基础课29 平面向量的数量积及其应用

基础课29平面向量的数量积及其应用课时评价·提能基础巩固练1.已知向量a，b，c在由7×4小正方形（边长为1）组成的网格中的位置如图所示，则2aA.12 B.4 C.6 D.3[解析]以网格的小正方形相邻两边所在的单位向量i,j为基底，如图，则a=2i−j,b=2i+2j,2.已知向量a=3,4，b=1,0，A.−6 B.−5 C.5[解析]因为a=3,4，b=1,0因为a⋅ca=b⋅cb，所以3.（改编）若平面向量a,b,c两两的夹角相等，且a=2,b=3,c=A.22 B.3 C.2或22 D.[解析]若平面向量a，b，c两两的夹角相等，则夹角为0或2π当向量a，b，c两两的夹角为0时，因为a=2,b=3,c当向量a，b，c两两的夹角为2π3时，a⋅b=则a+b+c4.已知向量a=1,0，b=(−12,32)，记向量aA.32 B.−32 C.1[解析]因为a=1,0，b=(−12,32)，所以a=1，b=5.（改编）如图，这是一个正六边形ABCDEF，则下列说法错误的是（D）.A.AC−BD=C.AF⋅AB=CB⋅CD [解析]连接AC,AD,AE,BD,BF,CE，CE与AD交于点H，如图所示.对于A，AC−BD=AC−AE对于B，由图易得AE=AC，直线AD平分∠EAC，且△ACE为正三角形，根据向量加法的平行四边形法则,AC+AE=易知△EDH，△AEH均为含π6角的直角三角形，故AH=3EH，EH=3DH，即AH=3DH，所以AD=AH+对于C，设正六边形ABCDEF的边长为a，则AF⋅AB=AF⋅ABcos2π3=−对于D，易知∠CAB=π6，则AC在AB上的投影向量为ACcosπ6⋅AB6.已知非零向量a，b满足a+2b⊥a−2b，且向量b在向量a方向上的投影向量是A.π6 B.π3 C.π2[解析]因为a+2b⊥a−2又因为向量b在向量a方向上的投影向量是14a，所以bcos⟨a,b⟩⋅aa=bacos⟨a,b⟩⋅a=12cos⟨a,b⟩⋅a=14a，所以12cos⟨a,b7.（改编）已知在△ABC中，ABAB+ACAC⋅BCA.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形[解析]因为ABAB为AB方向上的单位向量，ACAC为AC方向上的单位向量，所以ABAB+ACAC在∠所以∠BAC的平分线垂直于BC，根据等腰三角形三线合一定理得到△ABC为等腰三角形，且AB=AC，又BABA⋅CB又0<B<π2，所以B=π3，所以C=B=π8.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中bcosC+ccosB=2acosA且c=A.−34 B.5 C.3 [解析]如图，因为bcosC+则sinB+C=2sinAcosA，又sinB所以AM⋅BN=1综合提升练9.（多选题）已知a，b为平面向量，其中b为单位向量，若非零向量a与b满足a⋅a−A.a−b⊥a−3b B.C.a的最大值为2 D.a−[解析]对于A，a−b⋅a−3b对于B，设a与b的夹角为θ，则a⋅a−4b=a2−4a⋅bcosθ=a2−4acos对于C，a⋅a−4b=a2−4a⋅bcos对于D，由a2−4a⋅b=−3，可得a⋅b=a2+34，a−b2=10.（多选题）已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，S为△ABC的面积，且a=23A.AB.若△ABC有两个解，则b的取值范围是C.若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是D.若D为BC边上的中点，则AD的最大值为3[解析]对于A,由AB⋅AC=233S，得cbcosA=233×对于B,若△ABC有两个解，则bsinA<a<b，即32对于C,若△ABC为锐角三角形，则0<B<π2，A+B=π3+B>π2，故对于D,若D为BC边上的中点，则AD=12AB+AC，故AD2所以由基本不等式得b2+c2=12+bc≥2bc，当且仅当b=c=23时，等号成立，故bc11.已知非零向量a，b满足a=3b且a+3b⊥a[解析]∵a+3b⊥∵a=3b,∴3b2−a12.已知平行四边形ABCD的面积为93，∠BAD=2π3，E为线段BC的中点.若F为线段DE[解析]因为平行四边形ABCD的面积为93所以ABADsin2π如图，连接AE，则BE=12所以AF=因为E,F,D三点共线，所以λ+56−应用情境练13.笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称.如图，在平面斜角坐标系xOy中，两坐标轴的正半轴的夹角为60∘，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量a=xe1+ye2，则称有序实数对x,y为a在该斜角坐标系下的坐标.若向量[解析]由已知m=3e1+得m⋅n=314.现有五个圆环的大小和间距如图所示.若圆的半径均为12，相邻圆圆心的水平距离为26，两排圆圆心的垂直距离为11.设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，则[解析]以O2为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过点O4作O4A⊥x轴于点A，所以O4A所以O4O1=−所以O4创新拓展练15.（双空题）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N，若Q是BC的中点，则QM⋅QN的取值范围是[−1,0]；若P是平面上一点，且满足2[解析]因为直线l过中心O且与两边AB,CD分别交于点M,N，所以O为MN的中点，所以OM=−所以QM⋅因为Q是BC的中点，所以QO=1，1≤OM即QM⋅QN的取值范围为令OT=2OP，由OT=2OP=λOB+1又因为O为MN的中点，所以OT≥1，从而PM⋅因为1≤所以PM⋅即PM⋅PN的最小值为16.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，O是△（1）若点O是△ABC的重心，且OA⋅OB（2）若点O是△ABC的外心，BO=λBA+μBCλ,[解析]（1）如图，延