基础课14 函数的零点与方程的解

基础课14函数的零点与方程的解课时评价·提能基础巩固练1.已知函数fx=2x2A.1和−52 B.−1和52 C.−1,0和(52[解析]对于函数fx=2x2−3x−5，令fx=0，即2x2−3x−5=2.已知函数fx=2x−A.0 B.1 C.2 D.3[解析]当x≤0时，令fx=当x>0时，令x2−3x+1综上所述，函数fx的零点为0，3+52，3−52，3.某同学用二分法求函数fx=2x+3x−7的零点时,计算出如下结果：f1.5=0.33,fA.1.4065是满足精度为0.01的近似值 B.1.375是满足精度为0.1的近似值C.1.4375是满足精度为0.01的近似值 D.1.25是满足精度为0.1的近似值[解析]f1.4375=0.02>0,f1.4065=−∵f1.375=−0.28<0,f1.4375=0.02<∵f1.422=−0.05<0,f1.4375=0.024.函数fx=3A.0,1 B.1,2 C.[解析]依题意，函数fx=3x−lnx的定义域为0,+∞，而y=3x在0,+∞上单调递减，y=−lnx在0,+∞上单调递减,所以fx在0,+∞上单调递减.因为e3>4，所以e325.已知函数fx=2x+x，gx=log2xA.c<b<a B.a<c[解析]在同一平面直角坐标系中作出y=2x,y=log2由图象知a<c<b6.已知函数fx=lnx−A.0 B.2 C.3 D.4[解析]函数fx=lnx−2+x2与g因为y=lnx−2和y=4x−x2的图象均关于直线x=7.[2024·济南模拟]已知函数fx=x+12,A.(0,1] B.[0,[解析]依题意，作出y=fx的图象与直线y因为函数gx=fx−b有四个不同的零点，所以方程fx=b有四个不同的解，所以函数y=fx的图象与直线y=b8.若关于x的不等式x2−4x−2−aA.−∞,2 B.−∞,−2 C.−6[解析]不等式等价于存在x∈1,4,使a<x2−4x−2,即a<x2−4x−综合提升练9.（多选题）已知当x>0时,x>log2A.方程fxB.方程ffC.方程ffD.方程ff[解析]作出fx=2x,因为当x>0时，x>log2x,所以y=x令fx=t,则ft=1⇒t=0或t=12或t=2⇒fx=0或fx=12或fx令u=fx,则fu=t∈0,1⇒u1<0,u2∈0,1,u3∈令u=fx,则fu=t∈1,+∞⇒u1∈(0,12),u2∈2,+∞,所以fx1∈(0,1210.（多选题）已知函数fx=ex+x−2的零点为A.ea+lnb>2 B.e[解析]令fx=0，gx=0，则ex=2−x，ln因为函数fx=ex+x−2的零点为所以Aa,ea,Bb,ln因为函数y=ex与y所以由反函数的性质知Aa,ea，Bb则a+b=2，ea+lnb=2，所以A，D错误，B，C正确.故选BC.11.若函数fx=−12x+1,x[解析]当x>2时，由fx=fx−当x∈(2,4]时，x−2∈(0,2]，fx=fx−2=−12x−2+1=−12x+2，作出分段函数综上所述，a的取值范围为0,12.已知函数fx=2x+[解析]令t=fx，则Fx作出y=fx的图象和直线y由图象可得函数y=fx的图象与直线y=2x+32有两个不同的交点，设这两个交点的横坐标分别为t当fx=t1时，x=2，有1个解；当fx综上所述，Fx=0共有4个解，即函数Fx应用情境练13.（双空题）设函数y=fx的定义域为R，且满足f1+x=f1−x，fx[解析]由f1+x=f1−x，知函数fx由fx−2+f−x=0且f−所以f2+x=−则fx故函数fx的周期为当x∈[−1,1]时,fx=−x由图可知，f1=0,f2=1,f3=0,f4=−1所以∑2023由y=lgx在−∞,0上单调递减，且lg−10=1,lg−1=0;在0,+∞上单调递增，且lg10=1,lg1=0.14.已知函数fx的定义域为(0,12]，恒有fx+4=4fx，当[解析]当x∈(4,8]时，当x∈(8,12]时，所以fx则f3=f7=f令gx=[fx]2由题意得方程gx=0有由fx=0，可得x=3或所以fx=−t仅有1个根，又16则28≤−t≤32创新拓展练15.已知函数fx=∣x+1∣,x≤0,∣log4x∣,x[解析]作出函数y=fx与y=k由方程fx=k有4个不同的根x1,x2,x3可知x1,x2关于x=−1对称,则x则log4x3=log4x即log4x3x当log4x=1时，x=4或1所以4x3x令y=则其在1,2上为减函数,在[2故当x=2时，y取得最小值，最小值为42,而当x=4时,故4x1x416.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成一般不动点定理的基石.简单地讲：对于满足一定条件的连续函数fx，存在实数x0，使得fx（1）求函数fx（2）若函数fx=ax2+bx+1a>[解析]（1）设函数fx的“不动点”为x0，则即2x0+1x0−2=x0，所以x02（2）因为函数fx=ax2+bx+1所以ax2+b−1x+1=0令gx=ax①当0<x1若0<x2<x1若0