中国科学技术大学自动控制原理习题及解答

自动控制原理习题及其解答

第一章(略)

第二章

例2-1弹簧，阻尼器串并联系统如图2-1示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方

程。

解：(1)设输入为％,输出为加。弹簧与阻尼器并联平行移动。

(2)列写原始方程式，由于无质量按受力平衡方程，各处任何时刻，均满足Z尸=0,则

对于A点有

Ff+FK\-FK2=0

其中，号为阻尼摩擦力，FKI，&2为弹性恢复力。

(3)写中间变量关系式

火%-X))

dt

"冬（，­°）

FK2~K2yo

(4)消中间变量得

吟一吟+◊〃—冬i2凡

(5)化标准形

其中：T=_5_为时间常数，单位［秒］。

Ki+K2

K

K=।为传递函数,无量纲。

储+七

例2-2已知单摆系统的运动如图2-2示。

(1)写出运动方程式

(2)求取线性化方程

解：(1)设输入外作用力为零，输出为摆角。，摆球质量为加。

(2)由牛顿定律写原始方程。

%）=-mgsh\8-h

dr

其中，/为摆长，/。为运动弧长，〃为空气阻力。

(3)写中间变量关系式

h=a(l—)

dt

式中，。为空气阻力系数/也为运动线速度。

dt

(4)消中间变量得运动方程式

图2-2单摆运动

(2-1)

dt2dt&

此方程为二阶非线性齐次方程。

(5)线性化

由前可知，在9=0的附近，非线性函数sin®-e,故代入式(2-1)可得线性化方程为

在也+,/也+领=0

dt1dt$

例2・3已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。

<344

图2-3机械旋转系统

解：(1)设输入量作用力矩必，输出为旋转角速度。。

(2)列写运动方程式

dO)「一

Jr-j-=—fco+M/.

式中，a为阻尼力矩，其大小与转速成正比。

(3)整理成标准形为

d(6〃,,

Jr—/ky=M,

此为一阶线性微分方程，若输出变量改为夕则由于

d0

(0--

dt

代入方程得二阶线性微分方程式

dt2dt

例2-4设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图2-4所示。

y

倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾

倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2-65所示平面内运动。控制力〃作用于小车

上。假设摆杆的重心位于其几何中心人试求该系统的运动方程式。

解：（1）设输入为作用力”，输出为摆角6。

（2）写原始方程式，设摆杆重心力的坐标为（X”，M）于是

J

XA=Xt-h\n6

Xy=/COS。

画出系统隔离体受力图如图2—5所示。

图2-5隔离体受力图

摆杆围绕重心Z点转动方程为:

J巴：二以sine—a/cose(2-2)

dt2

式中，/为摆杆围绕重心力的转动惯量。

摆杆重心/沿X轴方向运动方程为:

m^-=H

dt2

,2

即m--(x+/sin0)=H(2-3)

dt

摆杆重心Z沿y轴方向运动方程为:

dr

即m(/cos8)=V-mg

小车沿x轴方向运动方程为:

一d?x

M——=u-Hrr

dt2

方程(2-2),方程(2-3)为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有sin。和cos。项，所以

为非线性微分方程组。中间变量不易相消。

(3)当。很小时，可对方程组线性化，由sine^e,同理可得到cosF则方程式(2-2)式

(2-3)可用线性化方程表示为：

d2A

dt2

d2x,d-eu

m——+ml———=ri

dt2dt2

0=V-mg

,d2x

Mz——-u-rrH

dt2

用S2=J的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量/、H、X得

dt2

、八

(/-Ml/--A--f-+--W-J)s20n+(/Mlz+m)gO-u

ml

将微分算子还原后得

…MJJ、d?e3、do

(Mld------F-)——-(M+m)g——=-u

mlIdt1dt

此为二阶线性化偏量微分方程。

例2・5RC无源网络电路图如图2—6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递

函数a(s)/a(s)。

R,

图2-6RC无源网络

解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足

广义的欧姆定律。即：

U(s)

=Z(s)

如果二端元件是电阻R、电容C或电感L,则复阻抗Z(s)分别是R、1/Cs或Lso

(1)用复阻抗写电路方程式：

/2(S)="|(S)-UC2(S)〕；

“2

K，2(S)=/2(5)-!-

C2s

(2)将以上四式用方框图表示，并相互连接即得KC网络结构图，见图2—6(〃)。

(3)用结构图化简法求传递函数的过程见图2—6(°)、3)、(e)o

R}・C2s

(b)

RGs

1

1+R仆l+/2Gs

(c)

I

化GRCZ+(R]G+R＜；+RC)s+l

(d)

图2-6AC无源网络结构图

(4)用梅逊公式直接山图2—6(份写出传递函数a(s)/U,.(s)o

A

独立回路有三个:

R2C2sR2c2s

1___1_-1

C}SR2-7?2cls

回路相互不接触的情况只有L,和L2两个回路。则

=L、L^=~

R[C[R2c2s2

由上式可写出特征式为:

1111

A=1—(A1+L)+L3)—L[L?=]+---------1-----------1-----------1-----------------

RiGSR2c2sR2GsR[C]R2c2s2

通向前路只有••条

J___1___1___1__]

RtGSR2C2S-&R2cle2s2

由于G1与所有回路〃，L2,乙3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为

A1=1

代入梅逊公式得传递函数

]

G_G]A]_H]C]R2c2s之

=△=:iiii

1+--------1----------1---------1---

2

RgsR2c2sR2clsR}C}R2C2S

________________1_______________

R]R2cle2$2+(R]G+R2c2+R\C2)s+1

例2-6有源网络如图2—7所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果，直

接用于图2—8所示PI调节器，写出传递函数。

解：图2・7中Z.和4表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗，假设4点

为虚地，即以n0,运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是：/1=/2

q(s)=/1(s)4(s)

则有：

U/s)=—，2(s)Z/(s)

故传递函数为

4(s)Z/(s)

G(s)=(2-4)

Z,(s)

对于由运算放大器构成的调节器，式(2-4)可看作计算传递函数的一般公式，对于图2-8所

示P1调节器，有

Zj(s)=&

Zy(5)=??,+—

故

Z/(s)&+衣RCS+1

G(s)=----------=------------=------------

Zj⑸&R}CS

例2・7求下列微分方程的时域解x(r)o已知x(0)=0,攵(0)=3。

d2x„

--4-3—+6x=0

dt2dt

解：对方程两端取拉氏变换为：

S2X(s)-Sx(0)-x(0)+3斯(s)-3x(0)+6X(s)=0

代入初始条件得到

(S2+3S+6)X($)=3

解出X(s)为：

A

X(c=3_2.F

SFS+6石(S+L»+(争2

反变换得时域解为：

,八2百15一而,、

x(/)=^^esin(^-Z)

例2・8已知系统结构图如图2・9所示，试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。

图2-9系统结构图

欧s)_G+H]?

r

1+GH2'

图2-10系统结构图的简化

解：(1)首先将含有G2的前向通路上的分支点前移，移到下面的回环之外。如图2-10(。)

所示。

(2)将反馈环和并连部分用代数方法化简，得图2-10(b).

(3)最后将两个方框串联相乘得图2-10(c)o

例2-9已知系统结构图如图2-11所示，试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。

解：

(1)将两条前馈通路分开，改画成图

2-12(a)的形式。

(2)将小前馈并联支路相加，得图2-12

⑹。

(3)先用串联公式，再用并联公式

R(,s)C(s)

AG|3+G?+1

图2-12系统结构图

将支路化简为图2-12(c)。

例2-10已知机械系统如图2-13(a)所示，电气系统如图2-13⑹所示,试画出两系统

结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。

由i毋…

(b)电气系统

(")机械系统3

图2-13系统结构图解：(D若图2-13(a)

所示机械系统的运动方程，

遵循以下原则并联元件的合力等于两元件上的力相加，平行移动，位移相同，串联元件各元

件受力相同，总位移等于各元件相对位移之和。

微分方程组为：

F=F[+F2=fi(xi-x0)+Kl(xi-x0)

，尸=力(即-))

F=K2y

取拉氏变换，并整理成因果关系有:

尸(S)=(/s+K|)[(x，(s)-x0(S)]

y(s)=；F(s)

Xo(s)=jF(s)+y(s)

fiS

画结构图如图2—14：

X,

图2-14机械系统结构图

求传递函数为:

I1ff

~、K+小）（丁+―）（？S+I）（A+I）

A

0（5）_k2j2s_k［K2

X（s）1+（占+加）（；+；）（A5+1）（A5+1）+AS

K2J2、K,।zv2rv।

（2）写图2-13（6）所示电气系统的运动方程，按电路理论，遵循的定律与机械系统相似,

即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件

分电压之和，可见，电压与位移互为相似量电流与力互为相似量。

运动方程可直接用复阻抗写出：

/（s）=小+/，⑸=；［片（s）-片⑸］+Gs［（g（s）-E0（s）］

K\

"（s）=；［£0（s）—名2（s）］

尺2

/（5）=C2s+EC2（S）

整理成因果关系:

/(s)=(；+Gs)[(E,(s)-Eo(s)l

火1

Ec2(S)=不1/G)

Eo(s)=瓜2+&2(s)

画结构图如图2-15所示:

图2-15电气系统结构图

求传递函数为:

(g+Gs)(4

火](RCS+1XR2C2S+D

E,(s)(KGS+l)(R»C、s+1)+7?1CjS

对上述两个系统传递函数，结构图进行比较后可以看出。两个系统是相似的。机一电系

统之间相似量的对应关系见表2-1。

表2-1相似量

机械系统XiX。yFF\出KiUK?f2

电气系统iiil/RR

6%e<?2GC2

例2-11RC网络如图2-16所示，其中均为网络输入量，"2为网络输出量。

(1)画出网络结构图；

(2)求传递函数5⑸/5⑸。

解：(1)用复阻抗写出原始方程组。

输入回路17]=&]/]+(/]+/2)---

C2s

输出回路。2=尺2,2+(，1+，2)不一

C2s

中间回路/内=(火2+4一)42

(3)整理成因果关系式。

715—(/]+，2)/-

C]5

，2=

色G$+1

U?=RJ?+3+^2)7^~

C2s

即可画出结构图如图2-17所示。

图2-17网络结构图(4)用梅逊公式求出:

U2G(A|+G2A2+G3A3

~U\~A-

—+—...—+——R

_R]C2s&GS+1C2sH2GS+I2

=；1+---i--+----c->---•—i

R]C2sR2C1S+1C2s

R]R2clC2s2+(K]+7?2)GS+1

R]R2cle2s2+(7?]C2+R?Ci+&G)s+1

例2・12已知系统的信号流图如图2-18所示，试求传递函数C(s)/H(s)。

图2-18信号流图

解：单独回路4个，即

="GI~G2~G3~GtG2

两个互不接触的回路有4组，即

^LbLc-GlG2+GlGi+G2G3+GiG2G3

三个互不接触的回路有1组，即

也"=-G]G2G3

于是，得特征式为

=1+G]+G?+G3+2G]G2+6)(?3+G2G3+2G1G2G3

从源点R到阱节点C的前向通路共有4条,其前向通路总增益以及余因子式分别为

Pi=GQ2G3K△1=1

「G2G3KA2=1+G]

P3=GQ3K△3=1+62

P4=—G[G2G3K△4=1

因此，传递函数为

c(s)=々A+P?Z+P3X+

G2G3^(1+G[)+G]G3K(1+G?)

1+G]+G?+G3+2G]G2+GQ3+G2G3+2GQ2G3

第三章

例3-1系统的结构图如图3-1所示。

已知传递函数G(s)=10/(0.2s+l)。今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间4减

小为原来的01倍，并保证总放大系数不变。试确定参数心和Ko的数值。

解首先求出系统的传递函数0(s),并整理为标准式，然后与指标、参数的条件对照。

-阶系统的过渡过程时间。与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为

10

。(5)=

(0.25/10+1)

即

C(s)_K°G(s)_10K。

~R(s)~1+KHG(S)~0.2s+1+10/Cw

10K。

5+1)

1+lOK”

比较系数得

1+10K”

1+10Ka=10

解之得

KH=0.9、I=10

解毕。

例3-10某系统在输入信号，⑺=(1+。1⑺作用下，测得输出响应为:

<?(/)=(/+0.9)-0.9e-1°,(r20)

已知初始条件为零，试求系统的传递函数。(s)。

解因为

n/、11S+l

10.90.910(5+1)

C(s)=L[c(f)]=

7+T~5+1052(5+10)

故系统传递函数为

R(s)O.b+1

解毕。

例3-3设控制系统如图3-2所示。

试分析参数b的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。

解由图得闭环传递函数为

°“(s、)=-----K-----

(T+/>K)s+l

系统是一阶的。动态性能指标为

td=0.69(7+6K)

/,=2.2(7+6K)

ts=3(T+6K)

因此，/>的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。

例3-12设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。

图3-34二阶控制系统的单位阶跃

fllrilI.；,

解首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3,故此系统的增益不是1,而是

3。系统模型为

…一3洸

$2+2初+

然后由响应的“2％、5及相应公式，即可换算出

K

c(乙)一巡知4-3

M%===上=33%

peg3

tp^0.1(s)

由公式得

//,%=e-吟必=33%

兀

0.1

换算求解得：4=0.33、(0„=33.2

解毕。

例3-13设系统如图3-35所示。如果要求系统的超调量等于15%,峰值时间等于0.8s,

试确定增益&和速度反馈系数K,。同时，确定在此K和尤数值下系统的延迟时间、上升时

间和调节时间。

TK\

s(s+1)

1+K/S

图3-35

解由图示得闭环特征方程为

S?+(l+&K,)s+K1=0

即

1+K。；

K\=%。

2。”

由己知条件

Mp%=I呜乐=0.15

=0.8

解得

£=0.517,0“=4.588.「

于是

K.=21.05储=2"“=0.178

降

=1+0.61+0常=0297s

①"

产产£==生平咨=0.538s

①“41-3①”戊一针

3.5

=1.476s

解毕。

例3-14设控制系统如图3-36所示。试设计反馈通道传递函数”(s),使系统阻尼比提高到

希望的。值，但保持增益K及自然频率必不变。

J+等班+/

解由图得闭环传递函数4⑸

*、图3-36睇怎百控制系统结构图

52+2弧s+或+Ka)；H(s)

在题意要求下，应取H(s)=K,s

此时，闭环特征方程为：

/+(2J+KK,a)n)a)„s+a);=0

令：2J+KKQ”=2。，解出，K,=2(。-4)/K@,

故反馈通道传递函数为：

解毕。

例3-15系统特征方程为

56+30ss+2054+1053+552+20=0

试判断系统的稳定性。

解特征式各项系数均大于零，是保证系统稳定的必要条件。上述方程中s一次项的系数

为零，故系统肯定不稳定。解毕。

例3-16已知系统特征方程式为

54+853+1852+165+5=0

试用劳斯判据判断系统的稳定情况。

解劳斯表为

541185

38160

8x18-1x168x5—1x0=

52----------------=1o-------------=5

88

16x16-8x5।r厂八

S----------------=13.50

16

13.5x5-16x0u

S。------------------=5

13.5

由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第•列的所有项均具有正号,

满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。解毕。

例3-17已知系统特征方程为

55+/+253+252+35+5=0

试判断系统稳定性。

解本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的•种特殊情况。如果在劳斯行列表中某行

的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数£来代替为零的一

项，从而可使劳斯行列表继续算下去。

劳斯行列式为

55123

54125

53£=0-2

22e+2

s--------3

E

।-4S-4-5E2

s--------

2£+2

由劳斯行列表可见，第三行第一列系数为零，可用一个很小的正数£来代替；第四行第一

列系数为（2汁2/£,当e趋于零时为正数；第五行第一列系数为（一生一4—55）/（2汁2）,当

£趋于零时为-2。由于第一列变号两次，故有两个根在右半s平面，所以系统是不稳定的。

解毕。

例3-18已知系统特征方程为

S6+2S5+8/+1253+2052+165+16=0

试求：（1）在s右半平面的根的个数；（2）虚根。

解如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点对称的

实根，共朝虚根或（和）共糖复数根。此时，可利用上一行的系数构成辅助多项式，并对辅

助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部为零的一行，继续计算劳斯行列表。对

原点对称的根可由辅助方程（令辅助多项式等于零）求得。

劳斯行列表为

$6182016

5521216

5421216

00

由于一行中各项系数全为零，于是可利用Z行中的系数构成辅助多项式，即

P(5)=254+1252+16

求辅助多项式对s的导数，得

^^=8,5+245

s

原劳斯行列表中◎行各项,用上述方程式的系数，即8和24代替。此时，劳斯行列表变

为

561820

5521216

s421216

824

2

§616

s2.67

5°16

新劳斯行列表中第一列没有变号，所以没有根在右半平面。

对原点对称的根可解辅助方程求得。令

2s4+121+16=0

得到

5=±j\[2和s=±/2

解毕。

例3-19单位反馈控制系统的开环传递函数为

K

G(s)=

s(as+DSs?+cs+1)

试求：（1）位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数;

(2)当参考输入为rxl(/),%xl")和〃2*1⑺时系统的稳态误差。

解根据误差系数公式，有

位置误差系数为

K

Kn=limG(s)=lim----------；-------=8

STOSTOs(as+1)(加~+cs+1)

速度误差系数为

K

Kv=limsG(s)=lim5-------------------=K

s->0STOs(as+1)(加~+cs+1)

加速度误差系数为

7?2K

Ku=lim/G")=lim5-----------；--------=0

s’—。a。s(as+D(bs~+cs+1)

对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。

参考输入为尸x1(。，即阶跃函数输入时系统的稳态误差为

rr

e=------=-----=0

"ss1+3l+oo

参考输入为片x1(。，即斜坡函数输入时系统的稳态误差为

rr

e——二一

“K、,K

参考输入为rt2x1(7),即抛物线函数输入时系统的稳态误差为

2r2r

---=---=OO

储0

解毕。

例3-20单位反馈控制系统的开环传递函数为

10

G（s）=

5（1+T]S）（1+丁此

输入信号为r(?)=A+a>t,A为常量，co=0.5弧度/秒。试求系统的稳态误差。

解实际系统的输入信号，往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。

此时，输入信号的一般形式可表示为

/、12

r(t)=r0+r[t+-r2t-

系统的稳态误差，可应用叠加原理求出，即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差

的总和。所以，系统的稳态误差可按下式计算：

------1------1-----

1+KpK,K.

对于本例，系统的稳态误差为

A+一co

1+5,Kv

本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，即系统为1型系统，所以

Kp=8

10

K.limsG(s)=lims-10

5—>05->0s(l+7»(1+7>)

系统的稳态误差为

A0)A000.5八”

ess+--=------+——=——=——=0.05

1+KpKv1+8101010

解毕。

例3-21控制系统的结构图如图3-37所示。假设输入信号为（）=卬（。为任意常数）。

证明：通过适当地调节储的值，该系统对斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。

图3-37例3-21控制系统的结构图

解系统的闭环传递函数为

C(s)_K(K,s+l)

R(s)~s(Ts+1)+K

即

K(K.S+l)

c(s)•R(s)

TS2+S+K

因此

Ts2+s-KK^

R(s)-C(s)=R(s)

Ts2+s+K

当输入信号为《）=H时，系统的稳态误差为

Ts2+s-KKaa(Ts+"KKj)

4,=lim5iSr=lim----；-------—

sss—o2

Ts+s+Ks'ST°Ts~+s+K

alTs+d-KK^]_aQ—KKJ

=lim

STOTs2+s+KK

要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零，即6=0,必须满足

X-KK,=0

所以

Kj=1/K

解毕。

K

例3-22设单位负反馈系统开环传递函数为G(s)=跖,/上。如果要求系统的位置稳态

误差4『=0,单位阶跃响应的超调量M>%=4.3%,试问Kp、Kg、T,各参数之间应保持什么关系？

解开环传递函数

C⑹二跖40Kg/T比

£(心+1)s(s+‘)s(s+2&“)

T

显然

比=早

沏”=3

解得:

KpKJ=l应2

由于要求

Mp%=e3gX1OO%<4.3%

故应有J20.707。于是，各参数之间应有如下关系

KpKJW0.5

本例为I型系统，位置稳态误差分产0的要求自然满足。解毕。

例3-23设复合控制系统如图3-38所示。其中

&=2K2=1,T2=0.25s,K2K3=1

试求r(f)=(l+f+』/2)l⑺时,系统的稳态误差。

图3-38复合控制系统

解闭环传递函数

//、1七)