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文档简介

相似三角形解答训练

1.如图,在梯形ABCD中,已知AD〃BC,ZB=90°,AB=7,AD=9,BC=12,在线段BC上任取一点E,

连接DE,作EFLDE,交直线AB于点F.

(1)若点F与B重合,求CE的长;

(2)若点F在线段AB上,且AF=CE,求CE的长.

2.(2016•山西校级模拟)如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过P

作PF_LAE于F,设PA=x.

(1)求证:△PFAs^ABE;

(2)若以P,F,E为顶点的三角形也与AABE相似,试求x的值.

3.(2016•黑龙江二模)在AABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在BD上,且DE=CD,过点E

作AB的平行线交AD于F,且EF=AC.

(1)如图①,求证:ZBAD=ZCAD;

(2)如图②,连接AE,若AC=&CD,AB:AE=3:2,请你探究线段DF与AF的数量关系,并证明你

4

BEDCBEDC

的结论.图①图②

4.(2016•南通)如图,ZXABC中,4ACB=90°,AC=5,BC=12,COLAB于点0,D是线段OB上一点,

DE=2,ED〃AC(ZADE<90°),连接BE、CD.设BE、CD的中点分别为P、Q.

(1)求AO的长;

(2)求PQ的长;

(3)设PQ与AB的交点为M,请直接写出|PM-MQ|的值.

B

1

OO

C

5.(2016•广州)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+3与x轴交于点C,与直线AD交于点A(X

3

5),点D的坐标为(0,1)

3

(1)求直线AD的解析式;

(2)直线AD与x轴交于点B,若点E是直线AD上一动点(不与点B重合),当ABOD与aBCE相似时,

求点E的坐标.

6.(2016•宁波)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段

把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相

似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

(1)如图1,在AABC中,CD为角平分线,ZA=40°,ZB=60°,求证:CD为AABC的完美分割线.

(2)在AABC中,ZA=48°,CD是AABC的完美分割线,且4ACD为等腰三角形,求/ACB的度数.

(3)如图2,AABC中,AC=2,BC=&,CD是AABC的完美分割线,且4ACD是以CD为底边的等腰

7.(2016・怀化)如图,△ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上,

顶点E、H分别在AB、AC上,已知BC=40cm,AD=30cm.

(1)求证:△AEHs^ABC;

(2)求这个正方形的边长与面积.

8.(2016•梧州)在矩形ABCD中,E为CD的中点,H为BE上的一点,型连接CH并延长交AB于

BH

点G,连接GE并延长交AD的延长线于点F.

⑴求匹,鼎;

(2)若NCGF=90。,求例■的值.

BC

9.(2016•长春)如图,在回ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DF=BE,EF与CD

交于点G.

(1)求证:BD〃EF;

(2)若理:2,BE=4,求EC的长.

GC3

10.(2016•玉林)如图(1),菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点,四

个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE±.

(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;

(2)如图(2)若四边形EFGH是矩形,当AC与FH重合时,已知且菱形ABCD的面积是20,

BD

图1图2

11.(2016•陕西)某市为了打造森林城市,树立城市新地标,实现绿色、共享发展理念,在城南建起了"望

月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量"望月阁”的高度,来检验自

己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现,观测点与"望月阁”底部间的距离不易测得,因此经过研

究需要两次测量,于是他们首先用平面镜进行测量.方法如下:如图,小芳在小亮和“望月阁”之间的直线

BM上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,这个标记在直线BM上的对应位置为点C,镜子不动,小亮

看着镜面上的标记,他来回走动,走到点D时,看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合,

这时,测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米,CD=2米,然后,在阳光下,他们用测影长的方法进行了第

二次测量,方法如下:如图,小亮从D点沿DM方向走了16米,到达“望月阁”影子的末端F点处,此时,

测得小亮身高FG的影长FH=2.5米,FG=1.65米.

如图,已知ABLBM,ED1BM,GF±BM,其中,测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计,请你根据题

中提供的相关信息,求出"望月阁"的高AB的长度.

12.(2016•萧山区模拟)如图,点C是线段AB上一点,4ACD和4BCE都是等边三角形,连结AE,BD,

设AE交CD于点F.

(1)求证:4ACE丝Z\DCB;

(2)求证:△ADFsz\BAD.

•B

C

13.(2016•阜阳校级一模)如图,ZiABC中,ZC=90°,AC=3,BC=4,点D是AB的中点,点E在DC的

延长线上,且CE=LCD,过点B作BF〃DE交AE的延长线于点F,交AC的延长线于点G.

3

(1)求证:AB=BG;

(2)若点P是直线BG上的一点,试确定点P的位置,使4BCP与ABCD相似.

14.(2016•河南模拟)已知点O是四边形ABCD内一点,AB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=a.

(1)如图1,a=60°,探究线段AD与OB的数量关系,并加以证明;

(2)如图2,a=120。,探究线段AD与OB的数量关系,并说明理由;

(3)结合上面的活动经验探究,请直接写出如图3中线段AD与0B的数量关系为(直接写出答案)

图1图2图3

15.(2016•梅州模拟)如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和ADE摆放在一起,A

为公共顶点,ZBAC=ZADE=90°,它们的斜边长为2,若AABC固定不动,4ADE绕点A旋转,AE、AD

与边BC的交点分别为F、G(点F不与点C重合,点G不与点B重合),设BF=a,CG=b.

(1)请在图(1)中找出两对相似但不全等的三角形,并选取其中一对进行证明.

(2)求b与a的函数关系式,直接写出自变量a的取值范围.

(3)以AABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如

图2).若BG=CF,求出点G的坐标,猜想线段BG、FG和CF之间的关系,并通过计算加以验证.

16.(2016•丹东模拟)如图1,四边形ABCD中,NABC=2NADC=2a,点E、F分另ij在CB、CD的延长线

上,且EB=AB+AD,ZAEB=ZFAD.

(1)猜想线段AE、AF的数量关系,并证明你的猜想;

(2)若将"EB=AB+AD"改为"EB=AB+kAD(k为常数,且k>0)",其他条件不变(如图2),求明的值(用

AB

含k、a的式子表示).

图1图2

17.(2016•梅州模拟)在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共

顶点,ZBAC=ZAGF=90°,它们的斜边长为2,若△ABC固定不动,ZiAFG绕点A旋转,AF、AG与边

BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m,CD=n.

(1)求证:AABE^ADCA;

(2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围;

(3)在旋转过程中,试判断等式BD?+CE2=DE2是否始终成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

18.(2016•徐州二模)已知:如图①在13ABeD中,AB=3cm,BC=5cm,ACXAB,Z\ACD沿AC的方向匀

速平移得到△PNM,速度为lcm/s;同时,点Q从点C出发,沿CB方向匀速运动,速度为lcm/s,当点P

与点C重合时△PNM停止平移,点Q也停止运动.如图②设运动时间为t(s).解答下列问题:

(1)当t为S时,点P与点C重合;

(2)设△QMC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;

(3)是否存在某一时刻t,使PQLMQ?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

19.(2016•滨江区模拟)如图,RtZ\ABC的两条直角边AB=4cm,AC=3cm,点D沿AB从A向B运动,

速度是1cm/秒,同时,点E沿BC从B向C运动,速度为2cm/秒.动点E到达点C时运动终止.连接DE、

CD、AE.

(1)当动点运动几秒时,^BDE与AABC相似?

(2)设动点运动t秒时4ADE的面积为s,求s与t的函数解析式;

(3)在运动过程中是否存在某一时刻3使CDLDE?若存在,求出时刻t;若不存在,请说明理由.

20.(2016•枣阳市模拟)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点M是BC边上的任一点,连接AM并将

线段AM绕M顺时针旋转90。得到线段MN,在CD边上取点P使CP=BM,连接NP,BP.

(1)判断四边形BMNP的形状,并加以证明;

(2)线段MN与CD交于点Q,连接AQ,若△MCQS^AMQ,求PN的长.

21.(2016•抚州校级模拟)如图1,点P为/MON的平分线上一点,以P点为顶点的角的两边分别与射线

OM,ON交于A,B两点,如果NAPB绕点P旋转时始终满足OA・OB=Op2,我们就把/APB叫做NMON

的智慧角.

(1)如图2,已知/MON=90。,点P为/MON的平分线上一点,以点P为顶点的角的两边分别与射线OM,

ON交于A,B两点,且/APB=135。,求证:/APB是NMON的智慧角;

(2)如图1,已知/MON=a,(0°<a<90°),OP=2,若NAPB是/MON的智慧角,连结AB,用含a的

式子分别表示NAPB的度数和AAOB的面积.

22.(2016•安庆二模)已知^ABC是边长为a的等边三角形,D、E、F分另U是AB、AC和BC边上的点.如

(1)如图②,当必此=殴=工时,求S^DEF;

ABBCCA3AARC

⑵如图③,当必巩④工时,求S^DEF;

ABBCCA4^AABC

求也里的值是多少?直接写出结果(用代数式表示)

(3)猜想:当景需*打

SAABC

23.(2016•富顺县校级一模)如图,在RtAABC中,ZACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BBi〃AC.动

点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3

个单位的速度运动.过点D作DH_LAB于H,过点E作EFXAC交射线BBi于F,G是EF中点,连接DG.设

点D运动的时间为t秒.

(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;

(2)当4DEG与4ACB相似时,求t的值.

CDE

24.(2015•抚顺)在RtAABC中,ZBAC=90°,过点B的直线MN〃AC,D为BC边上一点,连接AD,

作DE_LAD交MN于点E,连接AE.

(1)如图①,当/ABC=45。时,求证:AD=DE;

(2)如图②,当NABC=30。时,线段AD与DE有何数量关系?并请说明理由;

(3)当/ABC=a时,请直接写出线段AD与DE的数量关系.(用含a的三角函数表示)

图1图2

25.(2014•深水县校级模拟)如图,在直角梯形OABC中,OA〃:BC,A、B两点的坐标分别为A(13,0),

B(11,12).动点P、Q分别从O、B两点出发,点P以每秒2个单位的速度沿x轴向终点A运动,点Q

以每秒1个单位的速度沿BC方向运动;当点P停止运动时,点Q也同时停止运动.线段PQ和OB相交于

点D,过点D作DE〃x轴,交AB于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P、Q运动时间为t(单位:秒).

(1)当t为何值时,四边形PABQ是平行四边形.

(2)APaF的面积是否发生变化?若变化,请求出aPaF的面积s关于时间t的函数关系式;若不变,请

求出aPQF的面积.

(3)随着P、Q两点的运动,的形状也随之发生了变化,试问何时会出现等腰APaF?

2016年10月04日snyong的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一.解答题(共25小题)

1.(2016•深圳模拟)如图,在梯形ABCD中,已知AD〃BC,NB=90。,AB=7,AD=9,BC=12,在线段

BC上任取一点E,连接DE,作EFLDE,交直线AB于点F.

(1)若点F与B重合,求CE的长;

(2)若点F在线段AB上,且AF=CE,求CE的长.

【解答】解:(1)当F和B重合时,

VEFXDE,

VDE1BC,

VZB=90°,

Z.ABXBC,

・・・AB〃DE,

VAD/7BC,

・•・四边形ABED是平行四边形,

・・・AD=EF=9,

:.CE=BC-EF=12-9=3;

(2)过D作DMJ_BC于M,

VZB=90°,

・・・AB_LBC,

・・・DM〃AB,

VAD//BC,

・•・四边形ABMD是矩形,

二•AD=BM=9,AB=DM=7,CM=12-9=3,

设AF=CE=a,贝BF=7-a,EM=a-3,BE=12-a,

NFEC二NB二NDMB=90°,

AZFEB+ZDEM=90°,ZBFE+ZFEB=90°,

AZBFE=ZDEM,

ZB=ZDME,

.,.△FBE^AEMD,

・・・里里

**EMDM,

•・•7一-a-_-1-2--a,

a-37

a=5,a=17,

:点F在线段AB上,AB=7,

.*.AF=CE=17(舍去),

即CE=5.

2.(2016•山西校级模拟)如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过P

作PF_LAE于F,设PA=x.

(1)求证:△PFAs/^ABE;

(2)若以P,F,E为顶点的三角形也与aABE相似,试求x的值.

【解答】(1)证明:•••四边形ABCD是正方形,

;.AD〃BC,且/ABE=90。,

ZPAF=ZAEB,

又:PF_LAE,

ZPFA=ZABE=90°

.,.△PFA^AABE;

(2)解:①当△EFPs^ABE,且/PEF=NEAB时,

则有PE〃AB

二四边形ABEP为矩形,

;.PA=EB=2,即x=2.

②当△PFES^ABE,且/PEF=NAEB时,

ZPAF=ZAEB

ZPEF=ZPAF,

;.PE=PA

VPFXAE,

...点F为AE的中点,

AE=VAB^+BE2=V4^+22=V20=2V5

由PEEF

AEEB

即国止

2遥-2

得PE=5,

即x=5

故满足条件的x的值为2或5.

3.(2016•黑龙江二模)在aABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在BD上,且DE=CD,过点E

作AB的平行线交AD于F,且EF=AC.

(1)如图①,求证:ZBAD=ZCAD;

(2)如图②,连接AE,若AC=J^CD,AB:AE=3:2,请你探究线段DF与AF的数量关系,并证明你

的结论.图①图②

【解答】解:(1)延长FD到点G,过C作CG〃AB交FD的延长线于点M,

则EF〃MC,

Z.ZBAD=ZEFD=ZM,

在4EDF和△CMD中,

,ZEFD=ZM

'NEDF=NMDC,

,ED=DC

.,.△EDF^ACMD(AAS),

;.MC=EF=AC,

ZM=ZCAD,

ZBAD=ZCAD;

•ACCE

"CD=AC"

.♦.△ACDsAECA,

ZAEC=ZCAD=ZBAD,

AAADE^ABDA

.DE__AD^AE-2

,,AFBD^AFT

;.DE=2AD,AD=2BD,

33

.,.DE=ABD,即:理=_1,

9BE5

VEF/7AB,

.DF_DE_4

,,AFBFT

4.(2016•南通)如图,ZXABC中,ZACB=90°,AC=5,BC=12,COJLAB于点O,D是线段OB上一点,

DE=2,ED//AC(ZADE<90°),连接BE、CD.设BE、CD的中点分别为P、Q.

(1)求AO的长;

(2)求PQ的长;

(3)设PQ与AB的交点为M,请直接写出|PM-MQ|的值.

【解答】解:(1)如图1中,

AZAOC=ZACB=90°,VZA=ZA,

AAABCACO,

•AB-AC;

"ACA0,

'<"AB=7AC2+BCW52+122=13,

AC2-25

:.OA=.

(2)如图2中,取BD中点F,CD中点Q,连接PF、QF,

则PF〃ED,FQ〃BC,PF±FQ,且PF=J-ED=1,FQ=1BC=6,

22

在RCPFQ中,PQ寸pp2+FQ刊J+6冬历

(3)如图3中,取AD中点G,连接GQ,

PF〃ED,

;.PF〃GQ,

.,.△PMF^AQMG,

•PM=PF_2

,,QMQGT

•.,PM+QM=V37,

;.PM=逅,MQ二军,

77

A|PM-QM|=曳羽.

7

5.(2016•广州)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+3与x轴交于点C,与直线AD交于点A(且,

3

5),点D的坐标为(0,1)

3

(1)求直线AD的解析式;

(2)直线AD与x轴交于点B,若点E是直线AD上一动点(不与点B重合),当ABOD与ABCE相似时,

求点E的坐标.

【解答】解:(1)设直线AD的解析式为y=kx+b,

45

将A(X$),D(0,1)代入得:1-3k+b='z-

*3,

33b=l

解得:《

b=l

故直线AD的解析式为:y=Lx+l;

2

(2)•.•直线AD与x轴的交点为(-2,0),

;.OB=2,

:点D的坐标为(0,1),

;.OD=1,

;y=-x+3与x轴交于点C(3,0),

;.OC=3,

;.BC=5

:△BOD与ABEC相似,

•BDBOOD^OB0D

BC-BE-CEBC-CE

•V5.221

5BECE5-CE

;.BE=2旄,CE=J5,或CE=5,

2

:.E(2,2),或(3,3).

2

6.(2016•宁波)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段

把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相

似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

(1)如图1,在AABC中,CD为角平分线,ZA=40°,NB=60。,求证:CD为AABC的完美分割线.

(2)在AABC中,ZA=48°,CD是aABC的完美分割线,且4ACD为等腰三角形,求/ACB的度数.

(3)如图2,AABC中,AC=2,BC=&,CD是AABC的完美分割线,且4ACD是以CD为底边的等腰

三角形,求完美分割线CD的长.

【解答】解:(1)如图1中,:/A=40。,ZB=60",

ZACB=80°,

/.△ABC不是等腰三角形,

:CD平分/ACB,

/ACD=/BCD=L/ACB=40。,

2

ZACD=ZA=40°,

...△ACD为等腰三角形,

ZDCB=ZA=40°,ZCBD=ZABC,

/.△BCD^ABAC,

ACD是AABC的完美分割线.

(2)①当AD=CD时,如图2,ZACD=ZA=48°,

VABDC^ABCA,

ZBCD=ZA=48°,

ZACB=ZACD+ZBCD=96°.

1Op|o—40°

②当AD=AC时,如图3中,ZACD=ZADC=—.........-_^66°,

2

VABDC^ABCA,

ZBCD=ZA=48°,

ZACB=ZACD+ZBCD=114°.

③当AC=CD时,如图4中,ZADC=ZA=48°,

VABDC^ABCA,

ZBCD=ZA=48°,

VZADOZBCD,矛盾,舍弃.

/ACB=96。或114°.

(3)由已知AC=AD=2,

VABCD^ABAC,

;.幽=毁,设BD=x,

BABC

(>/2)2=x(x+2),

Vx>0,

工x=M-1,

VABCD^ABAC,

・CD_BD_V3-1

••———-==—,

ACBCV2

CD=^-1x2=76-V2.

V2

DB

7.(2016•怀化)如图,AABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上,

顶点E、H分别在AB、AC上,已知BC=40cm,AD=30cm.

(1)求证:AAEH^AABC;

(2)求这个正方形的边长与面积.

【解答】(1)证明:•••四边形EFGH是正方形,

;.EH〃BC,

AZAEH=ZB,ZAHE=ZC,

/.△AEH^AABC.

(2)解:如图设AD与EH交于点M.

;ZEFD=ZFEM=ZFDM=90",

1•四边形EFDM是矩形,

1.EF=DM,设正方形EFGH的边长为x,

."△AEH^AABC,

-•-E-H_--A-M,

BCAD

-x_30-x

*40~30-,

,・x迎

7

•,正方形EFGH的边长为3cm,面积为111四nA

749

8.(2016•梧州)在矩形ABCD中,E为CD的中点,H为BE上的一点,旭=小连接CH并延长交AB于

BH

点G,连接GE并延长交AD的延长线于点F.

(1)求证:毁普1;

BG-BH

(2)若NCGF=90°,求士殳的值.

BC

【解答】(1)证明:•••四边形ABCD是矩形,

;.CD〃AB,AD=BC,AB=CD,AD〃BC,

.,.△CEH^AGBH,

•ECEH

(2)解:作EM_LAB于M,如图所示:

则EM=BC=AD,AM=DE,

;E为CD的中点,

;.DE=CE,

设DE=CE=3a,则AB=CD=6a,

由(1)得:毁普1=3,

BG-BH

.,.BG=lcE=a,

3

;.AG=5a,

VZEDF=90°=ZCGF,ZDEF=ZGEC,

.,.△DEF^AGEC,

•DE_EF.

,,EG^EC,

;.EG-EF=DE・EC,

VCD/7AB,

•EF_DE_=3;

,•而『T

•明,

"EG^

.\EF=JiEG,

2

;.EG•上EG=3a・3a,

2

解得:EG=V6a«

在RtZ\EMG中,GM=2a,

EM=7EG2-GM^Vaa-

BC=、/^a,

AAB_6a__3^

BCV2a

9.(2016•长春)如图,在回ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DF=BE,EF与CD

交于点G.

(1)求证:BD〃EF;

(2)若地=2,BE=4,求EC的长.

GC3

G

BE

【解答】(1)证明:•••四边形ABCD是平行四边形,

;.AD〃BC.

VDF=BE,

四边形BEFD是平行四边形,

;.BD〃EF;

(2)•..四边形BEFD是平行四边形,

/.DF=BE=4.

:DF〃EC,

.♦.△DFGsCEG,

•DG-DF;

',CG^CE'

>匹

...CE=DFCG4x6.

DG2

10.(2016・玉林)如图(1),菱形ABCD对角线AC、BD的交点。是四边形EFGH对角线FH的中点,四

个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE±.

(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;

(2)如图(2)若四边形EFGH是矩形,当AC与FH重合时,已知££=2,且菱形ABCD的面积是20,

BD

求矩形EFGH的长与宽.

【解答】(1)证明:••,点O是菱形ABCD对角线AC、BD的交点,

/.OA=OC,OD=OB,

:点O是线段FH的中点,

.,.OF=OH.

'OA=OC

在AACF和△COH中,有,ZA0F=ZC0H-

,OF=OH

.,.△AOF^ACOH(SAS),

ZAFO=ZCHO,

;.AF〃CH.

同理可得:DH〃:BF.

二四边形EFGH是平行四边形.

(2)设矩形EFGH的长为a、宽为b,则AC=Q商研.

,,AC—9

•1~乙,

BD

山产勺,四产宰,OA.二学.

・・•四边形ABCD为菱形,

・・・AC_LBD,

,ZAOB=90°.

,/四边形EFGH是矩形,

・•・NAGH=90°,

・•・ZAOB=ZAGH=90°,

又YNBAONCAG,

AABAO^ACAG,

解得:a=2b①.

a+b

vsABCD=^-AC»BD=l.Aya2+b2.^^20,

222

.*.a2+b2=80(2).

,a=2b

联立①②得:

户2+匕2=80’

解得:卜=8,或产-8(舍去).

Ib=4[b=-4

矩形EFGH的长为8,宽为4.

11.(2016•陕西)某市为了打造森林城市,树立城市新地标,实现绿色、共享发展理念,在城南建起了"望

月阁"及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量"望月阁"的高度,来检验自

己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现,观测点与"望月阁”底部间的距离不易测得,因此经过研

究需要两次测量,于是他们首先用平面镜进行测量.方法如下:如图,小芳在小亮和“望月阁”之间的直线

BM上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,这个标记在直线BM上的对应位置为点C,镜子不动,小亮

看着镜面上的标记,他来回走动,走到点D时,看到"望月阁"顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合,

这时,测得小亮眼睛与地面的高度ED=L5米,CD=2米,然后,在阳光下,他们用测影长的方法进行了第

二次测量,方法如下:如图,小亮从D点沿DM方向走了16米,到达“望月阁”影子的末端F点处,此时,

测得小亮身高FG的影长FH=2.5米,FG=1.65米.

如图,已知ABLBM,ED1BM,GF±BM,其中,测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计,请你根据题

中提供的相关信息,求出"望月阁"的高AB的长度.

【解答】解:由题意可得:ZABC=ZEDC=ZGFH=90°,

ZACB=ZECD,ZAFB=ZGHF,

故△ABCs/\EDC,AABF^AGFH,

则延=此,胆=此,

EDDCGFFH

即AB=BCAB=BC+18

T75^T,L65

解得:AB=99,

答:"望月阁"的高AB的长度为99m.

12.(2016•萧山区模拟)如图,点C是线段AB上一点,4ACD和4BCE都是等边三角形,连结AE,BD,

设AE交CD于点F.

(1)求证:Z\ACE丝ZXDCB;

(2)求证:AADFS/XBAD.

【解答】解:⑴:△ACD和ABCE都是等边三角形,

;.AC=CD,CE=CB,ZACD=ZBCE=60°

ZACE=ZDCB=120°.

.,.△ACE^ADCB(SAS);

(2)VAACE^ADCB,

ZCAE=ZCDB.

•;ZADC=ZCAD=ZACD=ZCBE=60",

;.DC〃BE,

ZCDB=ZDBE,

ZCAE=ZDBE,

ZDAF=ZDBA.

.♦.△ADFS/XBAD.

13.(2016•阜阳校级一模)如图,AABC中,ZC=90°,AC=3,BC=4,点D是AB的中点,点E在DC的

延长线上,且CE=LCD,过点B作BF〃DE交AE的延长线于点F,交AC的延长线于点G.

3

(1)求证:AB=BG;

(2)若点P是直线BG上的一点,试确定点P的位置,使ABCP与ABCD相似.

c

E,

【解答】(1)证明::BF〃DE,

.AD_AC_AE

'''^cTW

VAD=BD,

;.AC=CG,AE=EF,

在4ABC和AGBC中:

rAC=CG

<NACB=NGCB,

,BC=BC

/.△ABC^AGBC(SAS),

;.AB=BG;

(2)解:当BP长为2或四时,Z\BCP与ABCD相似;

25

:AC=3,BC=4,

AB=5,

・・・CD=2.5,

・•・NDCB二NDBC,

・.・DE〃BF,

.\ZDCB=ZCBP,

・・・NDBONCBP,

第一种情况:若/CDB=/CPB,如图1:

在ABCP与ABCD中

rZCDB=ZCPB

-ZDBC=ZPBC-

.BC=BC

AABCP^ABCD(AAS),

,BP=CD=2.5;

第二种情况:若/PCB=/CDB,过C点作CHLBG于H点.如图2:

G

H

B

ZCBD=ZCBP,

AABPC^ABCD,

VCHXBG,

/.ZACB=ZCHB=90",ZABC=ZCBH,

/.AABC^ACBH,

•AB-BC;

"CBBH,

.\BH=lk,BP=丝.

55

综上所述:当PB=2.5或丝时,ABCP与ABCD相似.

5

14.(2016•河南模拟)已知点O是四边形ABCD内一点,AB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=a.

(1)如图1,a=60°,探究线段AD与OB的数量关系,并加以证明;

(2)如图2,a=120°,探究线段AD与OB的数量关系,并说明理由;

(3)结合上面的活动经验探究,请直接写出如图3中线段AD与OB的数量关系为AD=2sin,L0B(直

_2_

接写出答案)

【解答】解:(1)AD=OB,

如图1,连接AC,

VAB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=60°,

.,.△ABC与△(:€»是等边三角形,

ZACB=ZDCO=60°,

Z.ZACD=ZBCO,

在4ACD与△BCO中,

'AC=BC

<ZACD=ZBC0-

,OC=OD

/.△ACD^ABCO,

.*.AD=OB;

(2)AD=V3OB;

如图2,连接AC,过B作BF_LAC于F,

VAB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=120°,

ZACB=ZDCO=30°,

ZACD=ZBCO,

/.△ACD^ABCO,

.AD_AC

,•瓦而,

ZCFB=90°,

2CfJ=2sin60°=V3>

BC

.•.AD=^/5OB;

(3)如图3,连接AC,过B作BF_LAC于F,

VAB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=a,

/.ZACB=ZDCO=__

2

ZACD=ZBCO,

/.△ACD^ABCO,

•AD_AC:

•,瓦而,

,?ZCFB=90°,

•.•-2--C--F-_2nsin-a,

BC2

;.AD=2sin-!l_OB.

2

故答案为:AD=2sin旦OB.

图3

图2

A

D

B

图1

15.(2016•梅州模拟)如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和ADE摆放在一起,A

为公共顶点,ZBAC=ZADE=90°,它们的斜边长为2,若AABC固定不动,ZXADE绕点A旋转,AE、AD

与边BC的交点分别为F、G(点F不与点C重合,点G不与点B重合),设BF=a,CG=b.

(1)请在图(1)中找出两对相似但不全等的三角形,并选取其中一对进行证明.

(2)求b与a的函数关系式,直接写出自变量a的取值范围.

(3)以AABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如

图2).若BG=CF,求出点G的坐标,猜想线段BG、FG和CF之间的关系,并通过计算加以验证.

【解答】解:(1)△ACGs/XFAG,AFAG^AFBA.

VZGAF=ZC=45°,

ZAGF=ZAGC,

.,.△ACG^AFAG.类似证明△FAGS/XFBA;

(2)VZCAG=ZCAF+45°,ZBFA=ZCAF+45°,

ZCAG=ZBFA.

ZB=ZC=45°,

.,.△ACG^AFBA,

•CGCA

"BA^FB"_

由题意可得CA=BA='./2-

.bV2.,2

V2aa

自变量a的取值范围为l<a<2.

(3)由BG=CF可得BF=CG,即a=b.

:b工

a

••a二b二^2.

VOB=OC=1.BC=1,

2

.,.0F=0G=V2-1.

AG(1-V2,0).

线段BG、FG和CF之间的关系为BG2+CF2=FG2;

VBG=OB-OG=1-(72-1)=2-&=CF,

FG=BC-2BG=2-2(2-V2)=272-2.

VBG2+CF2=2BG2=2(2-V2)2=12-8V2,FG2=(2>/2-2)2=12-

.\BG2+CF2=FG2.

16.(2016•丹东模拟)如图1,四边形ABCD中,/ABC=2NADC=2a,点E、F分另ij在CB、CD的延长线

上,且EB=AB+AD,ZAEB=ZFAD.

(1)猜想线段AE、AF的数量关系,并证明你的猜想;

(2)若将"EB=AB+AD"改为"EB=AB+kAD(k为常数,且k>0)”,其他条件不变(如图2),求明的值(用

AB

证明:在EB上取点G,使得GB=AB,连接AG,

ZABC=2ZADC=2a,

/AGB=/GAB」NABC=a,

2

ZEGA=180°-a=180°-ZADC=ZADF,

VEB=AB+AD,

;.EG=AD,

在AAEG和AFAD中,

'/AEB=NFAD

,EG=AD,

,/EGA=NADF

/.△AEG^AFAD(ASA),

;.AE=AF;

(2)在EB上取点G,使得GB=AB,连接AG,

同理可得/EGA=/ADF,

•?ZAEG=ZFAD,

AAAEG^AFAD,

•AG_EG,

''DF^AD'

VEB=AB+kAD,

作BH±AG于点H,

AH=AB»cosa,

即应l2=AB・cosa,

2

...DF=2cosa

17.(2016•梅州模拟)在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共

顶点,ZBAC=ZAGF=90°,它们的斜边长为2,若AABC固定不动,4AFG绕点A旋转,AF、AG与边

BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m,CD=n.

(1)求证:ZXABEs^DCA;

(2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围;

(3)在旋转过程中,试判断等式BD?+CE2=DE2是否始终成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

F

【解答】(1)证明:VZBAE=ZBAD+45°,ZCDA=ZBAD+45°,

ZBAE=ZCDA(2分),

又/B=/C=45。,

.♦.△ABEsADCA(4分);

(2)解:VAABE^ADCA,

里里(5分)

CA_CD_

由依题意可知CA=BA=如,

■m班

V2n

.•.m=Z(7分)

n

自变量n的取值范围为l<n<2.(8分)

(3)成立(9分)

证明:如图,将AACE绕点A顺时针旋转90。至AABH的位置,则CE=HB,AE=AH,

ZABH=ZC=45°,旋转角NEAH=90°.

连接HD,在4EAD和AHAD中

:AE=AH,ZHAD=ZEAH-ZFAG=45°=ZEAD,AD=AD.

.,.△EAD^AHAD,

/.DH=DE

又ZHBD=ZABH+ZABD=90",

.\BD2+HB2=DH2

即BD2+CE2=DE2.

18.(2016•徐州二模)已知:如图①在I3ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,AC±AB,ZkACD沿AC的方向匀

速平移得到△PNM,速度为lcm/s;同时,点Q从点C出发,沿CB方向匀速运动,速度为lcm/s,当点P

与点C重合时ARNM停止平移,点Q也停止运动.如图②设运动时间为t(s).解答下列问题:

(1)当t为4S时,点P与点C重合;

(2)设△QMC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;

(3)是否存在某一时刻t,使PQLMQ?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

【解答】28,解:(1)在如图①中,在RT4ABC中,VZBAC=90°,BC=5,AB=3,

AC=7BC2-_32=4'

;.t=4时,点P与点C重合.

故答案为4

(2)如图②中,作PD_LBC于点D,AE_LBC于点E

由SAABCXAC=yAEXBC可得处若'则由勾股定理易求CE=y-

因为PD_LBC,AE_LBC,

所以AE〃PD,

所以△CPDs/\CAE,

所以空口上,即4鲁粤

CACEAE41k11.

55

田曰12-3t16-4t

求得:PD二--------,CD二-------,

55

因为PM〃BC,

所以M到BC的距离h=pD=丝二匹

5

所以AQCH是面积息的xh芸XtX丝予7t2+袅,

zzbiub

(3)若PQ_LMQ,贝lJ/MQP=/PDQ=90。

因为MP〃BC,

所以NMPQ=/PQD,

所以△MQPs/sPDQ,

所以里=里

PQDQ

所以PQ2=PMXDQ,

即:PD2+DQ2=PMXDQ,由CD=l%4t,得DQ=CD-CQ=1,二",

55

故(在二红)2+(下二竺)2=5X至二注,整理得2t2-3t=。

555

解得t=W或o(舍弃).

2

答:当1=在时,PQXMQ.

2

19.(2016•滨江区模拟)如图,Rt^ABC的两条

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