《高等数学》教学大纲

《高等数学》教学大纲课程编号：课程性质：专业基础课课程类别：必修课先修课程：学分：4总学时数：144周学时数：4开课单位：计算机科学系一、课程简介高等数学是理工科(非数学)本科专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，使学生会获得高等数学各方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础；逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，培养学生综合运用所学数学知识去分析问题和解决问题的能力。二、培养目标知识培养目标通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、微分方程；4、向量代数与空间解析几何；5、多元函数微积分学；6、无穷级数等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。(二)能力培养目标引导学生在生活实践中使用数学，在其它课程中应用数学，增强运用数学方法、借助计算机来分析和解决实际问题的能力；形成积极应用数学的氛围，在教学活动中，渗透素质教育，使学生提高逻辑思维能力，注重培养严谨求实的科学态度，树立科学的世界观。三、课程内容（请细化到每一节的内容）第一章函数与极限§1.1映射与函数【学时】：4【了解】:1.函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。2.反函数的概念。3.建立简单应用问题中的函数关系式的方法。【掌握】:1.函数的概念，函数的表示方法。 2.复合函数及分段函数的概念。3.基本初等函数的性质及其图形【重点】:1.复合函数及分段函数的概念。2．基本初等函数的性质及其图形。【难点】:分段函数的建立与性质§1.2数列极限【学时】：2【了解】:数列的极限与其子数列的极限之间的关系【掌握】:1.数列极限的概念，数列极限的性质。2.子数列的概念【重点】:数列极限的概念、性质【难点】:数列极限的概念§1.3函数极限【学时】：2【了解】:【掌握】:1.函数极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 2．函数极限的性质。【重点】:函数极限的概念，函数极限的性质【难点】:左极限与右极限概念及应用§1.4无穷大与无穷小【学时】：2【了解】:【掌握】:1.无穷大、无穷小的概念2.函数及其极限与无穷小的关系【重点】:无穷大、无穷小的概念【难点】:无界与无穷大的关系§1.5极限运算法则【学时】：2【了解】:【掌握】:1.无穷小的性质2.极限的四则运算法则，复合函数的运算法则及换元法则【重点】:极限的四则运算法则和复合函数的运算法则【难点】:§1.6极限存在准则两个重要极限【学时】：2【了解】:利用两个准则求极限的方法【掌握】:1.极限存在的夹逼准则和单调有界准则。2.利用两个重要极限求极限的方法。【重点】:两个重要极限【难点】:极限存在的两个准则的应用§1.7无穷小的比较【学时】：1【了解】:常见的等价无穷小【掌握】:1.无穷小的阶的概念。2.无穷小的比较。3.利用等价无穷小求极限的方法。【重点】:无穷小的比较【难点】:§1.8函数的连续性与间断点【学时】：2【了解】:间断点的概念【掌握】:1.函数在一点连续和在一个区间上连续的概念。2.会判别间断点的类型。【重点】:函数连续性【难点】:间断点及其分类§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性【学时】：1【了解】:连续函数的性质和初等函数的连续性【掌握】:【重点】:函数连续性及初等函数的连续性【难点】:§1.10闭区间上连续函数的性质【学时】：1【了解】:闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）【掌握】:【重点】:区间上连续函数的性质【难点】:闭区间上连续函数性质的应用第二章导数与微分§2.1导数的概念【学时】：2【了解】:导数的物理意义【掌握】:1.导数的概念、导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。2.会求平面曲线的切线方程和法线方程。3.会求分段函数的导数。【重点】:导数的概念【难点】:分段函数的导数§2.2导数的求导法则【学时】：2【了解】:【掌握】:1.导数的四则运算法则、反函数和复合函数的求导法则。2.基本初等函数的导数公式。【重点】:1.导数的四则运算法则、反函数和复合函数的求导法则。2.基本初等函数的导数公式。【难点】:反函数的导数§2.3高阶导数【学时】：1【了解】:高阶导数的概念【掌握】:一些简单函数n阶导数的求法。【重点】:高阶导数的概念【难点】:§2.4隐函数和参数式所确定的函数的导数相关变化率【学时】：2【了解】:相关变化率【掌握】:会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数【重点】:隐函数和由参数方程确定的函数的导数【难点】:隐函数和由参数方程确定的导数§2.5函数的微分【学时】：2【了解】:1.微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。2.微分的几何意义。【掌握】:1.微分的概念，导数与微分的关系。2.会求函数的微分【重点】:微分的概念，导数与微分的关系【难点】:第三章微分中值定理与导数的应用§3.1微分中值定理【学时】：2【了解】:柯西(Cauchy)定理【掌握】:罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)中值定理。【重点】:罗尔定理、拉格朗日中值定理【难点】:罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用§3.2洛必达法则【学时】：1【了解】:【掌握】:会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限【重点】:洛必达法则【难点】:洛必达法则的灵活应用§3.3泰勒公式【学时】：2【了解】:泰勒(Taylor)定理和拉格朗日型余项的麦克劳伦公式【掌握】:1.会求一些简单函数的n阶麦克劳林公式。2.会利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式求函数的极限。【重点】:带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式【难点】:泰勒公式的灵活应用§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性【学时】：2【了解】:【掌握】:1.会用导数判断函数的单调性、图形的凹凸性。2.会利用函数的单调性证明不等式，会求拐点。【重点】:1.判断函数的单调性。2.函数图形的凹凸性【难点】:函数图形的凹凸性§3.5函数的极值与最大值最小值【学时】：2【了解】:【掌握】:1函数的极值概念。2.用导数求极值的方法。3.会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。【重点】:求极值的方法【难点】:极值的判断方法§3.6函数图形的描绘【学时】：1【了解】:【掌握】:1会求水平、铅直和斜渐近线。2.描绘函数的图形。【重点】:描绘函数的图形【难点】:函数的图形描绘§3.7曲率（选学）【学时】：2【了解】:1.有向弧与弧微分的概念。2.曲率和曲率半径的概念。【掌握】:会计算曲率和曲率半径【重点】:曲率和曲率半径【难点】:§3.8方程的近似解（选学）【学时】：1【了解】:求方程近似解的二分法和切线法【掌握】:【重点】:【难点】:第四章不定积分§4.1不定积分的概念与性质【学时】：2【了解】:【掌握】:1.原函数概念、不定积分的概念。2.不定积分的基本公式，不定积分的性质。【重点】:1.不定积分的概念。2.不定积分的性质及基本公式。【难点】:§4.2换元积分法【学时】：2【了解】:【掌握】:换元积分法（第一类、第二类）【重点】:换元积分法（第一类、第二类）【难点】:第二类换元积分法§4.3分步积分法【学时】：2【了解】:【掌握】:分步积分法【重点】:分步积分法【难点】:分步积分法§4.4有理函数的积分【学时】：1【了解】:【掌握】:会求简单的有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分【重点】:简单的有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分【难点】:三角函数有理式积分第五章定积分§5.1定积分的概念与性质【学时】：2【了解】:1.函数可积的充分条件、必要条件。2.定积分的近似计算法(矩形法、梯形法、抛物线法)【掌握】:1.定积分的概念。2.定积分的性质及定积分中值定理。【重点】:定积分的性质及定积分中值定理【难点】:1.定积分的概念。2.积分中值定理。§5.2微积分基本公式【学时】：2【了解】:【掌握】:1.变上限的定积分定义的函数及其求导数定理。2.牛顿(Newton)莱布尼兹(Leibniz)公式。【重点】:牛顿(Newton)莱布尼兹(Leibniz)公式【难点】:变上限函数的导数§5.3定积分的换元法和分步积分法【学时】：2【了解】:【掌握】:定积分的换元法和分步积分法【重点】:定积分的换元积分法与分步积分法【难点】:定积分的换元积分法与分步积分法§5.4反常积分【学时】：2【了解】:广义积分的概念及广义积分的换元法和分步积分法【掌握】:【重点】:广义积分的计算【难点】:第六章定积分的应用§6.1定积分元素法【学时】：1【了解】:【掌握】:元素法的基本思想【重点】:元素法的基本思想【难点】:§6.2定积分在几何学上的应用【学时】：3【了解】:【掌握】:用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）【重点】:计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积【难点】:截面面积为已知的立体体积§6.3定积分在物理学上的应用（选学）【学时】：2【了解】:【掌握】:用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）【重点】:计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等【难点】:引力第七章微分方程§7.1微分方程的基本概念【学时】：1【了解】:微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念【掌握】:【重点】:【难点】:§7.2可分离变量的微分方程【学时】：1【了解】:【掌握】:可分离变量的微分方程的解法【重点】:可分离变量的微分方程的解法【难点】:§7.3齐次方程【学时】：1【了解】:1.用变量代换求解方程的思想。2.可化为齐次方程的解法【掌握】:齐次方程的解法【重点】:齐次方程的解法【难点】:§7.4一阶线性微分方程【学时】：2【了解】:进一步了解用变量代换求解方程的思想【掌握】:1.一阶线性方程的解法。2.会解伯努利(Bernoulli)方程。3.会用简单的变量代换解某些微分方程。【重点】:一阶线性方程的解法【难点】:伯努利(Bernoulli)方程§7.5可降阶的高阶微分方程【学时】：1【了解】:【掌握】:会用降阶法解下列方程：，和.【重点】:可降阶的高阶微分方程，和【难点】:§7.6高阶线性微分方程【学时】：2【了解】:常数变易法【掌握】:线性微分方程解解的性质及解的结构定理【重点】:线性微分方程解解的性质及解的结构定理【难点】:线性微分方程解的结构定理§7.7常系数齐次线性微分方程【学时】：2【了解】:【掌握】:1.二阶常系数齐次线性方程的解法2.会解某些高于二阶的常系数齐次线性方程【重点】:二阶常系数齐次线性方程的解法【难点】:某些高于二阶的常系数齐次线性方程的解法§7.8常系数非齐次线性微分方程【学时】：2【了解】:【掌握】:会求自由项形如和的二阶常系数非齐次线性方程的特解。【重点】:求自由项形如和的二阶常系数非齐次线性方程的特解【难点】:求自由项形如和的二阶常系数非齐次线性方程的特解§7.9-§7.10欧拉方程常系数线性方程组（选讲）【学时】：1【了解】:常系数线性方程组与欧拉方程的解法【掌握】:【重点】:【难点】:第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算【学时】：2【了解】:向量在轴上的投影【掌握】:1.空间直角坐标系。2.向量的概念及其表示。3.单位向量、向量的模、方向余弦、向量的坐标表达式。4.用坐标表达式进行向量线性运算的方法。【重点】:向量的线性运算及向量的坐标运算【难点】:§8.2数量积向量积混合积【学时】：2【了解】:向量的混合积【掌握】:1.向量的数量积、向量积及其运算规律。2.两个向量垂直、平行的条件。3.会用坐标表达式求向量的数量积和向量积。【重点】:向量的线性运算及向量的坐标运算【难点】:§8.3曲面及其方程【学时】：2【了解】:常用二次曲面的方程及其图形【掌握】:1.曲面方程的概念。2.会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。【重点】:1.常用二次曲面的方程及其图形。2.旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程【难点】:1.二次曲面的图形2.旋转曲面的方程§8.4空间曲线及其方程【学时】：1【了解】:1.空间曲线的参数方程和一般方程。2.空间曲线在坐标平面上的投影【掌握】:会求空间曲线在坐标平面上的投影方程【重点】:空间曲线的参数方程和一般方程【难点】:§8.5平面及其方程【学时】：2【了解】:【掌握】:1.平面的方程及其求法。2.会求平面与平面间的夹角、点到平面的距离【重点】:1.平面的方程及其求法。2.平面与平面相互位置关系的判定条件。3.点到平面的距离【难点】:平面的方程及其求法§8.6空间直线及其方程【学时】：2【了解】:【掌握】:1.直线的方程及其求法。2.会求平面与直线、直线与直线之间的夹角。3.点到直线的距离。4.会用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。【重点】:1.直线的方程及其求法。2.平面与直线、直线与直线相互位置关系的判定条件。3.点到直线的距离【难点】:1.直线的方程2.点到直线的距离第九章多元函数微分法及其应用§9.1多元函数的基本概念【学时】：3【了解】:二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质【掌握】:多元函数的概念和二元函数的几何意义【重点】:二元函数的极限与连续性【难点】:二元函数的极限与连续性的概念§9.2偏导数【学时】：2【了解】:1.偏导数的几何意义2.混合偏导数的相等的条件【掌握】:1.偏导数的概念2.会求高阶偏导数【重点】:函数偏导数概念与求法【难点】:§9.3全微分【学时】：2【了解】:1.全微分存在的必要条件和充分条件。2.叠加原理3全微分在近似计算中的应用【掌握】:全微分的概念，会求全微分【重点】:全微分概念与求法【难点】:全微分在近似计算中的应用§9.4多元复合函数的求导法则【学时】：2【了解】:1.复合函数的二阶偏导数2.一阶全微分形式的不变性【掌握】:复合函数一阶偏导数的求法【重点】:多元复合函数一阶偏导数的求法【难点】:1.复合函数一阶偏导数的求法。2.一阶全微分形式的不变性§9.5隐函数的求导公式【学时】：2【了解】:【掌握】:会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数【重点】:求隐函数的偏导数【难点】:由两个方程组成的方程组确定的隐函数的求导§9.6多元函数微分学的几何应用【学时】：2【了解】:1.一元向量值函数的概念、连续性、导数的几何意义2.曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的概念【掌握】:曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的方程的求法【重点】:曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线【难点】:§9.7方向导数与梯度【学时】：1【了解】:方向导数与梯度的概念，以及梯度的几何意义【掌握】:会求方向导数与梯度【重点】:方向导数与梯度的概念及其计算【难点】:梯度的几何意义§9.8多元函数的极值及其求法【学时】：2【了解】:1.求条件极值的拉格朗日乘数法2.二元函数极值存在的充分条件【掌握】:1.多元函数极值与条件极值的概念2.多元函数极值存在的必要条件，会求二元函数的极值3.会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题【重点】:多元函数极值和条件极值的求法【难点】:1.拉格朗日乘数法2.多元函数的最大值和最小值第十章重积分§10.1二重积分的概念与性质【学时】：2【了解】:二重积分的中值定理【掌握】:二重积分的概念及性质【重点】:二重积分的概念【难点】:§10.2二重积分的计算法【学时】：2【了解】:二重积分的换元法【掌握】:二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)【重点】:二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)【难点】:利用极坐标计算二重积分§10.3三重积分【学时】：2【了解】:三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)【掌握】:三重积分的概念及性质【重点】:三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)【难点】:利用球坐标计算三重积分§10.4重积分的应用（选讲）【学时】：2【了解】:用重积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量、引力等)【掌握】:【重点】:二、三重积分的几何应用与物理应用【难点】:物理应用中的引力问题第十一章曲线积分与曲面积分§11.1对弧长的曲线积分【学时】：2【了解】:【掌握】:1.对弧长的曲线积分的概念、性质2.对弧长的曲线积分的计算法【重点】:对弧长的曲线积分的计算法【难点】:§11.2对坐标的曲线积分【学时】：2【了解】:【掌握】:1.对坐标的曲线积分的概念、性质2.对坐标的曲线积分的计算法3.两类曲线积分的关系【重点】:对坐标的曲线积分的计算法【难点】:1.对坐标的曲线积分的概念计算2.两类曲线积分的关系§11.3格林公式及其应用【学时】：2【了解】:1.单、复连通区域的概念2.全微分方程【掌握】:1.格林(Green)公式及平面曲线积分与路径无关的条件2.会求全微分的原函数【重点】:格林公式及其应用【难点】:应用格林公式计算对坐标的曲线积分§11.4对面积的曲面积分【学时】：2【了解】:对面积的曲面积分的概念、性质【掌握】:对面积的曲面积分的计算法【重点】:对面积的曲面积分的计算法【难点】:§11.5对坐标的曲面积分【学时】：2【了解】:1.对坐标的曲面积分的概念、性质2.两类曲面积分的关系【掌握】:对坐标的曲面积分的计算法【重点】:对坐标的曲面积分的计算法【难点】:1.两类曲面积分的关系2.对坐标的曲面积分的计算法§11.6高斯公式通量与散度（选讲）【学时】：1【了解】:1.曲面积分与曲面形状无关的条件2.散度的概念及其计算公式【掌握】:高斯公式【重点】:高斯公式【难点】:应用高斯公式计算对坐标的曲面积分§11.7斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度（选讲）【学时】：1【了解】:1.斯托克斯(Stokes)公式2.旋度的概念及其计算公式【掌握】:【重点】:斯托克斯(Stokes)公式【难点】:应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分第十二章无穷级数§12.1常数项级数的概念和性质【学时】：2【了解】:【掌握】:1.无穷级数收敛、发散以及部分和的概念2.无穷级数基本性质及收敛的必要条件3.几何级数的收敛与发散的条件【重点】:级数的基本性质及收敛的必要条件【难点】:§12.2常数项级数的审敛法【学时】：3【了解】:1.正项级数的比较审敛法和极限审敛法2.无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系3.绝对收敛级数的一些基本性质【掌握】:1.正项级数的比值审敛法，会用根值审敛法2.交错级数的莱布尼兹定理3.几何级数的收敛与发散的条件【重点】:1.正项级数的比较审敛法、极限审敛法和比值审敛法2.交错级数的莱布尼兹判别法【难点】:1.比较判别法的极限形式2.莱布尼茨判别法3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛§12.3幂级数【学时】：2【了解】:函数项级数的收敛域及和函数的概念【掌握】:1.比较简单的幂级数收敛半径、收敛区间及收敛域的求法2.幂级数在其收敛区间内的基本性质3.会求一些比较简单幂级数在收敛区间内的和函数【重点】:幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域【难点】:函数项级数的收敛域及和函数§12.4函数展开成幂级数【学时】：2【了解】:函数展开为泰勒级数的充分必要条件【掌握】:会利用和的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数【重点】:和的马克劳林(Maclaurin)展开式【难点】:§12.5函数的幂级数展开式的应用（选讲）【学时】：1【了解】:1.函数的幂级数展开式在近似计算中的应用2.微分方程幂级数的解法3.欧拉公式【掌握】:【重点】:【难点】:§12.6傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数（选讲）【学时】：4【了解】:函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件【掌握】:会将定义在和上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在上的函数展开为正弦或余弦级数【重点】:傅里叶级数【难点】:四、采用的教学手段和方法全过程采用课堂讲授教学五、教材及参考资料教材：《高等数学》(第六版)上、下册， 同济大学应用数学系主编，高等教育出版社 参考书：1.《微积分》上、下册，同济大学应用数学系编，高等教育出版社

2.《工科数学分析基础》上、下册，马知恩

王绵森主编，高等教育出版社

3.《数学分析》上、下册，复旦大学陈传璋等编，高等教育出版社4.《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社5.《高等数学例题与习题》同济大学高等数学教研室编，同济大学出版社六、课程内容和建议学时分配学总课时为144学时，各章节课时分配如下：序号教学内容课内学时习题学时一函数、极限、连续142二一元函数微分学182三一元函数积分学204四微分方程102五空间解析几何与向量代数82六多元函数微分学102七多元函数积分学102八曲线积分与曲面积分162九无穷级数122合

计12420高等数学教学进度表第一学期周次时数教学主要内容重点或难点教学形式

新生入学和军训

24第一章函数与极限、函数、极限数列极限的定义讲授35数列极限的收敛判别法、函数的极限数列、函数极限存在判别准则讲授43无穷小量和无穷大量无穷小的运算讲授讨论54连续函数连续函数的性质讲授讨论66微分学（第二、三章）

1.导数及其运算导数的运算讲授722.微分微分的几何意义讲授8-963.中值定理罗必达法则、泰勒公式中值定理讲授106导数的应用(函数的增减性,极值,曲线的凹、凸性和渐近线及函数的作图)函数的作图讲授讨论114第四章

不定积分1.不定积分的概念与运算法则2.积分法一阶微分方程的解法讲授讨