专题3-1三角函数图像与性质（原卷版）

专题3-1三角函数图像与性质目录TOC\o"1-1"\h\u题型01三角函数单调性 1题型02求周期 2题型03非同名函数平移 3题型04对称轴最值应用 4题型05对称中心最值应用 5题型06辅助角最值 6题型07正余弦换元型最值 7题型08一元二次型换元最值 8题型09分式型最值 8题型10最值型综合 9题型11恒等变形：求角 9题型12恒等变形：拆角求值（分式型） 10题型13恒等变形：拆角求值（复合型） 11题型14恒等变形：拆角求值（正切型对偶） 11高考练场 12题型01三角函数单调性【解题攻略】A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用参数作用AA决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.φφ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.ωω决定了函数的周期T＝.（2）图象的变换（1）振幅变换要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．（2）平移变换要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．（3）周期变换要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的_倍（纵坐标不变）即可得到．【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则使得和都单调递增的一个区间是（

）A． B． C． D．【典例1-2】已知函数，则f（x）（

）A．在（0，）单调递减 B．在（0，π）单调递增C．在（—，0）单调递减 D．在（—，0）单调递增【变式1-1】（2022上·福建莆田·高三校考）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）函数在下列某个区间上单调递增，这个区间是（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件.题型02求周期【解题攻略】求周期方法直接法：形如y＝Asin（ωx＋φ）或者y＝Acos（ωx＋φ）函数的周期T＝.y＝Atan（ωx＋φ）的周期是T＝观察法：形如

等等诸如此类的带绝对值型，可以通过简图判定是否有周期，以及最小正周期的值3.恒等变形转化法。4.定义证明法【典例1-1】（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数，则的最小正周期（

）A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关【典例1-2】（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）以下函数中最小正周期为的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（

）A． B．C． D．【变式1-2】（2023·广东·统考二模）已知函数，的定义域为R，则“，为周期函数”是“为周期函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-3】（2023上·江苏·高三专题练习）在函数①，②，③，④中，最小正周期为π的函数有（）A．①③ B．①④C．③④ D．②③题型03非同名函数平移【解题攻略】平移变换：1.基本法：提系数（就是直接换x，其余的都不动）；2.正到余，余到正：方法一：诱导公式化为同名（尽量化正为余，因为余弦是偶函数，可以解决系数是负的）；方法二：直接第极大值法（通过快速画图，正弦对应第一极大值轴处。余弦即五点第一点处，本方法是重点）【典例1-1】（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度B．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度C．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度D．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度【典例1-2】（2021春·河南许昌·高三许昌实验中学校考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度【变式1-1】（2020春·全国·高三校联考阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平栘个单位【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【变式1-3】（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知函数，为了得到函数的图象只需将y=f（x）的图象（

）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位题型04对称轴最值应用【解题攻略】正余弦对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ)＝1，则ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可求得对称轴方程；对称轴代入，三角函数部分必为正负1，还可以理解为辅助角那个整体取得最大值或者最小值【典例1-1】已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数，总有成立，则的最小值为（）A． B． C． D．【典例1-2】（2022届湘赣十四校高三联考第二次考试理数试题=）已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若为的一条对称轴，则__________．【变式1-1】已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（）A． B． C． D．【变式1-2】（河南省三门峡市2021-2022学年高三上学期阶段性检测理科数学试题）.将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（）A． B． C． D．【变式1-3】（2021届安徽省马鞍山二中高三下学期4月高考模拟数学试题）将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，若使成立的a、b有，则下列直线中可以是函数图象的对称轴的是A． B．C． D．题型05对称中心最值应用【解题攻略】正余弦对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ)＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标对称中心横坐标代入，三角函数那部分必为0【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则下列点的坐标为的对称中心的是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022·天津南开·二模）函数，其图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，则（

）A．B．是函数图象的一条对称轴C．时，函数单调递增D．的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是【变式1-1】．（2022·四川凉山·三模（理））将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数的图象，且的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，对于函数有以下几个结论：（1）；（2）它的图象关于直线对称；（3）它的图象关于点对称；（4）若，则；则上述结论正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为（

）A． B．2 C．3 D．6【变式1-3】（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（理））已知的一个对称中心为，把的图像向右平移个单位后，可以得到偶函数的图象，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型06辅助角最值【解题攻略】辅助角范围满足：【典例1-1】（江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021届高三下学期第一次联考数学试题已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【典例1-2】已知函数在上的值域为，则的取值范围为______.【变式1-1】.已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（）A． B． C． D．【变式1-2】（浙江省绍兴市诸暨市海亮高级中学2021-2022学年高三上学期12月选考数学试题）已知当时，函数取到最大值，则是（）A．奇函数，在时取到最小值； B．偶函数，在时取到最小值；C．奇函数，在时取到最小值； D．偶函数，在时取到最小值；【变式1-3】（江苏省淮安市淮阴中学2020届高三下学期5月高考模拟数学试题）若存在正整数m使得关于x的方程在上有两个不等实根，则正整数n的最小值是______．题型07正余弦换元型最值【解题攻略】与在同一函数中一般可设进行换元．换元时注意新元的取值范围．之间的互化关系1.2.【典例1-1】（2021下·上海徐汇·高三南洋中学校考阶段练习）已知函数，则的值域为．【典例1-2】（2022·高三单元测试）函数的值域为．【变式1-1】已知函数，则的最大值为___________.【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为A． B．C． D．【变式1-3】（河南省信阳高级中学2020-2021学年高三数学试题）已知实数a>0，若函数fx=asinx+cos题型08一元二次型换元最值【典例1-1】（2022·高三单元测试）若，则函数的最大值与最小值之和为（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考）函数的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2023下·上海长宁·高三统考）已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是．【变式1-2】（2021下·北京·高三校考）已知函数，则；的最大值为【变式1-3】（2021·江西·校联考模拟预测）函数的最大值为.题型09分式型最值【解题攻略】分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。【典例1-1】（2022上·浙江绍兴·高三诸暨中学阶段练习）函数的最大值是，最小值为．【典例1-2】（2023上·新疆克拉玛依·高三校考阶段练习）函数的值域为【变式1-1】（2022上·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）函数的值域为.【变式1-2】（2020下·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）函数的值域为．【变式1-3】函数的最小值是（）A． B． C． D．题型10最值型综合【典例1-1】（2021·全国·高三专题练习）已知，为锐角，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【典例1-2】已知锐角满足，则的最小值为____．【变式1-1】若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2022·山东·高三开学考试）已知，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．【变式1-3】已知函数的图象过点（0，），最小正周期为，且最小值为－1.若，的值域是，则m的取值范围是_____.题型11恒等变形：求角【解题攻略】将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[-π,π]的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围.【典例1-1】（2023上·全国·高三专题练习）在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝3，tan2B＝tanA·tanC，则角B等于（

）A．30° B．45° C．120° D．60°【典例1-2】（2023上·浙江杭州·高三学军中学校考阶段练习）已知且，则=（

）A． B．C． D．或【变式1-1】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知，，，且，则的值为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考）已知，，且，则（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2023上·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．题型12恒等变形：拆角求值（分式型）【解题攻略】分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。【典例1-1】（2021·广西·统考一模）＝（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022上·云南昆明·高三东川明月中学校考）若，则的值为（

）A．1 B．4 C． D．2【变式1-1】（2023·四川资阳·统考模拟预测）（

）A． B． C． D．1【变式1-2】（2023上·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）（

）A． B．1 C． D．2【变式1-3】（20219上·西藏山南·高三山南二中校考阶段练习）求的值（）A．1 B．3 C． D．题型13恒等变形：拆角求值（复合型）【解题攻略】求复合型角，以给了函数值的角度为基角来拆角。讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度【典例1-1】（2023上·云南昆明·高三统考）已知，，，则（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023上·陕西渭南·高三统考）已知,都是锐角,,,则（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2020上·江西·高三奉新县第一中学校考阶段练习）若均为锐角且，则【变式1-2】（2022下·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知，且，则．【变式1-3】（2023上·河北石家庄·高三校考阶段练习）若，，，，则.题型14恒等变形：拆角求值（正切型对偶）【典例1-1】（2023上·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023下·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知角，且，则（

）A． B． C． D．-2【变式1-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，，，则（

）A． B． C． D．1【变式1-2】（2023上·全国·高三专题练习）已知角，且，则（

）A． B． C． D．2【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．高考练场1.（2023·江西九江·统考二模）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．周期为π，在上单调递减B．周期为，在上单调递减C．周期为π，在上单调递增D．周期为，在上单调递增2.（2023下·江西九江·高三校考）函数的周期不可能为（

）A． B． C． D．3.（2021秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有点的A．横坐标缩短到原