高考数学第一轮复习导学案(新高考)第36讲平面向量的数量积(原卷版+解析)

第36讲平面向量的数量积1、向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；当θ＝eq\f(π,2)时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；当θ＝π时，两向量a，b共线但反向．2、平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为零．3、平面向量数量积的几何意义(1)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a，b的夹角，则|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在向量b的方向上的投影．(2)a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．4、向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．5、平面向量数量积的性质设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(5)|a·b|≤|a||b|.6、平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则(1)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))；(2)a·b＝x1x2＋y1y2；(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0;_(4)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).1、（2023年高考数学真题完全解读（新高考I卷））已知向量，若，则（

）A． B．C． D．2、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷））已知向量，则（）A. B. C. D.3、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷））正方形的边长是2，是的中点，则（）A. B.3 C. D.54、（2023年全国新高考Ⅱ卷）已知向量，满足，，则______．5、22年全国乙卷】已知向量a,b满足|a|=1,|bA．−2 B．−1 C．1 D．26、【2020年新课标2卷文科】已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（

）A． B． C． D．7、【2020年新课标3卷理科】已知向量，满足，，，则（）A． B． C． D．1、已知a·b＝－12eq\r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|的值为()A.12B.6C.3eq\r(3)D.32、（多选）（2022·广州三模）已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则下列结论中正确的是()A.a·b＝5B.|a－b|＝eq\r(5)C.〈a，b〉＝eq\f(π,4)D.a∥b3、（2022·广州三模）已知a，b为单位向量，若|a－2b|＝eq\r(5)，则|a＋2b|＝．4、已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))考向一平面向量的夹角及模的问题例1、（1）（届山东省德州市高三上期末）已知向量，满足，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．（2）（2021·山东日照市·高三二模）已知，当时，向量与的夹角为（）A． B． C． D．（3）（2022·河北深州市中学高三期末）若向量，满足，且，则______．变式1、已知|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝（1，eq\r(2)），则向量a，b的夹角为．变式2、若非零向量a，b满足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为.变式3、已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，若2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是．.变式4、（2019春•泉州期末）（多选题）中，，，，在下列命题中，是真命题的有A．若，则为锐角三角形 B．若．则为直角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为直角三角形方法总结：求向量的夹角，有两种方法：(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．考向二平面向量中的垂直例2、（2021·山东日照市·高三其他模拟）已知向量，，，且，则实数的值为（）A． B． C． D．变式1、(2021·宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为()A.eq\f(22,15) B.eq\f(10,3) C.6 D.eq\f(12,7)变式2、已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|的值．方法总结：平面向量的垂直问题，有两个类型：(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可。(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值。考向三平面向量的数量积的运算例3、（2022·湖北襄阳·高三期末）在中，，，其中，，，，，则（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，变式1、（2022·湖北·高三期末）在中，，点E满足，则（）A． B． C．3 D．6变式2、如图，在△ABC中，AD⊥AB，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝．变式3、在△ABC中，∠BAD＝60°，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝．方法总结：1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.1、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知，为单位向量，且，则，的夹角为（）A． B． C． D．2、（2022·山东淄博·高三期末）已知向量、满足，且在上的投影的数量为，则（）A． B． C． D．3、（2022·山东青岛·高三期末）已知非零向量满足：，则夹角的值为（）A． B． C． D．4、（2022·山东日照·高三期末）已知△是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，且，则的值为（）A． B． C．1 D．5、（2022·山东济南·高三期末）（多选题）已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A． B．C．向量与的夹角为30° D．向量在上的投影向量为6、（2022·湖北江岸·高三期末）（多选题）若是所在的平面内的点，且下面给出的四个命题中，其中正确的是（）A． B．C．点､､…一定在一条直线上 D．､在向量方向上的投影一定相等

第36讲平面向量的数量积1、向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；当θ＝eq\f(π,2)时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；当θ＝π时，两向量a，b共线但反向．2、平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为零．3、平面向量数量积的几何意义(1)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a，b的夹角，则|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在向量b的方向上的投影．(2)a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．4、向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．5、平面向量数量积的性质设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(5)|a·b|≤|a||b|.6、平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则(1)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))；(2)a·b＝x1x2＋y1y2；(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0;_(4)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).1、（2023年高考数学真题完全解读（新高考I卷））已知向量，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D2、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷））已知向量，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，则，，所以.故选：B.3、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷））正方形的边长是2，是的中点，则（）A. B.3 C. D.5【答案】B【解析】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.4、（2023年全国新高考Ⅱ卷）已知向量，满足，，则______．【答案】【解析】法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以.法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即.故答案为：.5、22年全国乙卷】已知向量a,b满足|a|=1,|bA．−2 B．−1 C．1 D．2【答案】C【解析】解：∵|a又∵|∴9=1−4a∴a故选：C.6、【2020年新课标2卷文科】已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得：.A：因为，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项不符合题意；C：因为，所以本选项不符合题意；D：因为，所以本选项符合题意.故选：D.7、【2020年新课标3卷理科】已知向量，满足，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，.，因此，.故选：D.1、已知a·b＝－12eq\r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|的值为()A.12B.6C.3eq\r(3)D.3【答案】B【解析】因为a·b＝|a|·|b|cos135°＝－12eq\r(2)，所以|b|＝eq\f(a·b,|a|·cos135°)＝eq\f(－12\r(2),4×(－\f(\r(2),2)))＝6.2、（多选）（2022·广州三模）已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则下列结论中正确的是()A.a·b＝5B.|a－b|＝eq\r(5)C.〈a，b〉＝eq\f(π,4)D.a∥b【答案】ABC【解析】a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，故A正确；a－b＝(2，1)，|a－b|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，故B正确；|a|＝eq\r(32＋(－1)2)＝eq\r(10)，|b|＝eq\r(12＋(－2)2)＝eq\r(5)，则cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(5,5\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以〈a，b〉＝eq\f(π,4)，故C正确；3×(－2)≠(－1)×1，故D错误．故选ABC.3、（2022·广州三模）已知a，b为单位向量，若|a－2b|＝eq\r(5)，则|a＋2b|＝．【答案】eq\r(5)【解析】由|a－2b|＝eq\r(5)，得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝5－4a·b＝5，则a·b＝0.又|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝5，所以|a＋2b|＝eq\r(5).4、已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))【答案】A【解析】由题意得a－2b＝(－2－2k,7)，∵(a－2b)⊥c，∴(a－2b)·c＝0，即(－2－2k,7)·(1,2)＝0，－2－2k＋14＝0，解得k＝6，∴b＝(6，－3)，∴e＝±eq\f(b,\r(62＋－32))＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))考向一平面向量的夹角及模的问题例1、（1）（届山东省德州市高三上期末）已知向量，满足，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，即，得，则，，.故选：C.（2）（2021·山东日照市·高三二模）已知，当时，向量与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，即，，，所以向量与的夹角为，故选：B.（3）（2022·河北深州市中学高三期末）若向量，满足，且，则______．【答案】【分析】由，计算即可得出答案.【详解】∵，∴．故答案为：.变式1、已知|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝（1，eq\r(2)），则向量a，b的夹角为．【答案】eq\f(2π,3)【解析】因为a＋b＝（1，eq\r(2)），所以|a＋b|＝eq\r(3)，两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝3.将|a|＝1，|b|＝2代入，得1＋2a·b＋4＝3，所以a·b＝－1.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(2π,3)，即向量a，b的夹角为eq\f(2π,3).变式2、若非零向量a，b满足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为.【答案】eq\f(π,4)【解析】设向量a，b的夹角为θ.由题意，得(a－b)·(3a＋2b)＝3|a|2－a·b－2|b|2＝3|a|2－|a||b|cosθ－2|b|2＝0.将|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|代入上式，解得cosθ＝eq\f(\r(2),2).因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,4).变式3、已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，若2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，3))【解析】因为2a－3b与c的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2，1)＜0，所以4k－6－6＜0，解得k＜3.又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－eq\f(9,2).当k＝－eq\f(9,2)时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即2a－3b与c反向，此时不满足题意，所以k≠－eq\f(9,2).综上所述，k的取值范围为（－∞，－eq\f(9,2)）∪（－eq\f(9,2)，3）.变式4、（2019春•泉州期末）（多选题）中，，，，在下列命题中，是真命题的有A．若，则为锐角三角形 B．若．则为直角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为直角三角形【答案】．【解析】如图所示，中，，，，①若，则是钝角，是钝角三角形，错误；②若，则，为直角三角形，正确；③若，，，，取中点，则，所以，即为等腰三角形，正确，④若，则，即，即，由余弦定理可得：，即，即，即为直角三角形，即正确，综合①②③④可得：真命题的有，方法总结：求向量的夹角，有两种方法：(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．考向二平面向量中的垂直例2、（2021·山东日照市·高三其他模拟）已知向量，，，且，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得，又，所以，解得，故选：C.变式1、(2021·宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为()A.eq\f(22,15) B.eq\f(10,3) C.6 D.eq\f(12,7)【答案】A【解析】因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以有eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(λ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos120°－9λ＋16＝0，解得λ＝eq\f(22,15).变式2、已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|的值．【解析】(1)若a⊥b，则a·b＝2x＋3－x2＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，所以a－b＝(－2，0)，|a－b|＝2；当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，所以a－b＝(2，－4)，|a－b|＝eq\r(4＋16)＝2eq\r(5).综上所述，|a－b|的值为2或2eq\r(5).方法总结：平面向量的垂直问题，有两个类型：(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可。(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值。考向三平面向量的数量积的运算例3、（2022·湖北襄阳·高三期末）在中，，，其中，，，，，则（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】AD【解析】因为，所以与的夹角为，当时，，故A正确；当时，，所以是边长为4的等边三角形，，所以B错误；当时，，所以，所以，故C错误；当时，，，所以，，所以，因为，所以，故D正确.故选：AD.变式1、（2022·湖北·高三期末）在中，，点E满足，则（）A． B． C．3 D．6【答案】B【解析】中，，所以，，故选：B.变式2、如图，在△ABC中，AD⊥AB，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝．【答案】eq\r(3)【解析】方法一：因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\r(3)（eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))）＝eq\r(3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋（1－eq\r(3)）eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\r(3)|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋（1－eq\r(3)）eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\r(3).方法二：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，1).设点B(a，0)，C(x，y)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x－a，y)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－a，1).因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)a＋a，,y＝\r(3)，))所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0·x＋1·y＝eq\r(3).方法三：设∠CAD＝θ，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cosθ＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|·|eq\o(AE,\s\up6(→))|.又△BAD∽△CED，所以eq\f(AD,ED)＝eq\f(BD,CD)＝eq\f(1,\r(3)－1)，所以DE＝eq\r(3)－1，AE＝eq\r(3)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|·|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝1×eq\r(3)＝eq\r(3).变式3、在△ABC中，∠BAD＝60°，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝．【答案】2【解析】eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝e