专题08立体几何异面直线所成角线面角面面角及平行和垂直的证明的6种常考题型归类

专题08立体几何异面直线所成角、线面角、面面角及平行和垂直的证明的6种常考题型归类立体几何异面直线所成角、线面角、面面角及平行和垂直的证明的6种常考题型题型05:线线垂直、线面垂直、面面垂直证明立体几何异面直线所成角、线面角、面面角及平行和垂直的证明的6种常考题型题型05:线线垂直、线面垂直、面面垂直证明题型06:立体几何的综合性问题题型03:平面与平面所成角问题题型02:直线与平面所成角问题题型04:线线平行、线面平行和面面平行的证明题型01:异面直线所成角问题异面直线所成角问题1．正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先通过平移将异面直线的所成角转化为相交直线的所成角，在三角形内利用余弦定理即可求得【详解】如图，取的中点，再取的中点，连接，因点是的中点，易证,可得，又因点是的中点，故，则，故直线与直线所成角即直线与直线所成角.不妨设正方体棱长为4，在中，，由余弦定理，，即直线与直线所成角的余弦值为.故选：C.2．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，顶点在底面ABC上的射影为的中心，则异面直线AB与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由于‖，所以为异面直线AB与所成角，然后根据题意可判断为等边三角形，从而可求出，进而可求得结果.【详解】设顶点在底面上的射影为，连接，因为，所以为异面直线AB与所成角，因为为等边三角形，为的中心，所以，因为顶点在底面ABC上的射影为，所以平面，因为平面，所以，,所以，所以，因为，所以，所以为等边三角形，所以，所以，所以异面直线AB与所成角的余弦值为，故选：A3．如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根据给定条件，取的中点，结合平行公理，利用异面直线所成角的定义，借助等腰三角形的性质求解即可.【详解】在正三棱柱中，取中点，连接，由点E为正方形的中心，得，而，于是，由为棱的中点，得，则四边形是平行四边形，有，即或其补角就是异面直线与所成的角，显然正三棱柱所有棱长都相等，令棱长为2，则，等腰底边上的高，，所以异面直线与所成角的正切值为.故选：D4．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用全等三角形证得，由余弦定理求出，再利用定义法求出直线与所成角的正弦值.【详解】连结交于，连结，则为的中点，如图，由底面为正方形，，得，即，又，则，有，即，在中，由余弦定理得，则为正三角形，由，得是直线与所成的角，即，，所以直线与所成角的正弦值为.故选：A5．如图，在长方体中，，异面直线与所成的的余弦值为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把异面直线所成的角，转化为平面角，再用解三角形的方法求解.【详解】连接，交于点，取的中点，连接.因为，所以与所成的角为（或其补角）.令，在中，由，得.又，，由余弦定理得，即，解得，所以.故选：C6．已知在正四棱台中，，若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可得为异面直线与所成角，即可求出，连接、，过点作交于点，过点作交于点，即可求出棱台的高，从而求出棱台的体积.【详解】如图在正四棱台中，，所以为异面直线与所成角，又，所以，，且，所以，连接、，过点作交于点，过点作交于点，则，，所以，则，即正四棱台的高，所以棱台的体积.

故选：D7．在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】C【分析】连接，可得或，求解三角形即可求出.【详解】如图，连接，在中，因为为中点，所以，，在中，因为为中点，所以，，因为与所成的角为，所以或，当时，为等边三角形，所以，当，由余弦定理可得，即，所以的长为1或.故选：C.直线与平面所成角问题8．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（

）A．圆台的母线与底面所成的角为B．圆台的侧面积为C．圆台的体积为D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为【答案】ABD【分析】选项A，先求出圆台的高，进而求出圆台的母线与底面所成的角即可；选项B，由圆台的侧面积公式求解即可；选项C，由圆台的体积公式求解即可；选项D，设球心到下底面的距离为，由勾股定理得，求解即可.【详解】对于A，因为圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线为，所以圆台的高为：，根据线面角定义求出母线与底面所成角，A正确；对于B，由圆台的侧面积公式，求得圆台的侧面积为：，B正确；对于C，由圆台的体积公式，求得圆台体积为：，C错误；对于D，由题意可知球心在下底面下方，设球心到下底面的距离为，由勾股定理得，解得，则该球的半径为，所以该球的表面积为，D正确．故选：ABD.9．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与平面夹角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求，再作出平面，根据垂直关系，以及等面积转化，确定垂足点的位置，以及，再求线面角的正弦值.【详解】如图，由题意可知，，中，根据余弦定理可知，则，过点作平面，，连结，，连结，

因为平面，平面，所以，且平面所以平面，平面，所以，又因为，所以，同理，中，，则，根据等面积公式，，所以，，又，所以，则，直线与平面夹角的夹角为，.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定垂足的位置，以及垂直关系的转化.10．在长方体中，与平面所成的角为，则（

）A．异面直线与所成的角为 B．异面直线与所成的角为C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角的正弦值为【答案】ABD【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角、线面角的向量求法求解即得.【详解】在长方体中，连接，显然对角面是矩形，即，由，得，因此矩形是正方形，又平面，则是与平面所成的角，即，令，则，建立如图所示的空间直角坐标系，，

对于A，，，则，因此异面直线与所成的角为，A正确；对于B，，，则，因此异面直线与所成的角为，B正确；对于C，，而平面的法向量，，显然是不等于的钝角，因此与平面所成的角不为，C错误；对于D，平面的法向量，，所以与平面所成的角的正弦值为，D正确.故选：ABD11．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且点到平面的距离为，则（

）A．该圆锥的体积为 B．直线与平面所成的角为C．二面角为 D．直线与所成的角为【答案】BCD【分析】取线段的中点，连接，过作，垂足为，可证明面，即可得，对于A：求出底面圆半径，然后用圆锥的体积公式求解；对于B：直线与平面所成的角为，在直角三角形中求解即可；对于C：二面角的平面角为，在直角三角形中求解即可；对于D：取线段的中点，连接，直线与所成的角为或其补角，求出的三边，然后利用余弦定理求解.【详解】取线段的中点，连接，过作，垂足为，易知，又，面，所以面，又面，所以，又，且，面，所以面，所以线段的长为点到平面的距离，即，

对于A：在等腰三角形中，，，所以，所以该圆锥的体积为，A错误；对于B：由面可得直线与平面所成的角为，在直角三角形中，，所以，B正确；对于C：由面可得二面角的平面角为，在直角三角形中，，所以，C正确；对于D：取线段的中点，连接，明显有，则直线与所成的角为或其补角，因为，则，在直角三角形中，，在直角三角形中，，在中，，所以，D正确.

故选：BCD.12．在正方体中，下列说法正确的是（

）A． B．平面C．直线与平面的夹角为 D．三棱锥是正四面体【答案】ABD【分析】对于选项A:先证面,再证即可；对于选项B：先通过线面垂直证明，，再结合线面垂直的判定定理证明即可;对于选项C:结合线面角的定义计算该线面角即可；对于选项D:由即可判定.【详解】于选项A:连接,在正方体中有面，且面,所以，又因为底面为正方形，所以，因为,面，所以面,因为面,所以.故选项A正确；

对于选项B：连接,在正方体中有面,且面,所以，又因为底面为正方形，所以，因为,面,所以面,因为面,所以.在正方体中有面,且面,所以，又因为底面为正方形，所以，因为,面,所以面,因为面,所以.因为,面,所以平面,故选项B正确；

对于选项C：连接,在正方体中有面,所以为直线在平面的射影,即为直线与平面所成的角,设正方体的棱长为，则，,则，故选项C错误；

对于选项D:连接在正方体中易得故三棱锥是正四面体.故选项D正确.

故选：ABD.13．已知正方体的棱长为1，则（

）A．直线与直线所成的角为B．平面C．点到平面的距离为D．直线与平面所成角的余弦值为【答案】BD【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标得到，即可判断选项A；利用向量法证明，即可判断选项B；利用向量法求出点到平面的距离即可判断选项C；利用向量法求出直线与平面所成角的余弦值即可判断选项D.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：.A：，因为，所以，因此选项A不正确；B：，所以，所以，而，平面ACD1，因此平面，所以选项正确；C：因为平面，所以是平面的法向量，，所以点到平面的距离为，因此选项C不正确；：设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的余弦值，因此选项D正确.故选：BD.14．已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为.【答案】【分析】根据已知条件求得正四棱锥的底面边长和高，结合线面角的知识求得正确答案.【详解】如图所示正四棱锥，，则平面.设正四棱锥外接球的半径为，则R=2，设正四棱锥底面边长为，高为，则①，由整理得②，由①②解得，由于平面，所以正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，.故答案为：15．在正三棱柱中，，点为棱的中点，则直线与平面夹角的正弦值为．【答案】/【分析】记分别为直线的中点，取中点，连结，，只需证平面，即可得是与平面所成的角，进而可求出结果.【详解】记分别为直线的中点，取中点，连结，，所以在正三棱柱中，，平面平面，平面平面，面，所以平面；又是的中点，所以，所以平面，故即是与平面所成的角；设，则，，所以.故答案为：.平面与平面所成角问题16．如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意得到，利用结合向量的数量积的运算公式，即可求解．【详解】因为二面角的大小为，，，，，，所以与的夹角为，又因为，所以，所以，即．故选：A．17．在正三棱台中，，二面角为，则该三棱台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，结合正三棱台的结构特征求出棱台的高，再利用棱台的体积公式计算即得.【详解】在正三棱台中，令的中点分别为，连接，则，于是二面角的平面角为，即，设上底面与下底面的中心分别为，连接，则，过点作，垂足为，则，则，则，所以该三棱台的体积为.故选：B18．将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取中点，连接，说明为二面角的平面角，通过几何关系计算求解.【详解】取中点，连接，交平面于点，由正棱锥性质及对称性易知为的中心，且，故为二面角的平面角，设正三棱锥侧棱长为2，易得，则，在中由余弦定理得.故选：D.19．在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（

）A．4 B．2 C． D．【答案】C【分析】作出辅助线，得到为二面角的平面角，所以，从而求出四棱锥的高，由棱锥体积公式求出答案.【详解】连接，相交于点，则为正方形的中心，故⊥底面，取的中点，连接，则，，故为二面角的平面角，所以，故，所以该四棱锥的体积为.故选：C20．如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二面角平面角的定义得到是二面角的平面角，然后求正弦值即可.【详解】

如图，取中点，连接，，因为为正方体，所以，，因为为中点，所以，，因为平面平面，平面，平面，所以是二面角的平面角，，，，，所以二面角的正弦值为.故选：B.21．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则的面积为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】作图，取AC中点，根据圆锥的性质及二面角的定义计算PD、AC长即可.【详解】

如图所示，∵AB为底面直径，，，∴是等腰三角形，由余弦定理可得，，由圆锥的特征易知，取中点D，连接，显然有，即二面角为，∴，则，∴，故选：B22．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，底面半径为2，，是底面圆周上两点，且，则二面角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中点，连，可证是二面角的平面角，再根据已知条件计算可得结果.【详解】取的中点，连，因为，所以，因为，所以，所以是二面角的平面角，因为平面，平面，所以，因为，，所以，因为，所以，所以，所以.所以二面角的大小为.

故选：B23．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则下列各选项正确的是（

）A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D．过圆锥任意两条母线的截面中面积最大的为【答案】C【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性；利用二面角的知识判断C；对于D选项，结合三角形的面积公式求解判断即可.【详解】依题意，，，所以，A选项，圆锥的体积为，A选项错误；B选项，圆锥的侧面展开图扇形弧长为，所以圆锥的侧面积为，B选项错误；C选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，C选项正确；D选项，设过圆锥任意两条母线的截面为，，在中，，因为，所以当时，截面面积最大，而，故D选项错误.故选：C.

线线平行、线面平行和面面平行的证明24．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点．(1)求证：BE∥平面ADP；(2)求异面直线PA与CB所成的角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)60°【分析】（1）取PD的中点取PD的中点F，连接EF，AF，利用平行四边形证明BE∥AF即可；（2）取CD的中点G，连接AG，PG，可得∠PAG(或其补角)为PA与CB所成的角，由等边三角形求解即可.【详解】（1）取PD的中点取PD的中点F，连接EF，AF，则在△PCD中，EF∥CD且EF＝CD，由已知AB∥CD且AB＝CD，所以AB∥EF且AB＝EF，所以四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF，而AF⊂平面ADP，BE⊄平面ADP，所以BE∥平面ADP．（2）取CD的中点G，连接AG，PG，所以AB∥GC且AB＝GC，所以四边形ABCG为平行四边形，所以BC∥AG，所以∠PAG(或其补角)为PA与CB所成的角，由题意得PA＝AG＝PG＝3，所以∠PAG＝60°，所以异面直线PA与CB所成的角的大小为60°．25．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是与的交点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据正方体的性质可得是的中点，从而可得，根据线面平行的判定定理即可证明；（2）根据即可求解.【详解】（1）∵是与的交点，∴是的中点，又是棱的中点，∴，又平面，平面，∴平面.（2）由正方体的性质可得平面，所以.26．如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点．(1)证明：；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，结合中位线证明出结论；（2）求出底面积和高，利用锥体体积公式求出答案.【详解】（1）连接，因为分别为棱的中点，所以，因为正方体的棱长为3，所以，，故四边形为平行四边形，所以，故；（2）由题意得，正方形的面积为，，，故，又⊥平面，故⊥平面，三棱锥的体积为.27．已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：(1)E、F、D、B四点共面(2)平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据题意证明，即可得结果；（2）根据线面、面面平行的判定定理分析证明.【详解】（1）证明：分别是、的中点，所以，又，所以四边形是平行四边形，.，即确定一个平面，故E、F、D、B四点共面.（2）（2）M、N分别是、的中点，.又平面，平面，平面.连接，如图所示，则，.四边形是平行四边形..又平面，平面.平面.都在平面,且,所以平面平面.28．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E､F､G分别为PC､PD､BC的中点.

(1)求证：PA平面EFG；(2)求三棱锥P﹣EFG的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，，说明不在平面，在平面，证明平行平面内的直线即可证明平面；（2）利用转化法，求出底面面积和高，求三棱锥的体积．【详解】（1）如图，取的中点，连接，，，分别为，的中点，．，分别为，的中点，．．，，，四点共面，分别为，的中点，．平面，平面，平面．（2）平面，平面，．为正方形，．，平面,平面．，，．，

29．如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，O分别为上、下底的中心，，点是的中点.(1)求证：平面；(2)若三棱锥的体积为，求棱柱的侧面积.【答案】(1)证明见解析(2)48【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明线面平行；（2）作出辅助线，利用等体积法和三棱锥的体积求出，即，从而求出侧面积.【详解】（1）证明：连接.∵点O，E分别为，的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）取中点，连接，.∵E为的中点，∴为的中位线，∴，且.∵，∴，由菱形的性质知，为边长为2的等边三角形.又平面，∴平面，，∵点E是的中点，∴，∴，即.∴侧面积.30．如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，点分别是线段的中点．

(1)求证：平面(2)是线段的中点，证明：平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）利用面面平行的判定定理证明即可.【详解】（1）四边形是平行四边形可知，连接AE必与BD相交于中点F，故，面ABC，面ABC，面ABC；

（2）由点分别为中点可得：，面ACD，面ACD，面ACD，，面ACD，面ACD，面ACD，平面，故平面平面ACD．

31．如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.

(1)求证：；(2)求证：平面；(3)若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在，证明见解析【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；（2）由中位线、线面平行的性质可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明；（3）根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性.【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面，平面平面，所以；（2）如下图，取为中点，连接，由E是PD的中点，所以且，由（1）知，又，所以且，所以四边形为平行四边形，故，而平面，平面，则平面.

（3）取中点N，连接，，因为E，N分别为，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，线段存在点N，使得平面，理由如下：由（2）知：平面，又，平面，平面，所以平面平面，又M是上的动点，平面，所以平面，所以线段存在点N，使得平面.线线垂直、线面垂直、面面垂直证明32．如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：；(3)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)64【分析】（1）设与交于点，可得，由线面平行的判定可得答案（2）由余弦定理得可得，由勾股定理可得，又平面得，可得平面可得答案；（3）在中过点作，垂足为，可得平面，利用相等可得答案.【详解】（1）设与交于点，则为的中点，连接，则在中，则DE是的中位线，所以，又平面，平面，所以平面．（2）在中，由，，，由余弦定理，得，则，即，为直角三角形，．又平面，平面，，又，平面，平面，平面，．（3）在中过点作，垂足为，平面平面，且平面平面，平面易知，，，．33．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面面，，，为的中点.(1)求证：面面；(2)若的大小为，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据侧面面，得到面，再利用面面垂直的判定定理证明；（2）取AB的中点O，连接PO，易知为等边三角形，从而，然后根据E为PD的中点求解.【详解】（1）证明：侧面面，，面面=AB，面，又平面PBC，面面；（2）如图所示：取AB的中点O，连接PO，因为，的大小为，所以为等边三角形，则，因为侧面面，侧面面，所以平面，，又因为E为PD的中点，所以.34．如图，在四棱锥中，平面，，.(1)求证：平面；(2)若，求点C到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）利用线面垂直的判定定理、性质定理可得答案；（2）利用线面垂直的判定定理、性质定理可得，再由可得答案.【详解】（1）平面平面，平面，平面；（2），平面平面，平面，平面，平面，则，，，设点到平面的距离为h，由，得，即，点到平面的距离为.35．如图，四棱锥中，，，，平面平面.(1)证明：；(2)若，M是的中点，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用直角梯形的性质计算证得，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得.（2）取的中点，连接，利用面面垂直的性质结合等体积法求出体积.【详解】（1）在四棱锥中，，，，四边形是直角梯形，，，，于是，即，而平面平面，平面平面，平面，则平面，又平面，所以.（2）取的中点，连接，由，得，，由平面平面，平面平面，平面，得平面，由M是的中点，得点到平面的距离，又，显然，所以三棱锥的体积.36．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证：

(1)平面；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）借助线面垂直判定定理即可得；（2）借助线面垂直性质定理即可得.【详解】（1）四棱锥的底面是矩形，，平面，平面，，又，、平面，平面；（2）由（1）知平面，同理可得，平面，，分别是，的中点，，平面，又平面，.37．如图，在三棱锥中，平面，，，，为棱的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直的性质可得出，利用勾股定理的逆定理可证得，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）取线段的中点，连接、，推导出平面，可知直线与平面所成角为，计算出、的长，即可求得的值，即为所求.【详解】（1）证明：在中，，，，则，所以，，又因为平面，平面，所以，，因为，、平面，因此，平面.（2）解：取线段的中点，连接、，因为、分别为、的中点，则且，因为平面，则平面，所以，与平面所成的角为，因为平面，平面，所以，，因为，，则，因为为的中点，则，因为平面，平面，则，所以，，因此，直线与平面所成角的正弦值为.38．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．(1)证明：平面平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先根据勾股定理证得，根据直棱柱的性质和线面垂直的性质定理证得；再根据线面垂直的判定定理证得平面；最后根据面面垂直的判定定理即可证得平面平面.（2）根据三棱锥等体积及锥体体积公式可求解.【详解】（1）证明：∵，，∴，∴.∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，∴，又因为，平面，平面，∴平面，又平面ACE，∴平面平面．（2）由（1）知，平面，∴AC为三棱锥的高，且.由直三棱柱的性质可得：四边形为矩形.因为，分别为，的中点，所以，，，则，∴．39．如图1，在矩形ABCD中，，．将△BCD沿BD翻折至，且，如图2．

(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面ABD夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论；（2）作，在平面内过点E作，即作出平面与平面ABD所成二面角的平面角，解三角形求出线相段的长，解即可求得答案.【详解】（1）由题意知，则，故，又，且平面，故平面，而平面，故平面平面；（2）作，垂足为E，在平面内过点E作，交于F，连接，则即为平面与平面ABD夹角或其补角，

由题意知，，故，，又在中，，则，则，又平面，平面，故，则，故，即，在中，,故平面与平面ABD夹角的余弦值为．40．如图，在四棱锥中，，，，平面平面．(1)求证：平面；(2)设，，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见及解析(2)【分析】（1）取的中点，结合等腰三角形三线合一、面面垂直和线面垂直性质可得，又，由线面垂直的判定可证得结论；（2）利用勾股定理可求得，，根据，结合棱锥体积公式可求得结果．【详解】（1）取的中点，连接，因为，为中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因为，，所以，且，平面，所以平面．（2）由（1）知平面，因为平面，所以，又，，所以，因为，所以为等腰三角形，所以所以，所以.【点睛】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了几何体体积计算问题，是中档题．41．正三棱柱的底面边长与侧棱长都是2，分别是的中点．(1)求三棱柱的全面积；(2)求证：∥平面；(3)求证：平面⊥平面．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）利用棱柱的表面积公式进行求解即可；（2）利用线面平行的判定定理进行证明即可；（3）利用面面垂直的判定定理证明即可.【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱，且棱长均为2，所以底面是正三角形，侧面均为正方形，故三棱柱的全面积为；（2）在正三棱柱中，因为分别是的中点，可知，又∥，所以四边形是平行四边形，故∥，又平面，平面，所以∥平面．（3）连，设与相交于，则由侧面为正方形，可知与互相平分．在中，，在中，，故，连，则．又，，连，则，又与相交于，，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．立体几何的综合性问题42．如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（

）

A．B．C．直线与平面所成角的最大值是D．的最小值为【答案】ACD【分析】由正方体的性质，得到正方体中的垂直关系，对照选项作出判断；作出直线与平面所成角，进而判断线面角的最大值；通过翻折平面，将平面与平面沿翻折到同一个平面内，进而判断的最小值.【详解】对于选项A，由正方体性质，易得,,因为平面，所以平面.因为平面，所以，故A正确；对于选项B，当与重合，则此时与夹角为，故B错误；对于选项C，如图连接交于，

因为平面，平面，所以.因为,平面,所以平面，即平面，所以为直线与平面所成角，所以.所以当最小时最大，即时，最小.由，可得，此时，故的最大值为，直线与平面所成角的最大值是，故C正确；对于选项D，如图，将平面与平面沿翻折到同一个平面内

由题意，，从而，故为平行四边形.又，故为矩形.从而当为与交点时，最小，此时，故D正确.故选:ACD.43．如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，点为上一点，且，则下列结论中正确的有（

）A．正三棱台的高为B．点P的轨迹长度为C．高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内D．过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为【答案】ACD【分析】延长正三棱台侧棱相交于点，分析可知三棱锥为正四面体，对于A：根据正四面体的高以及棱台的性质分析求解；对于B：根据线面夹角可得，可知点的轨迹为等边的内切圆，即可得结果；对于C：根据三棱台、圆柱的结构特征分析判断；对于D：利用等体积法求正四面体的内切球，分析可知该棱台内最大的球即为正四面体的内切球，即可得结果.【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，由题意可知：，在等腰梯形中，因为，，，则.即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且.对于选项A：设为等边的中心，由正四面体的性质可知：侧面，且，即点到底面的距离为，又因为，，所以正三棱台的高为，故A正确；对于选项B：因为与平面所成角的正切值为，即，解得，且等边的内切圆半径，可知点的轨迹为等边的内切圆，所以点的轨迹长度为，故B错误；对于选项C：因为正三棱台的高，且的内切圆半径为，所以高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内，故C正确；对于选项D：设正四面体的内切球半径，由等体积法可得：，解得.因为，则该棱台内最大的球即为正四面体的内切球.又因为，，，则为的中点，过点的平面正好过该内切球的球心，所以截面面积为，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：将三棱台补成三棱锥，结合题意分析可知三棱锥为正四面体，结合正四面体的性质分析判断.44．已知正方体的棱长为2，P，Q分别是棱，上的动点（含端点），则（

）

A．四面体的体积是定值B．直线与平面所成角的范围是C．若P，Q分别是棱，的中点，则D．若P，Q分别是棱，的中点，则经过P，Q，C三点作正方体的截面，截面面积为【答案】ABC【分析】由体积公式计算判断A；由线面角公式判断B；由距离计算判断C;由截面做法及计算判断D.【详解】对A，因为四面体的体积为，h为到底面的距离，且为定值2，为定值，故四面体的体积是定值，A正确；对B，连接，易得平面，故平面，则到平面的距离即为到平面的距离；又，平面，则平面，则到平面的距离为，易得，则直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的范围是，故B正确；

对C，若P，Q分别是棱，的中点，易得，故C正确；对D，取中点M,中点N,连接，易知故四边形为平行四边形，则，易知，故，故经过P，Q，C三点作正方体的截面，截面为梯形，如图：

又易得，，作易得为矩形，设，则，由则，解得，故，故四边形的面积为，故D错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查正方体性质，线面角及截面问题，明确截面形状是解决D的关键.45．如图，棱长为1的正方体中，E为棱的中点，点F在该正方体的侧面上运动，且满足平面．下列说法正确的是（

）A．点F轨迹是长度为的线段B．三棱锥的体积为定值C．存在一点F，使得D．直线与直线所成角的正弦值的取值范围为【答案】ACD【分析】设G为中点，证得平面，平面，得到平面平面，得出点的轨迹为线段，可判定A正确；由，可判定B错误；当点为中点时，证得，可判定C正确；当点为中点和点与或重合时，分别求得直线与直线所成角的正弦值可判定D正确.【详解】设G为中点，则截面图形是为等腰梯形，分别为的中点，可得且，因为平面，平面，且平面，平面，所以平面，平面，又因为，且平面，所以平面平面，因为平面，且点在该正方体的侧面上运动，所以点的轨迹为线段，且，所以A正确；由，所以B错误；当点为中点时，因为，可得，因为，所以，所以C正确；当点为中点时，在正方体，可得，则直线与直线所成的角，即为直线与直线所成的角，设，在等腰中，，可得，在中，可得，所以；当点与或重合时，此时直线与直线所成角的正弦值为，所以直线与直线所成角的正弦值的取值范围为，所以D正确.故选：ACD.46．已知正四棱锥的底边长为2，高为2，且各个顶点都在球的球面上，则下列说法正确的是（

）A．直线与平面所成角的余弦值为B．平面截球所得的截面面积为C．球的体积为D．球心到平面的距离为【答案】ACD【分析】在直角，求得，可判定A正确；设正四棱锥外接球的半径为，得到平面截球所得的截面圆的半径为，可得判定B错误；求得由外接球的半径为，结合球的体积，可判定C正确；设等腰的外接圆的圆心，外接圆的半径为，结合球的性质，可判定D正确.【详解】如图所示，因为正四棱锥的底边长为2，高为2，且各个顶点都在球的球面上，连接，且，则平面，，对于A中，在直角，，可得，所以，所以A正确；对于B中，设正四棱锥外接球的半径为，在直角中，，可得，即，解得，则平面截球所得的截面圆的半径为，所以截面圆的面积为，所以B错误；对于C中，由外接球的半径为，所以球的体积为，所以C正确；对于D中，设等腰的外接圆的圆心，外接圆的半径为，取的中点，连接，则点在上，且，在直角中，可得，即，解得，根据球的性质，可得平面，在直角中，可得，即球心到平面的距离为，所以D正确.故选：ACD.47．如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（

）A．平面平面B．平面平面C．直线与平面所成角的正弦值是D．平面与平面夹角的余弦值是【答案】AD【分析】对于A，需证平面CDE与平面CDE；取中点，所以为二面角的平面角，求出此二面角不是直二面角，可判断B；同理为二面角的平面角，可判定D;对于C，先证平面BEDF，故即为直线AE与平面BDE所成的角，求解即可.【详解】连接AC交BD于点O，则点O为正方形ABCD的中心，由对称性可知，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面CDE，平面，所以平面，同理平面，又，AF，平面，所以平面平面，