＋z2＝0可得到x＝0，y＝0，z＝解因为a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2a4＋2b4＋2c4＝2a2b2＋2b2c2＋a4＋a4＋b4＋b4＋c4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c2a(a4－2a2b2＋b4)＋(b4－2b2c2＋c4)＋(c4－2c2a2＋a4(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0，所以a2－b2＝0，b2－c2＝0，c2－a2＝0同时成立．又因为a，b，c为三角形的三条边，即a>0，b>0，c>0，所以a＝b，b＝c，c＝a同时成立，所以a＝b＝c.因此三角形为等边三角形．专题练习1.下列各式中，不一定成立的是()A.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B.(b－a)2＝a2－2ab＋b2C.(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D.(a－b)2＝a2－b22.已知p2＋q2＝169，p－q＝7，那么pq的值为()A.120 B.60C.30 D.153.已知x－eq\f(1,x)＝1，则x2＋eq\f(1,x2)＝()A.0 B.1C.2 D.34.若x2－kxy＋9y2是一个完全平方式，则常数k的值为()A.6 B.－6C.±6 D.无法确定5.计算(x4＋1)(x2＋1)(x＋1)(x－1)的结果是()A.x8＋1 B.x8－1C.(x＋1)8 D.(x－1)86.计算2019×2021－20202的结果是()A.1 B.－1C.2008 D.－20087.化简(y－3)(y2＋3y＋9)的结果是()A.y3－27 B.y3－9y－27C.y3＋27 D.y3＋18y－278.设M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,n)))3，N＝n3＋eq\f(1,n3)＋6，对于任意n>0，则M，N大小关系为()A.M≥N B.M>NC.M≤N D.不一定9.仔细观察杨辉三角系数表，按规律写出(a＋b)4展开式所缺的系数：(a＋b)1＝a＋b(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b(a＋b)4＝a4＋4a3b＋________a2b2＋4ab3＋b10.已知a2－3a＋1＝0，求a4＋eq\f(1,a4)的值为________．11.已知x2－3x－1＝0，则x3＋eq\f(1,x3)＝________.12.计算：(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)．13.已知a＋b＋c＝0，求aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＋\f(1,c)))＋beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)＋\f(1,a)))＋ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))的值．专题三因式分解(十字相乘法、分组分解法)知识梳理【知识点1】初中知识要点把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解，它与多项式乘法运算是互逆变形．主要方法有方法1提取公因式法：am＋bm＝m(a＋b)．即将多项式中各单项式相同的数字因数或字母因式提出来进行因式分解．方法2公式法：运用乘法公式进行逆推．常见的公式如下：(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)；(2)a2±2ab＋b2＝(a±b)2；(3)a3±b3＝(a±b)(a2∓ab＋b2)；(4)a3±3a2b＋3ab2＋b3＝(a±b)3(5)a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝(a＋b＋c)2(6)a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)．【知识点2】高中拓展因式分解是高中学习的一个很重要的数学工具，在高中函数、不等式、数列和解析几何等学习中都是不可少的内容，初中学习的提公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解，到高中是很不够用的，因而为了能更好地进入高中学习，顺利地完成高中学习任务，我们需要补充一些因式分解的知识和方法．方法3分组分解法观察多项式xm＋xn＋ym＋yn，它的各项并没有公因式，也不能直接套用公式，因此不能利用提取公因式法和公式法进行分解因式，但是我们观察到该式前面两项有公因式x，后面两项有公因式y，分别提取后得到x(m＋n)＋y(m＋n)，这时又有了公因式m＋n，因此能把多项式xm＋xn＋ym＋yn分解因式，分解过程为xm＋xn＋ym＋yn＝x(m＋n)＋y(m＋n)＝(m＋n)(x＋y)．一般地，把多项式分组解，在各组分解因式的基础上，再完成整个多项式的因式分解，这种方法叫作分组分解法．方法4十字相乘法1×p＋1×q＝p＋q我们知道，形如x2＋(p＋q)x＋pq的二次三项式，它的特点是二次项系数是1，常数pq与一次项系数p＋q可以通过如右图的“十字相乘，乘积相加”的方式建立联系，得到x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)，这种方法能推广吗？下面来看二次三项式mnx2＋(mb＋na)x＋ab，将其二次项系数mn，常数项ab写成下列十字形式：发现“十字相乘，乘积相加”，结果恰好为一次项的系数mb＋na，由于(mx＋a)(nx＋b)＝mnx2＋(mb＋na)x＋ab，从而有mnx2＋(mb＋na)x＋ab＝(mx＋a)(nx＋b)．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫作十字相乘法．【知识点3】基础记忆知识例1把下列各式因式分解：(1)－2x3＋16x2－24x；(2)(a2＋b2－c2)2－4a2b2(3)(x2－x－3)(x2－x－5)－3.分析(1)先提取公因式－2x，得到－2x(x2－8x＋12)，再利用十字相乘法分解即可；(2)直接应用平方差公式和完全平方公式逐步分解即可；(3)将多项式整理成(x2－x－4＋1)(x2－x－4－1)－3，利用平方差公式计算多项式得到(x2－x－4)2－22，再利用平方差公式和十字相乘法逐步分解即可．解(1)－2x3＋16x2－24x＝－2x(x2－8x＋12)＝－2x(x－2)(x－6)；(2)(a2＋b2－c2)2－4a2b＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab)＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2]＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)；(3)(x2－x－3)(x2－x－5)－3＝(x2－x－4＋1)(x2－x－4－1)－3＝(x2－x－4)2－1－3＝(x2－x－4)2－22＝(x2－x－4＋2)(x2－x－4－2)＝(x2－x－2)(x2－x－6)＝(x－2)(x＋1)(x－3)(x＋2)．说明从此例可以看出，常数项为正数对，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．例2把下列各式因式分解：(1)a2－ab＋ac－bc；(2)x3＋x2y－xy2－y3；(3)a2＋b2＋c2－2bc－2ab＋2ca；(4)x5－x4＋x3－x2＋x－1.分析(1)用分组分解法，第一、二项一组，第三、四项一组，分别提取公因式后，再提公因式即可分解；(2)用分组分解法，第一、二项一组，第三、四项一组，分别提取公因式后，再提公因式即可分解；(3)先分组为(a2－2ab＋b2)＋(2ca－2bc)＋c2，再分别用完全平方公式及提公因式法分解，最后用完全平方公式分解即可；(4)用分组分解法，前三项一组，后三项一组，第一组提取公因式后，再提公因式即可分解，最后用立方差公式分解即可．解(1)a2－ab＋ac－bc＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)；(2)x3＋x2y－xy2－y3＝(x3＋x2y)－(xy2＋y3)＝x2(x＋y)－y2(x＋y)＝(x＋y)(x2－y2)＝(x＋y)(x＋y)(x－y)＝(x＋y)2(x－y)；(3)a2＋b2＋c2－2bc－2ab＋2ca＝(a2－2ab＋b2)＋(2ca－2bc)＋c2＝(a－b)2＋2c(a－b)＋c＝(a－b＋c)2；(4)原式＝(x5－x4＋x3)－(x2－x＋1)＝x3(x2－x＋1)－(x2－x＋1)＝(x3－1)(x2－x＋1)＝(x－1)(x2＋x＋1)(x2－x＋1)．说明用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法，本题也可以将一、四项作为一组，二、三项作为一组，同学们不妨一试．专题练习1.多项式x2－3x＋a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别是()A.10和－2 B.－10和2C.10和2 D.－10和－22.把(x2＋2x)2－7(x2＋2x)－8分解因式，结果正确的是()A.(x＋1)2(x2＋2x－8) B.(x2＋2x－8)(x2＋2x＋1)C.(x＋4)(x－2)(x＋1)2 D.(x－4)(x＋2)(x＋1)23.把x3＋x2y－xy2－y3分解因式，正确的结果是()A.(x＋y)(x2－y2) B.x2(x＋y)－y2(x＋y)C.(x＋y)(x－y)2 D.(x＋y)2(x－y)4.现有纸片：4张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形(a＜b)，8张宽为a，长为b的长方形，用这15张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的边长为()A.2a＋3b B.2a＋C.a＋3b D.3a＋25.在x3－4x2＋5x－k中，有一个因式为(x＋2)，则k的值为()A.－34 B.34C.2 D.－26.因式分解x2＋ax＋b，甲看错了a的值，分解的结果是(x＋6)(x－1)，乙看错了b的值，分解的结果为(x－2)(x＋1)，那么x＋ax＋b分解因式正确的结果为()A.(x－2)(x＋3) B.(x＋2)(x－3)C.(x－2)(x－3) D.(x＋2)(x＋3)7.设a，b，c是△ABC的三条边，且a3－b3＝a2b－ab2＋ac2－bc2，则这个三角形是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形8.已知a＝2002x＋2003，b＝2002x＋2004，c＝2002x＋2005，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为()A.0 B.1C.2 D.39.因式分解：2(x2＋x)2－3(x2＋x)－2＝________.10.将式子(a2＋a)(a2＋a－1)－2分解因式，结果等于__________________．11.若实数x满足x2－2x－1＝0，则2x3－7x2＋4x－2017＝________.12.若△ABC的三边满足a2－2bc＝c2－2ab，则△ABC的形状为__________________．13.分解因式：(1)(1－x2)(1－y2)＋4xy；(2)(2x2－3x＋1)2－22x2＋33x－114.在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3－x分解结果为x(x＋1)(x－1)．当x＝20时，x－1＝19，x＋1＝21，此时可得到数字密码201921，或者是192021.(1)根据上述方法，当x＝16，y＝4时，对于多项式x3－xy2分解因式后可以形成哪些数字密码(写出两个即可)?(2)将多项式x3＋(m－n)x2＋nx因式分解后﹐利用题目中所示的方法，当x＝10时可以得到密码101213，求m，n的值．15.分解因式：x4＋y4＋z4－2x2y2－2x2z2－2y2z2.16.分解因式：x2＋xy－6y2＋2x＋11y－3.专题四分式及其运算知识梳理【知识点1】初中知识要点1.分式：用A，B表示两个整式，如果B中含有字母，那么式子eq\f(A,B)叫作分式，其中B≠0.2.分式性质：eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M)(M为不等于零的整式)．3.分式运算：(1)同分母加减eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c)；(2)异分母加减eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad,bd)±eq\f(bc,bd)＝eq\f(ad±bc,bd)(关键在于先找到最简公分母)．一、分式运算的方法和技巧分式的运算以及分式的概念、基本性质、运算法则为基础，其中分式的加减运算是难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，并以整式变形、因式分解为工具进行运算，通分一般有以下技巧：1.等式中含有整式，其分母可看作1.2.当分子的次数高于或等于分母次数时，可将其分离为整式与真分式之和．3.先约分，后通分，可简化计算．4.合理搭配，分组通分，化整为零．5.拆项相消后通分．6.分步通分，逐步计算．7.换元后通分．二、有条件的分式的化简与求值解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件；既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧：1.恰当地引入参数进行换元．2.取倒数或利用倒数关系．3.拆项变形或拆分变形．4.整体代入．5.利用比例性质等．三、分式的证明1.一般恒等式证明的途径：(1)由繁到简，即从等式较复杂的一边入手，经过配方、因式分解、换元、降次等多种变形，逐步推到另一边；(2)将等式两边同时变形为同一个代数式，即“相向趋进”，推出一个中间相等的结果．2.条件恒等式证明的途径：(1)从条件出发，逐渐推出结论(由因素果)；(2)当所给条件较简单时，可先将结论变形，然后将条件代入(执果索因)．【知识点2】基础记忆知识例1若eq\f(5x＋4,xx＋2)＝eq\f(A,x)＋eq\f(B,x＋2)，求常数A，B的值．解因为eq\f(A,x)＋eq\f(B,x＋2)＝eq\f(Ax＋2＋Bx,xx＋2)＝eq\f(A＋Bx＋2A,xx＋2)＝eq\f(5x＋4,xx＋2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＋B＝5，,2A＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝2，,B＝3.))例2已知abc＝1，求证：eq\f(a,ab＋a＋1)＋eq\f(b,bc＋b＋1)＋eq\f(c,ac＋c＋1)＝1.分析此题直接通分太繁，不可取．观察求证式子的左边，发现作轮换a→b→c→d，可将其中一项变为另两项，结合已知条件，可以有以下两种策略：解法一：因为abc＝1，所以a，b，c均不为零．左边＝eq\f(a,ab＋a＋1)＋eq\f(ab,abc＋b＋1)＋eq\f(abc,abac＋c＋1)＝eq\f(a,ab＋a＋1)＋eq\f(ab,abc＋ab＋a)＋eq\f(abc,abac＋abc＋ab)＝eq\f(a,ab＋a＋1)＋eq\f(ab,1＋ab＋a)＋eq\f(1,a＋1＋ab)＝eq\f(a＋ab＋1,ab＋a＋1)＝1＝右边．解法二：因为abc＝1，所以a，b，c均不为零．左边＝eq\f(a,ab＋a＋abc)＋eq\f(b,bc＋b＋1)＋eq\f(bc,bac＋c＋1)＝eq\f(1,b＋1＋bc)＋eq\f(b,bc＋b＋1)＋eq\f(bc,bac＋bc＋b)＝eq\f(1,b＋1＋bc)＋eq\f(b,bc＋b＋1)＋eq\f(bc,1＋bc＋b)＝eq\f(1＋b＋bc,bc＋b＋1)＝1＝右边．专题练习1.如果分式eq\f(x＋1x－1,x－2x＋1)的值为零，那么x的值是()A.1 B.－1C.2 D.±12.若x是整数，则使分式eq\f(8x＋2,2x－1)的值为整数的x值有()A.2个 B.3个C.4个 D.5个3.若a＋b＋c＝0，则aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＋\f(1,c)))＋beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)＋\f(1,a)))＋ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＋3的值为()A.1 B.－1C.±1 D.04.观察下列等式：a1＝n，a2＝1－eq\f(1,a1)，a3＝1－eq\f(1,a2)，…，根据其蕴含的规律可得()A.a2013＝n B.a2013＝eq\f(n－1,n)C.a2013＝eq\f(1,n－1) D.a2013＝eq\f(1,1－n)5.规定★为：x★y＝eq\f(1,xy)＋eq\f(1,x＋1y＋A).已知2★1＝eq\f(2,3)，则25★26的值为()A.－eq\f(2,675) B.eq\f(4,675)C.eq\f(2,675)或－eq\f(2,675) D.eq\f(2,675)6.已知x2－5x－2006＝0，则代数式eq\f(x－23－x－12＋1,x－2)的值是()A.2006 B.2007C.2008 D.20107.若分式eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝2，则分式eq\f(4x＋5xy－4y,x－3xy－y)的值等于()A.－eq\f(3,5) B.eq\f(3,5)C.－eq\f(4,5) D.eq\f(4,5)8.当x分别取2020、2018、2016、…、2、0、eq\f(1,2)、eq\f(1,4)、…、eq\f(1,2016)、eq\f(1,2018)、eq\f(1,2020)时，计算分式eq\f(x－1,x＋1)的值，再将所得结果相加，其和等于()A.－1 B.1C.0 D.20209.若eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝2，则eq\f(2x＋3xy－2y,x－2xy－y)的值是________．10.分式eq\f(m－1m－3,m2－3m＋2)的值为0，则m＝________.11.若x＋eq\f(1,x)＝3，则eq\f(x2,x4＋x2＋1)的值为________．12.已知3m＝4n≠0，则eq\f(m,m＋n)＋eq\f(n,m－n)－eq\f(m2,m2－n2)＝________.13.化简：eq\f(x2＋3x＋9,x3－27)＋eq\f(6x,9x－x3)－eq\f(x－1,6＋2x).14.已知eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝0，求证：a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2.15.证明：对任意大于1的正整数n,有eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,nn＋1)＜eq\f(1,2).16.已知eq\f(ab,a＋b)＝5，eq\f(bc,b＋c)＝－5，eq\f(ca,c＋a)＝eq\f(1,6)，求eq\f(abc,ab＋bc＋ca)的值．17.先观察下列各式，再完成题后问题：eq\f(1,2×3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)；eq\f(1,3×4)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)；eq\f(1,4×5)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,5).(1)①写出：eq\f(1,5×6)＝________；②请你猜想：eq\f(1,2010×2012)＝________；(2)求eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋eq\f(1,4×5)＋…＋eq\f(1,n－1×n)的值；(3)运用以上方法思考：求eq\f(1,4)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,24)＋eq\f(1,40)＋eq\f(1,60)＋eq\f(1,84)＋eq\f(1,112)＋eq\f(1,144)＋eq\f(1,180)的值．专题五根式及其运算知识梳理【知识点1】初中知识要点1.二次根式定义中eq\r(a)(a≥0)是一个整体，表示非负数a的算术平方根．在实数范围内对负数不能施行开平方运算，故a≥0这个条件必不可少．2.(eq\r(a))2＝a(a≥0)，eq\r(a2)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa>0，,0a＝0，,－aa<0.))(1)(eq\r(a))2(a≥0)的运算顺序是先求一个非负数的算术平方根，然后再平方，注意必须满足a≥0的条件．(2)eq\r(a2)的运算顺序是先平方再开方，取算术平方根．故此式对任何实数都有意义，使用公式时注意eq\r(a2)＝|a|的应用．(3)化简过程中一定要注意符号问题．当性质eq\r(a2)＝－a(a<0)逆运用时应是a＝－eq\r(a2)(a<0)，即把负数a移到根号里面时，应把“－”留在根号外面．3.二次根式具有非负性，即eq\r(a)≥0(a≥0)．【知识点2】高中拓展1.n次根式实际上，数的平方根的概念可以推广，一般地，如果xn＝a，那么x叫作a的n次方根．例如，由于24＝16和(－2)4＝16，我们把2或－2叫作16的4次方根．当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号eq\r(n,a)表示，负的n次方根用符号－eq\r(n,a)表示，也可以把两个方根合起来写作±eq\r(n,a)，例如，eq\r(4,16)＝2，－eq\r(4,16)＝－2，合起来写作±eq\r(4,16)＝±2.类比二次根式的性质，我们得到n次根式的性质：(1)(eq\r(n,a))n＝a(n∈N＋)，特别地，(eq\r(a))2＝a(a≥0)，(eq\r(3,a))3＝a(a∈R)．(2)当n是正奇数时，eq\r(n,an)＝a；当n是正偶数时，eq\r(n,an)＝|a|.特别地，eq\r(a2)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0，))eq\r(3,a3)＝a(a∈R)．(3)eq\r(n,a)＝aeq\f(1,n)(a>0，n>1，n∈N*)，eq\f(1,an)＝a－n(a≠0，n∈N*)．2.分母(分子)有理化把分母(子)中的根号化去，叫作分母(子)有理化．为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如eq\r(2)与eq\r(2)，3eq\r(a)与eq\r(a)，eq\r(3)＋eq\r(6)与eq\r(3)－eq\r(6)，等等．一般地，aeq\r(x)与eq\r(x)，aeq\r(x)＋beq\r(y)与aeq\r(x)－beq\r(y)互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程．在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式eq\r(a)eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．【知识点3】基础记忆知识例1计算：eq\r(3)÷(3－eq\r(3))．解法一：eq\r(3)÷(3－eq\r(3))＝eq\f(\r(3),3－\r(3))＝eq\f(\r(3)·3＋\r(3),3－\r(3)3＋\r(3))＝eq\f(3\r(3)＋3,9－3)＝eq\f(3\r(3)＋1,6)＝eq\f(\r(3)＋1,2).解法二：eq\r(3)÷(3－eq\r(3))＝eq\f(\r(3),3－\r(3))＝eq\f(\r(3),\r(3)\r(3)－1)＝eq\f(1,\r(3)－1)＝eq\f(\r(3)＋1,\r(3)－1\r(3)＋1)＝eq\f(\r(3)＋1,2).例2试比较下列各组数的大小：(1)eq\r(12)－eq\r(11)和eq\r(11)－eq\r(10)；(2)eq\f(2,\r(6)＋4)和2eq\r(2)－eq\r(6).解(1)因为eq\r(12)－eq\r(11)＝eq\f(\r(12)－\r(11),1)＝eq\f(\r(12)－\r(11)\r(12)＋\r(11),\r(12)＋\r(11))＝eq\f(1,\r(12)＋\r(11))，eq\r(11)－eq\r(10)＝eq\f(\r(11)－\r(10),1)＝eq\f(\r(11)－\r(10)\r(11)＋\r(10),\r(11)＋\r(10))＝eq\f(1,\r(11)＋\r(10))，又eq\r(12)＋eq\r(11)＞eq\r(11)＋eq\r(10)，所以eq\r(12)－eq\r(11)＜eq\r(11)－eq\r(10).(2)因为2eq\r(2)－eq\r(6)＝eq\f(2\r(2)－\r(6),1)＝eq\f(2\r(2)－\r(6)2\r(2)＋\r(6),2\r(2)＋\r(6))＝eq\f(2,2\r(2)＋\r(6))，又4＞2eq\r(2)，所以eq\r(6)＋4＞eq\r(6)＋2eq\r(2)，所以eq\f(2,\r(6)＋4)＜2eq\r(2)－6.例3化简：(1)eq\r(9－4\r(5))；(2)eq\r(x2＋\f(1,x2)－2)(0＜x＜1)．解(1)原式＝eq\r(5－4\r(5)＋4)＝eq\r(\r(5)2－2×2×\r(5)＋22)＝eq\r(2－\r(5)2)＝|2－eq\r(5)|＝eq\r(5)－2.(2)原式＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))，因为0＜x＜1，所以eq\f(1,x)＞1＞x，所以原式＝eq\f(1,x)－x.在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算，二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．专题练习1.下列说法正确的是()A.正数有一个偶次方根 B.负数没有偶次方根C.负数有两个奇次方根 D.正数有两个奇次方根2.当a>0时，eq\r(－ax3)＝()A.xeq\r(ax) B.xeq\r(－ax)C.－xeq\r(－ax) D.－xeq\r(ax)3.把eq\f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))(a≠b)分母有理化的结果是()A.－1 B.eq\f(a＋b,a－b)C.eq\f(a＋b－2\r(ab),a－b) D.eq\f(a＋b－2\r(ab),b－a)4.计算2eq\r(3－2\r(2))＋eq\r(17－12\r(2))的值等于()A.5－4eq\r(2) B.4eq\r(2)－1C.5 D.15.当1<x<2时，化简eq\r(x2－4x＋4)＋eq\r(x2－2x＋1)得()A.2x－3 B.1C.3－2x D.－16.数a，b在数轴上的位置如图所示，化简eq\r(a＋12)＋|a－b|＋2eq\r(1－b2)－|a＋b|的结果是()A.2a－b＋1 B.a－2b＋C.－a＋2b－1 D.2a＋b－7.若a，b为方程x2－6x＋7＝0的两个根，则eq\f(\r(ab)＋a,b＋\r(ab))＋eq\f(\r(ab)－b,a－\r(ab))的值为()A.eq\f(4\r(5),5) B.eq\f(6\r(7),7)C.eq\f(10\r(11),11) D.eq\f(12\r(13),13)8.若a、b、c为有理数，且等式a＋beq\r(2)＋ceq\r(3)＝eq\r(5＋2\r(6))成立，则2a＋999b＋1001c的值是()A.1999 B.2000C.2001 D.不能确定9.设n，k为正整数，A1＝eq\r(n＋3n－1＋4)，A2＝eq\r(n＋5A1＋4)，A3＝eq\r(n＋7A2＋4)…Ak＝eq\r(n＋2k＋1Ak－1＋4)，已知A100＝2021，则n＝()A.1822 B.2005C.3612 D.401110.若x，y为实数，且满足|x－2y－6|＋eq\r(2x＋y－2)＝0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))2021的值是________．11.已知a＝eq\f(1,\r(10)－3)，b＝eq\f(1,\r(10)＋3)，则eq\r(a2＋b2＋7)的值为________．12.已知x＋y＝eq\r(\r(2017)＋\r(2016))，x－y＝eq\r(\r(2017)－\r(2016))，则(1)x2－y2＝________，(2)x4－y4＝________.13.(1)计算：eq\f(\r(12)＋\r(18),\r(3))－eq\r(\f(1,2))×eq\r(3)；(2)已知x＝eq\r(3)＋eq\r(2)，y＝eq\r(3)－eq\r(2)，求x2＋y2－xy－3x＋3y的值．14.已知x＝eq\f(\r(3)＋\r(2),\r(3)－\r(2))，y＝eq\f(\r(3)－\r(2),\r(3)＋\r(2))，求代数式eq\f(\r(xy)＋x＋y2,\r(xy)－x＋y2)的值．15.探索题阅读下列解题过程：eq\f(1,\r(5)＋\r(4))＝eq\f(1×\r(5)－\r(4),\r(5)＋\r(4)\r(5)－\r(4))＝eq\f(\r(5)－\r(4),\r(5)2－\r(4)2)＝eq\r(5)－eq\r(4)＝eq\r(5)－2，eq\f(1,\r(6)＋\r(5))＝eq\f(1×\r(6)－\r(5),\r(6)＋\r(5)\r(6)－\r(\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(5))))＝eq\f(\r(6)－\r(5),\r(6)2－\r(5)2)＝eq\r(6)－eq\r(5).请回答下列问题：(1)观察上面的解题过程，请直接写出eq\f(1,\r(n)－\r(n－1))的结果为________；(2)利用上面所提供的解法，求eq\f(1,1＋\r(2))＋eq\f(1,\r(2)＋\r(3))＋eq\f(1,\r(3)＋\r(4))＋…＋eq\f(1,\r(98)＋\r(99))＋eq\f(1,\r(99)＋\r(100))的值．16.阅读下列两则材料，回答问题：材料一：我们将(eq\r(a)＋eq\r(b))与(eq\r(a)－eq\r(b))称为一对“对偶式”．因为(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))＝(eq\r(a))2－(eq\r(b))2＝a－b，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将(eq\r(a)＋eq\r(b))和(eq\r(a)－eq\r(b))中的eq\r()去掉．例如：已知eq\r(25－x)－eq\r(15－x)＝2，求eq\r(25－x)＋eq\r(15－x)的值．解：(eq\r(25－x)－eq\r(15－x))×(eq\r(25－x)＋eq\r(15－x))＝(25－x)－(15－x)＝10.因为eq\r(25－x)－eq\r(15－x)＝2，所以eq\r(25－x)＋eq\r(15－x)＝5.材料二：如图，点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，以AB为斜边作Rt△ABC，则C(x2，y1)，于是AC＝|x1－x2|，BC＝|y1－y2|，所以AB＝eq\r(x1－x22＋y1－y22).反之，可将代数式eq\r(x1－x22＋y1－y22)的值看作点(x1，y1)到点(x2，y2)的距离．例如：eq\r(x2－2x＋y2＋2y＋2)＝eq\r(x2－2x＋1＋y2＋2y＋1)＝eq\r(x－12＋y＋12)＝eq\r(x－12＋[y－－1]2).所以可将代数式eq\r(x2－2x＋y2＋2y＋2)的值看作点(x，y)到点(1，－1)的距离．(1)利用材料一，解关于x的方程：eq\r(20－x)－eq\r(4－x)＝2，其中x≤4；(2)①利用材料二，求代数式eq\r(x2－2x＋y2－16y＋65)＋eq\r(x2＋4x＋y2－4y＋8)的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝eq\r(2x2＋5x＋12)＋eq\r(2x2＋3x＋6)中解出x，直接写出x的值．专题六一元二次方程根与系数的关系知识梳理【知识点1】初中知识要点一、一元二次方程的解法：1.直接开平方法．2.配方法：把一元二次方程通过配方化成(mx＋n)2＝r(r≥0)的形式，再用直接开平方法求解．3.公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a).4.因式分解法：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的左边可以分解为两个一次因式的积，那么这两个因式至少有一个为0，原方程可转化为两个一元一次方程来解．二、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，用配方法可将其变形为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2＝eq\f(b2－4ac,4a2)(*)判别式Δ＝b2－4ac1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根：x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a).2.当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝－eq\f(b,2a).3.当Δ<0时，方程没有实数根，方程右边是一个负数，而方程的左边eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2不可能是一个负数，因此方程没有实数根．【知识点2】高中拓展若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根：x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)，则有x1＋x2＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)＋eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)＝－eq\f(2b,2a)＝－eq\f(b,a)；x1x2＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)·eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)＝eq\f(b2－b2－4ac,4a2)＝eq\f(4ac,4a2)＝eq\f(c,a).所以一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a)，这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1x2，所以方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0的两根，因此有以x1，x2两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.【知识点3】基础记忆知识例1当m取什么实数时，方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正根？解设方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两实根为x1，x2.解法一：利用根的判别式、根与系数关系(韦达定理)求解．(1)若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正根，则须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac≥0，,x1＋x2＝－\f(b,a)>0，,x1x2＝\f(c,a)>0，))得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m－32－4m≥0，,3－m>0，,m>0，))解得{m|0<m≤1}．所以此时m的取值范围是{m|0<m≤1}．解法二：图象法．若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正根，则二次函数y＝x2＋(m－3)x＋m(有时我们也可以把二次函数记作f(x)＝x2＋(m－3)x＋m)图象与x轴的交点在y轴的右边，如图所示，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m－32－4m≥0，,－\f(b,2a)＝\f(3－m,2)>0，,f0＝m>0，))得到{m|0<m≤1}．例2设m是不小于－1的实数，关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0有两个不相等的实数根x1，x2(1)若xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝6，求m的值；(2)令T＝eq\f(mx1,1－x1)＋eq\f(mx2,1－x2)，求T的取值范围．分析首先根据方程有两个不相等的实数根及m是不小于－1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．(1)变形(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))为[(x1＋xeq\o\al(2,)－2x1x2]，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；(2)化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．解因为方程由两个不相等的实数根，所以Δ＝[2(m－2)]2－4(m2－3m＋＝－4m＋4＞0所以m＜1，又因为m是不小于－1的实数，所以－1≤m＜1.所以x1＋x2＝－2(m－2)＝4－2m，x1·x2＝m2－3m＋(1)因为xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝6，所以(x1＋x2)2－2x1x2＝6，即(4－2m)2－2(m2－3m＋3)整理，得m2－5m＋2＝解得m＝eq\f(5±\r(17),2)；所以－1≤m＜1，所以m＝eq\f(5－\r(17),2).(2)T＝eq\f(mx1,1－x1)＋eq\f(mx2,1－x2)＝eq\f(mx11－x2＋mx21－x1,1－x11－x2)＝eq\f(m[x1＋x2－2x1x2],1－x1＋x2＋x1x2)＝eq\f(m[4－2m－2m2＋6m－6],1－4＋2m＋m2－3m＋3)＝eq\f(－2mm－12,m2－m)＝2－2m因为当m＝0时，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.此时T没有意义．当m≠0时，－1≤m＜1，所以0＜2－2m≤即0＜T≤4且T≠2.专题练习1.下列四个说法：①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为－eq\f(7,3)；④方程3x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0.其中正确说法的个数是()A.1个 B.2个C.3个 D.4个2.若关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是()A.0 B.1C.－1 D.0或－13.已知x1，x2是方程2x2＋2x－3＝0的两个根，则eq\f(2,x\o\al(2,1)－1)－eq\f(1,x\o\al(2,1)＋x2＋1)的值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.1 D.eq\f(4,3)4.若关于x的一元二次方程x2＋2(m－1)x＋m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＋x2>0，x1x2>0，则m的取值范围是()A.m≤eq\f(1,2) B.m≤eq\f(1,2)且m≠0C.m<1 D.m<1且m≠05.若x1，x2是关于x的方程ax2－(3a＋1)x＋2(a＋1)＝0的不相等的两实数根，且x1－x1x2＋x2＝1－a，则a的值为(A.1 B.－1C.1或－1 D.26.已知α，β是方程x2＋2020x＋1＝0的两个根，则(1＋2022α＋α2)(1＋2022β＋β2)的值为()A.1 B.2C.3 D.47.已知xy≠1，且x，y满足5x2＋2018x＋3＝0,3y2＋2018y＋5＝0，则eq\f(x2＋y2,xy)的值为()A.2 B.eq\f(3,5)C.eq\f(34,15) D.eq\f(5,3)8.对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝－x2－10x＋m(m≠0)有两个不相等的零点x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋10x－m－2－0有两个不相等的非零实数根x3，x4(x3＜x4)，则下列关系式一定正确的是()A.0＜eq\f(x1,x3)＜1 B.eq\f(x1,x3)＞1C.0＜eq\f(x2,x4)＜1 D.eq\f(x2,x4)＞19.一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2－8x＋12＝0的根，则该三角形的周长为________．10.若关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根x1，x2满足|x1－x2|＝2，则实数m＝________.11.如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－2m＝1，n2－2n＝1，那么(m＋n)－mn＝12.已知x1，x2是方程x2－(2k－1)x＋(k2＋3k＋5)＝0的两个实数根，且xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝39，则k的值为________．13.若x1，x2分别是一元二次方程2x2＋4x－3＝0的两根．求下列代数式的值：(1)xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)；(2)eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)；(3)|x1－x2|.14.当m为何值时，方程2x2－4x＋m＝0的两根满足：(1)均为正数？(2)一个正数，一个负数？(3)一根为零？(4)互为倒数？15.关于x的方程x2－2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围：(1)两根都小于0；(2)两根都大于1；(3)方程一根大于1，一根小于1.16.已知：关于x的方程(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0有实数根．(1)求k的取值范围；(2)若x1，x2是方程(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0的两个实数根，问：是否存在实数k，使其满足(k－1)xeq\o\al(2,1)＋2kx2＋k＋2＝4x1x2？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．专题七分式方程的解法知识梳理【知识点1】初中知识要点初中我们已经学过可化为一元一次方程的分式方程及其解法．一、解分式方程的基本思路：去分母化分式方程为整式方程求解．二、解分式方程的基本步骤：1.各分式的分母分解因式(若题中已分解好了，这一步可省去)；2.方程两边同时乘以分母的最小公倍数；3.去括号、移项、合并同类项，得一元整式方程；4.解一元整式方程；5.验根、写答案．三、验根的方法：1.求得解代入最小公倍式，会使公倍式为零的为原方程的增根；2.求得解代入原方程分母，会使分母为零的为增根；3.求得解代入原方程左、右两边，会使方程左、右两边相等的解为原方程的根．其中方法1、2用来剔除增根，方法3用来证实原方程的根．【知识点2】高中拓展对分式方程中的分式不止两个或化简后的次数高于二的分式方程，初中没有要求，而在高中新课标中的函数、不等式、数列及平面解析几何学习中又常常用到，为了适应新课标的高中课程学习，我们必须掌握一些较复杂的分式方程的解法和应用．【知识点3】基础记忆知识例1解方程：eq\f(8x2＋2x,x2－1)＋eq\f(3x2－1,x2＋2x)＝11.分析按一般解法，应先去分母，整理后为一元四次方程，结果较繁琐，观察方程，左边的两个分式eq\f(x2＋2x,x2－1)和eq\f(x2－1,x2＋2x)互为倒数，可以通过“换元”，将方程化简．解设eq\f(x2＋2x,x2－1)＝y，则eq\f(x2－1,x2＋2x)＝eq\f(1,y)，于是原方程变形为8y＋eq\f(3,y)＝11，方程两边同乘y，得8y2－11y＋3＝0，解得y1＝1，y2＝eq\f(3,8).经检验，y1＝1，y2＝eq\f(3,8)都是方程8y＋eq\f(3,y)＝11的根．当y＝1时，eq\f(x2＋2x,x2－1)＝1，去分母，整理得x2＋2x＝x2－1，解得x1＝－eq\f(1,2).当y＝eq\f(3,8)时，eq\f(x2＋2x2,x2－1)＝eq\f(3,8)，去分母，整理得5x2＋16x＋3＝0，解得x2＝－3，x3＝－eq\f(1,5).检验：把x1＝－eq\f(1,2)，x2＝－3，x3＝－eq\f(1,5)分别代入原方程的分母，各分母都不为零．所以原方程的根是x1＝－eq\f(1,2)，x2＝－3，x3＝－eq\f(1,5).(1)去分母解分式方程的步骤：①把各分式的分母因式分解；②在方程两边同乘以各分式的最简公分母；③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；④解一元二次方程；⑤验根．(2)验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0.若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解．例2解方程：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x－1)))2－eq\f(3x2,x－1)－4＝0.分析本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设eq\f(x2,x－1)＝y，即得到一个关于y的一元二次方程．最后在已知y的值的情况下，用去分母的方法解方程eq\f(x2,x－1)＝y.解设eq\f(x2,x－1)＝y，则原方程可化为y2－3y－4＝0，解得y＝4或y＝－1.(1)当y＝4时，eq\f(x2,x－1)＝4，去分母，得x2＝4(x－1)，x2－4x＋4＝0，x＝2；(2)当y＝－1时，eq\f(x2,x－1)＝－1⇒x2＝－x＋1⇒x2＋x－1＝0⇒x＝eq\f(－1±\r(5),2).检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0.所以，x＝2，x＝eq\f(－1±\r(5),2)都是原方程的解．专题练习1.用换元法解方程eq\f(x－3,x)－eq\f(2x,x－3)＝1时，可以设y＝eq\f(x－3,x)，那么原方程可以化为()A.y2＋y－2＝0 B.y2＋y－1＝0C.y2－2y－1＝0 D.y2－y－2＝02.已知关于x的分式方程eq\f(x＋k,x＋1)－eq\f(k,x－1)＝1的解为负数，则k的取值范围是()A.k>eq\f(1,2)或k≠1 B.k>eq\f(1,2)且k≠1C.k>eq\f(1,2)且k≠1，k≠0 D.k>eq\f(1,2)且k≠03.如果eq\f(A,x－1)＋eq\f(B,x＋2)＝eq\f(2x＋3,x－1x＋2)，那么A－B的值是()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,3)C.eq\f(1,4) D.24.冬季来临，为防止疫情传播，某学校决定用420元购买某种品牌的消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价购买多了20瓶，求原价每瓶多少元．设原价每瓶x元，则可列出方程为()A.eq\f(420,x－0.5)－eq\f(420,x)＝20 B.eq\f(420,x)－eq\f(420,x＋0.5)＝20C.eq\f(420,x＋0.5)－eq\f(420,x)＝20 D.eq\f(420,x－0.5)＝205.若分式方程eq\f(1,x－2)＋2＝eq\f(kx－1,x－2)有增根，则k的值是()A.1 B.－1C.2 D.－26.若实数(m＋2)有算术平方根，且关于x的分式方程eq\f(1,2－x)－eq\f(1－mx,x－2)＝2有正数解，则符合条件的整数m的和是()A.－3 B.－2C.－1 D.07.若关于x的方程ax2＋4x－2＝0有两个不相等的实数根，且关于x的分式方程eq\f(1,2－x)－eq\f(1－ax,x－2)＝2有正数解，则符合条件的整数a的值是()A.－1 B.0C.1，－1 D.0,18.若a使得关于x的分式方程eq\f(2,x－2)－1＝eq\f(a,2x－4)有正整数解，且方程ax2－4x－2＝0有解，则满足条件的所有整数a的个数为()A.1 B.2C.3 D.49.当x＝________时，分式eq\f(3,x)与eq\f(2,6－x)的值互为相反数．10.若关于x的分式方程eq\f(m－2x,x－2)＝eq\f(1,3)的解大于1，则m的取值范围是________．11.若分式方程eq\f(m,x－3)＝eq\f(2,x－3)＋1有增根，则m＝________.12.江苏某学校食堂有10个供应饭菜的窗口，第1到5号窗口的每一位工作人员的打饭速度是相同的，第6到10号窗口是炒菜炒饭特色窗口，它的每一位工作人员的打饭速度是第1到5号窗口的每一位工作人员速度的eq\f(1,8).小主人委员会同学在执勤时发现，第1到5号窗口分别都有相同数量的同学在排队，第6、7、8号窗口分别都有1号窗口数量的eq\f(1,6)的同学在排队，第9、10号窗口分别都有1号窗口数量的eq\f(1,10)同学在排队，从此时开始计时，第1到5号窗口在10分钟后结束排队，第6、7、8号窗口在18分钟以后结束排队，第9、10号窗口在15分钟以后结束排队．后来小主人委员会的同学从伙食团团长处了解到，第1到5号窗口全部安排给了甲组工作人员负责打饭，第6到10号窗口全部安排给了乙组工作人员负责打饭，其中乙组工作人员的eq\f(3,5)在6、7、8三个窗口打饭，另外的eq\f(2,5)在9、10号两个窗口打完饭后，再到6、7、8号窗口帮忙直到排队结束，如果在排队期间，每个窗口单位时间里来排队吃饭的同学数量相同，那么甲、乙两组工作人员的人数之比是________．13.解方程：eq\f(x－2,x2＋5x＋4)＝eq\f(1,x＋1)＋eq\f(x－4,xx＋4).14.解方程：eq\f(xx＋4,x－1)＋eq\f(72x－72,xx＋4)＝18.15.解方程：eq\f(6y＋12,y2＋4y＋4)－eq\f(y2－4,y2－4y＋4)＋eq\f(y2,y2－4)＝0.16.俗语有言“冬腊风腌，蓄以御冬”，没有腊味，如何能算得上是过冬？腊肉一直享有“一家煮肉百家香”的赞语，腌制好的腊肉，吃起来味道醇香，肥而不腻口，瘦而不塞牙，不论是煎，蒸，炒，炸，皆成美味．三口村店为迎接新年的到来，12月份购进了一批腊肉和香肠，已知用4000元购进腊肉的数量与用5000元购进香肠的数量一样多，其中每袋香肠的进价比每袋腊肉的进价多10元．(1)每袋腊肉和香肠的进价分别是多少元？(2)12月份上半月，该店每袋腊肉和香肠的售价分别为60元和80元，销售量之比为4∶3，销售利润为3400元.12月份下半月，该店调整了销售价格，在上半月的基础上，每袋腊肉的售价增加了eq\f(1,2)a%(a＞0)，每袋香肠的售价减少了eq\f(1,5)a元，结果腊肉的销售量比上半月腊肉的销售量增加了a%，香肠的销售量比上半月香肠的销售量增加了eq\f(1,3)，下半月的销售利润比上半月的销售利润多864元．求a的值．专题八简单的二元二次方程组知识梳理【知识点1】初中知识要点在初中，我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握用代入消元和加减消元两种方法解二元一次方程组，但对二元二次方程组的解法并没有作系统的介绍．【知识点2】高中拓展在高中直线与圆，数列，圆锥曲线等部分内容都涉及怎样求解二元二次方程组，怎样判断二元二次方程组的解的个数，怎样通过方程来研究曲的形状等情况，所以需要补充二元二次方程组的基本类型及解法．1.由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的一般形式是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x2＋b1xy＋c1y2＋d1x＋e1y＋f1＝0，,a2x2＋b2xy＋c2y2＋d2x＋e2y＋f2＝0，))这里a1，b1，c1不同时为零，a2，b2，c2不同时为零．2.解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元和降次”，基本方法有代入法、因式分解法、利用一元二次方程根与系数关系、加减法、换元法等方法，简单的二元二次方程组主要有两类：第一类是由一个二元一次和一个二元二次方程组成的方程组，第二类是由一个二元二次方程和一个可分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组．(1)解第一类的主要思路是将二元一次方程变形后，用代入消元法将二元二次方程转化为一元二次方程，从而求解．(2)解第二类的主要思路是想办法将可分解为两个二元一次方程的二元二次方程分解出来，从而转化为简单的二元二次方程组的解法(第一类)或直接转化为二元一次方程组．3.特殊的二元二次方程组的解法(1)解特殊的二元二次方程组主要是用消常数项法、加减法、换元法等．(2)解可化为二元二次方程组的分式方程组和无解方程组主要是用换元法．4.解特殊的三元二次方程组的主要思路是先消元转化二元二次方程组．【知识点3】基础记忆知识例1解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，1,x2－y2＋3＝0.2))分析由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得y＝2x，代入方程(2)消去y.解由(1)得y＝2x(3)，将(3)代入(2)得x2－(2x)2＋3＝0，解得x1＝1或x2＝－1.把x＝1代入(3)得y2＝2；把x＝－1代入(3)得y2＝－2.所以原方程组的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,y1＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－1，,y2＝－2.))说明解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①由二元一次方程变形为用x表示y的方程，或用y表示x的方程(3)；②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值；⑤写出答案．例2解方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝5x＋y，①,x2＋xy＋y2＝43.②))分析注意到方程x2－y2＝5(x＋y)，可分解成(x＋