2024届天津市静海区一中高三上学期12月月考数学试题及答案

静海一中2023-2024第一学期高三数学（12月）学生学业能力调研试卷考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（133分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共147分.3分卷面分.知识技能学习能力关键环节14集合简内容单逻辑函数圆锥立体曲线几何基本不等式平面向量复数数列三角函数分数101535202055185第Ⅰ卷基础题（共131分）一、选择题（每小题5分，共45分）1.设集合U4,5,AB，则Að（B）UD.A.B.C.的公比为q，则“且”是“是递减数列”的（0q1）a10an2.设数列nA充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2x2xfxx2log43.函数的大致图象是（）A.B.C.D.a20.3,bsin28,cln24.设，则（）A.cbaC.abcB.bcaD.bac3yx5.已知2x24y3，则的值为（）第1页/共4页A.1B.0C.1D.2PABCPABAC1202底面，，，若该三棱雉的6.若三棱锥中，已知顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.πB.18πC.20πD.93π37.已知函数fxsinxxcos2x，则下列说法不正确的是（）2A.函数的最小正周期为fxππ6B.函数的图象关于点fx,0对称π3C.函数的图象可由ysinx1fx的图象上所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到2πD.函数的图象可由ysin2x的图象上所有点向左平移个单位得到6fxx22y22F,Fab0)的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线F8.已知分别为双曲线122abPF13PF交双曲线于点P，若，则双曲线的离心率为（）2A.3B.5C.3D.2sinx,x0，若f(x)在区间a,f(x)5a内恰有个零点，则的取9.设aR，函数x24x74a,x0值范围是（）7511247542375112424372452,2,,2,,,A4B.C.D.二、填空题：每小题5分，共30分.2aia10.已知复数是纯虚数，则实数______.111.抛物线12.已知圆13.设数列yx228x，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为____.2axy20a0xy0截直线所得弦长是22，则a的值为______．nπ的通项公式为a__________a2n1n，其前项和为，则SnSnn2m1n114.已知m0，n0，m2n1，则的最小值为______.，其中正六边形边长为1，设15.如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形第2页/共4页xyAGxAByAI，则______；P是平面图形边上的动点，则AP的取值范围是______.5小题，共72分）B150，的面16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA3sinC，积为3.a（1）求的值；（2）求sinA的值；6sin2A（3）求的值.17.如图，四棱锥P中，底面ABCDPA面ABCD为平行四边形，，M是棱PD的中点，且ABACPA2，BC22．（I）求证：CD面PAC；（Ⅱ）求二面角MABC的大小；AN105NAB上一点，且直线CN与平面MAB成角的正弦值为（Ⅲ）若是，求的值．NBx22y2212ab0)的右焦点为F，左右顶点分别为A，B．已知椭圆的离心率为18.设椭圆，ab|3．（1）求椭圆的方程；（2）已知PBP交y轴于点Q，若四边形OPQA的面积是三角形第3页/共4页BFP面积的3倍，求直线BP的方程．19.已知数列的前a是数列项和，已知对于任意nN*，都有an2Sn3，数列a,b,Snnnnn是等差数列，b1log31，且2463成等比数列.bn（1）求数列和的通项公式.abnnb1n2,nNddn（2）记（3）记，求数列的前项和n.nnbbann1na,为奇数2nnckc，求.bn,为偶数nk12k1第Ⅱ卷提高题（共14分）20.已知函数fxexa1x1，其中aR.在点f0fx（1）当a3时，求曲线y处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；fxa1fxxacosx.（3）当时，证明：第4页/共4页静海一中2023-2024第一学期高三数学（12月）学生学业能力调研试卷命题人：李静审题人：陈中友考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（133分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共147分.3分卷面分.知识技能学习能力关键环节14集合简内容单逻辑函数圆锥立体曲线几何基本不等式平面向量复数数列三角函数分数101535202055185第Ⅰ卷基础题（共131分）一、选择题（每小题5分，共45分）1.设集合U4,5,AB，则Að（B）UD.A.B.C.【答案】B【解析】ABð.U【分析】根据交集、补集的定义可求ðB6，故AB1,6ð，U【详解】由题设可得U故选：B的公比为q，则“且”是“是递减数列”的（0q1）a10an2.设数列nA.充分不必要条件C.充要条件【答案】AB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.aaqn111qnan【详解】由等比数列的通项公式可得，，q第1页/共19页a1qa00q1时，则10naqnyq当当且，且单调递减，则是递减数列，故充分性满足；1qn0aa01aqn11是递减数列，可得或，故必要性不满足；n0q1q1qa00q1”是“是递减数列”的充分不必要条件.a所以“且1n故选：A2x2xfxx2log43.函数的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断.2xx2x2，即，所以002x2【详解】方法一：因为，2x2xfxx2log4的定义域为2，关于原点对称，所以函数2x2x(x)2logfx，所以函数fx是奇函数，其图象关于原点对称，又fx4x2,C故排除；2x2x2x2xx0,2时，1，即log40，因此fx，故排除A.0当故选:D.方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除fx,C；1又f1故选：D.log230，所以排除A.2a20.3,bsin28,cln24.设，则（）A.cbaB.bca第2页/共19页C.abc【答案】B【解析】D.bac【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助“媒介数”比较判断作答.121212【详解】a20.320bsin28sin，而e2e，则21，即c1，所以.故选：B3yx5.已知2x24y3，则的值为（）A.1B.0C.1D.2【答案】C【解析】xy3【分析】利用指数与对数互化的公式表示出，再利用换底公式和对数的运算性质化2简计算.xy33，所以，由换底公式和对数的运算性质可得2【详解】因为23yx31x24y31813log224824log31.33333xy332432故选：C6.若三棱锥PABCPABAC1202底面，，，若该三棱雉的中，已知顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.πB.18πC.20πD.93π【答案】C【解析】PABC是相应正六棱柱内的一个三棱锥，由此知该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，求出正六棱柱的外接球半径即可得．PABCPABAC1202底面，，，【详解】三棱锥中，已知PABC故该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥，所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R422S4R225，则R5，224π520π．所以该球的表面积为第3页/共19页故选：C．37.已知函数fxsinxxcos2x，则下列说法不正确的是（）2A.函数的最小正周期为fxππ6B.函数的图象关于点fx,0对称π3C.函数的图象可由ysinx1fx的图象上所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到2πD.函数的图象可由ysin2x的图象上所有点向左平移个单位得到6fx【答案】B【解析】【分析】首先化简函数，再根据三角函数的性质，求最小正周期判断A，整体代入法判断对称中心fx判断B，利用函数图象变换法则即可判断CD.3123π【详解】fxsincosxcos2xsin2x2xsin2x，3222π所以函数的最小正周期Tπ，故A正确；2ππ6ππ2π3xsin2sin0，当时，f66332π,0不是函数f(x)的一个对称中心，故错误；B所以6π3πysinx1ysin(2x)，由的图象上所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到23故C正确；πππysin2xysin[2(xsin(2x)，故D正确.将的图象上所有点向左平移个单位得到663故选：B第4页/共19页x22y22F,Fab0)的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线F8.已知分别为双曲线122abPF13PF交双曲线于点P，若，则双曲线的离心率为（）2A.3B.5C.3D.2【答案】C【解析】baFyx平行的直线交双曲线于点P，运用双曲线的定义和条件可【分析】设过与双曲线的一条渐近线2得||a，|2a|FF2c，，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所112求值．bFyx平行的直线交双曲线于点P，【详解】设过与双曲线的一条渐近线2a由双曲线的定义可得||||2a，21由||3||，可得|PF1a|2a|FF2c，，，12121aFFPba由tanFFP可得1222c，ba121PF1F在三角形|PF1||2|9aa中，由余弦定理可得：222|FF|22|||FF|cosFFP，1221212a224c22a2c，化简可得c2a2，即有cce3所以双曲线的离心率．a故选：C．sinx,x0，若f(x)在区间a,f(x)5a内恰有个零点，则的取值9.设aR，函数x24x74a,x0范围是（）74511247542375112424372452,2,,2,,,A.B.C.D.【答案】D【解析】948aa【分析】解法一：利用排除法，分别令和求解函数的零点进行判断，第5页/共19页解法二：分类讨论，分在区间a,0有5个零点且在区间没有零点，在区间a,0fxfx有4个零点且在区间有1个零点和fx在区间a,0有3个零点且在区间有2个零点三种情况求解即可sinx,x0949af(x)x0fx,0在区间，则，当时，x24xx04f020Δ240fx在区间，有个零点，综上所述，x0有4个零点，当时，，1在区间内有5个零点，符合题意，排除fxa,AC.､sinx,x0813fx,0af(x)x0有个零点，当3x0令，则1，当时，在区间8x24x,x021f0在区间有2在区间a,fx个零点，综上所述，时，，0，Δ0fx2内有个零点，符合题意，排除，故选D.5B①当在区间a,0有5个零点且在区间没有零点时，满足fx052，无解；3a0f00②当在区间a,0有个零点且在区间有个零点时，满足，解得fx415a22522a；f000③当在区间a,0有3个零点且在区间有个零点时，满足，解得fx232a23274a，37245综上所述，a的取值范围是,，2故选：D.第6页/共19页二、填空题：每小题5分，共30分.2aia______.10.已知复数是纯虚数，则实数1【答案】1【解析】a【分析】由复数的除法运算、纯虚数的概念即可求得参数.2ai2a24a1i22a4a1i2ai1【详解】由题意，41552ai122a4a100，解得a1.由题意复数是纯虚数，则且55故答案为：1.y8x，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为____.211.抛物线【答案】2【解析】AB的中点MAB的中点M的横坐标.【详解】抛物线y8x的准线l的方程为：x2，焦点为F(2,0),分别过,B,M，2l,l,l，垂足为C,D,H中，作，在直角梯形，2ACBDAFBFABACAF,BDBF4，由抛物线的定义可知：，因此有222所以点M的横坐标为422.故答案为：2.x22axy20a0xy0截直线所得弦长是22，则a的值为______．12.已知圆【答案】2【解析】第7页/共19页【分析】xy0化圆的方程为标准方程，可得圆心和半径，求得圆心到直线的距离d，代入弦长公式，即可求得答案.【详解】圆所以圆心为ya，x22axy20a0可变形为：(xa)222(a,0)ra，半径，a0112axy0d所以圆心到直线的距离，21222ra2.，解得2d22aa2，2根据弦长公式可得2a0因为故答案为：213.设数列nπ的通项公式为aa2n1n，其前项和为，则SnS__________nn2【答案】20【解析】nπfnann1n2n34a【分析】先由的周期性及函数值特点，分析数列的特点n2；再根据这个特点求解即可.n，2ππnπT4π2πfnf1cosf2，1，0【详解】由可得：周期为，22223π4πf3cosf41.0，22nπa2n1因为所以，n2aan2n3nn1n3πnπn1πn2π2n12n212n412n614，2222n，所以数列的前项和具有周期为的周期性，且这样一个周期内的和为4，ann4S452020所以故答案为：20第8页/共19页m1n114.已知m0，n0，m2n1，则的最小值为______.【答案】843##438【解析】【分析】对代数式结合已知等式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为m2n1，m1n1mm2nnm2n2nm6n2m238所以因为所以mn，mnm0，n0，6n2m6n2m6n2m243，当且仅当时取等号，即n23,m233时，mnmnmnm1n1有最小值843，故答案为：843m1n16n2m变形为8.【点睛】关键点睛：利用等式把代数式mn15.如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为1，设xyAGxAByAI，则______；P是平面图形边上的动点，则AP的取值范围是______.3,3【答案】①.1②.2【解析】【分析】以I为原点，建立平面直角坐标系，根据G,B,I三点共线，得到xy1，设P(x,y)，求得3AP(x3y)，令zx3y，转化为求该直线在轴上截距的取值范围，得到目标函数的y2最优解，代入即可求解.第9页/共19页x,y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，【详解】以I为原点，因为G,B,IBG,所在的直线分别为xy1，三点共线，且AGxAByAI，所以33312由正六边形的内角均为120，且边长为1，可得G(3,0),E()，,(22,)，233312P(x,y)设，可得(,AP(x,y22233313则AP(,)(x,y)(x3y)，222223令zx3y，则y(xz)，3当该直线经过点C(时，截距最大，对应的最大，此时AP最大值为，z33当该直线经过点G(z3,0)时，截距最小，对应的最小，此时AP的最小值为，23,3所以AP.23故答案为：1；[,3].25小题，共72分）B150，的面16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA3sinC，积为3.a（1）求的值；（2）求sinA的值；6sin2A（3）求的值.【答案】（1）23；第10页/共19页21（2）（3）；14.【解析】【分析】(1)已知条件结合三角形面积公式和正弦定理即可求a；(2)由余弦定理求出b，再根据正弦定理即可求出sinA；(3)根据sinA求出cosA，再由正弦和角公式、正余弦二倍角公式即可求值.【小问1详解】∵sinA3sinC，∴由正弦定理得ac，1c2，acsin1503，解得又3，∴2∴a23；【小问2详解】由余弦定理有b2a2c22accos150，∴b27.ab23sin15021sinA由正弦定理.sinAsinB2714【小问3详解】215714∵B＝150°，∴A＜90°，∴由sinA＝得，A，1453112A22A1.∴sin2A2sinAA，141461314sin2Asin2Acos2Asin∴.6617.如图，四棱锥P中，底面ABCDPA面ABCD为平行四边形，，M是棱PD的中点，且ABACPA2，BC22．（I）求证：CD面PAC；（Ⅱ）求二面角MABC的大小；AN105NAB上一点，且直线CN与平面MAB成角的正弦值为（Ⅲ）若是，求的值．NB第11页/共19页【答案】（I1．4【解析】【分析】【详解】试题分析：(I)，，所以平面PAC；(II)建立空间直角坐标系，求出两是平面ABC的一个法向量，求出二面角；个法向量，平面MAB的法向量，(III)设，平面MAB的法向量，解得答案．试题解析：证明：(I)连结AC．因为为在中，，，所以，所以．因为AB//CD，所以．又因为所以地面ABCD，所以平面PAC．．因为，(II)如图建立空间直角坐标系，则．第12页/共19页因为M是棱PD的中点，所以．所以所以，．设为平面MAB的法向量，，即，令，则，所以平面MAB的法向量．因为平面ABCD，所以是平面ABC的一个法向量．所以．因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为．(III)因为N是棱AB上一点，所以设，．设直线CN与平面MAB所成角为因为平面MAB的法向量，，第13页/共19页所以．解得，即，，所以．x22y2212ab0)的右焦点为F，左右顶点分别为A，B．已知椭圆的离心率为18.设椭圆|3．，ab（1）求椭圆的方程；（2）已知PBP交y轴于点Q，若四边形OPQABFP面积的3倍，求直线BP的方程．的面积是三角形x2y21【答案】（1）43324（2）y(x2)【解析】a,ca2b2c2求解出b的值，则椭圆1）根据已知线段长度与离心率，求解出的值，然后根据方程可求；与三角形y,yPQ（2）根据条件将问题转化为三角形的面积比，由此得到关于立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值得P的坐标，则可求直线方程.【小问1详解】c12e|3，，所以a2c,ac33，因为，，a所以ac1，所以ba2c2x2y21；所以椭圆方程为43【小问2详解】如图，因为四边形OPQA与三角形BFP的面积之比为3:1，第14页/共19页与三角形的面积比为5:2所以三角形，12ABQQ5254所以，所以，1yPyP2x2显然直线BP的斜率不为0，设直线BP的方程为x2，12，所以m24y1202联立，3x24y212m2yPyQ所以，，m24m25m12m223所以，解得m，4m422222当m时，BP:xy2，332222当m时，BP:xy2，3332故直线的方程为y(x2).419.已知数列是数列的前an项和，已知对于任意nN*，都有an2Sn3，数列a,b,Snnnn是等差数列，b1log31，且2463成等比数列.bn（1）求数列和的通项公式.abnnb1dn2,nNd的前项和n.，求数列nn（2）记nbbann1n第15页/共19页a,为奇数2nnckck1（3）记，求.bn,为偶数n2k1a3n，b2n1n【答案】（1）n11T（2）（3）n2(2nn27540n259n11648【解析】1）首先根据anSan，再根据等比数列的性质即可得到b与的关系得到；nn（2）利用裂项相消法即可得结果；（3）将分组求和与错位相减法相结合即可得结果.【小问1详解】当n1时，a2a3，解得a31.11当n2时，a2Sn13，n1nn1所以nn12n3，即是以首先a313，公比为的等比数列，即aa3n.nnb31bbb3因为，成等比数列，1324622所以41b25b3，即1d11d515d3，解得d2.6b12n12n1所以.n【小问2详解】n212(n2)2(2nn3dn由（1）得bbannn1n2n22n12n13111，22n1n1n2n13n则n1d2d3dn1113313315315317311)()()(n011223(2nn1(2n3213第16页/共19页111()210(2n3n1212(2nn【小问3详解】2ncccccc，2n2n1kck11223k11032n12n12n132n12n19nc2n2ncc2n2n1因为，2n2n1d2n19nn，前项和为K设则，nnKn1913922n19n，2n39n2n9n1，9Kn1923938119n18Kn92929n2n19n1922n19n119458n59n1Kn.32322n1037540n25Kn9n1kk1所以1648k1第Ⅱ卷提高题（共14分）20.已知函数fxexa1x1，其中aR.在点f0fx（1）当a3时，求曲线y处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；fxa1fxxacosx.（3）当时，证明：【答案】（1）3xy0（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】1）求出，利用导数几何意义结