高考数学一轮复习(新教材新高考)第10讲构造函数及不等式放缩判断函数值大小关系及其他综合问题专项练习(学生版+解析)

构造函数及不等式放缩判断函数值大小关系及其他综合问题（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2022年新I卷，第7题,5分构造函数、用导数判断或证明函数的单调性比较指数幂的大小比较对数式的大小2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为5-12分【备考策略】1会结合实际情况构造函数2能用导数证明函数的单调性3能求出函数的极值或给定区间的最值4能结合单调性进行函数值大小比较【命题预测】比较大小的问题，形式灵活、内涵丰富，学生可以综合运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决实际问题，是考查学生的逻辑推理和数学运算等核心素养的有效题型载体。近几年，这类试题得到了高考和各类大型考试命题老师的青睐和追捧。需综合复习知识讲解构造函数的重要依据常见构造类型常见的指对放缩，，，常见的三角函数放缩其他放缩，，，，，，放缩程度综合，方法技巧1构造相同函数，比较不同函数值2构造不同函数，比较相同函数值3.构造不同函数，比较不同函数值这个时候，不等式放缩就是首选之道了!4.先同构，再构造，再比较当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构(变形)出一个函数之后再来比较大小.考点一、构造函数利用单调性判断函数值大小关系1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（

）A． B． C． D．2．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（

）A． B． C． D．1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）设，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023·河北·统考模拟预测）设，，，则（

）A． B． C． D．3．（2024秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）设，，，则（

）A． B．C． D．4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测），则（

）A． B．C． D．5．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）设，则（

）A． B．C． D．考点二、不等式放缩判断函数值大小关系1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（

）A． B． C． D．1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．考点三、构造函数解决其他综合问题1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若对任意有，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．2．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数的定义域为R，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为（

）．A． B．C． D．1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，则的解集为．2．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则的解集为．3．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知是定义在上的偶函数且，若，则的解集为.4．（2023·山东·模拟预测）定义在上的可导函数的值域为，满足，若，则的最小值为.【基础过关】一、单选题1．（2023·山西晋中·统考三模）设，则（

）A． B．C． D．2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．3．（2023春·山东青岛·高二青岛市即墨区第一中学统考期中）已知，，．其中为自然对数的底数，则（

）A． B． C． D．4．（2023·河南驻马店·统考二模）已知，，，则（

）A． B． C． D．5．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．6．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知，其中，则（

）A． B．C． D．7．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．8．（2023·陕西榆林·统考三模）定义在上的函数的导函数都存在，，且，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．9．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．10．（2023·贵州遵义·统考三模）已知，，，则（

）A． B．C． D．【能力提升】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）若，，，则（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B．C． D．4．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知，，，则（参考数据：）（

）A． B． C． D．5．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）设，，，则（

）A． B．C． D．6．（2023·海南·统考模拟预测）已知，，，则（

）A． B．C． D．7．（2023·四川自贡·统考三模）设，，，则（

）A． B．C． D．8．（2023·河北·统考模拟预测）设，，，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023春·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数在上可导,其导函数为,若满足:,,则下列判断一定不正确的是(

)A． B．C． D．三、填空题10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数及其导函数的定义域均为，满足，，，当时，，则不等式的解集为．【真题感知】一、单选题1．（全国·高考真题）设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是A． B．C． D．2．（全国·高考真题）对于R上可导的任意函数，若满足则必有A． B．C． D．

构造函数及不等式放缩判断函数值大小关系及其他综合问题（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2022年新I卷，第7题,5分构造函数、用导数判断或证明函数的单调性比较指数幂的大小比较对数式的大小2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为5-12分【备考策略】1会结合实际情况构造函数2能用导数证明函数的单调性3能求出函数的极值或给定区间的最值4能结合单调性进行函数值大小比较【命题预测】比较大小的问题，形式灵活、内涵丰富，学生可以综合运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决实际问题，是考查学生的逻辑推理和数学运算等核心素养的有效题型载体。近几年，这类试题得到了高考和各类大型考试命题老师的青睐和追捧。需综合复习知识讲解构造函数的重要依据常见构造类型常见的指对放缩，，，常见的三角函数放缩其他放缩，，，，，，放缩程度综合，方法技巧1构造相同函数，比较不同函数值2构造不同函数，比较相同函数值3.构造不同函数，比较不同函数值这个时候，不等式放缩就是首选之道了!4.先同构，再构造，再比较当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构(变形)出一个函数之后再来比较大小.考点一、构造函数利用单调性判断函数值大小关系1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】方法一：构造法设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.方法二：比较法解：，，，①，令则，故在上单调递减，可得，即，所以；②，令则，令，所以，所以在上单调递增，可得，即，所以在上单调递增，可得，即，所以故2．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】[方法一]：，所以；下面比较与的大小关系.记，则，，由于所以当0<x<2时，，即，，所以在上单调递增，所以，即，即；令，则，，由于，在x>0时，，所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c；综上，，故选：B.[方法二]：令，即函数在（1，+∞)上单调递减令，即函数在（1，3)上单调递增综上，，故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）设，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用二次导数讨论其单调性可比较，构造函数可比较.【详解】，，设函数，，设，故在单调递减，，从而在单调递减，故，即；设，故在单调递增，，即，从而有，因此．综上，.故选：D2．（2023·河北·统考模拟预测）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意，，，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断、，再令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断、，即可得解.【详解】因为，，，令，，则，令，则，所以在上单调递增，，所以，所以在上单调递增，所以，则，即，即，令，，则，所以在上单调递减，则，则，即，即，所以，综上可得.故选：D【点睛】关键点睛：本题解答的关键是根据式子的特征构造函数，，，，利用导数说明函数的单调性，结合临界点的函数值，从而判断函数值的正负，达到比较大小的目的.3．（2024秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】因为，所以构造函数，利用导数判断单调性，可得，令，，利用导数判断单调性，可得.【详解】因为，所以设，，所以在上为增函数，所以，所以，所以，即，所以.令，，，所以在上为增函数，所以，所以，即，所以，综上所述：.故选：A【点睛】关键点点睛：构造函数，，，利用导数判断单调性，根据单调性比较大小是解题关键.4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测），则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令，利用导数研究函数的单调性可得到，即可判断、的大小关系；构造函数判断与0.1的大小，构造函数判断0.1与大小，从而可判断b、c大小．【详解】令，，则，所以当时，即在上单调递增，所以，即，即，即，令，则，在时，，则为减函数，∴，即；令，，则，故在为减函数，∴，即；∴，令，则，即，∴，所以．故选：D．【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，.5．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）设，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作差法判断、的大小，构造函数,利用导数的单调性判断、的大小.【详解】，又，所以令，，则，令，则，当时,,，所以，故,故在上是增函数，又∵，∴当时,,故在上是增函数，故,即，故.故选:A.【点睛】本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量就有了函数的形式，如在本题中，将视为变量可以构造函数.考点二、不等式放缩判断函数值大小关系1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（

）A． B． C． D．放缩法因为，所以，即因为，所以，即综上所述：，故选：C1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.【详解】[方法一]：构造函数因为当故，故，所以；设，，所以在单调递增，故，所以，所以，所以，故选A[方法二]：不等式放缩因为当，取得：，故，其中，且当时，，及此时，故，故所以，所以，故选A[方法三]：泰勒展开设，则，，，计算得，故选A.[方法四]：构造函数因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，故选：A．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．故选：A．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．考点三、构造函数解决其他综合问题1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若对任意有，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造，确定函数在上单调递增，计算，，转化得到，根据单调性得到答案.【详解】设，则恒成立，故函数在上单调递增.，则，即，故.，即，即，故，解得.故选：B.2．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数的定义域为R，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】先由题中条件求出，根据不等式可构造，利用为偶函数且在区间上单调递增可解.【详解】由得，即，可设，当时，因得，所以，可化为，即，设，因，故为偶函数，当时，因，，故，所以在区间上单调递增，因，所以当时的解集为，又因为偶函数，故的解集为.故选：C1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，则的解集为．【答案】【分析】通过构造函数，借助单调性解不等式.【详解】由，得，记，则在R上单调递增．由，得，即，，，所以解集为．故答案为：2．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则的解集为．【答案】【分析】当时，由，得，故在上为增函数，再根据奇偶性得在上为增函数，将不等式化为，利用单调性可求出结果.【详解】当时，因为，所以，所以，所以在上为增函数，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，且的定义域为，关于原点对称，所以也是定义在上的奇函数，且，又因为在上为增函数，所以在上为增函数，由，得，所以，因为在上为增函数，所以，即.所以的解集为.故答案为：3．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知是定义在上的偶函数且，若，则的解集为.【答案】【分析】构造函数，求导得函数的单调性，即可由单调性求解.【详解】令，则，由于，所以，故在上单调递减，又是定义在上的偶函数且，故，所以，等价于，因此，故的解集为，故答案为：4．（2023·山东·模拟预测）定义在上的可导函数的值域为，满足，若，则的最小值为.【答案】【分析】化简条件式得，构造函数及，判断其单调性即可.【详解】∵，∴，则化简得：，令，则，即，令，则，故在上单调递增，则，故答案为：【基础过关】一、单选题1．（2023·山西晋中·统考三模）设，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，根据函数的单调性求解.【详解】只需比较，，的大小；令，则，当时，单调递减，当时单调递增，又，故，即；故选：A.2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造，，根据导函数得出函数在上单调递增，即可得出，所以，根据进而可判断.【详解】令，，则.当时，有，，所以，所以，在上恒成立，所以，在上单调递增，所以，，所以，，即，所以.显然，，所以：.故选：B.3．（2023春·山东青岛·高二青岛市即墨区第一中学统考期中）已知，，．其中为自然对数的底数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，构造函数，借助导数探讨单调性，再比较大小作答.【详解】当时，令，求导得，因此函数在上递增，函数在上递增，于是，即有，，即有，所以.故选：D4．（2023·河南驻马店·统考二模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，构造函数，，再利用导数探讨单调性，即可比较大小作答.【详解】设，则，从而在上单调递增，则，即，设，则，从而在上单调递增，则，即，所以．故选：D【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.5．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过构造函数，利用导数求函数的单调性，比较各式的大小.【详解】，设，函数定义域为，则，故在上为增函数，有，即，所以，故.设，函数定义域为，则，，解得；，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时，取最大值，所以，即，时等号成立，所以，即，又，所以.故选：D．6．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知，其中，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】因为，，，可化为，，，所以可设，利用导数研究其单调性，利用单调性可比较大小.【详解】由，可得，即，由，可得，即，由，可得，所以可构造函数，则，，，因为，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，因为在上单调递增，所以，故，因为在上单调递减，，故，因为，，所以，因为在上单调递减，，故，从而.故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，对求导，结合在上为偶函数，可得在上单调递增，分和，解不等式，即可得出答案.【详解】当时，，所以当时，，令，则当时，，故在上单调递增，又因为在上为偶函数，所以在上为奇函数，故在上单调递增，因为，所以，当时，可变形为，即，因为在上单调递增，所以，解得，故；当时，可变形为，即，因为在上单调递增，所以，解得，故无解.综上不等式的解集为.故选：C.8．（2023·陕西榆林·统考三模）定义在上的函数的导函数都存在，，且，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，根据题意求得则，得到在上单调递减，再由把不等式转化为，结合单调性，即可求解.【详解】由题意知，可得．设函数，则，所以在上单调递减．因为，所以，所以，即为，则，所以不等式的解集为．故选：D.9．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，确定在上单调递增，，得到，根据得到，得到，得到答案.【详解】设，则在上恒成立，故在上单调递增，，故，即；，故，故，故，故；综上所述：.故选：A10．（2023·贵州遵义·统考三模）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，利用单调性比大小即可.【详解】令，则，，即在上单调递增，在上单调递减，所以，故在R上恒成立，即，令，则，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，故在上恒成立，即，而，，即，令，则，，即在上单调递增，在上单调递减，所以，故在上恒成立，即令，由上知恒成立，即在R上单调递增，而，故，所以，故.故选：D【点睛】方法点睛：对于比大小问题构造函数是关键，需要积累，，等常用的放缩不等式，同时对于本题熟记等的近似值更快捷.【能力提升】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用三角函数的定义判断大小，构造函数，由导数确定单调性后比较与的大小，同理构造函数比较与的大小后可得结论．【详解】因为，所以，所以，，可得.构造函数，则，所以在R上单调递减，当时，，所以，可知，即，又，，又，所以，设函数，则，当时，，在上单调递减，则，可知，所以.综上，.故选：D．【点睛】方法点睛：比较幂、对数、三角函数值等大小的方法：（1）直接利用指数函数、对数函数、三角函数的单调性比较；（2）借助中间值如0，1等等，利用函数的单调性比较；（3）构造函数，利用导数确定函数的单调性比较大小．2．（2023·全国·高三专题练习）若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据的特征，构造函数，利用导数分析函数的单调性，根据单调性即可比较大小，根据的特征，构造函数，利用导数判断函数单调性求解.【详解】，令，则，由在上成立，可知，在上单调递增，，，即，又∵令，，则，，∴，当时，，，∵，∴当时，，∴在区间上单调递增，∴当时，，∴在区间上单调递增，∴，即，∴，综上，有．故选：A．【点睛】本题的关键在于通过观察，变形，构造出合适的函数，利用导数，确定函数的单调性，利用函数单调性求解，属于难题.3．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用导数证明，当时，，取特殊值得出大小关系.【详解】令，若，则，若，则，则函数在上单调递减，在上单调递增.则，即，.取，则，即.取，则，即，.又，令，则函数都在上单调递增，则.所以时，..又函数在上单调递增，所以.即，.故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于构造函数，，利用导数得出，当时，，进而得出.4．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知，，，则（参考数据：）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为，，考虑构造函数，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，因为，所以，即，所以，所以，即，又，所以，故，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.5．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得解.【详解】因为，所以，所以，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以，令，则，所以函数在上递增，所以，即，即，所以，即，综上，.故选：A.【点睛】关键点点睛：构造函数，，利用中间量来比较的大小是解决本题的关键.6．（2023·海南·统考模拟预测）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由正弦函数、对数函数性质易得，构造，利用导数判断单调性，再判断大小关系即可.【详解】因为，所以，显然.令，则，，若，且，则，所以在上递减，则，即，综上，.故选：D.7．（2023·四川自贡·统考三模）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数、，利用导数分析这两个函数的单调性，结合函数的单调性可得出、、的大小关系.【详解】设，其中，则，令，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，则，即，所以，函数在上单调递减，则，所以，，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，故当时，，即，令，其中，则，令，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，则，所以，函数在上单调递增，故，所以，函数在上单调递增，所以，，即，综上所述，.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键在于根据代数式的结构构造合适的函数，结合函数单调性得到代数式的大小关系.8．（2023·河北·统考模拟预测）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据所给数的结构特征，设函数，利用导数判断其单调性，利用单调性比较大小，可得答案.【详解】设函