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文档简介
宁夏回族自治区银川市长庆高级中学2025年高三第四次联考数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数()的部分图象如图所示,且,则的最小值为()A. B.C. D.2.已知函数f(x)=sin2x+sin2(x),则f(x)的最小值为()A. B. C. D.3.若为虚数单位,则复数在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.在中,D为的中点,E为上靠近点B的三等分点,且,相交于点P,则()A. B.C. D.5.函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.6.将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,则函数图象的一个对称中心为()A. B. C. D.7.已知向量,,设函数,则下列关于函数的性质的描述正确的是A.关于直线对称 B.关于点对称C.周期为 D.在上是增函数8.设是等差数列,且公差不为零,其前项和为.则“,”是“为递增数列”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.平行四边形中,已知,,点、分别满足,,且,则向量在上的投影为()A.2 B. C. D.10.一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行,则在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为()A. B. C. D.11.已知等差数列的公差不为零,且,,构成新的等差数列,为的前项和,若存在使得,则()A.10 B.11 C.12 D.1312.已知全集U=x|x2≤4,x∈Z,A.-1 B.-1,0 C.-2,-1,0 D.-2,-1,0,1,2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.抛物线上到其焦点距离为5的点有_______个.14.曲线在处的切线的斜率为________.15.根据如图的算法,输出的结果是_________.16.在中,内角所对的边分别是,若,,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图所示,在四棱锥中,底面为正方形,,,,,为的中点,为棱上的一点.(1)证明:面面;(2)当为中点时,求二面角余弦值.18.(12分)已知为坐标原点,点,,,动点满足,点为线段的中点,抛物线:上点的纵坐标为,.(1)求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程;(2)若抛物线的准线上一点满足,试判断是否为定值,若是,求这个定值;若不是,请说明理由.19.(12分)如图,在四边形中,,,.(1)求的长;(2)若的面积为6,求的值.20.(12分)已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若的解集包含,求的取值范围.21.(12分)已知是抛物线的焦点,点在轴上,为坐标原点,且满足,经过点且垂直于轴的直线与抛物线交于、两点,且.(1)求抛物线的方程;(2)直线与抛物线交于、两点,若,求点到直线的最大距离.22.(10分)已知两数.(1)当时,求函数的极值点;(2)当时,若恒成立,求的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
是函数的零点,根据五点法求出图中零点及轴左边第一个零点可得.【详解】由题意,,∴函数在轴右边的第一个零点为,在轴左边第一个零点是,∴的最小值是.故选:A.本题考查三角函数的周期性,考查函数的对称性.函数的零点就是其图象对称中心的横坐标.2.A【解析】
先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为,再求最值.【详解】已知函数f(x)=sin2x+sin2(x),=,=,因为,所以f(x)的最小值为.故选:A本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.3.D【解析】
根据复数的运算,化简得到,再结合复数的表示,即可求解,得到答案.【详解】由题意,根据复数的运算,可得,所对应的点为位于第四象限.故选D.本题主要考查了复数的运算,以及复数的几何意义,其中解答中熟记复数的运算法则,准确化简复数为代数形式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.4.B【解析】
设,则,,由B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,可知,,解得即可得出结果.【详解】设,则,,因为B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,所以,,所以,.故选:B.本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.5.D【解析】分析:先研究函数的奇偶性,再研究函数在上的符号,即可判断选择.详解:令,因为,所以为奇函数,排除选项A,B;因为时,,所以排除选项C,选D.点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复.6.D【解析】
根据函数图象的变换规律可得到解析式,然后将四个选项代入逐一判断即可.【详解】解:图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,故选:D考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质,基础题.7.D【解析】
当时,,∴f(x)不关于直线对称;当时,,∴f(x)关于点对称;f(x)得周期,当时,,∴f(x)在上是增函数.本题选择D选项.8.A【解析】
根据等差数列的前项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】是等差数列,且公差不为零,其前项和为,充分性:,则对任意的恒成立,则,,若,则数列为单调递减数列,则必存在,使得当时,,则,不合乎题意;若,由且数列为单调递增数列,则对任意的,,合乎题意.所以,“,”“为递增数列”;必要性:设,当时,,此时,,但数列是递增数列.所以,“,”“为递增数列”.因此,“,”是“为递增数列”的充分而不必要条件.故选:A.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合等差数列的前项和公式是解决本题的关键,属于中等题.9.C【解析】
将用向量和表示,代入可求出,再利用投影公式可得答案.【详解】解:,得,则向量在上的投影为.故选:C.本题考查向量的几何意义,考查向量的线性运算,将用向量和表示是关键,是基础题.10.A【解析】
求出满足条件的正的面积,再求出满足条件的正内的点到顶点、、的距离均不小于的图形的面积,然后代入几何概型的概率公式即可得到答案.【详解】满足条件的正如下图所示:其中正的面积为,满足到正的顶点、、的距离均不小于的图形平面区域如图中阴影部分所示,阴影部分区域的面积为.则使取到的点到三个顶点、、的距离都大于的概率是.故选:A.本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用,考查计算能力,属于中等题.11.D【解析】
利用等差数列的通项公式可得,再利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】由,,构成等差数列可得即又解得:又所以时,.故选:D本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式,需熟记公式,属于基础题.12.C【解析】
先求出集合U,再根据补集的定义求出结果即可.【详解】由题意得U=x|∵A=1,2∴CU故选C.本题考查集合补集的运算,求解的关键是正确求出集合U和熟悉补集的定义,属于简单题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.2【解析】
设符合条件的点,由抛物线的定义可得,即可求解.【详解】设符合条件的点,则,所以符合条件的点有2个.故答案为:2本题考查抛物线的定义的应用,考查抛物线的焦半径.14.【解析】
求出函数的导数,利用导数的几何意义令,即可求出切线斜率.【详解】,,,即曲线在处的切线的斜率.故答案为:本题考查了导数的几何意义、导数的运算法则以及基本初等函数的导数,属于基础题.15.55【解析】
根据该For语句的功能,可得,可得结果【详解】根据该For语句的功能,可得则故答案为:55本题考查For语句的功能,属基础题.16.【解析】
先求得的值,由此求得的值,再利用正弦定理求得的值.【详解】由于,所以,所以.由正弦定理得.故答案为:本小题主要考查正弦定理解三角形,考查同角三角函数的基本关系式,考查两角和的正弦公式,考查三角形的内角和定理,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)要证明面面,只需证明面即可;(2)以为坐标原点,以,,分别为,,轴建系,分别计算出面法向量,面的法向量,再利用公式计算即可.【详解】证明:(1)因为底面为正方形,所以又因为,,满足,所以又,面,面,,所以面.又因为面,所以,面面.(2)由(1)知,,两两垂直,以为坐标原点,以,,分别为,,轴建系如图所示,则,,,,则,.所以,,,,设面法向量为,则由得,令得,,即;同理,设面的法向量为,则由得,令得,,即,所以,设二面角的大小为,则所以二面角余弦值为.本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求二面角,考查学生的运算求解能力,此类问题关键是准确写出点的坐标,是一道中档题.18.(1)曲线的标准方程为.抛物线的标准方程为.(2)见解析【解析】
(1)由题知|PF1|+|PF2|2|F1F2|,判断动点P的轨迹W是椭圆,写出椭圆的标准方程,根据平面向量数量积运算和点A在抛物线上求出抛物线C的标准方程;(2)设出点P的坐标,再表示出点N和Q的坐标,根据题意求出的值,即可判断结果是否成立.【详解】(1)由题知,,所以,因此动点的轨迹是以,为焦点的椭圆,又知,,所以曲线的标准方程为.又由题知,所以,所以,又因为点在抛物线上,所以,所以抛物线的标准方程为.(2)设,,由题知,所以,即,所以,又因为,,所以,所以为定值,且定值为1.本题考查了圆锥曲线的定义与性质的应用问题,考查抛物线的几何性质及点在曲线上的代换,也考查了推理与运算能力,是中档题.19.(1)(2)【解析】
(1)利用余弦定理可得的长;(2)利用面积得出,结合正弦定理可得.【详解】解:(1)由题可知.在中,,所以.(2),则.又,所以.本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,已知角较多时一般选用正弦定理,已知边较多时一般选用余弦定理.20.(1);(2).【解析】
(1)对范围分类整理得:,分类解不等式即可.(2)利用已知转化为“当时,”恒成立,利用绝对值不等式的性质可得:,问题得解.【详解】当时,,当时,由得,解得;当时,无解;当时,由得,解得,所以的解集为(2)的解集包含等价于在上恒成立,当时,等价于恒成立,而,∴,故满足条件的的取值范围是本题主要考查了含绝对值不等式的解法,还考查了转化能力及绝对值不等式的性质,考查计算能力,属于中档题.21.(1);(2).【解析】
(1)求得点的坐标,可得出直线的方程,与抛物线的方程联立,结合求出正实数的值,进而可得出抛物线的方程;(2)设点,,设的方程为,将直线的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,结合求得的值,可得出直线所过定点的坐标,由此可得出点到直线的最大距离.【详解】(1)易知点,又,所以点,则直线的方程为.联立,解得或,所以.故抛物线的方程为;(2)设的方程为,联立有,设点,,则,所以.所以,解得.所以直线的方程为,恒过点.又点,故当直线与轴垂直时,点到直线的最大距离为.本题考查抛物线方程的求解,同时也考查了抛物线中最值问题的求解,涉及韦达定理设而不求法的应用,考查运算求解能力,属于中等题.22.(1)唯一的极大值点1,无极小值点.(2)1【解析】
(1)求出导函数,求得的解,确定此解两侧导数值
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