2024年全国一卷数学新高考题型细分S13圆锥曲线单选填空7抛物线其他

2024年全国一卷新高考题型细分S13——圆锥曲线单选填空7抛物线、其他试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。《圆锥曲线——单选填空》题目分类有：椭圆（易~中档），双曲线（易~中档），抛物线（易~中档），其他等，大概251道题。抛物线（中下）：（2024年浙J08强基联盟三月，末）8.设点，，是抛物线上3个不同的点，且，若抛物线上存在点，使得线段总被直线平分，则点的横坐标是（【答案】A【解析】【分析】说明直线过定点,并求出关于点的对称点代入抛物线即可求解.【详解】设，，，则,同理，故直线方程为：，整理得,①由得整理得,②【答案】A【解析】【分析】说明直线过定点,并求出关于点的对称点代入抛物线即可求解.【详解】设，，，则,同理，故直线方程为：，整理得,①由得整理得,②由①②两式得，即直线过点,关于点的对称点即为点在抛物线上，代入得，解得.故选:A.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线中的定点问题，关键是利用垂直得斜率的关系进而求出定点坐标.（2024年浙J07金丽衢二联）6.已知抛物线的焦点为F，以F为圆心的圆交于A，B两点，交的准线于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则圆的方程为（【答案】D【解析】【分析】依题意知，圆的圆心坐标为，且点为该矩形对角线的交点，利用点到直线的距离与点到的距离相等，可求得直线的方程为：，从而可求得点坐标，从而可求得圆的半径，于是可得答案.【详解】解：由题可得：抛物线的焦点为，所以圆的圆心坐标为，因为四边形ABCD【答案】D【解析】【分析】依题意知，圆的圆心坐标为，且点为该矩形对角线的交点，利用点到直线的距离与点到的距离相等，可求得直线的方程为：，从而可求得点坐标，从而可求得圆的半径，于是可得答案.【详解】解：由题可得：抛物线的焦点为，所以圆的圆心坐标为，因为四边形ABCD是矩形，且为直径，为直径，为圆的圆心,所以点为该矩形对角线的交点，所以点到直线的距离与点到的距离相等，故点到直线的距离，所以直线的方程为：，所以，故圆半径，所以圆的方程为.故选：D【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的标准方程的确定，分析得到点F为该矩形ABCD的两条对角线的交点是关键，考查作图、分析与运算能力，属于中档题.（2024年冀J05唐山一模）6.已知抛物线E：的焦点为F，以F为圆心的圆与E交于A，B两点，与E的准线交于C、D两点，若，则（【答案】D【解析】【分析】设点在第一象限，由，可确定圆的半径，利用抛物线的定义求出，即可求得结果.【详解】由抛物线方程知：，，不妨设点在第一象限，如图所示，直线与轴交于点，由，则，圆的半径，所以【答案】D【解析】【分析】设点在第一象限，由，可确定圆的半径，利用抛物线的定义求出，即可求得结果.【详解】由抛物线方程知：，，不妨设点在第一象限，如图所示，直线与轴交于点，由，则，圆的半径，所以，由抛物线的定义可得：，所以，又因为点在抛物线上，所以，．故选：D.（2024年鄂J06武汉二调）5.设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（【答案】A【解析】【分析】由题意得，结合正切定义以及可得，进一步即可求解.【详解】如图所示：为准线与轴的交点，因为，且，所以，因为，所以，而，所以，所以故选：A.【答案】A【解析】【分析】由题意得，结合正切定义以及可得，进一步即可求解.【详解】如图所示：为准线与轴的交点，因为，且，所以，因为，所以，而，所以，所以故选：A.（2024年鄂J04名校联盟）15.已知抛物线，直线l过C焦点F且与C交于A，B两点，以线段为直径的圆与y轴交于M，N两点，则的最小值是【答案】##【解析】【分析】由题意结合抛物线定义以及抛物线的通径、圆心角与圆周角的关系即可求解.【详解】设的中点为G【答案】##【解析】【分析】由题意结合抛物线定义以及抛物线的通径、圆心角与圆周角的关系即可求解.【详解】设的中点为G，过G作y轴的垂线，垂足为H，则H是的中点.因为以线段为直径的圆与准线相切，所以..当轴时，有，.故答案为：.（2024年苏J02前黄一模）6.已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线，其通径长为1，现有一个半径为的玻璃球放入该玻璃酒杯中，要使得该玻璃球接触到杯底（盛酒部分），则的取值范围是（【答案】C【解析】【分析】以轴截面抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，写出该玻璃球的轴截面的方程和抛物线的方程，两方程联立，只有一个解求解.【详解】解：以轴截面抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，当玻璃球能够与杯底接触时，该玻璃球的轴截面的方程为．因为抛物线的通径长为1，则抛物线的方程为，代入圆的方程消元得：，所以原题等价于方程在上只有实数解【答案】C【解析】【分析】以轴截面抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，写出该玻璃球的轴截面的方程和抛物线的方程，两方程联立，只有一个解求解.【详解】解：以轴截面抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，当玻璃球能够与杯底接触时，该玻璃球的轴截面的方程为．因为抛物线的通径长为1，则抛物线的方程为，代入圆的方程消元得：，所以原题等价于方程在上只有实数解．因为由，得或，所以需或，即或．因为，所以，故选：C．（2024年鲁J45泰安三模）14．已知抛物线，点在的准线上，过的焦点的直线与相交于两点，则的最小值为14．824【分析】设直线的方程及弦的中点，联立直线的方程与抛物线方程可得及坐标，结合抛物线焦点弦公式可得，由等边三角形性质可知，即可设出直线的方程，结合点在准线上可得点坐标，再结合及计算即可.【详解】由已知得，准线方程为，设直线的方程为，，14．824【分析】设直线的方程及弦的中点，联立直线的方程与抛物线方程可得及坐标，结合抛物线焦点弦公式可得，由等边三角形性质可知，即可设出直线的方程，结合点在准线上可得点坐标，再结合及计算即可.【详解】由已知得，准线方程为，设直线的方程为，，，弦的中点，如图所示，联立消去并整理得，则，，所以，所以，，即，所以.故当时，.若为等边三角形，则，如图所示，则设直线的方程为，即，所以点，又，所以，解得，所以.故答案为：8；24.（2024年鲁J32潍坊二模）8．已知P为抛物线上的一动点，过P作圆的切线，切点分别为A，B，则的最大值为（

8．B【分析】将题目转化为求的最大值，则构建出，再根据勾股定理并结合二次函数性质即可求出角度最大值.【详解】因为，则求的最大值即求最大值，由题得圆心坐标，半径，设，则在中，，易知，则最大时，最小，设，，且，则8．B【分析】将题目转化为求的最大值，则构建出，再根据勾股定理并结合二次函数性质即可求出角度最大值.【详解】因为，则求的最大值即求最大值，由题得圆心坐标，半径，设，则在中，，易知，则最大时，最小，设，，且，则，即时，，此时取得最大值，，结合得此时，则.故选：B.（2024年鲁J42青岛二适）14．设为平面上两点，定义、已知点P为抛物线上一动点，点的最小值为2，则；若斜率为的直线l过点Q，点M是直线l上一动点，则的最小值为14．2【分析】利用定义结合二次函数求最值计算即可得第一空，过作并构造直角三角形，根据的定义化折为直，结合直线与抛物线的位置关系计算即可.【详解】设，则，，即，时取得最小值；易知，，联立有，14．2【分析】利用定义结合二次函数求最值计算即可得第一空，过作并构造直角三角形，根据的定义化折为直，结合直线与抛物线的位置关系计算即可.【详解】设，则，，即，时取得最小值；易知，，联立有，显然无解，即直线与抛物线无交点，如下图所示，过作交l于N，过作，则（重合时取得等号），设，则，所以，

故答案为：2，【点睛】思路点睛：对于曼哈顿距离的新定义问题可以利用化折为直的思想，数形结合再根据二次函数的性质计算最值即可.抛物线（中档）：（2024年浙J03台州一评，末）16.抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是【答案】【解析】【分析】设点，切线的方程为，继而求得切线的斜率，由可求得的方程，与直线联立可求得点的坐标，继而消参可求得点的轨迹方程，则结合图形可求得得范围.【详解】因为点为抛物线：上点（不为原点），【答案】【解析】【分析】设点，切线的方程为，继而求得切线的斜率，由可求得的方程，与直线联立可求得点的坐标，继而消参可求得点的轨迹方程，则结合图形可求得得范围.【详解】因为点为抛物线：上点（不为原点），所以可设点，且当切线的斜率不存在时，切点为原点不合题意；当切线的斜率存在时，可设为，联立，消去可得，化简可得，令，可得，化简可得，即，又，所以的斜率，所以的方程，因点，所以的斜率为，则的方程为，联立，解得，即，当时，的方程为，的方程则或，满足由两式相除可得，即由，可得再代入，可得，化简可得，可得，可知点轨迹为半径为的圆，圆心为,结合图形可知，又，，则.故答案为：（2024年浙J01湖州一中模拟，末）14.已知为拋物线的焦点，过点的直线与拋物线交于不同的两点，，拋物线在点处的切线分别为和，若和交于点，则的最小值为【答案】10【解析】【分析】设直线方程为，，联立抛物线方程得出韦达定理，再利用导数的几何意义求解方程，联立可得，再代入根据基本不等式求解最小值即可.【详解】的焦点为，设直线方程为，.联立直线与抛物线方程有，则.又求导可得，故直线【答案】10【解析】【分析】设直线方程为，，联立抛物线方程得出韦达定理，再利用导数的几何意义求解方程，联立可得，再代入根据基本不等式求解最小值即可.【详解】的焦点为，设直线方程为，.联立直线与抛物线方程有，则.又求导可得，故直线方程为.又，故，同理.联立可得，解得，代入可得，代入韦达定理可得，故.故，当且仅当，即时取等号.故答案为：10【点睛】方法点睛：如图，假设抛物线方程为，过抛物线准线上一点向抛物线引两条切线，切点分别记为，其坐标为.则以点和两切点围成的三角形中，有如下的常见结论:结论1.直线过抛物线的焦点.结论2.直线的方程为.结论3.过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线.结论4..结论5..结论6.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴.结论7..（2024年粤J02佛山一中一模）15.已知O为坐标原点，F为曲线的焦点，点A（不与O重合）在C上，且，则直线斜率的取值范围是【答案】【解析】【分析】由向量的性质得到点的坐标与点的坐标的关系，从而利用基本不等式求得直线斜率的取值范围，由此得解.【详解】因为【答案】【解析】【分析】由向量的性质得到点的坐标与点的坐标的关系，从而利用基本不等式求得直线斜率的取值范围，由此得解.【详解】因为F为曲线的焦点，所以，因为，所以，不妨设，，则，即，解得，所以直线斜率为，因为，当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，当且仅当，即时，等号成立；综上，直线斜率的取值范围为.故答案为：.（2024年粤J44梅州二月检，末）14.已知圆，点在抛物线上运动，过点引圆的切线，切点分别为，，则的取值范围为【答案】【解析】【分析】设，将表示为只含的表达式，结合二次函数的性质求得的取值范围.【详解】依题意，圆的圆心为，半径，抛物线的焦点为【答案】【解析】【分析】设，将表示为只含的表达式，结合二次函数的性质求得的取值范围.【详解】依题意，圆的圆心为，半径，抛物线的焦点为，画出圆和抛物线的图象如下图所示，设，则，，切线长，由得，则，垂直平分弦，则，即又，则，即，则，则，即，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】求解直线和圆相切有关问题，可以考虑圆的几何性质来进行求解，如本题中，是切线，则连心线垂直平分，是直角三角形等等.要求弦长的取值范围，可先求得弦长的表达式，然后根据表达式的结构，考虑二次函数的性质、基本不等式的知识求得求得最值.（2024年鄂J10二次T8联考，末）8.已知抛物线的方程为，为其焦点，点坐标为，过点作直线交抛物线于、两点，是轴上一点，且满足，则直线的斜率为（【答案】B【解析】【分析】设，，，直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元，得到，再由，可得，是方程的解，将代入方程，由求出.【详解】设，，，直线方程为，联立直线与抛物线方程，可得，显然，所以．又，即【答案】B【解析】【分析】设，，，直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元，得到，再由，可得，是方程的解，将代入方程，由求出.【详解】设，，，直线方程为，联立直线与抛物线方程，可得，显然，所以．又，即，即，，故，是方程的解，将代入方程，整理得，显然，，，即．故选：B．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.（2024年闽J10泉州三测）13.已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，准线为l．若C恰过，，三点中的两点，则C的方程为【答案】①.②.【解析】【分析】根据题意，得到抛物线经过与两点，设抛物线的方程为，联立方程组，求得，得到，再抛物线的定义，求得，不妨设，得出的直线方程为，联立方程组，结合焦点弦长，即可求解.【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，准线为，且恰过，，三点中的两点，【答案】①.②.【解析】【分析】根据题意，得到抛物线经过与两点，设抛物线的方程为，联立方程组，求得，得到，再抛物线的定义，求得，不妨设，得出的直线方程为，联立方程组，结合焦点弦长，即可求解.【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，准线为，且恰过，，三点中的两点，因为点和不关于坐标轴对称，所以抛物线不可能过和两点，又因为在第一象限，在第三象限，即抛物线不可能同时过和两点，所以抛物线经过与两点，设抛物线的方程为，则，解得，即，过抛物线的交点的直线与交于两点，且到的距离为，由抛物线的定义，可得，解得，则，可得，结合抛物线的对称性，不妨设，因为抛物线的焦点为，则的直线方程为，联立方程组，整理得，可得，则.故答案为：；.（2024年苏J24苏锡常镇一调，末）14.在平面直角坐标系中，已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点.记线段的中点为，若线段的中点在上，则的值为__________；的值为【答案】①.2②.5【解析】【分析】设，与抛物线联立，由韦达定理得，，从而得到的坐标，以及线段的中点坐标，代入抛物线方程，即可求出的值，得到的值.【详解】令，，，线段【答案】①.2②.5【解析】【分析】设，与抛物线联立，由韦达定理得，，从而得到的坐标，以及线段的中点坐标，代入抛物线方程，即可求出的值，得到的值.【详解】令，，，线段的中点为联立，消可得，则，,所以，即，所以线段的中点，由于线段的中点在抛物线上，则，解得或（舍去），即，由于在抛物线中，，所以.故答案：2；5.（2024年苏J07百师联盟，末）14.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点（异于坐标原点，与轴交于点，若，，则_【答案】①.②.【解析】【分析】根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程，结合两点间的距离公式及向量的夹角公式即可求解.【详解】如图所示，由，得，设，由，得，求导，所以直线得斜率为，则直线的方程为，令，则，解得，所以,【答案】①.②.【解析】【分析】根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程，结合两点间的距离公式及向量的夹角公式即可求解.【详解】如图所示，由，得，设，由，得，求导，所以直线得斜率为，则直线的方程为，令，则，解得，所以,所以，解得(负值舍去).当时，，则，又因为，所以，故向量与的夹角为.当时，同理可得向量与的夹角为.综上所述，向量与的夹角为.故答案为：；.【点睛】：关键点睛：涉及抛物线切线问题，通常利用导数的几何意义及表示出切线方程.利用两点的距离公式及向量的夹角公式即可.（2024年粤J138汕头金南三模）14．已知点P，Q分别是拋物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为14．【分析】根据题意，将转化为的形式，寻求定点，使得恒成立，再通过转化求的最小值.【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，又由圆，可化为14．【分析】根据题意，将转化为的形式，寻求定点，使得恒成立，再通过转化求的最小值.【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，又由圆，可化为，可得圆心坐标为，半径，设定点，满足成立，且，即恒成立，其中，代入两边平方可得：，解得：，，所以定点满足恒成立，可得，如图所示，当且仅当在一条直线上时，此时取得最小值，即，设，满足，所以，，当时，等号成立.所以的最小值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是转化距离，再转化求得点M的坐标.（2024年冀J29邢台二模）8．设，，，为抛物线上不同的四点，点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线，设点到直线和直线的距离分别为，，且，则（

8．B【分析】根据条件得到，从而有为的角平分线，再利用，得到，进而求出，即可求出结果.【详解】如图，过作，设，则，所以，设抛物线在点处的切线的方程为，由，消得到，由，得到，所以由题有，即，所以，又，所以，得到为的角平分线，又，所以，又均为直角三角形，所以8．B【分析】根据条件得到，从而有为的角平分线，再利用，得到，进而求出，即可求出结果.【详解】如图，过作，设，则，所以，设抛物线在点处的切线的方程为，由，消得到，由，得到，所以由题有，即，所以，又，所以，得到为的角平分线，又，所以，又均为直角三角形，所以，得到，所以，故答案：B.（2024年冀J01某市一模，末）14.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，的中点为，以为直径的圆与轴交于两点，当取最大值时，此时__【答案】##【解析】【分析】依题要使最大，因等腰三角形,需使最小，通过过点作高线，利用三角函数将的正弦值转化为,再用点坐标进行表示，从而转化为函数的最值问题即得.【详解】如图，由，可知【答案】##【解析】【分析】依题要使最大，因等腰三角形,需使最小，通过过点作高线，利用三角函数将的正弦值转化为,再用点坐标进行表示，从而转化为函数的最值问题即得.【详解】如图，由，可知，设，易知，且，因的中点为，故，过点作于点.设，,则，所以当取最小值时，最小，因为在上为增函数，所以当最小时，最小，则最大.又的最小值为1，此时，，则，所以，所以.故答案为：.（多选，2024年苏J03南通联考，末）11.已知点在曲线上运动，过作以为圆心，1为半径的圆的两条切线，则的值可能是（【答案】BCD【解析】【分析】依据题意对目标式进行转化，利用导数确定最值即可.【详解】由题意得，由勾股定理得，则，令，而，故在上单调递增，设，由两点间距离公式得，由二次函数性质得当时，取得最小值，此时，故的最小值为，即，显然B，【答案】BCD【解析】【分析】依据题意对目标式进行转化，利用导数确定最值即可.【详解】由题意得，由勾股定理得，则，令，而，故在上单调递增，设，由两点间距离公式得，由二次函数性质得当时，取得最小值，此时，故的最小值为，即，显然B，C，D正确.故选：BCD（2024年鄂J22黄石二中三模）14．如图，已知过抛物线（）的焦点的直线与抛物线交于两点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为，抛物线的准线与轴交于点，为坐标原点，记，，分别为，，的面积.若，则直线的斜率为14．【分析】设直线倾斜角为，，可得，，，用表示，结合题意运算求解即可.【详解】设直线倾斜角为，，可知：，且，解得，则，同理可得，可知：，，，因为14．【分析】设直线倾斜角为，，可得，，，用表示，结合题意运算求解即可.【详解】设直线倾斜角为，，可知：，且，解得，则，同理可得，可知：，，，因为，则，整理得，解得或，且，则，可得，所以直线的斜率为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据抛物线的定义可得，利用表示其他量，结合题意运算求解.抛物线（中上）：（2024年鄂J11四月模拟，末）8.抛物线上有四点，，，，直线，交于点，且，．过分别作的切线交于点Q，若，则（【答案】D【解析】【分析】由题