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文档简介
相似三角形解答训练
1.如图,在梯形ABCD中,已知AD〃BC,ZB=90°,AB=7,AD=9,BC=12,在线段BC上任取一点E,
连接DE,作EFLDE,交直线AB于点F.
(1)若点F与B重合,求CE的长;
(2)若点F在线段AB上,且AF=CE,求CE的长.
2.(2016•山西校级模拟)如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过P
作PF_LAE于F,设PA=x.
(1)求证:△PFAs^ABE;
(2)若以P,F,E为顶点的三角形也与AABE相似,试求x的值.
3.(2016•黑龙江二模)在AABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在BD上,且DE=CD,过点E
作AB的平行线交AD于F,且EF=AC.
(1)如图①,求证:ZBAD=ZCAD;
(2)如图②,连接AE,若AC=&CD,AB:AE=3:2,请你探究线段DF与AF的数量关系,并证明你
4
BEDCBEDC
的结论.图①图②
4.(2016•南通)如图,ZXABC中,4ACB=90°,AC=5,BC=12,COLAB于点0,D是线段OB上一点,
DE=2,ED〃AC(ZADE<90°),连接BE、CD.设BE、CD的中点分别为P、Q.
(1)求AO的长;
(2)求PQ的长;
(3)设PQ与AB的交点为M,请直接写出|PM-MQ|的值.
B
1
OO
C
5.(2016•广州)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+3与x轴交于点C,与直线AD交于点A(X
3
5),点D的坐标为(0,1)
3
(1)求直线AD的解析式;
(2)直线AD与x轴交于点B,若点E是直线AD上一动点(不与点B重合),当ABOD与aBCE相似时,
求点E的坐标.
6.(2016•宁波)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段
把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相
似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图1,在AABC中,CD为角平分线,ZA=40°,ZB=60°,求证:CD为AABC的完美分割线.
(2)在AABC中,ZA=48°,CD是AABC的完美分割线,且4ACD为等腰三角形,求/ACB的度数.
(3)如图2,AABC中,AC=2,BC=&,CD是AABC的完美分割线,且4ACD是以CD为底边的等腰
7.(2016・怀化)如图,△ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上,
顶点E、H分别在AB、AC上,已知BC=40cm,AD=30cm.
(1)求证:△AEHs^ABC;
(2)求这个正方形的边长与面积.
8.(2016•梧州)在矩形ABCD中,E为CD的中点,H为BE上的一点,型连接CH并延长交AB于
BH
点G,连接GE并延长交AD的延长线于点F.
⑴求匹,鼎;
(2)若NCGF=90。,求例■的值.
BC
9.(2016•长春)如图,在回ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DF=BE,EF与CD
交于点G.
(1)求证:BD〃EF;
(2)若理:2,BE=4,求EC的长.
GC3
10.(2016•玉林)如图(1),菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点,四
个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE±.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)如图(2)若四边形EFGH是矩形,当AC与FH重合时,已知且菱形ABCD的面积是20,
BD
图1图2
11.(2016•陕西)某市为了打造森林城市,树立城市新地标,实现绿色、共享发展理念,在城南建起了"望
月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量"望月阁”的高度,来检验自
己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现,观测点与"望月阁”底部间的距离不易测得,因此经过研
究需要两次测量,于是他们首先用平面镜进行测量.方法如下:如图,小芳在小亮和“望月阁”之间的直线
BM上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,这个标记在直线BM上的对应位置为点C,镜子不动,小亮
看着镜面上的标记,他来回走动,走到点D时,看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合,
这时,测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米,CD=2米,然后,在阳光下,他们用测影长的方法进行了第
二次测量,方法如下:如图,小亮从D点沿DM方向走了16米,到达“望月阁”影子的末端F点处,此时,
测得小亮身高FG的影长FH=2.5米,FG=1.65米.
如图,已知ABLBM,ED1BM,GF±BM,其中,测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计,请你根据题
中提供的相关信息,求出"望月阁"的高AB的长度.
12.(2016•萧山区模拟)如图,点C是线段AB上一点,4ACD和4BCE都是等边三角形,连结AE,BD,
设AE交CD于点F.
(1)求证:4ACE丝Z\DCB;
(2)求证:△ADFsz\BAD.
•B
C
13.(2016•阜阳校级一模)如图,ZiABC中,ZC=90°,AC=3,BC=4,点D是AB的中点,点E在DC的
延长线上,且CE=LCD,过点B作BF〃DE交AE的延长线于点F,交AC的延长线于点G.
3
(1)求证:AB=BG;
(2)若点P是直线BG上的一点,试确定点P的位置,使4BCP与ABCD相似.
14.(2016•河南模拟)已知点O是四边形ABCD内一点,AB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=a.
(1)如图1,a=60°,探究线段AD与OB的数量关系,并加以证明;
(2)如图2,a=120。,探究线段AD与OB的数量关系,并说明理由;
(3)结合上面的活动经验探究,请直接写出如图3中线段AD与0B的数量关系为(直接写出答案)
图1图2图3
15.(2016•梅州模拟)如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和ADE摆放在一起,A
为公共顶点,ZBAC=ZADE=90°,它们的斜边长为2,若AABC固定不动,4ADE绕点A旋转,AE、AD
与边BC的交点分别为F、G(点F不与点C重合,点G不与点B重合),设BF=a,CG=b.
(1)请在图(1)中找出两对相似但不全等的三角形,并选取其中一对进行证明.
(2)求b与a的函数关系式,直接写出自变量a的取值范围.
(3)以AABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如
图2).若BG=CF,求出点G的坐标,猜想线段BG、FG和CF之间的关系,并通过计算加以验证.
16.(2016•丹东模拟)如图1,四边形ABCD中,NABC=2NADC=2a,点E、F分另ij在CB、CD的延长线
上,且EB=AB+AD,ZAEB=ZFAD.
(1)猜想线段AE、AF的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若将"EB=AB+AD"改为"EB=AB+kAD(k为常数,且k>0)",其他条件不变(如图2),求明的值(用
AB
含k、a的式子表示).
图1图2
17.(2016•梅州模拟)在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共
顶点,ZBAC=ZAGF=90°,它们的斜边长为2,若△ABC固定不动,ZiAFG绕点A旋转,AF、AG与边
BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m,CD=n.
(1)求证:AABE^ADCA;
(2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围;
(3)在旋转过程中,试判断等式BD?+CE2=DE2是否始终成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
18.(2016•徐州二模)已知:如图①在13ABeD中,AB=3cm,BC=5cm,ACXAB,Z\ACD沿AC的方向匀
速平移得到△PNM,速度为lcm/s;同时,点Q从点C出发,沿CB方向匀速运动,速度为lcm/s,当点P
与点C重合时△PNM停止平移,点Q也停止运动.如图②设运动时间为t(s).解答下列问题:
(1)当t为S时,点P与点C重合;
(2)设△QMC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使PQLMQ?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
19.(2016•滨江区模拟)如图,RtZ\ABC的两条直角边AB=4cm,AC=3cm,点D沿AB从A向B运动,
速度是1cm/秒,同时,点E沿BC从B向C运动,速度为2cm/秒.动点E到达点C时运动终止.连接DE、
CD、AE.
(1)当动点运动几秒时,^BDE与AABC相似?
(2)设动点运动t秒时4ADE的面积为s,求s与t的函数解析式;
(3)在运动过程中是否存在某一时刻3使CDLDE?若存在,求出时刻t;若不存在,请说明理由.
20.(2016•枣阳市模拟)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点M是BC边上的任一点,连接AM并将
线段AM绕M顺时针旋转90。得到线段MN,在CD边上取点P使CP=BM,连接NP,BP.
(1)判断四边形BMNP的形状,并加以证明;
(2)线段MN与CD交于点Q,连接AQ,若△MCQS^AMQ,求PN的长.
21.(2016•抚州校级模拟)如图1,点P为/MON的平分线上一点,以P点为顶点的角的两边分别与射线
OM,ON交于A,B两点,如果NAPB绕点P旋转时始终满足OA・OB=Op2,我们就把/APB叫做NMON
的智慧角.
(1)如图2,已知/MON=90。,点P为/MON的平分线上一点,以点P为顶点的角的两边分别与射线OM,
ON交于A,B两点,且/APB=135。,求证:/APB是NMON的智慧角;
(2)如图1,已知/MON=a,(0°<a<90°),OP=2,若NAPB是/MON的智慧角,连结AB,用含a的
式子分别表示NAPB的度数和AAOB的面积.
22.(2016•安庆二模)已知^ABC是边长为a的等边三角形,D、E、F分另U是AB、AC和BC边上的点.如
(1)如图②,当必此=殴=工时,求S^DEF;
ABBCCA3AARC
⑵如图③,当必巩④工时,求S^DEF;
ABBCCA4^AABC
求也里的值是多少?直接写出结果(用代数式表示)
(3)猜想:当景需*打
SAABC
23.(2016•富顺县校级一模)如图,在RtAABC中,ZACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BBi〃AC.动
点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3
个单位的速度运动.过点D作DH_LAB于H,过点E作EFXAC交射线BBi于F,G是EF中点,连接DG.设
点D运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;
(2)当4DEG与4ACB相似时,求t的值.
CDE
24.(2015•抚顺)在RtAABC中,ZBAC=90°,过点B的直线MN〃AC,D为BC边上一点,连接AD,
作DE_LAD交MN于点E,连接AE.
(1)如图①,当/ABC=45。时,求证:AD=DE;
(2)如图②,当NABC=30。时,线段AD与DE有何数量关系?并请说明理由;
(3)当/ABC=a时,请直接写出线段AD与DE的数量关系.(用含a的三角函数表示)
图1图2
25.(2014•深水县校级模拟)如图,在直角梯形OABC中,OA〃:BC,A、B两点的坐标分别为A(13,0),
B(11,12).动点P、Q分别从O、B两点出发,点P以每秒2个单位的速度沿x轴向终点A运动,点Q
以每秒1个单位的速度沿BC方向运动;当点P停止运动时,点Q也同时停止运动.线段PQ和OB相交于
点D,过点D作DE〃x轴,交AB于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P、Q运动时间为t(单位:秒).
(1)当t为何值时,四边形PABQ是平行四边形.
(2)APaF的面积是否发生变化?若变化,请求出aPaF的面积s关于时间t的函数关系式;若不变,请
求出aPQF的面积.
(3)随着P、Q两点的运动,的形状也随之发生了变化,试问何时会出现等腰APaF?
2016年10月04日snyong的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共25小题)
1.(2016•深圳模拟)如图,在梯形ABCD中,已知AD〃BC,NB=90。,AB=7,AD=9,BC=12,在线段
BC上任取一点E,连接DE,作EFLDE,交直线AB于点F.
(1)若点F与B重合,求CE的长;
(2)若点F在线段AB上,且AF=CE,求CE的长.
【解答】解:(1)当F和B重合时,
VEFXDE,
VDE1BC,
VZB=90°,
Z.ABXBC,
・・・AB〃DE,
VAD/7BC,
・•・四边形ABED是平行四边形,
・・・AD=EF=9,
:.CE=BC-EF=12-9=3;
(2)过D作DMJ_BC于M,
VZB=90°,
・・・AB_LBC,
・・・DM〃AB,
VAD//BC,
・•・四边形ABMD是矩形,
二•AD=BM=9,AB=DM=7,CM=12-9=3,
设AF=CE=a,贝BF=7-a,EM=a-3,BE=12-a,
NFEC二NB二NDMB=90°,
AZFEB+ZDEM=90°,ZBFE+ZFEB=90°,
AZBFE=ZDEM,
ZB=ZDME,
.,.△FBE^AEMD,
・・・里里
**EMDM,
•・•7一-a-_-1-2--a,
a-37
a=5,a=17,
:点F在线段AB上,AB=7,
.*.AF=CE=17(舍去),
即CE=5.
2.(2016•山西校级模拟)如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过P
作PF_LAE于F,设PA=x.
(1)求证:△PFAs/^ABE;
(2)若以P,F,E为顶点的三角形也与aABE相似,试求x的值.
【解答】(1)证明:•••四边形ABCD是正方形,
;.AD〃BC,且/ABE=90。,
ZPAF=ZAEB,
又:PF_LAE,
ZPFA=ZABE=90°
.,.△PFA^AABE;
(2)解:①当△EFPs^ABE,且/PEF=NEAB时,
则有PE〃AB
二四边形ABEP为矩形,
;.PA=EB=2,即x=2.
②当△PFES^ABE,且/PEF=NAEB时,
ZPAF=ZAEB
ZPEF=ZPAF,
;.PE=PA
VPFXAE,
...点F为AE的中点,
AE=VAB^+BE2=V4^+22=V20=2V5
由PEEF
AEEB
即国止
2遥-2
得PE=5,
即x=5
故满足条件的x的值为2或5.
3.(2016•黑龙江二模)在aABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在BD上,且DE=CD,过点E
作AB的平行线交AD于F,且EF=AC.
(1)如图①,求证:ZBAD=ZCAD;
(2)如图②,连接AE,若AC=J^CD,AB:AE=3:2,请你探究线段DF与AF的数量关系,并证明你
的结论.图①图②
【解答】解:(1)延长FD到点G,过C作CG〃AB交FD的延长线于点M,
则EF〃MC,
Z.ZBAD=ZEFD=ZM,
在4EDF和△CMD中,
,ZEFD=ZM
'NEDF=NMDC,
,ED=DC
.,.△EDF^ACMD(AAS),
;.MC=EF=AC,
ZM=ZCAD,
ZBAD=ZCAD;
•ACCE
"CD=AC"
.♦.△ACDsAECA,
ZAEC=ZCAD=ZBAD,
AAADE^ABDA
.DE__AD^AE-2
,,AFBD^AFT
;.DE=2AD,AD=2BD,
33
.,.DE=ABD,即:理=_1,
9BE5
VEF/7AB,
.DF_DE_4
,,AFBFT
4.(2016•南通)如图,ZXABC中,ZACB=90°,AC=5,BC=12,COJLAB于点O,D是线段OB上一点,
DE=2,ED//AC(ZADE<90°),连接BE、CD.设BE、CD的中点分别为P、Q.
(1)求AO的长;
(2)求PQ的长;
(3)设PQ与AB的交点为M,请直接写出|PM-MQ|的值.
【解答】解:(1)如图1中,
AZAOC=ZACB=90°,VZA=ZA,
AAABCACO,
•AB-AC;
"ACA0,
'<"AB=7AC2+BCW52+122=13,
AC2-25
:.OA=.
(2)如图2中,取BD中点F,CD中点Q,连接PF、QF,
则PF〃ED,FQ〃BC,PF±FQ,且PF=J-ED=1,FQ=1BC=6,
22
在RCPFQ中,PQ寸pp2+FQ刊J+6冬历
(3)如图3中,取AD中点G,连接GQ,
PF〃ED,
;.PF〃GQ,
.,.△PMF^AQMG,
•PM=PF_2
,,QMQGT
•.,PM+QM=V37,
;.PM=逅,MQ二军,
77
A|PM-QM|=曳羽.
7
5.(2016•广州)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+3与x轴交于点C,与直线AD交于点A(且,
3
5),点D的坐标为(0,1)
3
(1)求直线AD的解析式;
(2)直线AD与x轴交于点B,若点E是直线AD上一动点(不与点B重合),当ABOD与ABCE相似时,
求点E的坐标.
【解答】解:(1)设直线AD的解析式为y=kx+b,
45
将A(X$),D(0,1)代入得:1-3k+b='z-
*3,
33b=l
解得:《
b=l
故直线AD的解析式为:y=Lx+l;
2
(2)•.•直线AD与x轴的交点为(-2,0),
;.OB=2,
:点D的坐标为(0,1),
;.OD=1,
;y=-x+3与x轴交于点C(3,0),
;.OC=3,
;.BC=5
:△BOD与ABEC相似,
•BDBOOD^OB0D
BC-BE-CEBC-CE
•V5.221
5BECE5-CE
;.BE=2旄,CE=J5,或CE=5,
2
:.E(2,2),或(3,3).
2
6.(2016•宁波)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段
把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相
似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图1,在AABC中,CD为角平分线,ZA=40°,NB=60。,求证:CD为AABC的完美分割线.
(2)在AABC中,ZA=48°,CD是aABC的完美分割线,且4ACD为等腰三角形,求/ACB的度数.
(3)如图2,AABC中,AC=2,BC=&,CD是AABC的完美分割线,且4ACD是以CD为底边的等腰
三角形,求完美分割线CD的长.
【解答】解:(1)如图1中,:/A=40。,ZB=60",
ZACB=80°,
/.△ABC不是等腰三角形,
:CD平分/ACB,
/ACD=/BCD=L/ACB=40。,
2
ZACD=ZA=40°,
...△ACD为等腰三角形,
ZDCB=ZA=40°,ZCBD=ZABC,
/.△BCD^ABAC,
ACD是AABC的完美分割线.
(2)①当AD=CD时,如图2,ZACD=ZA=48°,
VABDC^ABCA,
ZBCD=ZA=48°,
ZACB=ZACD+ZBCD=96°.
1Op|o—40°
②当AD=AC时,如图3中,ZACD=ZADC=—.........-_^66°,
2
VABDC^ABCA,
ZBCD=ZA=48°,
ZACB=ZACD+ZBCD=114°.
③当AC=CD时,如图4中,ZADC=ZA=48°,
VABDC^ABCA,
ZBCD=ZA=48°,
VZADOZBCD,矛盾,舍弃.
/ACB=96。或114°.
(3)由已知AC=AD=2,
VABCD^ABAC,
;.幽=毁,设BD=x,
BABC
(>/2)2=x(x+2),
Vx>0,
工x=M-1,
VABCD^ABAC,
・CD_BD_V3-1
••———-==—,
ACBCV2
CD=^-1x2=76-V2.
V2
DB
7.(2016•怀化)如图,AABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上,
顶点E、H分别在AB、AC上,已知BC=40cm,AD=30cm.
(1)求证:AAEH^AABC;
(2)求这个正方形的边长与面积.
【解答】(1)证明:•••四边形EFGH是正方形,
;.EH〃BC,
AZAEH=ZB,ZAHE=ZC,
/.△AEH^AABC.
(2)解:如图设AD与EH交于点M.
;ZEFD=ZFEM=ZFDM=90",
1•四边形EFDM是矩形,
1.EF=DM,设正方形EFGH的边长为x,
."△AEH^AABC,
-•-E-H_--A-M,
BCAD
-x_30-x
*40~30-,
,・x迎
7
•,正方形EFGH的边长为3cm,面积为111四nA
749
8.(2016•梧州)在矩形ABCD中,E为CD的中点,H为BE上的一点,旭=小连接CH并延长交AB于
BH
点G,连接GE并延长交AD的延长线于点F.
(1)求证:毁普1;
BG-BH
(2)若NCGF=90°,求士殳的值.
BC
【解答】(1)证明:•••四边形ABCD是矩形,
;.CD〃AB,AD=BC,AB=CD,AD〃BC,
.,.△CEH^AGBH,
•ECEH
(2)解:作EM_LAB于M,如图所示:
则EM=BC=AD,AM=DE,
;E为CD的中点,
;.DE=CE,
设DE=CE=3a,则AB=CD=6a,
由(1)得:毁普1=3,
BG-BH
.,.BG=lcE=a,
3
;.AG=5a,
VZEDF=90°=ZCGF,ZDEF=ZGEC,
.,.△DEF^AGEC,
•DE_EF.
,,EG^EC,
;.EG-EF=DE・EC,
VCD/7AB,
•EF_DE_=3;
,•而『T
•明,
"EG^
.\EF=JiEG,
2
;.EG•上EG=3a・3a,
2
解得:EG=V6a«
在RtZ\EMG中,GM=2a,
EM=7EG2-GM^Vaa-
BC=、/^a,
AAB_6a__3^
BCV2a
9.(2016•长春)如图,在回ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DF=BE,EF与CD
交于点G.
(1)求证:BD〃EF;
(2)若地=2,BE=4,求EC的长.
GC3
G
BE
【解答】(1)证明:•••四边形ABCD是平行四边形,
;.AD〃BC.
VDF=BE,
四边形BEFD是平行四边形,
;.BD〃EF;
(2)•..四边形BEFD是平行四边形,
/.DF=BE=4.
:DF〃EC,
.♦.△DFGsCEG,
•DG-DF;
',CG^CE'
>匹
...CE=DFCG4x6.
DG2
10.(2016・玉林)如图(1),菱形ABCD对角线AC、BD的交点。是四边形EFGH对角线FH的中点,四
个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE±.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)如图(2)若四边形EFGH是矩形,当AC与FH重合时,已知££=2,且菱形ABCD的面积是20,
BD
求矩形EFGH的长与宽.
【解答】(1)证明:••,点O是菱形ABCD对角线AC、BD的交点,
/.OA=OC,OD=OB,
:点O是线段FH的中点,
.,.OF=OH.
'OA=OC
在AACF和△COH中,有,ZA0F=ZC0H-
,OF=OH
.,.△AOF^ACOH(SAS),
ZAFO=ZCHO,
;.AF〃CH.
同理可得:DH〃:BF.
二四边形EFGH是平行四边形.
(2)设矩形EFGH的长为a、宽为b,则AC=Q商研.
,,AC—9
•1~乙,
BD
山产勺,四产宰,OA.二学.
・・•四边形ABCD为菱形,
・・・AC_LBD,
,ZAOB=90°.
,/四边形EFGH是矩形,
・•・NAGH=90°,
・•・ZAOB=ZAGH=90°,
又YNBAONCAG,
AABAO^ACAG,
解得:a=2b①.
a+b
vsABCD=^-AC»BD=l.Aya2+b2.^^20,
222
.*.a2+b2=80(2).
,a=2b
联立①②得:
户2+匕2=80’
解得:卜=8,或产-8(舍去).
Ib=4[b=-4
矩形EFGH的长为8,宽为4.
11.(2016•陕西)某市为了打造森林城市,树立城市新地标,实现绿色、共享发展理念,在城南建起了"望
月阁"及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量"望月阁"的高度,来检验自
己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现,观测点与"望月阁”底部间的距离不易测得,因此经过研
究需要两次测量,于是他们首先用平面镜进行测量.方法如下:如图,小芳在小亮和“望月阁”之间的直线
BM上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,这个标记在直线BM上的对应位置为点C,镜子不动,小亮
看着镜面上的标记,他来回走动,走到点D时,看到"望月阁"顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合,
这时,测得小亮眼睛与地面的高度ED=L5米,CD=2米,然后,在阳光下,他们用测影长的方法进行了第
二次测量,方法如下:如图,小亮从D点沿DM方向走了16米,到达“望月阁”影子的末端F点处,此时,
测得小亮身高FG的影长FH=2.5米,FG=1.65米.
如图,已知ABLBM,ED1BM,GF±BM,其中,测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计,请你根据题
中提供的相关信息,求出"望月阁"的高AB的长度.
【解答】解:由题意可得:ZABC=ZEDC=ZGFH=90°,
ZACB=ZECD,ZAFB=ZGHF,
故△ABCs/\EDC,AABF^AGFH,
则延=此,胆=此,
EDDCGFFH
即AB=BCAB=BC+18
T75^T,L65
解得:AB=99,
答:"望月阁"的高AB的长度为99m.
12.(2016•萧山区模拟)如图,点C是线段AB上一点,4ACD和4BCE都是等边三角形,连结AE,BD,
设AE交CD于点F.
(1)求证:Z\ACE丝ZXDCB;
(2)求证:AADFS/XBAD.
【解答】解:⑴:△ACD和ABCE都是等边三角形,
;.AC=CD,CE=CB,ZACD=ZBCE=60°
ZACE=ZDCB=120°.
.,.△ACE^ADCB(SAS);
(2)VAACE^ADCB,
ZCAE=ZCDB.
•;ZADC=ZCAD=ZACD=ZCBE=60",
;.DC〃BE,
ZCDB=ZDBE,
ZCAE=ZDBE,
ZDAF=ZDBA.
.♦.△ADFS/XBAD.
13.(2016•阜阳校级一模)如图,AABC中,ZC=90°,AC=3,BC=4,点D是AB的中点,点E在DC的
延长线上,且CE=LCD,过点B作BF〃DE交AE的延长线于点F,交AC的延长线于点G.
3
(1)求证:AB=BG;
(2)若点P是直线BG上的一点,试确定点P的位置,使ABCP与ABCD相似.
c
E,
【解答】(1)证明::BF〃DE,
.AD_AC_AE
'''^cTW
VAD=BD,
;.AC=CG,AE=EF,
在4ABC和AGBC中:
rAC=CG
<NACB=NGCB,
,BC=BC
/.△ABC^AGBC(SAS),
;.AB=BG;
(2)解:当BP长为2或四时,Z\BCP与ABCD相似;
25
:AC=3,BC=4,
AB=5,
・・・CD=2.5,
・•・NDCB二NDBC,
・.・DE〃BF,
.\ZDCB=ZCBP,
・・・NDBONCBP,
第一种情况:若/CDB=/CPB,如图1:
在ABCP与ABCD中
rZCDB=ZCPB
-ZDBC=ZPBC-
.BC=BC
AABCP^ABCD(AAS),
,BP=CD=2.5;
第二种情况:若/PCB=/CDB,过C点作CHLBG于H点.如图2:
G
H
B
ZCBD=ZCBP,
AABPC^ABCD,
VCHXBG,
/.ZACB=ZCHB=90",ZABC=ZCBH,
/.AABC^ACBH,
•AB-BC;
"CBBH,
.\BH=lk,BP=丝.
55
综上所述:当PB=2.5或丝时,ABCP与ABCD相似.
5
14.(2016•河南模拟)已知点O是四边形ABCD内一点,AB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=a.
(1)如图1,a=60°,探究线段AD与OB的数量关系,并加以证明;
(2)如图2,a=120°,探究线段AD与OB的数量关系,并说明理由;
(3)结合上面的活动经验探究,请直接写出如图3中线段AD与OB的数量关系为AD=2sin,L0B(直
_2_
接写出答案)
【解答】解:(1)AD=OB,
如图1,连接AC,
VAB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=60°,
.,.△ABC与△(:€»是等边三角形,
ZACB=ZDCO=60°,
Z.ZACD=ZBCO,
在4ACD与△BCO中,
'AC=BC
<ZACD=ZBC0-
,OC=OD
/.△ACD^ABCO,
.*.AD=OB;
(2)AD=V3OB;
如图2,连接AC,过B作BF_LAC于F,
VAB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=120°,
ZACB=ZDCO=30°,
ZACD=ZBCO,
/.△ACD^ABCO,
.AD_AC
,•瓦而,
ZCFB=90°,
2CfJ=2sin60°=V3>
BC
.•.AD=^/5OB;
(3)如图3,连接AC,过B作BF_LAC于F,
VAB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=a,
/.ZACB=ZDCO=__
2
ZACD=ZBCO,
/.△ACD^ABCO,
•AD_AC:
•,瓦而,
,?ZCFB=90°,
•.•-2--C--F-_2nsin-a,
BC2
;.AD=2sin-!l_OB.
2
故答案为:AD=2sin旦OB.
图3
图2
A
D
B
图1
15.(2016•梅州模拟)如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和ADE摆放在一起,A
为公共顶点,ZBAC=ZADE=90°,它们的斜边长为2,若AABC固定不动,ZXADE绕点A旋转,AE、AD
与边BC的交点分别为F、G(点F不与点C重合,点G不与点B重合),设BF=a,CG=b.
(1)请在图(1)中找出两对相似但不全等的三角形,并选取其中一对进行证明.
(2)求b与a的函数关系式,直接写出自变量a的取值范围.
(3)以AABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如
图2).若BG=CF,求出点G的坐标,猜想线段BG、FG和CF之间的关系,并通过计算加以验证.
【解答】解:(1)△ACGs/XFAG,AFAG^AFBA.
VZGAF=ZC=45°,
ZAGF=ZAGC,
.,.△ACG^AFAG.类似证明△FAGS/XFBA;
(2)VZCAG=ZCAF+45°,ZBFA=ZCAF+45°,
ZCAG=ZBFA.
ZB=ZC=45°,
.,.△ACG^AFBA,
•CGCA
"BA^FB"_
由题意可得CA=BA='./2-
.bV2.,2
V2aa
自变量a的取值范围为l<a<2.
(3)由BG=CF可得BF=CG,即a=b.
:b工
a
••a二b二^2.
VOB=OC=1.BC=1,
2
.,.0F=0G=V2-1.
AG(1-V2,0).
线段BG、FG和CF之间的关系为BG2+CF2=FG2;
VBG=OB-OG=1-(72-1)=2-&=CF,
FG=BC-2BG=2-2(2-V2)=272-2.
VBG2+CF2=2BG2=2(2-V2)2=12-8V2,FG2=(2>/2-2)2=12-
.\BG2+CF2=FG2.
16.(2016•丹东模拟)如图1,四边形ABCD中,/ABC=2NADC=2a,点E、F分另ij在CB、CD的延长线
上,且EB=AB+AD,ZAEB=ZFAD.
(1)猜想线段AE、AF的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若将"EB=AB+AD"改为"EB=AB+kAD(k为常数,且k>0)”,其他条件不变(如图2),求明的值(用
AB
证明:在EB上取点G,使得GB=AB,连接AG,
ZABC=2ZADC=2a,
/AGB=/GAB」NABC=a,
2
ZEGA=180°-a=180°-ZADC=ZADF,
VEB=AB+AD,
;.EG=AD,
在AAEG和AFAD中,
'/AEB=NFAD
,EG=AD,
,/EGA=NADF
/.△AEG^AFAD(ASA),
;.AE=AF;
(2)在EB上取点G,使得GB=AB,连接AG,
同理可得/EGA=/ADF,
•?ZAEG=ZFAD,
AAAEG^AFAD,
•AG_EG,
''DF^AD'
VEB=AB+kAD,
作BH±AG于点H,
AH=AB»cosa,
即应l2=AB・cosa,
2
...DF=2cosa
17.(2016•梅州模拟)在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共
顶点,ZBAC=ZAGF=90°,它们的斜边长为2,若AABC固定不动,4AFG绕点A旋转,AF、AG与边
BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m,CD=n.
(1)求证:ZXABEs^DCA;
(2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围;
(3)在旋转过程中,试判断等式BD?+CE2=DE2是否始终成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
F
【解答】(1)证明:VZBAE=ZBAD+45°,ZCDA=ZBAD+45°,
ZBAE=ZCDA(2分),
又/B=/C=45。,
.♦.△ABEsADCA(4分);
(2)解:VAABE^ADCA,
里里(5分)
CA_CD_
由依题意可知CA=BA=如,
■m班
V2n
.•.m=Z(7分)
n
自变量n的取值范围为l<n<2.(8分)
(3)成立(9分)
证明:如图,将AACE绕点A顺时针旋转90。至AABH的位置,则CE=HB,AE=AH,
ZABH=ZC=45°,旋转角NEAH=90°.
连接HD,在4EAD和AHAD中
:AE=AH,ZHAD=ZEAH-ZFAG=45°=ZEAD,AD=AD.
.,.△EAD^AHAD,
/.DH=DE
又ZHBD=ZABH+ZABD=90",
.\BD2+HB2=DH2
即BD2+CE2=DE2.
18.(2016•徐州二模)已知:如图①在I3ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,AC±AB,ZkACD沿AC的方向匀
速平移得到△PNM,速度为lcm/s;同时,点Q从点C出发,沿CB方向匀速运动,速度为lcm/s,当点P
与点C重合时ARNM停止平移,点Q也停止运动.如图②设运动时间为t(s).解答下列问题:
(1)当t为4S时,点P与点C重合;
(2)设△QMC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使PQLMQ?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
【解答】28,解:(1)在如图①中,在RT4ABC中,VZBAC=90°,BC=5,AB=3,
AC=7BC2-_32=4'
;.t=4时,点P与点C重合.
故答案为4
(2)如图②中,作PD_LBC于点D,AE_LBC于点E
由SAABCXAC=yAEXBC可得处若'则由勾股定理易求CE=y-
因为PD_LBC,AE_LBC,
所以AE〃PD,
所以△CPDs/\CAE,
所以空口上,即4鲁粤
CACEAE41k11.
55
田曰12-3t16-4t
求得:PD二--------,CD二-------,
55
因为PM〃BC,
所以M到BC的距离h=pD=丝二匹
5
所以AQCH是面积息的xh芸XtX丝予7t2+袅,
zzbiub
(3)若PQ_LMQ,贝lJ/MQP=/PDQ=90。
因为MP〃BC,
所以NMPQ=/PQD,
所以△MQPs/sPDQ,
所以里=里
PQDQ
所以PQ2=PMXDQ,
即:PD2+DQ2=PMXDQ,由CD=l%4t,得DQ=CD-CQ=1,二",
55
故(在二红)2+(下二竺)2=5X至二注,整理得2t2-3t=。
555
解得t=W或o(舍弃).
2
答:当1=在时,PQXMQ.
2
19.(2016•滨江区模拟)如图,Rt^ABC的两条
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