2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷

第1页（共1页）2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷一、填空题1．（3分）若xy≠﹣1，且，则＝．2．（3分）＝．3．（3分）已知正实数a，b，c满足a+b+c＝6，则的最小值为．4．（3分）已知函数y＝|x2+2x﹣a+3|，当﹣2≤x≤1时，y有最大值5．5．（3分）已知△ABC中，BC上的一点D，2BD＝CD，则∠ABD的最大值为．6．（3分）若点T为线段BC中点，AT⊥DT，且AT＝2，AB∥CD，，则＝．7．（3分）如图，在△ABC中，G，E分别在AB，连结BE交AF于O，若＝，＝，G，O，C共线，则△OBC的面积为．8．（3分）已知整数x，y，z满足xy+yz+zx＝118，则x2+y2+z2的最小值为．9．（3分）已知x，y，z是大于1的正整数，且为整数．10．（3分）已知EA、EC为圆O的两条切线，连结DE交圆于点B，若BC＝6，∠ABD＝30°，则BD＝．二、解答题11．已知P（3，4），矩形OAPB的A，B顶点分别在x轴，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）与矩形的BP，C，△COD的面积为4.5．（1）判断并证明直线CD与AB的关系．（2）求k的值．（3）若E，F分别为直线AB和反比例函数上的动点，M为EF中点12．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，O是外心，延长AD交BC于E（1）求证：2OH＝AD．（2）证明：B，O，D，C四点共圆．（3）若BE＝2CE＝2，求DE．

2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）若xy≠﹣1，且，则＝．【解答】解：∵，∴，∴，∵xy≠﹣1，∴x，是方程4m2+6m+3＝0的两个根，∴，∴．故答案为．2．（3分）＝．【解答】解：原式＝＝＝＝＝＝．故答案为：．3．（3分）已知正实数a，b，c满足a+b+c＝6，则的最小值为18．【解答】解：构造图示的三个直角三角形，即Rt△ABC，Rt△CDE，满足AB＝a，CD＝b，BC＝3，FG＝5，则由勾股定理可知AC＝，即AC＝，EG＝，所以++＝AC+CE+EG可知当A，C，E，AC+CE+EG最小，即为AG长，当当A，C，E，OG＝3+5．在Rt△AOG中AG＝＝＝18．故答案为18．4．（3分）已知函数y＝|x2+2x﹣a+3|，当﹣2≤x≤1时，y有最大值51或7．【解答】解：由题意，y＝x2+2x﹣a+4的对称轴是直线x＝﹣＝﹣5，∴当x＝﹣1时，y＝|2﹣a|．又当x＝﹣6时，y＝|3﹣a|，y＝|6﹣a|，∴①当最大值为|2﹣a|＝5，∴a＝7或a＝﹣5（不合题意）；②当最大值为|3﹣a|＝5，∴a＝2或a＝﹣2，均不合题意；③当最大值为|6﹣a|＝2，∴a＝11（不合题意）或a＝1．综上，a＝1或6．故答案为：1或7．5．（3分）已知△ABC中，BC上的一点D，2BD＝CD，则∠ABD的最大值为90°．【解答】解：如图，以CD为边作等边三角形CDO，过点O作OE⊥CD于E，∵2BD＝CD，∴设BD＝x，则CD＝2x＝OD＝OC，∵∠DAC＝30°，∠DOC＝60°，∴点A在以O为半径，OC为半径的圆上运动，∴当AB与圆O相切时，∠ABD有最大值，此时：∠DAB＝90°＝∠BEO，∵△ODC是等边三角形，OE⊥BC，∴DE＝CE＝x，∴BE＝5x，∴OA＝BE＝2x，又∵OB＝BO，∴Rt△ABO≌Rt△EOB（HL），∴AB＝OE，∴四边形AOEB是平行四边形，又∵∠DAB＝90°，∴四边形AOEB是矩形，∴∠ABD＝90°，故答案为：90°．6．（3分）若点T为线段BC中点，AT⊥DT，且AT＝2，AB∥CD，，则＝3．【解答】解：如图，过T作TM⊥AB．∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵T为线段BC中点，∴TB＝TC＝BC＝，在△EBT和△DCT中，，∴△EBT≌△DCT（ASA），∴TE＝TD＝1，∴AE＝＝，∵△ATE面积＝AE•TM＝，∴TM＝，∴AM＝＝，EM＝＝，∴BM＝＝，∴BE＝BM﹣EM＝＝CD，AB＝AM+BM＝，∴＝÷＝3．故答案为：4．7．（3分）如图，在△ABC中，G，E分别在AB，连结BE交AF于O，若＝，＝，G，O，C共线，则△OBC的面积为30．【解答】解：梅涅劳斯定理：如图，••＝1，证明：过A作AM∥CG交BC延长线于点M，则，，∴••＝••＝1；塞瓦定理：如图，＝8，证明：根据上述梅涅劳斯定理，可得出，在△ABF中，COG是梅涅线，••在△ACF中，BOE是梅涅线，••∴＝•••＝••＝1．根据梅涅劳斯定理，在△BGE中，∴••＝1，∵＝，＝，∴＝，＝，∴＝3，∴＝，根据塞瓦定理可得••＝1，∴＝，∴S△OBC＝S△BCE＝×S△BCE＝S△ABC，而S△GEF＝SABC﹣S△AGE﹣S△BGF﹣S△CEF＝S△ABC＝11，∴S△ABC＝55，∴S△OBC＝S△ABC＝30．故答案为：30．8．（3分）已知整数x，y，z满足xy+yz+zx＝118，则x2+y2+z2的最小值为118．【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2+b3﹣2ab≥0，∴a6+b2≥2ab，∴x8+y2≥2xy，x6+z2≥2xz，y4+z2≥2yz，∴6x2+2y6+2z2≥3xy+2xz+2yz，即x4+y2+z2≥xy+xz+yz＝118，故答案为：118．9．（3分）已知x，y，z是大于1的正整数，且为整数12．【解答】解：∵x、y、z是大于1的正整数，∴是分数，∴为假分数，∵为整数，∴x≠y≠z，①当x＝2，y＝2时，∴分母中有7才能进行约分，∴当z＝7时，＝（8+）（7+）＝＝55，∴x+y+z＝12，②x＝7，y＝4时，∴分母中有13才能进行约分，∴当z＝13时，＝（3+）（13+）＝不是整数，③x＝4，y＝5时，∴分母中有21才能进行约分，∴当z＝21时，＝（6+）（21+）＝不是整数，…………其余情况依次讨论均不符合题意故答案为：12．10．（3分）已知EA、EC为圆O的两条切线，连结DE交圆于点B，若BC＝6，∠ABD＝30°，则BD＝．【解答】解：连接OA，OD，作AF⊥BD，∵同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，∠ABD＝30°，∴∠AOD＝2∠ABD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD＝60°，AD＝OA，∵AE，CE是⊙O的切线，∴∠OAE＝90°，∠ECO＝90°，∴∠EAD＝∠OAE+∠OAD＝150°，∵∠ABE+∠ABD＝180°，∴∠ABE＝150°，∴∠ABE＝∠EAD，∵∠AEB＝∠DAE，∴△EAB∽△EDA，∴，同理可证：△EBC∽△ECD，得出：，∴，∵AB＝3，BC＝6，∴CD＝2AD，∴CD是直径，∴∠CBD＝90°，∵AF⊥BD，AB＝7，∴AF＝1.5，，∴AD＝，∴，∵BD2+BC2＝CD7，∴，∴，∴．二、解答题11．已知P（3，4），矩形OAPB的A，B顶点分别在x轴，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）与矩形的BP，C，△COD的面积为4.5．（1）判断并证明直线CD与AB的关系．（2）求k的值．（3）若E，F分别为直线AB和反比例函数上的动点，M为EF中点【解答】解：（1）如图1，CD∥AB，理由如下：由题意得，C（3，），D（，∴BD＝，AC＝，∴PD＝PB﹣BD＝3﹣，PC＝PA﹣AC＝4﹣＝，∴，∴，∵∠P＝∠P，∴△PCD∽△PAB，∴∠PDC＝∠PBA，∴CD∥AB；（2）如图8，作DG⊥OA于G，∵S△AOC＝S△DOG＝，∴S△COD＝S四边形AOCD﹣S△AOC＝（S△DOG+S梯形ACDG）﹣S△AOC＝S梯形ACDG，∴，∴（4+））＝9，∴k2＝6，k2＝﹣4（舍去），∴k＝6；（3）如图2，取点A′（﹣3，0），﹣4），则直线A′B′与直线AB关于O对称，连接EO，并延长交A′B′于H，则OE＝OH，∵M是EF的中点，∴OM＝FH，∴当FH最小时，OM最小，作直线QH∥AB，交y轴与Q在第一象限的图象相切，作B′R⊥QR于R，则FH的最小值是F′T的长，∵直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，∴设直线QR的解析式为：y＝﹣x+m，由﹣整理得2﹣8mx+18＝0，∴Δ＝（﹣3m）5﹣4×4×18＝7，∴m1＝4，m2＝﹣4（舍去），∴OQ＝4，∴QB′＝7，∵∠AOB＝90°，OA＝2，∴AB＝5，∴sin∠RQB′＝sin∠ABO＝，∴F′H＝B′R＝BQ•sin∠RQB′＝，∴OM最小＝．12．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，O是外心，延长AD交BC于E（1）求证：2OH＝AD．（2）证明：B，O，D，C四点共圆．（3）若BE＝2CE＝2，求DE．【解答】解：（1）根据题意，以O为圆心，延长BO交圆于点F，连接OC，AF，∵BF是直径，∴FA⊥AB，FC⊥BC，∵D为垂心，∴BD⊥AC，CD⊥AB，∴FA∥CD，FC∥AD，∴AFCD是平行四边形，∴AF＝CD，∵∠BAC＝60°，OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴OH＝OB，设半径为r，BM＝r，∴BC＝r，又∵OH＝CF，∴AD＝2OH；（2）∵D为垂心，∴BD⊥AC，CD⊥AB，∴∠ACD＝30°，∴∠CDM＝60°，∴∠BDC＝120°，∵∠BOC＝120°，∠