高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：27 排列与组合（学生版+解析版）

专题27排列与组合

一、单选题

1.（2020•山东省高二期中）若用“=104，则〃=（）

A.6B.7C.8D.9

2.（2020.山东省高二期中）若用=12C；2,则”=（）

A.4B.6C.7D.8

3.（2020•北京市鲁迅中学高二月考）某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要

求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）

A.14B.24C.28D.48

4.（2020•山东省高二期中）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人

服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为（）

A.420B.660C.840D.880

5.（2020•北京市鲁迅中学高二月考）用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以组成没有重复数字的四位数的

个数是（）

A.360

B.300

C.240

D.180

6.（2020•北京大峪中学高二期中）5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数

为（）

A.240种B.120种C.96种D.480种

7.（2020•福建省高三二模（理））在“弘扬中华文化”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5

名的决赛（获奖名次不重复）.甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“第一名和第五名恰好都在你

们三人之中，甲的成绩比丙好”，从这个回答分析，5人的名次排列的所有可能情况有（）.

A.18种B.24种C.36种D.48种

8.（2019•佛山市顺德区容山中学高二开学考试）高三某6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取

一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（）

A.B.C；64C.D.

二、多选题

9.（2020.南京市秦淮中学高二期中）下列各式中，等于〃!的是（）

A.A7B.%C.nA：：；D.m!C：

10.（2020•江苏省高二期中）下列等式中，正确的是（）

A.A：+mA：T=ALB.rC：=«C；：；

-4-1

C.C解=cr+c3+cnD.c：=Jc片

n-m

11.（2020•山东省潍坊一中高二月考）某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将它们

全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？下列结论正确的有（）

A.18B.C；C；C；C；C.C；C：A；D.C：A；

12.（2020•临淄区英才中学高二期中）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）

A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种

B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种

C.甲乙不相邻的排法种数为72种

D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种

三、填空题

13.（2020•北京市鲁迅中学高二月考）5人排成一排，其中甲、乙相邻的排法有种（用数字作答）

14.（2020•北京市鲁迅中学高二月考）5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有种（用

数字作答）.

15.（2020•山东省高二期中）用1,2,3,4,5这5个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的

数的个数为.（用数字作答）

16.（2020•浙江省宁波诺丁汉附中高二期中）用0,1,2,3,4,5这六个数字，可以组成个无重复数字的

三位数，也可以组成个能被5整除且无重复数字的五位数.

四、解答题

17.(2020•江苏省扬州中学高二期中)有5名男生，4名女生排成一排.

(1)从中选出3人排成一排，有多少种排法？

(2)若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？

18.(2020•黑龙江省铁人中学高二期中(理))从6名运动员中选出4人参加4x100接力赛，分别求满足下

列条件的安排方法种数：

(1)甲、乙两人都不跑中间两棒；

(2)甲、乙二人不都跑中间两棒.

19.(2020•江苏省泰州中学高二期中)从5名男生和4名女生中选出4人参加辩论比赛.

(1)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种不同选法？

(2)如果4个人中既有男生又有女生，那么有多少种不同选法？

20.(2019・佛山市顺德区容山中学高二开学考试)以下问题最终结果用数字表示

(1)由0、1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的五位偶数？

(2)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且2、3不相邻的五位数？

(3)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数?

21.（2020•浙江省效实中学高二期中）（1）由0,1,2,9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，

十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数共有几种？

（2）我校高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要

求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，求不同的选取法的种数.

22.（2020•北京大峪中学高二期中）一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单.

（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？

（2）2个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？

（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？

（4）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？

（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）

专题27排列与组合

一、单选题

1.（2020•山东省高二期中）若闻,,=104；,贝|〃=（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

因为蜀"=106，所以“23.eN*,

所以有—2）=2）,

即2（2〃—1）=5（”—2）,解得：n=8.

故选：C.

2.（2020•山东省高二期中）若呢=12C；2,贝°〃=（）

A.4B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

•；A：=12C;2=12第,

/、/、n(n-Y]

1)(〃-2)=12x-------即〃一2二6,

〃=8,

故选：D.

3.（2020•北京市鲁迅中学高二月考）某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要

求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）

A.14B.24C.28D.48

【答案】A

【解析】

法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，

故不同的选派方案种数为0；.0：+。><7：=14.故选A.

法二：从4男2女中选4人共有C：种选法，4名都是男生的选法有C：种，

故至少有1名女生的选派方案种数为=15-1=14.故选A

4.（2020•山东省高二期中）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人

服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为（）

A.420B.660C.840D.880

【答案】B

【解析】

从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，

共有4C；=840种选法，

其中不含女生的有4=180种选法，

所以服务队中至少有1名女生的选法种数为840-180=660.

故选：B

5.（2020•北京市鲁迅中学高二月考）用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以组成没有重复数字的四位数的

个数是（）

A.360

B.300

C.240

D.180

【答案】B

【解析】

当四个数字中没有0时，没有重复数字的四位数有：发=120种；

当四个数字中有0时，没有重复数字的四位数有：£H=180种，

两类相加一共有300种，故选B.

6.（2020•北京大峪中学高二期中）5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数

为（）

A.240种B.120种C.96种D.480种

【答案】A

【解析】

由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素共有或=10种可能，这一个元素和其他的三个元素在四个位置

全排列共有禺=24种可能，所以不同的分法种数为10x24=240种，故选A.

7.（2020•福建省高三二模（理））在“弘扬中华文化”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5

名的决赛（获奖名次不重复）.甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“第一名和第五名恰好都在你

们三人之中，甲的成绩比丙好”，从这个回答分析，5人的名次排列的所有可能情况有（）.

A.18种B.24种C.36种D.48种

【答案】A

【解析】

（1）当甲排第1名时，则第5名从乙、丙两个选一个，其它三名任意排列，

M=2团=12；

（2）当甲排第2,3,4名时，则第5名必排丙，第1名排乙，其它三名任意排列，

N2==6；

N=12+6=18,

故选：A.

8.（2019•佛山市顺德区容山中学高二开学考试）高三某6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取

一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（）

A.B.C564C.D.^64

【答案】D

【解析】

1班、2班的安排方式有&种，剩余4个班的安排方式有64种，所以共有出64各安排方式，故选D.

二、多选题

9.（2020•南京市秦淮中学高二期中）下列各式中，等于加的是（）

A.Af1B.A3C.D.mlC：

【答案】AC

【解析】

根据题意，依次分选项：

对于A，A：i="x("-l)x.......x2="!，故A正确；

对于3，A%=(w+l)x〃x(w-l)x.......X2=(/7+1)!,故3错误;

对于C,=nx(n-l)x.......xl=n!,故C正确；

对于D，故。错误;

故选：AC.

10.(2020.江苏省高二期中)下列等式中，正确的是()

A.町+版/=鸳B.匕=心：

CC"+i—+(Jm+C"'-iD(J111—+1C"'+i

n—m

【答案】ABD

【解析】

n\n\(n-m+lYnln\(n+l)-nl(n+1)!

选项A,左边=7--------+tn-----------------=-------------7btn--------------=------------7-=------------7-=

(n—m)!^n—m+iy.[n—m+\y.\n-m+\y.\n—m+\y.yn—m+ly.

右边，正确；

(H—1)!rn\n\

选项B,右边=加7~~/------^7=--7~不77-------^=r'~Tf-----左边，正确；

选项C,右边=。71+。：=禺；1/左边，错误；

m+1n\(m+l\-nln\

选项D,右边=7TTT;而=7nTi77八7=­r?1=左边，正

确.

故选：ABD

IL(2020•山东省潍坊一中高二月考)某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将它们

全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？下列结论正确的有()

A.18B.C©C；C；C.C©A；D.CjA；

【答案】CD

【解析】

根据捆绑法得到共有C：•用=36,

先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有C；C；A；=36.

C；C；C；C：=18/36.

故选：CD.

12.（2020•临淄区英才中学高二期中）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）

A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种

B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种

C.甲乙不相邻的排法种数为72种

D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种

【答案】ACD

【解析】

A.甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有禺=24种，故A正确.

B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有HH+46闻=54种，故3不正确.

C.甲乙不相邻的排法种数为=72种，故C正确.

D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有与=20种，故D正确.

A

故选：ACD.

点睛：

排列组合中的排序问题，常见类型有：

（1）相邻问题捆绑法；（2）不相邻问题插空排；（3）定序问题缩倍法（插空法）；（4）定位问题优先法.

三、填空题

13.（2020•北京市鲁迅中学高二月考）5人排成一排，其中甲、乙相邻的排法有种（用数字作答）

【答案】48

【解析】

因为甲、乙相邻，则利用捆绑法，看作一个人，则有用=2种，

再与其余3人看作4人全排列有用=24种，

所以5人排成一排，其中甲、乙相邻的排法有用・用=48种，

故答案为：48

14.（2020•北京市鲁迅中学高二月考）5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有种（用

数字作答）.

【答案】72

【解析】

可分两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有A；种，第二步将甲乙二人插入前人形成的四个

空隙中，有A；种，则甲、乙两不相邻的排法有A；A：=72种.

15.（2020•山东省高二期中）用1,2,3,4,5这5个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的

数的个数为.（用数字作答）

【答案】24

【解析】

由题意知，能被5整除的四位数末位必为5,只有1种方法，其它位的数字从剩余的四个数中任选三个全排

列有方=4x3x2=24,

故答案为：24

16.（2020•浙江省宁波诺丁汉附中高二期中）用0,1,2,3,4,5这六个数字，可以组成_____个无重复数字的

三位数，也可以组成个能被5整除且无重复数字的五位数.

【答案】100216

【解析】

第一个空：第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有=5种方法；

第二步，确定另外二个数位上的数，有6=5x4=20种方法，

所以可以组成5x20=100个无重复数字的三位数；

第二个空：被5整除且无重复数字的五位数的个数上的数有2种情况：

当个数上的数字是0时，其他数位上的数有6=5x4x3x2=120个；

当个数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有C；=4种方法，而后确定其他三个数位上的数有

看=4x3x2=24种方法，所以共有24x4=96个数，

根据分类计算原理共有120+96=216个数.

四、解答题

17.(2020•江苏省扬州中学高二期中)有5名男生，4名女生排成一排.

(1)从中选出3人排成一排，有多少种排法？

(2)若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？

【答案】⑴504

(2)43200

【解析】

(1)由题意，有5名男生，4名女生排成一排，共9人

从中选出3人排成一排，共有禺=504种排法；

(2)可用插空法求解，先排5名男生有另种方法，

5个男生可形成6个空，将4个女生插入空中，有4种方法

故共有£4=43200种方法

18.(2020•黑龙江省铁人中学高二期中(理))从6名运动员中选出4人参加4x100接力赛，分别求满足下

列条件的安排方法种数：

(1)甲、乙两人都不跑中间两棒；

(2)甲、乙二人不都跑中间两棒.

【答案】(1)144(2)336

【解析】

(1)先选跑中间的两人有用种，再从余下的4人中选跑1、4棒的有用，则共有&方=144种.

(2)用间接法：“不都跑”的否定是“都跑”，所以用任意排法展，再去掉甲、乙跑中间的安排方法用用种,

故满足条件的安排方法有4-息息=336种.

19.(2020•江苏省泰州中学高二期中)从5名男生和4名女生中选出4人参加辩论比赛.

(1)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种不同选法？

(2)如果4个人中既有男生又有女生，那么有多少种不同选法？

【答案】(1)91种；(2)120种.

【解析】

分析:

(1)用间接法分析，先计算在9人中任选4人的选法数，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数，即可得

答案；

(2)用间接法分析，先计算在9人中任选4人的选法数，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数，

即可得答案.

详解：

(1)先在9人中任选4人，有C；=126种选法，其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有

C；=35种，则甲与女姓中的乙至少要有1人在内的选法有126—35=91种.

(2)先在9人中任选4人，有C；=126种选法，其中只有男生的选法有C；=5种，只有女生的选法有C：=l

种，则4人中必须既有男生又有女生的选法有126-5-1=120种.

20.(2019•佛山市顺德区容山中学高二开学考试)以下问题最终结果用数字表示

(1)由0、1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的五位偶数？

(2)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且2、3不相邻的五位数？

(3)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数？

【答案】(1)60(2)72(3)20

【解析】

(1)偶数末位必须为0,2,4对此进行以下分类：

当末位是0时，剩下1,2,3,4进行全排列，At=24

当末位是2时，注意。不能排在首位，首位从1,3,4选出有A；种方法排在首位，剩下的三个数可以进行

全排列有A；种排法，所以当末位数字是2时有A；A；=18个数.

同理当末位数字是4时也有18个数，

所以由0、1、2、3、4可以组成无重复数字的五位偶数有24+18+18=60个.

(2)由1、2、3、4、5组成五位数一共有£=5x4x3x2x1=120个.

第一步，把2.3捆定，有£=2种排法；

第二步，捆定的2,3与1,4,5一起全排列，共有=4x3x2x1=24个数，

根据分步计数原理，2,3相邻的五位数共有耳A：=48个数，

因此由1、2、3、4、5组成无重复数字且2、3不相邻的五位数共有

120-48=72个数.

(3)把五位数每个数位看成五个空，数字4,5共有&=5x4=20个，

然后把数字1,2,3按照3,2,1的顺序插入，只有一种方式，

根据分步计数原理，可知

由1、2、3、4、5组成无重复数字且数字