专题拓展圆锥曲线的最值与范围问题（技巧解密6考点过关检测）

专题拓展：圆锥曲线的最值与范围问题一、圆锥曲线中的最值范围问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、最值范围问题的一般解题步骤第一步设参数：依题意设出相关的参数，如设点坐标，设比例式的参数，设直线的方程等；第二步联立方程：常把直线方程与曲线方程联立，转化为关于x(或y)的一元二次方程；第三步求最值：根据题设条件中的关系，建立目标函数的关系式；第四步求最值：利用配方法、基本不等式法、单调性法等求其最值．三、参数取值范围问题1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．考点一：距离或长度的最值范围例1．（2324高二下·河南·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，为坐标原点，当时，．(1)求的方程；(2)过的另一条直线交于两点，设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的最大值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）设焦距为，当时，将代入椭圆方程可得，，解得，所以，又，解得，所以的方程为；（2）设直线，与椭圆线方程联立可得，，由韦达定理，，所以，同理可得，，，因为，所以，故，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为．【变式11】（2324高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是.(1)求抛物线的方程；(2)已知过点的直线与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，求的最小值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）的焦点为，双曲线的渐近线方程为，不妨取，即.由点到直线的距离公式得，得，所以抛物线的方程为.（2）由(1)知，，.当直线斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求，直线斜率不为0，故设直线的方程为，联立消去并整理，得，，设，，则，，，∴.易得点的坐标为，∴的中垂线方程为，令得，∴，从而，∴，∴当且仅当时，取最小值.【变式12】（2324高二下·广东·阶段联考）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．(1)求双曲线的方程；(2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．【答案】(1)；(2)【解析】（1）依题意，，焦半径，由，得，得，解得：（其中舍去），所以，故双曲线的方程为；（2）显然直线不可能与轴平行，故可设直线的方程为，联立，消去整理得，在条件下，设，，则，，由，得，即，整理得，代入韦达定理得，，化简可消去所有的含的项，解得：或（舍去），则直线的方程为，得，又都在双曲线的右支上，故有，，此时，，所以点到直线的距离的取值范围为.考点二：多边形面积的最值范围例2.（2324高二上·山西朔州·期末）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．(1)求椭圆E的方程；(2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程．【答案】(1)；(2)面积的最大值为，此时直线的方程为【解析】（1）抛物线的焦点为，所以，因为双曲线的焦点坐标为，所以则，所以椭圆E的方程为.（2）设，联立可得，因为直线与椭圆E交于A、B两点，所以解得，由韦达定理可得，由弦长公式可得，点到直线的距离为，所以当且仅当即时取得等号，所以面积的最大值为，此时直线的方程为.【变式21】（2324高二上·福建宁德·期末）抛物线被直线截得的弦的中点的纵坐标为1．(1)求的值及抛物线的准线方程；(2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点，求四边形的面积的最小值．【答案】(1)；准线方程为；(2)32【解析】（1）解法一：设抛物线与直线交于，．整理得，所以，因为所以，则抛物线方程为，准线方程为；解法二：设抛物线与直线交于，．因为截得的弦的中点的纵坐标为1，故，，则，作差得，所以，因为，所以则抛物线方程为，准线方程为（2）解法一：依题意设直线的方程为，，，．联立方程组整理得，故所以因为，直线的方程为，同理可得所以当且仅当，即时，取等号．所以四边形面积的最小值为32．解法二：依题意设直线的方程为，，，．联立方程组整理得，故．所以因为，同理可得所以，当且仅当，即时，取等号．所以四边形面积的最小值为32．【变式22】（2324高二下·浙江·期中）已知点为焦点在轴上的等轴双曲线上的一点.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线且交双曲线右支于两点，直线分别交该双曲线斜率为正的渐近线于两点，设四边形和三角形的面积分别为和，求的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】（1）设等轴双曲线方程为，代入点可得，所以，所以双曲线方程为.（2）因为，所以，又，所以，设直线，联立，可得，因为是双曲线右支的两点，所以，解得.又因为双曲线斜率为正的渐近线为，直线，可得，同理可得，而，所以，即，所以.考点三：坐标或截距的最值范围例3.（2324高二上·云南大理·期末）已知是双曲线上的一点，分别是的左、右焦点，若．(1)求双曲线的离心率；(2)当时，求的取值范围．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由可得，所以，故，离心率为（2），，所以，由于，所以，解得，【变式31】（2324高二下·内蒙古·月考）已知过点的动直线l与抛物线相交于两点.当直线l的斜率是时，.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】（1）设，，由题意知直线l的方程为由得，∴，又∵，，∴，结合已求内容及，解得，则抛物线G的方程为.（2）由题意设，的中点坐标为，由得，，.∴线段的中垂线方程为，∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为.对于方程，由得或.此时易知.【变式32】（2324高二上·陕西汉中·月考）双曲线焦点是椭圆C：顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.(1)求椭圆C的方程；(2)设动点在椭圆C上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）双曲线的焦点坐标为，离心率为.因为双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.故椭圆的方程为.（2）因为，所以直线的斜率存在.因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.代入椭圆方程得.因为，所以.设，，根据根与系数的关系得，..因为，即.整理得.令，则.所以.等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.故的最大值为考点四：斜率或倾斜角的最值范围例4.（2223高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的渐近线方程为，且虚轴长为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线相交于不同的两点，且满足，求的取值范围.【答案】(1)；；(2)或.【解析】（1）由题意知：，解得，双曲线的方程为.（2）联立直线与双曲线：，消得：.，可得且，设，则，，则，整理得，∴或，综上，的取值范围为或.【变式41】（2223高二上·河南·期末）已知椭圆方程短轴长为2，离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)作直线与椭圆交于两个不同的点，如果线段MN的中点在直线上，求直线的斜率的取值范围．【答案】(1)；(2)或.【解析】（1）由椭圆的短轴长为2，得，由离心率，得，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2）由直线与轴垂直，且直线与直线相交，得直线不垂直于轴，设直线的方程为，由，得，则，即，设，则，由线段中点在直线上，得，即，由，得，即，解得或，所以直线的斜率的取值范围为或.【变式42】（2223高二上·吉林·期末）已知抛物线焦点为F，点在抛物线上，.(1)求抛物线方程；(2)过焦点F直线l与抛物线交于MN两点，若MN最小值为4，且是钝角，求直线斜率范围.【答案】(1)或；(2)【解析】（1）由题意可得：，解得或，故抛物线方程为或.（2）抛物线的焦点，设，联立方程，消去x得，则，可得，解得，此时，则，若直线过点，则，解得，若是钝角，则，且三点不共线，∵，则，解得或，注意到，故直线斜率范围为.考点五：向量代数式的最值范围例5.（2223高二上·山东德州·期中）已知圆M：，点，P是圆M一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q．(1)求点Q的轨迹方程C；(2)若点A是曲线C上的动点，求的最大值（其中O为坐标原点）．【答案】(1)；(2)【解析】（1）圆的圆心，半径为，由题意可知，又点是圆上的点，则，且，则，由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，，则点的轨迹方程；（2）设，则，进而①又，所以，将其代入①得，由椭圆的有界性可知，所以当时，取最大值【变式51】（2324高二下·江西新余·期末）已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2.(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；(2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）.【答案】(1)，；(2)1.【解析】（1）由离心率，又，则，又长轴长，所以，所以，故双曲线的标准方程为；其渐近线方程为.（2）直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点，的方程为；设由，得，【变式52】（2324高二下·河北衡水·一调）已知F是抛物线E：的焦点，是抛物线E上一点，与点F不重合，点F关于点M的对称点为P，且．(1)求抛物线E的标准方程；(2)若过点的直线与抛物线E交于A，B两点，求的最大值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）∵，点N与点F不重合，∴，∴．∵点F关于点M的对称点为P，∴，（中点坐标公式）．∴，得，∴抛物线E的标准方程为．（2）由（1）知，易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，代入，整理得，，，设，则．∵，∴，当时，取得最大值，为．考点六：参数的最值范围例6.（2223高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，分别是椭圆的左右顶点.椭圆长轴长为6，离心率为.为坐标原点，过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点.(1)求椭圆的标准方程；(2)当直线的斜率为正时，设直线、分别交轴于点，记，，求的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由题可知解得，所以椭圆的标准方程为.（2）设直线，，由得解得或（舍），且的直线方程为，的直线方程为，令解得，所以，同理，所以,由，可得所以即，因为，所以，所以，所以.的取值范围为.【变式61】（2324高二上·山东青岛·月考）已知抛物线上的一点到抛物线的焦点的距离是.(1)求抛物线的方程；(2)已知过点的直线与C交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，设，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】（1）根据抛物线的定义有，所以抛物线的方程为.（2），抛物线的准线为，依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为，由消去并化简得，，设，则，，所以，由于垂直平分，所以直线的方程为，令得，则，，，所以.【变式62】（2223高二上·浙江杭州·期末）已知点分别为双曲线的左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线第一象限部分交于点，的面积为．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，记，的面积分别为，（为坐标原点）．若，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由题意可知，所以，，由已知，可得，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）设，联立，整理可得所以，解得，由，可得，，原点到直线的距离，所以设，，易知渐近线方程为，不妨设在渐近线上，由得，同理，所以，到直线的距离，所以所以，，则令，则故的取值范围是1．（2324高二上·北京西城·期末）已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点.(1)求椭圆的离心率；(2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由题意得，且，即，解得，所以椭圆的离心率.（2）由题意，得.设，则.所以，.因为，所以当时，；当时，.所以的取值范围为.2．（2324高二上·湖北恩施·期末）已知抛物线：，点在上．(1)求的方程；(2)若点是的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的最小值．【答案】(1)；(2)16【解析】（1）因为点在上，所以，即：．（2）如图：设，，，，直线的方程为（直线斜率存在且不为0）．联立方程组，消去得：，所以．因为，用代替，得：．由抛物线的定义可知，当且仅当时，等号成立．3．（2324高二上·安徽亳州·月考）已知，在椭圆C：上，，分别为C的左、右焦点．(1)求a，b的值及C的离心率；(2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形的面积的取值范围．【答案】(1)，，离心率为；(2)【解析】（1）因为，在椭圆C：上，所以,解得，，所以，C的离心率为；（2）由（1）得，，故，因为动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，所以四边形的面积，当且仅当P，Q分别为上顶点和下顶点时，等号成立.4．（2324高二上·四川宜宾·月考）已知抛物线的焦点为F，点是抛物线上的点，且.（1）求抛物线方程；（2）直线与抛物线交于、两点，且.求△OPQ面积的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）依题意.（2）与联立得，，得，又，又m>0，m=4.且，，当k=0时，S最小，最小值为.5．（2324高二上·江苏常州·期末）已知椭圆的右焦点为，点在上．(1)求的方程；(2)斜率为1的直线与交于，两点，线段的中点为，求点的横坐标的取值范围．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由已知得椭圆的左右焦点分别为，，，所以，所以，所以．（2）设直线的方程为：，，，联立消去得：，所以，由，解得．因为，所以，所以点的横坐标的取值范围为．6．（2324高二上·重庆·月考）已知点在抛物线上.(1)求抛物线的方程；(2)设、是抛物线上异于原点的两个动点，若，求直线在轴上的截距的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，可得，得，故抛物线的方程为.（2）若直线的斜率为零，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，设点、，联立可得，，即，由韦达定理可得，，所以，，解得，满足，因此，直线在轴上的截距的取值范围.7．（2324高二上·福建福州·期末）若双曲线的一个焦点是，且离心率为2．(1)求双曲线的方程；(2)已知点，过焦点的直线与双曲线的两支相交于A，B两点，求直线MA和MB的斜率之和的最大值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）易得，，解得，故得，故的方程为，（2）由题意得的斜率存在，故设方程为，联立方程组，，可得，则，，设，则，，解得，结合，故，令，故，当且仅当时取等，故直线MA和MB的斜率之和的最大值为.8．（2324高二下·湖南长沙·开学考试）已知抛物线：上的点到焦点的距离为．(1)求抛物线的方程；(2)过抛物线上一点（异于坐标原点）作切线，过作直线，交抛物线于，两点．记直线，的斜率分别为，，求的最小值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由题可得的焦点坐标，由于点在抛物线，所以，点到焦点的距离为，即，解得（舍去），所以抛物线的方程为（2）由题可得，设，，由于抛物线方程为，即，则，所以切线的斜率，由于，所以直线的斜率为，则直线的方程为：，即，联立，化简得：，则，，所以，同理所以，由于（当且仅当时取等），所以，故的最小值为9．已知椭圆C：左、右焦点分别、，长轴长为，且椭圆C的离心率与双曲线的离心率乘积为1，P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q.(1)求椭圆C的方程；(2)若且，求的最大值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由题意可知双曲线的离心率为，从而椭圆离心率，又因为，所以，可得，从而；故椭圆