2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测72空间几何体的表面积与体积

[课时跟踪检测][基础达标]1．(2018届吕梁模拟)圆锥的底面半径为a，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是()A．2πa2 B．4πa2C．πa2 D．3πa2解析：圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为底面半径的2倍，因为圆锥的底面半径为a，故圆锥的母线长为2a故圆锥的侧面积S＝πrl＝2πa2.答案：A2．(2018届遵义模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．24＋12eq\r(3) B．24＋5eq\r(3)C．12＋15eq\r(3) D．12＋12eq\r(3)解析：由三视图可知，几何体为三棱柱，底面是斜边长为4，斜边上的高为eq\r(3)的直角三角形，底面面积为eq\f(1,2)×4×eq\r(3)＝2eq\r(3)，底面周长为6＋2eq\r(3)，棱柱的高为4，故棱柱的表面积S＝2×2eq\r(3)＋4×(6＋2eq\r(3))＝24＋12eq\r(3).答案：A3.如图所示，E，F分别是边长为1的正方形ABCD边BC，CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,24)解析：设B，D，C重合于G，则VA－EFG＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,24).答案：D4．(2017届山东枣庄模拟)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．48cm3 B．98cm3C．88cm3 D．78cm3解析：由三视图知，该几何体为长方体去掉一个三棱锥，其体积V＝6×3×6－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×5×4＝98答案：B5.(2017年全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10 B．12C．14 D．16解析：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形＝eq\f(1,2)×2×(2＋4)＝6，∴这些梯形的面积之和为6×2＝12，故选B.答案：B6．(2017届长春模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为()A.eq\f(32,3) B．64C.eq\f(32\r(3),3) D.eq\f(64,3)解析：由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，∴其体积为eq\f(1,3)×4×4×4＝eq\f(64,3)，故选D.答案：D7．如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()A.eq\f(16π,3) B.eq\f(8π,3)C．4eq\r(3)π D．2eq\r(3)π解析：由对称性可知外接球球心在侧视图中直角三角形的高线上，设外接球的半径为R，则(eq\r(3)－R)2＋12＝R2，R＝eq\f(2\r(3),3)，其表面积S＝4πR2＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2＝eq\f(16π,3).答案：A8．(2018届郑州模拟)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A.eq\f(2π,3) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,9) D.eq\f(16π,9)解析：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与正视图可得，底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V＝eq\f(120,360)×eq\f(1,3)×π×22×4＝eq\f(16π,9)，故选D.答案：D9．三棱锥S－ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥S－ABC的表面积是________．解析：设侧棱长为a，则eq\r(2)a＝2，a＝eq\r(2)，侧面积为3×eq\f(1,2)×a2＝3，底面积为eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3)，表面积为3＋eq\r(3).答案：3＋eq\r(3)10．(2017届河北质量监测)多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为________cm3.解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，如图所示．在三棱锥D－ABC中，底面ABC是等腰三角形，设底边AB的中点为E，则底边AB及底边上的高CE均为4cm，侧棱AD⊥平面ABC，且AD＝4cm，所以三棱锥D－ABC的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC·AD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×4×4＝eq\f(32,3)cm3.答案：eq\f(32,3)11．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为eq\r(3)，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于________．解析：因为三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为eq\r(3)，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，所以eq\f(1,2)×2×1×sin60°×AA1＝eq\r(3)，所以AA1＝2，因为BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝4＋1－2＝3，所以BC＝eq\r(3)，设△ABC外接圆的半径为R，则eq\f(BC,sin60°)＝2R，所以R＝1，所以外接球的半径为eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，所以球的表面积等于4π×(eq\r(2))2＝8π.答案：8π12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6cm的正方形，如图，其面积为36cm2.(2)由侧视图可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2).由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(6\r(2)2＋62)＝6eq\r(3)(cm)．[能力提升]1．(2017届湖北模拟)某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为()A．18 B．20C．24 D．13解析：由三视图知该几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱的一部分，其直观图如图所示，其中，∠BAC＝90°，侧面ACC1A1∵AC⊥AB，平面ABC⊥平面ACC1A1∴AB⊥平面ACC1A1∴该几何体的体积为V＝VB1－ABC＋VB1－ACC1A1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×2＋eq\f(1,3)×3×4×4＝20.故选B.答案：B2．(2017届河南许昌月考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．9＋4(eq\r(2)＋eq\r(5)) B．10＋2(eq\r(2)＋eq\r(3))C．11＋2(eq\r(2)＋eq\r(5)) D．11＋2(eq\r(2)＋eq\r(3))解析：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱柱得到的四棱柱，其表面积为2×2＋2×1＋2×eq\r(2)＋2×eq\r(5)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(1,2)－1))＝11＋2(eq\r(2)＋eq\r(5))．答案：C3．(2016年全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则VA．4π B.eq\f(9π,2)C．6π D.eq\f(32π,3)解析：设球的半径为R，∵△ABC的内切圆半径为eq\f(6＋8－10,2)＝2，∴R≤2.又2R≤3，∴R≤eq\f(3,2)，∴Vmax＝eq\f(4,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9π,2).故选B.答案：B4．(2018届洛阳模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(5),2)C.eq\f(\r(6),2) D．3解析：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A－BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，S△ABC＝S△ABE＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2)，S△ACD＝eq\f(1,2)×1×eq\r(5)＝eq\